北师大数学八年级上《勾股定理》能力提升练习题 (无答案)
暑假提升专题训练北师大版八年级数学上册第1章勾股定理
专题训练-勾股定理知识点（暑假提升篇）-数学八年级上册(北师版数学）一．选择题（共10小题）1．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB ＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．50a元B．600a元C．1200a元D．1500a元2．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（）（滑轮上方的部分忽略不计）A．12m B．13m C．16m D．17m3．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．45m B．40m C．50m D．56m4．为了测算出学校旗杆的高度，爱动脑筋的小明这样设计出了一个方案如图，将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是多少米？（）A．12B．15C．18D．245．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米7．如图，一轮船以8海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距（）A．6海里B．8海里C．10海里D．20海里8．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米10．如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（）A．10米B．15米C．16米D．17米二．填空题（共11小题）11．小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（填“能”、或“不能”）12．如图，要在两幢楼房的房顶A、B间拉一根光缆线（按线段计算），则至少米．13．如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起cm高．14．如图：一架云梯AB长13米，底端离墙的距离BC为5米，当梯子下滑到DE时，AD ＝2米，则BE＝米．15．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 到D，则橡皮筋被拉长了cm．16．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A 与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度为m．17．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为．18．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．19．如图，一条公路的两边AB∥CD，在AB上有两棵树M，N，在另一边CD上有一棵树P，测得M，N相距50m，∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，则公路的宽度为m．20．有一个水池，水面是一个边长为4米的正方形，在水池正中央有一枝新生的红莲，它高出水面1米．一阵风把这枝红莲垂直吹向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这个水池的水深是米．21．小明和小亮在同一地点出发，小明往东走了20千米，小亮往北走了15千米，这是小明与小亮相距千米．专题训练-勾股定理知识点（暑假提升篇）-数学八年级上册(北师版数学）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．B2．D3．B4．A5．D6．C7．C8．B9．A10．B二．填空题（共11小题）11．答案为：能．12．答案为：10．13．答案为：82cm．14．答案为：﹣5．15．答案为：2cm．16．答案为：（2+）．17．答案为：x2+32＝（10﹣x）2．18．答案为：15m．19．答案为：25．20．答案为：1.5．21．答案为：25．。
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理题型分类归纳(无答案)
勾股定理题型分类一：借助勾股定理求边长或面积例1：如图，在ΔABC中，AB=15cm, AC=13cm, BC=14cm, 求ΔABC的面积例2: 在RtΔABC中，∠ACB=90º, AB=10cm, AB边上的高CD=4.8cm, 则RtΔABC的周长为______cm. 变式练习1：如图在RtΔABC中，∠C=90º, 点D是BC上一点，AD=BD,若AB=8, BD=5,求CD的长变式练习2：如果直角三角形的三边长分别为10，6，x, 则最短边上的高为________例3: 如图，以RtΔABC的三边为斜边向外做等腰三角形，若斜边AB=3, 则图中ΔABE的面积是_____，阴影部分面积为____，ΔAHC, ΔBCF, ΔABE的面积间的关系为______变式练习3：如图，RtΔABC的周长为12，以AB, AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN,若这两个正方形的面积之和为25，则ΔABC的面积是___二：勾股定理解决一些实际问题例4：如图，校园内有两根电线杆，相距8米，一根电线杆高13米，另一根电线杆高7米，若一只小鸟从一根电线杆的顶端飞到另一根电线杆的顶端，则小鸟至少飞多少米？例5：如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驰，某一时刻刚好行驰到路对面车速检测仪A正前方30m的B处，过了2s后，测得小汽车（位于C处）与车速检测仪A的距离为50m, 这辆小汽车超速了吗？变式练习4：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m, 将它往高推送6m(水平距离BC=6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=4m, 秋千的绳索始终拉的很直，则绳索AD的长度为____m变式练习5：如图，有一只喜鹊在一颗3m 高的小树顶觅食，它的巢筑在距离该树24m 远的一颗大树上，大树高14m, 且巢距离树顶部1m, 当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s, 那么它至少需要多长时间才能赶回巢中?三：勾股定理的逆定理及应用例6： 若a, b, c 是ΔABC 的三边长，且a, b, c 满足（a −5）2+(b −12)2+|c-13|=0, 则ΔABC 是直角三角形吗？说明理由例7： 如图，MN 为我国领海线，其方向为南北方向，MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私艇B 和走私艇C 的距离是13海里，A, B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 和走私艇C 的距离是12海里，若走私艇C 的速度不变，则最早会在什么时候进入我国领海？变式练习6： 如图，在ΔABC 中，BC=6, AC=8, 在ΔABE 中，DE 是AB 边上的高，DE=7, ΔABE 的面积为35求：（1）AB 的长 （2）四边形ACBE 的面积变式练习7：在B 港口有甲， 乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60º方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿什么方向航行的吗？四：:勾股定理求解折叠问题例8：如图，将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠，使D 和F 点重合，已知AB=CD=8, BC=AD=10,求EC 的长变式练习8：如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm, BC=8cm, 现将ΔABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE,则BE的长为___变式练习9：如图，在长方形ABCD中，AB=8, BC=6, P为AD上一点，将ΔABP沿BP翻折至ΔEBP, PE与CD相交于点O,且OE=OD, 则AP的长为___五：勾股定理求解距离最短距离例9：已知某植物绕着树干向上生长（1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为30cm, 绕行一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它绕行一圈的长度是多少？（2）如果树干的周长为80cm, 绕行一圈的长度是100cm, 绕10圈到达数顶，则数干高多少？变式练习10. 如图，一只蚂蚁在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对顶角G 处，若AB=3cm, BC=5cm, BF=6cm, 问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？变式练习11. