托勒密定理

托勒密定理Last revision on 21 December 2020
托
勒密定理
【定理内容】
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，
则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅. [评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和
等于两对角线
之积的充要条件是四顶点共圆。

【证法欣赏】
证明：如图，过C 作CP 交BD 于P ，使21∠=∠,
∵43∠=∠,∴ACD ∆∽BCP ∆, ∴
BP
AD
BC AC =
，即AD BC BP AC ⋅=⋅ ① 又DCP ACB ∠=∠，65∠=∠，∴ACB ∆∽DCP ∆,
∴
DP
AB
DC AC =
，即DC AB DP AC ⋅=⋅ ② ∴①＋②得：DC AB AD BC DP BP AC ⋅+⋅=+⋅)( 即BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅ 【定理推广】 托勒密定理的推广：
在四边形ABCD 中，有BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅；当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。

[证] 在四边形ABCD 内取点E ，使CAD BAE ∠=∠，ACD ABE ∠=∠
则ABE ∆∽ACD ∆ ∴
AD
AE
CD BE AC AB ==， ∴BE AC CD AB ⋅=⋅； ∵
AD
AE
AC AB =，且EAD BAC ∠=∠ C
D
A
B
E B
C
D
∴ABC ∆∽AED ∆ ∴
AD
ED
AC BC =
，即ED AC BC AD ⋅=⋅； ∴)(ED BE AC BC AD CD AB +⋅=⋅+⋅ ∴BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ 当且仅当E 在BD 上时“=”成立，
即四点共圆时成立；、、、当且仅当D C B A
【定理推广】 托勒密定理的推论：
等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积． 即：若四边形ABCD 是等腰梯形，且BC AD //， 则BC AD AB AC ⋅+=22.
分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。

【定理应用】
【例1】 如图，P 是正ABC ∆外接圆的劣弧BC 上任一点(不与B 、C 重合)，
求证：PC PB PA +=． 证明：由托勒密定理得： ∵CA BC AB == ∴PC PB PA +=.
[注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中
数学一
题多解欣赏》．
【定理应用】
【例2】 证明“勾股定理”：
已知：在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ， 求证：222BC AB AC +=。

证明：如图，以ABC Rt ∆的斜边AC 为对角
B
C
线作矩形ABCD ，则ABCD 是圆内接四边形． 由托勒密定理，得
BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ ① ∵ABCD 是矩形，
∴CD AB =，BC AD =，BD AC = ② 把②代人①，得：222BC AB AC +=．
【定理应用】
【例3】 如图，在ABC ∆中，A ∠的平分线交外接圆于D ，连结BD ，
求证：)(AC AB BD BC AD +=⋅． 证明：连结CD ，由托勒密定理，得
BD AC CD AB BC AD ⋅+⋅=⋅． ∵CAD BAD ∠=∠，∴CD BD =． 故)(AC AB BD BC AD +=⋅．
【定理应用】
【例4】 若a 、b 、x 、y 是实数，且122=+b a ，122=+y x ．
求证：1≤+by ax ．
证明：如图，作直径1=AB 的圆，在AB 两侧任作ACB Rt ∆和ADB Rt ∆， 使a AC =，b BC =，x BD =，y AD =． 由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的． 据托勒密定理，有CD AB BC AD BD AC ⋅=⋅+⋅． ∵1=≤AB CD ，
∴1≤⋅=⋅+⋅CD AB BC AD BD AC ，即1≤+by ax ．
【定理应用】
【例5】 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且)(2c b b a +=，
求证：B A ∠=∠2．
证明：∵)(2c b b a +=，∴c b b b a a ⋅+⋅=⋅， 由托勒密定理，构造圆内接四边形。

如图 ，作ABC ∆的外接圆，以A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于D ，连结
BD 、CD 、AD ．
∵BC AD =，∴BAC ABD ∠=∠，则21∠=∠， ∴b AC BD ==
由托勒密定理得：AC BD CD AB AD BC ⋅+⋅=⋅ 即b b DC c a a ⋅+⋅=⋅①
又∵)(2c b b a +=，∴c b b b a a ⋅+⋅=⋅， ② 比较①②得b BD CD ==，则213∠=∠=∠， ∴ABC BAC ∠=∠2
【定理应用】
【例6】 在ABC ∆中，已知4:2:1::=∠∠∠C B A ，求证：
BC
AC AB 1
11=
+. 证明：如图，作ABC ∆的外接圆，作弦BC BD =，连结AD 、CD ． ∵4:2:1::=∠∠∠C B A ，
∴CDA CBA CAD ∠=∠=∠，CAB ADB ABD ∠=∠=∠3 ∴AD AB =，AC CD =，
在圆内接四边形ADBC 中，由托勒密定理，得： ∴AC AB AB BC BC AC ⋅=⋅+⋅， 则
BC
AC AB 1
11=
+. 【定理应用】
【例7】 由ABC ∆外接圆的弧BC 上一点P 分别向边BC 、AC 与AB 作垂线PK 、PL 和
PN ，求证：
PM
AB
PL AC PK BC +=. 证：连接PA 、PB 、PC ，
四边形ABPC ，由托勒密定理得： 即
PM CP PM
AB
PL BP PL AC PK AP PK BC ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ①
∵LAP KBP ∠=∠， ∴KBP Rt ∆∽LAP Rt ∆ ∴
PA
PB
PL PK =
，∴PL BP PK AP ⋅=⋅② 同理可得PM CP PL BP ⋅=⋅③ ②③代人①得：PM
AB
PL AC PK BC +
=. 【练习】
[1] 已知ABC ∆中，C B ∠=∠2。

求证：)(2BC AB AB AC +=. [2] 已知正七边形721A A A 。

求证：
4
131211
11A A A A A A +=. （第21届全苏数学竞赛）
[提示]1. 过A 作BC 的平行线交△ABC 的外接圆于D ，连结BD 。

则CD=DA=AB ，AC=BD 。

由托勒密定理，AC ·BD=AD ·BC+CD ·AB 。

2．。