各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
四个重要定理(梅涅劳斯,塞瓦,托勒密,西姆松)
四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4． 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
各种圆定理总结
各种圆定理总结各种圆定理总结圆定理，是指在圆内、圆外、圆周、圆弧、切线等圆的各个部分之间成立的一系列定理。
这些定理在几何中有广泛的应用，在解决一些复杂问题的时候也是十分常用的。
下面将会对一些重要的圆定理进行总结。
1. 垂直平分线定理在一个平面内，若过一点P作圆的两条切线，两条切线相交于点A，则AP为该点P到圆心的一条垂直平分线。
证明：如图1所示，过点P作两条切线AC、BD于圆心O处相交于点A。
连线PO，则有：∠APO = 1/2∠ACO =1/2∠BDO，但∠APO = ∠BPO（PA、PB是切线），所以∠BPO = 1/2∠BDO，由此可得PO⊥AB，即AP为AB的垂直平分线。
2. 弦长定理在圆上，从同一点出发的两条弦所夹角的大小相等，则它们所夹的弧所对应的弦的长度相等。
证明：如图2所示，从同一点A出发，过B、C作圆的两条弦，∠BAC = ∠BCA。
过AB的中点M作交于圆上的一条垂线，过AC的中点N作交于圆上的一条垂线。
由于BM = MA、CN = NA，∠AMB = ∠CNA，知∆AMB ≌ ∆CNA，从而MB = NC。
因此，AB = 2MB，AC = 2NC，即AB = AC。
3. 切割定理若有一条割线切圆于点A，圆心为O，割线与圆心的连线交割线于点B，则AO是AB的中线。
证明：如图3所示，AX为圆抛物线，圆心是O，AP为圆的半径，AP⊥OX。
设BO = x，则AB = 2x，PB = x，OP = r。
则有AP^2=AO^2-OP^2=(2x)^2-r^2，又有BP^2=AB^2-AP^2，代入AB=2x、AP=x，可得BP=x。
根据勾股定理，得到OP^2+BP^2=r^2+x^2，代入OP=r、BP=x，可得AO^2=4x^2。
所以AO=2x=AB/2，即AO是AB的中线。
4. 余切定理圆的半径r和圆周上一条弦所夹角的余切值相等，则弦的长度等于半径的两倍乘以余切值的倒数。
证明：如图4所示，有一条弦AB，圆心为O，角AOB = θ，半径为r。
几何中的著名定理大全
1． Steiner-lehmus 定理：设三角形的两个角的平分线相等，则这两个角的对边必相等。
2． Euler 公式： ⊿ABC 的外接圆半径和内切圆半径分别为R 和r ，则⊿ABC 的外心O 与内心I 的距离为)2(r R R d -=.3．Euler 定理：设⊿ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，则O,H,G 在一条直线上，外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
4． 九点圆（Euler 圆Feuerbach 圆）定理：在⊿ABC 中，三边的中点，从三顶点向三边做垂线所得垂足，三个顶点与垂心连线的中点，这九个点共圆。
4.已知非等腰锐角三角形ABC 的外心、内心和垂心分别是O 、I 、H ，060=∠A ，若三角形ABC 的三条高线分别是AD 、BE 、CF ，则三角形OIH 的外接圆半径与三角形DEF 的外接圆半径之比为 .5． Euler 定理2：四边形ABCD 两对角线AC,BD 的中点分别是M,N,则22222224MN BD AC DA CD BC AB ++=+++6.Carnot 定理：设G 为⊿ABC 的重心，P 为⊿ABC 所在平面上任意一点，则)(313322222222222c b a PG PG GC GB GA PC PB PA +++=+++=++，其中后一等式为Leibnitz 公式。
6． 张角公式：已知⊿ABC 之BC 边上一点D ，设∠BAD=α，∠DAC=β，则. AB AC AD βαβαsin sin )sin(+=+7． Newton 定理：设⊙O 的外切四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点分别为E,F,则E,O,F 共线。
8． Newton 线定理：任意四边形的两条对角线的中点，两组对边延长线交点所构成的线段的中点，这三点在一条直线上。
10．Ptolemy 定理：圆内接四边形ABCD 的两组对边乘积的和等于他对角线的乘积。
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅11.Morley 定理：⊿ABC 的各角的三等分线交点做成⊿DEF,则⊿DEF 是正三角形.12.Stewart 定理：⊿ABC 的边BC 上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t,则uv a v c u b t -+=222. 13.Ceva 定理：在⊿ABC 内任取一点P,直线AP,BP,CP 分别与边BC,CA,AB 相交于D,E,F,则1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD ,其中点P 称为⊿ABC 的西瓦点. Ceva -1定理：在⊿ABC 的边BC,CA,AB 上分别取点D,E,F,如果 1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD ,那么直线AD,BE,CF 相交于一点. 14.Menelaus 定理：一直线与⊿ABC 的三边BC,CA,AB 或延长线分别交于X,Y ,Z,则1=⋅⋅YACY XC BX ZB AZ ,其中直线XYZ 称为⊿ABC 的Menelaus 线. Menelaus -1定理：X,Y,Z 分别是⊿ABC 的三边BC,CA,AB 上或其延长线上的三点,如果1=⋅⋅YA CY XC BX ZB AZ ,那么X,Y,Z 三点共线. 15.Desargues 定理：在⊿ABC 和⊿A ’B ’C ’中若AA ’,BB ’,CC ’相交于一点S,则BC 与B ’C ’,CA 与C ’A ’,AB 与A ’B ’的交点D,E,F 三点共线.16.Pascal 定理：设圆内接六边形ABCDEF 的对边的延长线相交于三点X,Y ,Z,则这三点在一条直线上.17.Pappus 定理：有相异两直线l,m,若在l 上依次有A,E,C 三点,在m 上依次有D,B,F 三点,且AB 和DE 的交点为P;BC 和EF 的交点为Q;CD 和FA 的交点为R,则P,Q,R 三点共线.18.Simson 定理：从一点向三角形的各边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.此直线称为此点关于三角形的.Simson 线.19.清宫定理：设P,Q,为三角形ABC 外接圆上异于A,B,C 的两点,P 点关于三边BC,CA,AB 的对称点分别为U,V ,W,若QU,QV ,QW 和边BC,CA,AB 或其延长线的交点分别为D,E,F,则D,E,F 三点在同一直线上.20.