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18, BC=12, BF=10, 点M在棱AB 上，且AM=6, 点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N, 它需要爬行的最短路程的平方为______六: 勾股定理在动点问题中的应用例10：如图，在ΔABC中，∠ACB=90º, AB=5cm, BC=3cm, 点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B-A运动，当点P回到点A时，停止运动，设运动时间为t(t>0)s(1) 若点P在AC上，且满足PA=PB, 求t的值（2）若点P恰好在∠BAC平分线上，求t的值变式练习12. 如图，已知ΔABC中，∠B=90º, AB=8cm, BC=6cm, P, Q是ΔABC边上的两个动点，点P 从点A开始沿A-B方向运动，且速度为1cm/s, 点Q从点B开始沿B-C-A方向运动，且速度为2cm/s, 它们同时出发，设运动时间为t(1) 求运动几秒时，ΔAPC是等腰三角形（2）当点Q在边CA上运动时，求能使ΔBCQ成为等腰三角形的运动时间七：利用勾股定理探究规律例11：如图，已知ΔABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtΔABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD, 再以RtΔACD的斜边AD为直角边画第三个等腰直角三角形ADE... 依次类推，第2013个等腰直角三角形的斜边的平方为______变式练习13：如图，OP=1, 过点P作P P1⊥OP, 且P P1=1, 得O P12=2, 再过点P1作P1P2⊥O P1,且P1P2=1，得O P22=3, 又过点P2作P2P3⊥O P2,且P2P3=1，得O P32=4…依次作下去，得2=_______O P2012。
北师大版八年级上册第一章勾股定理能力提升卷(二)(无答案)
专题一：《勾股定理》能力提升卷（二）本卷难度系数中上，题目类型多样，比较灵活。
涉及到以下问题：（1）勾股定理及逆定理的经典题型（2）利用面积法求线段问题（3）D折叠问题（4）蚂蚁问题（两点之间线段最短问题）（5）配方法（6）动点问题（7）分类讨论思想建议：耐心认真思考，不懂多问，多整理，学完这个专题，相信你能学到很多解题技巧，对勾股定理有更深刻的理解，加油！一：选择题1. 如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是()A．3米B．4米C．5米D．6米2．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米3．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为（）A ．1B ．C ．D ．4．如图是一块长、宽、高分别是6 cm ，4 cm 和3 cm 的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长的平方是( )A ．85B ．97C ．109D ．815．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足(a －b)(a 2＋b 2－c 2)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．如图，将三边分别为3，4，5的△ABC ，沿最长边AB 翻转180°得到△ABD ，则CD 的长等于( )A.125B.512C.56D.2457．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）B．C．D．A．8．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S4＝(C)A．4 B．3 C．2 D．1二：填空题9．如图，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了0.8 m，当他把绳子下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是_________．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．11.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度范围是(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)．12．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长是______．13.已知等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，且CD＝16，BD＝12，则△ABC的周长为．14．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．15．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC2＝．三：解答题16.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠A＝90°，AB＝3 m，BC＝12 m，CD＝13 m，AD＝4 m．若每平方米草皮需要投入200元，问一共要投入多少元？17.如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝13，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，连接DF且DF＝12.(1)试说明：△ADF是直角三角形；(2)求BE的长．18.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．。
1 3 勾股定理的应用 提升练习 北师大版数学八年级上册
1.3 勾股定理的应用提升练习一、选择题1.如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA ＝130 m，CB＝120 m，则AB为（）A. 30 mB. 40 mC. 50 mD. 60 m2. 一个圆柱形的油桶高120cm，底面直径为50cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为（）A. 5cmB. 100cmC. 120cmD. 130cm3.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为( )A.8 cmB.13 cmC.12 cmD.15 cm4.如图所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光?( )A.4米B.3米C.5米D.7米5.如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（）海里．A．8 B．10 C．12 D．136．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺．A．7.5 B．8 C．D．97.如图，长方形操场ABCD的长AD为80m，宽AB为60m，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑( ).A.80mB.90mC.100mD.140m8.如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是( ）A.8mB.10mC.16mD.18m9.某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为8cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．3cm10.如图是2022年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm二、填空题1.如图，小明从A点出发向正北方向走1200米到达B点，接着向正东方向走到离A点2000米远的C点，此时小明向正东方向走了米.2.如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为______ 米.3.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm4.如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B 村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则铺设水管的最短长度是__________km．5.如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C处，且点C到BD的距离AC=3米，则芦苇BD的长度为米．6.如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．则滑道AC的长度为m．三、解答题1.如图，一根12 m的电线杆AB用铁丝AC，AD固定，现已知用去的铁丝AC＝15 m，AD＝13 m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9 m，B，D两点之间的距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？2.小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD约1.3米处，在距离鱼线1.2米处的D点的水下0.8米处的C点有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2 m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？3.某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12海里到达B岛，然后沿某方向航行16海里到达C岛，最后沿某个方向航行了20海里回到港口A，则该船从B到C是沿哪个方向航行的？（即求C岛在B岛的哪个方位，距离B岛多远？），请说明理由．4.学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．5.甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．（1）请你写出这一结论：，并给出验证过程；（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．。
