齿轮教学

教学要求∙学时安排：齿轮机构及其设计（讲课11学时，实验2学时）∙基本要求：了解齿轮机构的类型和应用；平面齿轮机构的齿廓啮合基本定律及有关共轭齿廓的基本知识；深入了解渐开线直齿圆柱齿轮的啮合特性及渐开线齿轮传动的正确啮合条件和连续传动条件；熟悉渐开线齿轮各部分的名称、基本参数及各部分几何尺寸的计算；了解渐开线齿廓的展成切齿原理及根切现象；渐开线标准齿轮的最少齿数及渐开线齿轮的变位修正和变位齿轮传动的概念；了解斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成、啮合特点，并能计算标准斜齿圆柱齿轮的几何尺寸；了解标准直齿圆锥齿轮的传动特点及其基本尺寸的计算；对蜗轮蜗杆的传动特点有所了解。

∙本章重点：渐开线直齿圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算。

∙本章难点：共轭齿廓的确定；一对轮齿的啮合过程；变位齿轮传动；斜齿轮和锥齿轮的当量齿轮和当量齿数。

变齿轮机构的应用及分类∙根据齿轮传动比是否恒定分：定传动比传动齿轮机构: 因为这种齿轮机构中的齿轮都是圆形的，所以又称为圆形齿轮机构，应用最广泛。

变传动比传动的齿轮机构: 因为这种齿轮机构一般是非圆形的，所以又称为非圆齿轮机构。

仅应用于一些特殊机构。

∙根据齿轮机构的相对运动是平面还是空间分：平面齿轮机构：齿轮轴线都是平行的。

空间齿轮机构：齿轮轴线不平行。

齿轮的齿廓曲线∙共轭齿廓：指能实现预定的传动比的一对齿廓。

∙齿廓啮合的基本要求如图所示，一对齿廓要保证接触传动，则v K1和v K2在公法线nn方向的分速度应相等。

所以两齿廓接触点间的相对速度v K2K1只能沿两齿廓接触点的公法线方向。

即v K2K1.n=0。

这就是齿廓啮合的基本要求，上式称为齿廓啮合的基本方程式。

∙齿廓啮合的基本定律：互相啮合传动的一对齿轮，在任一位臵时的传动比，都与其连心线被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两段成反比。

即这就是齿廓啮合的基本定律。

∙啮合节点(节点)过两齿廓接触点所作的齿廓公法线与两轮连心线的交点P称为啮合节点。

∙一对齿轮作定传动比条件不论两齿廓在何位臵接触，过接触点所作的齿廓公法线必须与两齿轮的连心线相交于一固定点P。

∙节圆：指作定传动比传动的一对齿轮中，分别以O1、O2为圆心,以、为半径所作的两个圆。

节圆半径用r1＇、r2＇表示。

注意：由于两节圆点P处的线速度是相等的，即，故两齿轮的啮合传动可以看作是一对节圆作无滑动的纯滚动。

∙节线对作变传动比传动的一对齿轮，因节点P不是一个定点，而是按相应的规律在连心线上移动，所以点P在轮1、轮2运动平面上的轨迹就不是圆周，而是一条非圆曲线，称为节线。

∙常用共轭齿廓曲线目前常用的共轭齿廓曲线有渐开线、摆线、圆弧等。

考虑到性能、加工、互换使用等问题，目前最常用的是渐开线。

渐开线的形成及其特性∙渐开线的形成：∙渐开线的特性(1) 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度，即。

(2)渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。

(3)渐开线愈接近于其基圆的部分，其曲率半径愈小，离基圆愈远，曲率半径越大。

(4)渐开线的形状取决于基圆的大小。

如右图所示，在展角相同的情况下，基圆的大小不同，渐开线的曲率也不同。

基圆半径愈小，其渐开线的曲率半径愈小；基圆半径愈大，其渐开线的曲率半径愈大；当基圆半径为无穷大时，其渐开线变成一条直线。

(5)基圆内无渐开线。

∙渐开线齿廓的压力角如图，齿廓在点K所受正压力的方向(即齿廓曲线在该点的法线)与点K速度方向线之间所夹的锐角，称为渐开线在点K的压力角，用αK表示，αK=∠KOB。

cosαK =rb/rk∙渐开线函数由有此式称展角θK 为压力角αK的渐开线函数，工程上常用invαK 表示θK，即∙渐开线方程式渐开线的极坐标参数方程式为：当用直角坐标来表示渐开线时，其方程式为渐开线齿廓的啮合传动∙齿轮传动的啮合线如图所示，设一对渐开线齿廓在任意点K啮合时，过点K作这对齿廓的公法线N1N2为两基圆的一条内公切线。

