【三维设计】2022届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第九章 概率 Word版含答案

第九章 概 率第一节随机大事的概率对应同学用书P141基础盘查一 随机大事及概率 (一)循纲忆知1．了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性． 2．了解概率的意义及频率与概率的区分． (二)小题查验 1．推断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必定大事( ) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不行能大事( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)不行能大事就是确定不能发生的大事( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．(人教B 版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________． 答案：0.903．(2021·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：依据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：29基础盘查二 大事关系与运算 (一)循纲忆知了解两个互斥大事的概率加法公式：当大事A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (二)小题查验1．推断正误(1)对立大事确定是互斥大事，互斥大事不愿定是对立大事(2)一个人打靶时连续射击出两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是“至多有一次中靶”( ) (3)大事A ，B 为互斥大事，则P (A )＋P (B )<1( )(4)大事A ，B 同时发生的概率确定比A ，B 中恰有一个发生的概率小( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(人教A 版教材例题改编)假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________． 答案：12.3．(2021·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________． 答案：78对应同学用书P141考点一 随机大事的关系(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1．互斥大事若A ∩B 为不行能大事(记作：A ∩B ＝∅)，则称大事A 与大事B 互斥，其含义是：大事A 与大事B 在任何一次试验中不会同时发生．2．对立大事若A ∩B 为不行能大事，而A ∪B 为必定大事，则大事A 与大事B 互为对立大事，其含义是：大事A 与大事B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．[提示] “互斥大事”与“对立大事”的区分：对立大事是互斥大事，是互斥中的特殊状况，但互斥大事不愿定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[题组练透]1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数；(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数；(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述大事中，是对立大事的是()A．(1)B．(2)(4)C．(3) D．(1)(3)解析：选C(3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数依据取到数的奇偶性可认为共有三个大事：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立大事．易知其余都不是对立大事．2．设条件甲：“大事A与大事B是对立大事”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若大事A与大事B是对立大事，则A∪B为必定大事，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，大事A：“至少毁灭一次正面”，大事B：“3次毁灭正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立大事．3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的大事是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，故选A.[类题通法]利用集合方法推断互斥大事与对立大事1．由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则大事互斥．2．大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机大事的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备学问]概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否毁灭，称n次试验中大事A毁灭的次数n A为大事A毁灭的频数，称大事A毁灭的比例f n(A)＝n An为大事A毁灭的频率．(2)对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．[典题例析](2022·陕西高考)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.[类题通法]求解随机大事的概率关键是精确计算基本大事数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图法．[演练冲关]假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图：(1)估量甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估量该产品是甲品牌的概率．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估量概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)依据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529.据此估量已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.考点三 互斥大事与对立大事的概率(重点保分型考点——师生共研) [必备学问]1．互斥大事的概率加法公式假如大事A 与大事B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 2．对立大事概率公式若大事B 与大事A 互为对立大事，则P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．A 的对立大事记为A ，当计算大事A 的概率P (A )比较困难时，可通过P (A )＝1－P (A )计算．[典题例析]依据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示大事：该车主购买甲种保险；B 表示大事：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示大事：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示大事：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3， 又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8. (2)由于D 与C 是对立大事， 所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. [类题通法]求概率的关键是分清所求大事是由哪些大事组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求大事转化成几个彼此互斥的大事的和大事，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较简洁的大事转化为几个互斥大事的和大事时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立大事的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型大事的概率．[演练冲关]现有7名数理化成果优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成果优秀，B 1，B 2的物理成果优秀，C 1，C 2的化学成果优秀，从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解：(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一大事．从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本大事为： (A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本大事：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 因而P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一大事，则其对立大事N 表示“A 1，B 1全被选中”这一大事，由于N ＝{}(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，所以大事N 由两个基本大事组成，所以P (N )＝212＝16， 由对立大事的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.对应A 本课时跟踪检测(五十五)一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥大事，也是对立大事 B ．B ∪C 与D 是互斥大事，也是对立大事 C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥大事，但不是对立大事 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥大事，也是对立大事解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为大事A ，“从中取出2粒都是白子”为大事B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C ，则C ＝A ∪B ，且大事A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.4．从某校高二班级的全部同学中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.依据样本频率分布估量总体分布的原理，在该校高二班级的全部同学中任抽一人，估量该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位同学中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的同学有8人，频率为25，故可估量在该校高二班级的全部同学中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23D.23，12解析：选C “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立大事，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为大事A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥大事的和大事，所以P (A )＝16＋12＝23.或设“甲不输”为大事A ，则A 可看作是“乙胜”的对立大事，所以P (A )＝1－13＝23. 6．若随机大事A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 二、填空题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．解析：法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为大事A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为大事B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为大事D ，由题意知大事A ，B ，C 彼此互斥，而大事D 包含大事A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为大事D ，由题意知C 与D 是对立大事，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.答案：0.98．(2021·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为大事A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本大事个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的大事发生的概率最大．答案：79．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为略微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3510．若A ，B 互为对立大事，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．解析：由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．答案：9 三、解答题11．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本大事是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记大事A 为“取出的两个球都是白球”，则这个大事包含的基本大事是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球都是黑球”为大事B ，同理可得P (B )＝15.记大事C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，依据互斥大事的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记大事D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则大事C ，D 对立，依据对立大事概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.12．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以相互输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能相互输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为大事A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.由于B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为大事B ′∪D ′，依据概率加法公式，得P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为大事A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.其次节古典概型对应同学用书P143基础盘查一 古典概型 (一)循纲忆知1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机大事所包含的基本大事数及大事发生的概率． (二)小题查验 1．推断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观看它是否发芽”属于古典概型，其基本大事是“发芽与不发芽”( )(2)掷一枚硬币两次，毁灭“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能大事( ) (3)在古典概型中，假如大事A 中基本大事构成集合A ，全部的基本大事构成集合I ，则大事A 的概率为card (A )card (I )( )答案：(1)× (2)× (3)√2．(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按确定挨次构成，小明不当心遗忘了密码中4个数字的挨次，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是________．答案：23243．(2021·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，则甲被选中的概率为________． 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2021·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求大事的概率为436＝19.答案：19对应同学用书P144考点一 古典概型(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1．基本大事的特点(1)任何两个基本大事是互斥的．(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和． 2．古典概型 (1)特点：①试验中全部可能毁灭的基本大事只有有限个，即有限性． ②每个基本大事发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本大事的个数基本大事的总数.[提示](1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性； (2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关． [题组练透]1．(2021·浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选C 基本大事为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.2．(2021·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析：选C 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组。