江苏省无锡市八年级数学上册 第二章 勾股定理 7 勾股定理(1)学案(无答案) 北师大版
江苏省无锡市八年级数学上册 第二章 勾股定理 7 勾股定理（1）学案（无答案） 北师大版一、预习检测1.直角三角形两条直角边的长是6和8，则斜边的长是 （画图）2.已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距 . （画图）二、生生互动3. 4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得到勾股定理吗？4.下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形5.直角三角形两条直角边的长分别为3、4，则斜边 AB 长 ，斜边上的高CD 为 .b ab a三、 师生互动6. 甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1h ，甲往东走了4km ，乙往南走了6km ． ⑴这时甲、乙两人相距多少km ？⑵按这个速度，他们出发多少h 后相距13km ？7.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？四、当堂检测1.在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=10，则S △AB C =________。
2．受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高?3.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ）A.18 cmB.20 cmC.24 cmD.25 cm4.一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 .5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
五、提补作业1. 等腰直角三角形三边长度之比为 （ ） A.1：1：2 B. 1：1：2 C. 1：2：3 D.不确定2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形3. 一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( ) A. 12cm B. cm 1360 C.cm 13120 D.cm 513（画图）4. 在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m ，目测点到杆的距离为15m ，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m ） ( ) A.20m B.25m C.30m D.35m5. 如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD ，∠︒=90DBC ，12,4,3===BC AB AD ， (1)求BD 的长,（2）求CD 的长.6.如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D, 求：（1），AC 的长； （2）⊿ABC 的面积； （3）CD 的长。
《第1章勾股定理》同步优生提升训练2021-2022学年北师大版八年级数学上册
2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步优生提升训练（附答案）一．勾股定理1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝．2．如图是一个四边形ABCD，若已知AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC ＝90°，则这个四边形的面积是cm2．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．（1）线段PC的最小值是．（2）当PC＝5时，AP长是．4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm，则A、B、C、D四个正方形的面积之和为cm2．5．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（）A．30°B．42°C．45°D．50°6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．647．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE ⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（）A．B．6C．D．8．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（）A．54B．44C．36或48D．54或339．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC﹣AC＝2cm，AB＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm210．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．511．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为（）A．（6，0）B．（4，0）C．（6，0）或（﹣16，0）D．（4，0）或（﹣16，0）12．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．13．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．14．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．15．如图所示网格是由边长为1的小正方形组成，点A，B，C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形的所有内角都相等．（1）确定点D的位置并画出以A，B，C，D为顶点的四边形；（2）直接写出（1）中所画出的四边形的周长和面积．二．勾股定理的证明16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．三．勾股数17．已知：整式A＝n（n+6）+2（n+8）（n＞0），整式B＞0．尝试：化简整式A；发现：A＝B2，求整式B；应用：利用A＝B2，填写下列表格：n（n+6）2（n+8）B\40\四．勾股定理的逆定理18．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC ＝1，，则四边形ABCD的面积为．19．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝．20．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，1，B．6，8，11C．3，4，5D．1，3，21．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，422．如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A →B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．23．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．24．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，求AC的长；（2）已知△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，求证：△ABC是直角三角形．25．