欧拉Euler 关于垂足三角形的面积公式:P 是⊿ABC 所在平面上任意一点,过P 向⊿ABC 的三边做垂线,垂足分别是A 1,B 1,C 1,若OP=d,则ABC C B A S R d R S 2221114-=,其中O 是⊿ABC 的外心,R 为其半径.21.Opiel 奥倍儿定理：通过三角形ABC 的顶点A,B,C 引三条互相平行的直线,设他们和三角形ABC 的外接圆的交点分别为A1,B1,C1,在三角形ABC 的外接圆周上取一点P,设PA1,PB1,PC1与三角形的三边BC,CA,AB 或其延长线的交点分别为D,E,F,则D,E,F22.Steiner （斯坦纳）定理：设三角形A 1C为P,则P关于三角形ABC的西姆松线通过线段PH中点.23 Steiner（斯坦纳）定理2：若P为三角形ABC内任意一点,作PD垂直于BC,交BC于D,PE垂直于CA,交CA于E,PF垂直于AB,交AB于F,则AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF2.24.Weitzenbock外森皮克不等式：⊿ABC的三边分别为a,b,c,面积为S,则22c24.b+≥S3a+25.Finsler-Hadwiger定理：⊿ABC的三边分别为a,b,c,面积为S,则22)22224--a---+≥S3+b-)(ac)(c(abbc26.Monge(蒙日)定理：三个圆每两个的根轴或平行或交于一点。
竞赛常用定理--数学
几何篇梅涅劳斯定理：当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AC、A于点D、E、F时，（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1以及逆定理：在三角形ABC三边所在直线上有三点D、E、F，且（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，那么D、E、F三点共线。
角元形式梅捏劳斯定理：（sin∠BAD/sin∠DAC）×(sin∠ACF/sin∠FCB)×(sin∠CBE/sin∠EBA)=1塞瓦定理：指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
角元塞瓦定理：AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
”正弦定理：在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。
则有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理：，在△ABC中，余弦定理可表示为：c²=a²+b²-2ab cosCa²=b²+c²-2bc cosAb²=a²+c²-2ac cosB托勒密定理：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。
用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系, ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。
四个重要定理(梅涅劳斯_塞瓦_托勒密_西姆松)
B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF 2ED AE =。
【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1FACFEA BE =+。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MDAG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。
求S △【分析】【评注】梅氏定理4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、△ABG 。
求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
各种圆定理总结
费尔巴赫定理费尔巴赫定理三角形的与内切圆内切，而与旁切圆外切。
此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。
费尔巴赫定理的证明在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A 所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c.易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2;AH=2R*cosA,AO=R,A I=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)]在△AHI中，由余弦定理可求得:HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;在△AHO中，由余弦定理可求得:HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;在△AIO中，由余弦定理可求得:OI^2=R(R-2r).∵九点圆心在线段HO的中点,∴在△HIO中，由中线公式可求得.4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R-2r)^2故IQ=(R-2r)/2.又△ABC的九点圆半径为R/2,所以九点圆与内切圆的圆心距为d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.因此三角形的九点圆与内切圆内切。
在△AHIa中，由余弦定理可求得:IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;在△AOIa中，由余弦定理可求得:IaO^2=R(R+2ra).在△HIaO中，由中线公式可求得.4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra) ^2故IaQ=(R+2ra)/2.九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。
四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)
B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF2ED AE =。
【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1FACFEA BE =+。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MD AG )DC DB (GM ⋅+⋅=MDGM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN。