由于两基圆为定圆，在同一方向的内公切线只有一条，所以不论这对齿廓在任何位臵啮合，过啮合点所作两齿廓的公法线必将与内公切线N1N2重合，即一对渐开线齿廓从开始啮合到脱离接触，所有的啮合点均在内公切线线N1N2上，称此公切线N1N2为啮合线。

一对渐开线齿廓的啮合线为一定直线。

∙渐开线齿廓能保证定传动比传动由于一对渐开线齿廓的啮合线为一定直线，其与连心线O1O2的交点P必为一定点。

所以渐开线齿廓能实现定传动比传动。

∙渐开线齿廓间的正压力方向不变由于啮合线与两齿廓接触点的公法线重合，且在齿轮传动中啮合线为一定直线，而两齿廓间的正压力又是沿接触点的公法线方向的，故知渐开线齿轮在传动过程中，齿廓间的正压力方向始终不变。

这对于齿轮传动的平稳性是很有利的。

∙渐开线齿廓传动具有可分性因为而在渐开线齿廓加工完成之后，它的基圆大小就已完全确定。

所以即使两齿轮的实际中心距与设计中心距有偏差，也不会影响两轮的传动比。

渐开线齿廓传动的这一特性称为传动的可分性。

这对于齿轮的加工和装配都是十分有利的。

渐开线标准齿轮各部分的名称和尺寸∙外齿轮各部分名称：∙基本参数齿轮基本参数有5个，分别为：（1）齿数z: 在齿轮整个圆周上轮齿的总数称为齿轮的齿数, 用z表示。

（2）分度圆模数m：因分度圆的周长＝πd=z p，即。

为了便于计算、制造和检验，现将比值人为地规定为一些简单的数值，并把这个比值叫做模数。

以m表示，其单位为mm。

即m＝；d=mz。

齿轮的模数已经标准化。

（3）分度圆压力角α：齿轮压力角是指分度圆上的压力角，以α表示，分度圆压力角已经规定为标准值：a=200(或150)。

于是有或（4）齿顶高系数：由于齿顶高h a =m ，所以称为齿顶高系数。

标准齿制：=1短齿制：=0.8（5）顶隙系数：齿根高h f =(+)m ，称为顶隙系数。

标准齿制：=0.25短齿制：=0.3重新定义分度圆：分度圆就是指齿轮上具有标准模数和压力角的圆，d=mz。

标准齿轮：是指m、α、和均为标准值，且分度圆齿厚等于齿槽宽（e= s）的齿轮。

注：分度圆上的尺寸符号都没有下标。

渐开线标准直齿轮几何尺寸的计算公式=m=(++)+)2++)-2m∙内齿轮内齿轮与外齿轮的不同点：(1) 内齿轮的齿厚相当于外齿轮的齿槽宽，内齿轮的齿槽宽相当于外齿轮的齿厚。

内齿轮的齿廓也是渐开线，但其轮齿的形状与外齿轮不同，外齿轮的齿廓是外凸的，而内齿轮的齿廓则是内凹的。

(2) 内齿轮的分度圆大于齿顶圆，而齿根圆又大于分度圆，即齿根圆大于齿顶圆。

(3) 为了使内齿轮齿顶的齿廓全部为渐开线，则其齿顶圆必须大于基圆。

基本尺寸内齿轮的齿顶圆直径内齿轮的齿根圆直径∙齿条齿条：齿数为无穷多的齿轮的一部分就是齿条。

齿条的特点：(1)由于齿条的齿廓是直线，所以齿廓上各点的法线是平行的，而且在传动时齿条是作平动的，齿廓上各点速度的大小和方向都一致，所以齿条齿廓上各点的压力角都相同，其大小等于齿廓的倾斜角，通称为齿形角。

(2)由于齿条上各齿同侧的齿廓是平行的，所以不论在分度线上或齿线上或与其平行的其他直线上，其周节都相等，即p=?m。

齿条的基本尺寸:齿顶高：h a=m齿根高：h f=(+)m齿厚:齿槽宽渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动∙正确啮合的条件渐开线齿轮正确啮合的条件是：两轮的模数和压力角应分别相等。