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．五．勾股定理的应用26．小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝．27．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是cm．28．如图，在水塔O的东北方向15m处有一抽水站A，在水塔的东南方向8m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．7m B．12m C．17m D．22m29．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为5，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．30．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 31．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D 两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？32．如图，一棵高10m的大树倒在了高8m的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．（1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了2m，那么大树的另一端点是否也向左滑动了2m？说明理由，（2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点是否也向左滑动了am？说明理由．33．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．34．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）35．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？六．平面展开-最短路径问题36．如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A到点B．（1）蚂蚁爬行的最短距离是cm；（2）若从C处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于cm．37．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm参考答案一．勾股定理1．解：过点D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，由题意得，BE＝BC﹣EC＝5，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∵AE＝DE，∠B＝∠DFE＝90°，∴△ABE≌△EFD（AAS），∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5，∴CF＝EF﹣CE＝2，∵∠DFC＝90°，∴DC＝．故答案为：．2．解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC＝5cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC＝AC×CD﹣AB×BC＝×5×12﹣×4×3＝30﹣6＝24（cm2）．故四边形ABCD的面积为24cm2．故答案为：24．3．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，此时，△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴AB•PC＝AC•BC，∴PC＝＝＝4.8，故答案为：4.8；（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：同（1）得：CQ＝4.8，由勾股定理得：AQ＝＝＝3.6，PQ＝＝＝1.4，当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；综上所述，AP的长为5或2.2，故答案为：5或2.2．4．解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝62＝36．故答案是365．解：连接AC，AD，如图，根据勾股定理可得：AD＝AC＝BC＝，CD＝，∴∠ABC＝∠BAC，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣2∠ABC，在△ACD中，，，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，∵AD＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵AB∥EC，∴∠ABC+∠BCE＝180°，∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°，∴∠ABC+（180°﹣2∠ABC）+45°+∠DCE＝180°，∴∠ABC﹣∠DCE＝45°，故选：C．6．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．7．解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE＝AM，利用DB＝DC得到∠B＝∠DCB∵PM∥AB．∴∠B＝∠MPC∴∠DCB＝∠MPC又∵PC＝PC．∠PFC＝∠PMC＝90°∴△PFC≌△CMP∴PF＝CM∴PE+PF＝AC∵AD：DB＝1：3∴可设AD＝x，DB＝3x，那么CD＝3x，AC＝2x，BC＝2x ∵BC＝∴x＝2∴PE+PF＝AC＝2×2＝4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，S△PBD＝BD•PE，S△PCD＝DC•PF，S△BCD＝BD•AC，所以PE+PF＝AC＝2×2＝4．故选：C．8．解：分两种情况：①如图1所示：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．②如图2所示：同①得：BD＝15，CD＝6，∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．综上所述：△ABC的周长为48或36．故选：C．9．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2＝100，∵BC﹣AC＝2cm，∴（BC﹣AC）2＝4，即AC2+BC2﹣2AC•BC＝4，∴2AC•BC＝96，∴AC•BC＝24，即Rt△ABC的面积是24cm2，故选：A．10．解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2），∵AB2＝AC2+BC2＝5，∴AB2+AC2+BC2＝10，∴S阴影＝×10＝5．故选：D．11．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC＝10，∴C（﹣16，0）或（4，0）．故选：D．12．解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝＝20（cm），故答案为：20cm；（2）∵∠P AC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝PC＝x，∴PB＝20﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，即（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的长为10cm，7cm，12.5cm．如图（1），当CB＝CM＝15时，AM＝AC﹣CM＝25﹣15＝10（cm）；如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝12.5（cm）；如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H，则BH＝＝12（cm），CH ＝＝9（cm），∴CM＝2CH＝18（cm），∴AM＝AC﹣CM＝7（cm）；综上所述，AM的长为10cm，7cm，12.5cm．13．解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：14．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2，由勾股定理得，AD＝＝4，∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，BC＝＝6，当BC边上的中线AE等于BC时，AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，解得BC＝8．综上所述，BC的长是6或8．15．解：（1）如图所示：（2）AB＝＝，BC＝＝2，周长为（2+）×2＝6，面积为2×＝10．二．勾股定理的证明16．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．三．勾股数17．