求S △LMN 。
【分析】【评注】梅氏定理BD4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
与圆有关的20个定理
与圆有关的20个定理圆是几何学中非常重要的一个图形，其形状和性质在数学和实际生活中有广泛的应用。
以下是与圆有关的20个定理的集合，包括圆的基本性质、圆与其他几何图形的关系和圆上的特殊点和线。
1. 定理1：周长公式圆的周长公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，大约为3.14。
这个公式可以使用圆的直径d而不是半径r来表达：C = πd。
2. 定理2：面积公式圆的面积公式是A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
与周长公式一样，也可以使用圆的直径来表达圆的面积：A = (π/4)d²。
3. 定理3：圆周的弧度弧度是一种测量角度的单位，它是定义为一个圆弧所对应的圆心角的度数除以360度的比例。
例如，如果一个圆弧所对应的圆心角是90度，则该圆弧的弧度是1/4。
4. 定理4：内切圆内切圆是一个圆，恰好与给定的多边形的内部相切，且每个边都是它的切线。
内切圆的半径称为内切圆半径，且由公式r = A/P得出，其中A是多边形的面积，P是多边形的周长。
5. 定理5：外接圆外接圆是一个圆，它恰好与给定的多边形的每个顶点相切。
外接圆的半径称为外接圆半径且可以由a²+b²=c²公式或者P=2πr公式来计算。
6. 定理6：圆柱体的侧面积一个圆柱体的侧面积是由公式A=2πrh得出的，其中r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高。
7. 定理7：球的表面积球的表面积是由公式A=4πr²得出的，其中r是球的半径。
8. 定理8：圆锥的侧面积一个圆锥的侧面积是由公式A=πrl得出的，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的斜线长度。
9. 定理9：勾股定理勾股定理是一个直角三角形的定理，它表明a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
10. 定理10：圆的切线对于给定的一个圆，一个切线是从圆外的一点切到圆上的一点。
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托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.定理的提出一般几何教科书中的托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
)在任意四边形ABCD 中，作△ ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD因为△ ABE ACD所以BE/CD=AB/AC, 即BE-AC=AB CD (1)而/ BAC= / DAE ,，/ ACB= / ADE所以△ ABC AED 相似.BC/ED=AC/AD 即ED- AC=BC AD (2)⑴+⑵，得AC(BE+ED)=AB CD+AD BC又因为BE+EI> BD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”)所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a -b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在AB上，/ ADB = / ACB。
在AC 上取一点K，使得/ ABK = / CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD，所以/ CBK = / ABD。
因此△ ABK 与厶DBC 相似，同理也有△ ABD ~ △ KBC 。
因此 AK/AB = CD/BD ，且 CK/BC = DA/BD ;因此 AK- BD = A BCD ，且 CK- BD =BC- DA ; 两式相加，得 (AK+CK) - BD = AB-CD + BC- DA ; 但 AK+ CK = AC ，因此 AC - BD = AB-CD + BC- DA 。
证毕。
三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积 )等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 )•已知：圆内接四边形 ABCD ，求证： AC- BD = AB- CD + AD- BC •证明：如图 1 ,过 C 作 CP 交 BD 于 P ,使/ 1= / 2 ,又/ 3= / 4 ,•••△ ACD BCP .得 AC : BC=AD : BP ,AC - BP=AD BC ①。
又/ ACB= / DCP , / 5= / 6 , •△ ACB DCP .得 AC : CD=AB : DP , AC ・DP=AB ・ CD ②。
① + ②得 AC(BP + DP)=AB ・ CD + AD- BC .即 AC- B D=AB- CD + AD - BC .推论1. 任意凸四边形 ABCD ，必有 AC- BDC AB- CD+AD BC ，当且仅当 ABCD 四点共圆时取 等号。
2. 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当 共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式： (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) ，两边取模,得不等式 AC- BDC |(a -b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB 注意:1.等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 价。
2. 四点不限于同一平面。
欧拉定理：在一条线段上AD 上，顺次标有 B 、C 两点，贝U AD- BC+AB CD=AC BDC D+BC ADA 、B 、C 、D 四点共圆等塞瓦定理简介塞瓦(Giovanni Ceva , 1648〜1734 )意大利水利工程师，数学家。
塞瓦定理载于塞瓦于678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