∙外啮合齿轮传动的中心距1、确定中心距时应满足的两点要求：i) 保证两轮的齿侧间隙为零。

为了避免轮齿间的冲击，齿侧间隙一般都很小，通常是由制造公差来保证。

ii) 保证两轮的顶隙为标准值。

2、标准中心距如下图所示，当顶隙为标准值时，两轮的中心距为称此中心距为标准中心距，即两轮的标准中心距a等于两轮分度圆半径之和。

3、安装中心距安装中心距为一对齿轮安装后啮合时的实际中心距，其值等于两啮合齿轮节圆半径之和，a＇=r1'+r2'。

4、标准安装：把标准齿轮按标准中心距进行的安装称为标准安装，此时两齿轮的分度圆相切。

5、标准安装的特点i)按标准中心距安装时，两轮的节圆与各自的分度圆重合,顶隙为标准值。

其传动比为ii)在按标准中心距安装时，能满足无齿侧间隙的要求。

6、分度圆和节圆的区别节圆：齿轮啮合传动时在节点处相切的一对圆。

对于一个单一的齿轮来说是不存在节圆的。

而且两齿轮节圆的大小显然是随其中心距的变化而变化的。

分度圆：齿轮的分度圆是一大小完全确定的圆，不论这个齿轮是否与另一齿轮啮合，也不论两轮的中心距如何变化，每个齿轮都有一个唯一的大小完全确定的分度圆。

啮合角齿轮传动的啮合角：指两轮传动时其节点P的速度方向与啮合线之间所夹的锐角。

通常用表示。

啮合角就等于节圆压力角。

对于标准中心距安装时，由于节圆与分度圆重合，故啮合角也等于分度圆压力角。

∙非标准安装的情况：即两轮的实际中心距不等于标准中心距。

这时节圆与分度圆不重合，节圆半径也不等于分度圆半径，其啮合角也不等于分度圆的压力角。

此时标准中心距为而实际中心距为于是可推得中心距与啮合角的关系为∙齿轮与齿条啮合传动标准安装：指齿轮分度圆与齿条分度线相切。

此时齿轮的节圆与分度圆重合，齿条的节线与分度线重合。

故传动啮合角等于齿轮的分度圆压力角，也等于齿条的齿形角。

非标准安装：指齿轮分度圆与齿条分度线不再相切。

此时齿条的节线与其分度线将不再重合，但由于齿条的齿廓是直线，而啮合线N1N2与齿廓垂直，所以啮合线的位臵是不变的，即节点的位臵不变，因此啮合角恒等于齿轮的分度圆压力角(即齿条的齿形角)。

总之，齿轮与齿条啮合时，不论是否标准安装，其啮合角恒等于齿轮分度圆的压力角，齿轮的节圆也恒与其分度圆重合。

∙内啮合传动1、标准安装：两轮的节圆与各自的分度圆重合，其啮合角也等于分度圆压力角，而且顶隙为标准值和无侧隙啮合的要求也能同时得到满足。

标准中心距为2、非标准安装：两轮的节圆不再与各自的分度圆重合，这时传动的啮合角也不再等于分度圆压力角。

同样有关系式渐开线齿轮传动的重合度∙轮齿啮合的过程∙渐开线齿轮连续传动的条件如图所示，为了保证传动的连续性，要求前一对齿在B1点脱离啮合时，后一对齿应进入啮合，为此要求两齿轮的实际啮合线B1B2应大于或等于齿轮的法节p b。

通常把B1B2与p b的比值称为齿轮传动的重合度，用εα来表示。

于是得齿轮连续传动的条件是：εα=（B1B2/p b）≥1∙重合度εα的计算在实际应用中，εα值应大于或至少等于一定的许用值[εα]，即εα≥[εα]。

[εα]可以从行业推荐值中查取。

1、外啮合传动重合度εα的计算：如图所示：于是得：式中：；。

2、当齿轮与齿条啮合传动的重合度重合度与模数无关，随齿数增多而加大，当两齿轮的齿数趋于无穷大时，重合度的极大值为3、内啮合传动：4、重合度的物理意义：εα实质上表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。

例如右图所示，当εα＝1.45时，表明在齿轮传动的过程中有两个0.45p b的长度上，有两对轮齿同时啮合，称为双齿啮合区，在0.55p b的长度上，则只有一对轮齿啮合，称为单齿啮合区。