解：A＝n（n+6）+2（n﹣8）＝n2+8n+16．∵A＝B2，B＞0，∴B2＝n2+8n+16＝（n+4）2．∴B＝n+4，当2（n+8）＝时，解得：n＝，∴n+4＝，当n（n+6）＝40时，解得：n1＝4，n2＝﹣10（舍去），∴n+4＝8，故答案为：；8．四．勾股定理的逆定理18．解：连接BD，∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，∴EB＝AB＝3，∴，∵，即BD2+BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，故答案为：．19．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，此时∠DAE＝∠FCG，∵CF∥BD，∴∠BAC＝∠FCA，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，设小正方形的边长是1，由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，∴∠CAG＝90°，即△ACG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45°．20．解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、62+82≠（11）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、32+42＝52，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+32≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．21．解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．22．解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），因为DC＝BC＝BA＝5cm，所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．23．解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．24．（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，∴AC＝3．（2）证明：∵在△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．25．解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．五．勾股定理的应用26．解：∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴α°＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，故答案为：50．27．解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝13（cm）．即铁条最长可以是13cm．故答案是：13．28．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝15m，OB＝8m，∴AB＝17（m）．故选：C．29．解：由题意知AB＝CE＝3，BC＝AE＝8，∠BCE＝∠E＝90°，DC∥BG，过点C作CF⊥BG于F，如图所示：∴∠DCF＝90°，设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝6，∴DE＝6，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝3，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF＝90°﹣∠BCD，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴CF＝，故选：B．30．解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，∴h＝BD＝8（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB＝17（cm），所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．故选：C．31．解：设AE＝xkm，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，解得，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．32．解：（1）是，理由如下：由题意可知，△ABC是直角三角形，∵AC＝8m，AB＝DE＝10m，由勾股定理得，BC＝6（m），∵AD＝2m，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（m），∴CE＝8（m），∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（m），∴大树的另一端点也向左滑动了2m；（2）不一定，理由如下：∵AD＝am，∴CD＝AC﹣AD＝（8﹣a）m，解得：a＝2或a＝0（舍去），∴只有当a＝2时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了am，那么大树的另一端点也向左滑动了am．33．解：连接AC．由勾股定理可知：AC＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米2）．34．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC=40∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．35．解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，∴AO⊥BO，∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，∴OB＝20×2＝40（海里），∵AB＝50海里，在Rt△AOB中，AO=30∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里．六．平面展开-最短路径问题36．解：（1）只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15（cm），AD＝20（cm），在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝25（cm）；∴蚂蚁爬行的最短距离是25（cm）．故答案为：25；37．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝12cm，∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理章节训练试题(详解版)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）B．C．D．A2、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能．．用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．3、如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A B C D4、如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（）A．2m B．C．4m D．5、《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺=10寸）A ．12寸B ．13寸C ．24寸D ．26寸6、如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A ，B ，C 的面积依次为2，4，3，则正方形D 的面积为( )A ．9B ．8C ．27D ．457、下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）A ．4，8，7B ．2，2，2C ．2，2，4D ．13，12，58、如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C 为圆心，以CB 为半径画弧，交AB 于点G ；分别以点G 、B 为圆心，以大于12GB 的长为半径画弧，两弧交点K ，作射线CK ；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于N，分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；过点D作DF AB⊥交AB的延长线于点F，若12AC=，5BC=，则CE的长为（）A．13 B．132C．52D．1529、两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm10、如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（）A．