具体内容•/ BD/DC=S △ ABD/S △ ACD=S △ BOD/S △ COD=(S △ ABD-S △ BOD)/(S △ ACD-S D)=S△ AOB/S △ AOC ③同理 CE/EA=S △ BOC/ S △ AOB ④ AF/FB=S △ AOC/S △ BOC ⑤ ③X ④ X ⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点 ：设三边AB 、BC 、AC 的垂足分别为 D 、E 、F , 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA ) /[(CD*ctgB )*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高 CD 、AE 、BF 交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理 ；三角形三条中线交于一点(重心)：如图5 D , E 分别为BC , AC 中点 所以BD=DCAE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1且因为AF=BF 所以AF/FB 必等于1所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点塞瓦定理在厶ABC 内任取一点 0 ,直线AO 、BO 、CO 分别交对边于 证法简介(I)本题可利用梅涅劳斯定理证明：•••△ ADC 被直线BOE 所截，••• (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由△ ABD 被直线COF 所截 ②乜:即得：(D)D 、E 、F ，贝U (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1①(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1也可以利用面积关系证明△ CO]*[(AE此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：在厶ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是入=BL/L C、卩=CM/MA、v =AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是入yv。
1 (注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是入yv-1)塞瓦定理推论1. 设E是厶ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，贝U (BD/BC)*(CE/ AE)*(GA/DG)=1因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1 ,(塞瓦定理)所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K ( K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12. 塞瓦定理角元形式AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是：(sin / BAD/sin / DAC)*(sin / ACF/sin / FCB)*(sin / CBE/sin / EBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证3. 如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F ，直线AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
4. 还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F ,根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA ) /[(CD*ctgB ) ]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1 ，所以三条高CD、AE、BF父于一点。
梅涅劳斯定理图5梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯(Menelaus )定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB) X(BD/DC)X (C E/EA)=1 。
或：设X、Y、Z分别在△ ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=证明一：过点A作AG // BC交DF的延长线于G,贝U AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 。
三式相乘得：(AF/FB) X (BD/DC)X (CE/EA)=(AG/BD)X (BD/DC)X (DC/AG)=1证明二：过点C 作CP // DF 交AB 于P，贝U BD/DC=FB/PF , CE/EA=PF/AF所以有AF/FB X BD/DC X CE/EA=AF/F X FB/PF X PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB) X (BD/DC)X (CE/EA)=1 ，贝U F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC',所以AD : DB=AA' : BB' , BE : EC=BB' : CC' , CF : FA=CC' : AA'所以(AF/FB) X (BD/DC)X (CE/EA)=1证明四: 连接BF 。
(AD : DB ) (BE : EC ) • ( CF:FA) =(S △ ADF : S △ BDF ) • ( S △ BEF : S △ CEF ) S △ BAF )=(S △ ADF : S △ BDF ) - ( S △ BDF : S △ CDF )-(S △ CDF : S △ ADF ) =1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆: 在厶ABC 的三边 BC 、CA 、 AB 或其延长线上分别取 又分比是 入=BL/LC 、3 =CM/MA 、v 第一角元形式的梅涅劳斯定理=AN/NB 。
于是 L 、M 、N 三点共线的充要条件是 入uv 如图：若 E , F , （sin / ACF/sin / FCB ）（sin / 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 BAD/sin / DAC)(sin / CBA/sin / ABE)=1 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 in / COA/sin / AOE)=1 O ，且 EDF 共线，则（sin / AOF/sin / FOB ）（sin / 。