BC D第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.2、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则BC的长为_____．3、如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．4、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．5、如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．2、2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假设宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？3、我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？4、勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．5、某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B 是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．(1)求小岛两端A，B的距离．(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求BFBC值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，=∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，90BFD CKDBDF CDKBD CD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC综上所述，AE+BF故选：A ．【考点】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．2、A【解析】【分析】由题意根据图形的面积得出,,a b c 的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案【详解】解：A 、不能利用图形面积证明勾股定理；B 、根据面积得到()2222142c ab a b a b =⨯+-=+； C 、根据面积得到()22142a b ab c +=⨯+，整理得222+=a b c ； D 、根据面积得到22111()2222a b c ab +=+⨯，整理得222+=a b c . 故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出,,a b c 的关系，即可证明勾股定理.3、A【解析】【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，最后设BC 边上的高为h ，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：AC =AB 221310BC ，222(5)+= ，即222AB AC BC += ∴△ABC 是直角三角形，设BC 边上的高为h ，则1122ABCS AB AC h BC =⋅=⋅，∴AB AC h BC ⋅=故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.4、A 【解析】【分析】根据勾股定理，求出FC=DE =x ，在Rt CDE △中，EC 2=22DE CD +，在Rt CFE 中，EC 2=22FE CF -=22DE CD +，代入求解即可．【详解】解：由题意，得∠ECF =∠CDF =∠CDE =90°，CD =4m ，DF =8m ，由勾股定理，得FC=EC 2=22DE CD +，EC 2=22FE CF -，∴22FE CF -=22DE CD +，令DE =x ，则EF =x +8，∴222816x x +-=+（）， 整理，得16x =32，解得x =2．故选：A ．【考点】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．5、D【解析】【分析】连接OA 、OC ，由垂径定理得AC ＝BC ＝12AB ＝5寸，连接OA ，设圆的半径为x 寸，再在Rt △OAC 中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【详解】解：连接OA 、OC ，如图：由题意得：C 为AB 的中点，则O 、C 、D 三点共线，OC ⊥AB ，AB＝5（寸），∴AC＝BC＝12设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故选：D【考点】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．6、A【解析】【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可．【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，∴根据图形得：2+4=x−3．解得：x=9．故选A．【考点】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键．7、D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.【详解】A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122=132，故能构成直角三角形，故选D．【考点】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．8、D【解析】【分析】先证明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，设CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1=∠2=∠3，∵∠CEB +∠3=∠2+∠CDE =90°，∴∠CEB =∠CDE ，∴CD =CE ，在△DBC 和△DBF 中，21BCD BFD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDC ≌△BDF （AAS ），∴CD =DF ，BC =BF =5，∵∠ACB =90°，AC =12，BC =5，∴AB13，设EC =CD =DF =x ，在Rt △ADF 中，则有（12+x ）2=x 2+182，∴x =152， ∴CE =152，【考点】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．9、D【解析】【分析】画出图形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，81080OA =⨯=cm ，61060OB =⨯=cm ，∴在Rt AOB ∆中，100AB ===cm ，故选：D【考点】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，画出图形是解题的关键．10、B【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM 爬行时距离最短；∵正方体盒子棱长为2，M 为BC 的中点，∴23AD MD ==，，∴AM =故选：B ．【考点】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．二、填空题1、25.【解析】【详解】 解：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题.=（尺）．25故答案为：25．2、6【解析】【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】】解：由勾股定理得：AC=∵S △ABC =3×4-12×1×2-12×3×2-12×2×4=4， ∴12AC •BD =4，∴12=4，∴BD【考点】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．4、6【解析】【分析】设AC x =，则16AB x =-,在Rt ACB △中，利用勾股定理列方程，即可求解．【详解】解：如图，由题意知，90C ∠=︒，8BC =，设AC x =，则16AB x =-,在Rt ACB △中，222AB AC BC =+，即222(16)8x x -=+，解得6x =，因此旗杆在离底部6m 位置断裂．故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．5、454【解析】【分析】首先根据勾股定理设DB x =，求出AD 、CD ，再求出AB ，相加即可．【详解】解：∵折叠直角三角形ABC 纸片，使两个锐角顶点A 、C 重合，∴AD DC =，设DB x =，则4AD x =-，故4DC x =-，∵90DBC ∠=︒，∴222DB BC DC +=，即2223(4)x x +=-， 解得78x =，∴78 BD=．则725488 AD CD==-=在Rt ABC中，由勾股定理得222AB BC AC+=∴AC=5∴ADC周长为AD+CD+AB=454．故答案为：454．【考点】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．三、解答题1、AB＝2，CD＝4【解析】【分析】此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.【详解】如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.∵∠B＝90°，∴四边形HBMD 是矩形.∴HD＝BM ，BH ＝MD ，∠ABM＝∠ADC＝90°，又∵∠C＝60°，∴∠ADH＝∠MDC＝30°，∴在Rt△AHD 中，AD ＝1，∠ADH＝30°，则AH ＝12AD ＝12，DH∴MC＝BC －BM ＝BC －DH ＝2∴在Rt△CMD 中，CD ＝2MC ＝4DM CD .∴AB＝BH －AH ＝DM －AH 12＝2 【考点】 本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质.此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形.2、（1）村庄能听到宣传，理由见解析；（2）村庄总共能听到8分钟的宣传．【解析】【分析】（1）直接比较村庄A 到公路MN 的距离和P 广播宣传距离即可；（2）过点A 作AB MN ⊥于点B ，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．【详解】解：（1）村庄能听到宣传，理由：∵村庄A 到公路MN 的距离为600米<1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：过点A 作AB MN ⊥于点B ，假设当宣讲车行驶到P 点开始影响村庄，行驶Q 点结束对村庄的影响，则1000AP AQ ==米，600AB =米，∴800BP BQ ==（米），∴1600PQ =米，∴影响村庄的时间为：16002008÷=（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传．【考点】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．3、速度为30米每秒【解析】【分析】根据勾股定理求得BC 的长度，再根据速度等于路程除以时间即可求得敌方汽车的速度．【详解】400,500,90AB AC B ==∠=︒，300BC ∴，3001030÷=米每秒，答：敌方汽车的速度为30米每秒．【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．4、证明见解析【解析】【分析】连接AC ，根据四边形ABCD 面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC ，∵△ABE ≌△BCD ，∴AB =BC ，AE =BD ，BE =CD ，∠BAE =∠CBD ，∵∠ABE +∠BAE =90°，∴∠ABE +∠CBE =90°，∴∠ABC =90°，∴S 四边形ABCD =2111111222222ABD BDC S S BD AE BD CD AE AE BD BE AE BD BE ∆∆+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅， 又∵S 四边形ABCD =2111111222222ABC ADC S S AB BC CD DE AB AB BE DE AB BE DE ∆∆+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅， 2211112222AE BD BE AB BE DE +⋅=+⋅，∴AB 2=AE 2+BD •BE -BE •DE ，∴AB 2=AE 2+（BD -DE ）•BE ，即AB 2=BE 2+AE 2．【考点】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．5、 (1)33.4海里 (2)725【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD ，再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE ，则AB 可求；（2）设BF ＝x 海里．利用勾股定理先表示出CF 2，在Rt △CFE 中，∠CFE ＝90°，利用勾股定理有CF 2＋EF 2＝CE 2，即222500-(50)6400x x ＋＋＝，解方程即可得解．(1)在△DCE 中，∠CED ＝90°，DE ＝60海里，CE ＝80海里，由勾股定理可得100CD =（海里），∵B 是CD 的中点， ∴1502BE CD ==（海里），∴AB ＝BE －AE ＝50－16.6＝33.4（海里）答：小岛两端A 、B 的距离是33.4海里；(2)设BF ＝x 海里．在Rt △CFB 中，∠CFB ＝90°，∴CF 2＝CB 2－BF 2＝502－x 2＝2500－x 2，在Rt △CFE 中，∠CFE ＝90°，∴CF 2＋EF 2＝CE 2，即222500-(50)6400x x ＋＋＝，解得x ＝14， ∴725BF BC 答：BF BC 值为725． 【考点】本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键．。
北师大数学八年级上《勾股定理》能力提升练习题 (无答案)
北师大八年级数学上《勾股定理》能力卷一、填空题：1、如图(1)，△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕A点逆时针旋转后能与△ACP′重合，若AP=3，则PP′=__________．2、等腰三角形的两边长为 2 和5，则它的面积为_____．3、有一根7 cm木棒，要放在长，宽，高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱中，__________(填“能”或“不能”)放进去．4、直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________．5、△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高AD=3，则BC=__________．6、直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．7、等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．8、若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．9、等腰三角形的两边长为3和4，则底边上的高为__________．10、如图(2)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图（1）图(2)11．若一个三角形的三边长分别为3，4， x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________．二、选择题(3分×10=30分)12．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，5B．1，2，3C．3，4，5 D．6，8，1213．如图(3)，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）图(3) 图(4)A．6 B．6C．5D．414．已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形15．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（）A．4 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm16．如图(4)，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形B ．如果c 2=b 2－a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°C ．如果(c+a)( c －a)=b 2， 则△ABC 是直角三角形D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C=5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形18．如图(5)，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，则AC 等于（ ）图(5) 图(6) 图(7)A ．3B ．4C ．5D ．1319．如图(6)，△ABC 中，AB=AC=10，BD ⊥AC 于D ，CD=2，则BC 等于（ ）A ．210B ．6C ．8D ．520．△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边长为2，斜边上的高为（ ）A ．1B ．3C ．23D ．4321．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的31，斜边长为10 ，它的面积为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．3022、在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ）A ．10B ．410C ．13D ．213 23、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，则它的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形24、一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高， 并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据 （ ）A ．13，10，10B ．13，10，12C ．13，12，12D ．13，10，1125、如图(7)，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD ⊥AB 于D ，AC 边的垂直平分线交AB 于E ，那么AE ∶ED 等于（ ）A ．1∶1B ．1∶2C ．3∶2D ．2∶3三、解答题26、在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB 打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC 的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km ，请根据上述数据，求出隧道BC 的长27、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？28、(8分)如图(10)，△ABC 中，CD ⊥AB 于D(1)图中有__________个直角三角形(2)若AD=12，AC=13则CD=__________．(3)若CD 2=AD ·DB ， 求证：△ABC 是直角三角形． 图(10)29．一块试验田的形状如图所示，已知：∠CAB=90º，AC=3m ，AB=4m ，BD=12m ，DC=13m 。
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北师大八年级数学上《勾股定理》能力卷
一、填空题：
1、如图(1)，△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕A点逆时针旋转后能与△ACP′重合，若AP=3，则PP′=__________．
2、等腰三角形的两边长为 2 和5，则它的面积为_____．
3、有一根7 cm木棒，要放在长，宽，高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱中，__________(填“能”或“不能”)放进去．
4、直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________．
5、△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高AD=3，则BC=__________．
6、直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．
7、等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．
8、若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．
9、等腰三角形的两边长为3和4，则底边上的高为__________．
10、如图(2)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
图（1）图(2)
11．若一个三角形的三边长分别为3，4， x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________．
二、选择题(3分×10=30分)
12．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）
A．1，2，5B．1，2，3
C．3，4，5 D．6，8，12
13．如图(3)，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）
图(3) 图(4)
A．6 B．6C．5D．4
14．已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
15．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（）
A．4 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
16．如图(4)，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形
B ．如果c 2=b 2－a 2，则△AB
C 是直角三角形，且∠C=90°
C ．如果(c+a)( c －a)=b 2， 则△ABC 是直角三角形
D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C=5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形
18．如图(5)，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，则AC 等于（ ）
图(5) 图(6) 图(7)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．13
19．如图(6)，△ABC 中，AB=AC=10，BD ⊥AC 于D ，CD=2，则BC 等于（ ）
A ．210
B ．6
C ．8
D ．5
20．△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边长为2，斜边上的高为（ ）
A ．1
B ．3
C ．23
D ．43
21．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的3
1，斜边长为10 ，它的面积为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．30
22、在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ）
A ．10
B ．410
C ．13
D ．213 23、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，则它的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
24、一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高， 并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据 （ ）
A ．13，10，10
B ．13，10，12
C ．13，12，12
D ．13，10，11
25、如图(7)，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD ⊥AB 于D ，AC 边的垂直平分线交AB 于E ，那么AE ∶ED 等于（ ）
A ．1∶1
B ．1∶2
C ．3∶2
D ．2∶3
三、解答题
26、在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB 打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC 的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km ，请根据上述数据，求出隧道BC 的长
27、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
28、(8分)如图(10)，△ABC 中，CD ⊥AB 于D
(1)图中有__________个直角三角形
(2)若AD=12，AC=13则CD=__________．
(3)若CD 2=AD ·DB ， 求证：△ABC 是直角三角形． 图(10)
29．一块试验田的形状如图所示，已知：∠CAB=90º，AC=3m ，AB=4m ，BD=12m ，DC=13m 。
求这块试验田的面
积。
30、有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺。
请求竹竿高与门高。
A E C D B
31、如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？
32、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm ，BC=10 cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，请你求出CE 的长。
33、如果△ABC 的三边分别为m a 2=，12-=m b ，12+=m c (m ＞1)，求证：△ABC 是直角三角形。
34、如图所示，△ABC 中，AB=15 cm ，AC=24 cm ，∠A=60°，求BC 的长.。