3.3.3 常用的正交多项式
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用【范本模板】
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族.正交多项式是数学研究领域热点之一.许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫(Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory，such as proof of the conjecture of Bieberbach，data fitting，mathematical physics，theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials。
3.3正交多项式
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
数值分析-正交多项式
代入 x cos , 即得递推关系式.
(2) 正交性
0, m n,
11
1
1
x
2Tm
(
x)Tn
(
x
)dx
/
2, ,
m n 0, m n 0.
(2.12)
(3) 奇偶性 Tn( x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
f
(n1) (x) ||
对 于 一 般 区 间 [a,b] 上 的 插 值 ， 只 要 利 用 变 换
x 1 [(b a)t a b]即可得到相应结果，此时插值节点为 2
xk
ba 2
cos 2k 1
2(n 1)
a
b, 2
k 0,1, n
例：求 f (x) ex在[0,1]上的四次拉格朗日插值多项式L4 (x)，
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
xk
cos 2k 1 ,
2n
k 1,2, n
和n 1个极值点(包括端点)
xk
cos
k
2n
,
k 0,1,2, n
这两组点称为切比雪夫点，它们在插值中有重要作用.
利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化. 下面设插值点 x0 , x1, xn [1,1], f Cn1[1,1]，L(x)为相应的 n 次拉格朗日多项式.
数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式
多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1,
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
研究生数值分析(19)正交多项式
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
{k (x), k 0,1,}
其中 k (x) 是最高次项系数为1的k次多项式。
正交化方法如下：
0 (x) 1
k1(x) xk1
k
akj j (x),
j0
k 0,1,
其中
akj
(xk1, j ) ( j , j )
,
j 0,1,, k
(x)i
(x)
j
(x)dx
0, ai
0,
i j i j
则称 {i (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交函数系。 特别地，若 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数 不为零的k次多项式，则称 {k (x)} 是[a，b]上带 权ρ(x)的正交多项式系。
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
证明必要性
k 1,2,
任何次数不高于k-1的多项式 q (x) （k≥1）
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Tn在区间[-1, 1]上有
个不同os , 2n
k 1, 2,..., n
2、Legendre(勒让德)多项式 (1)定义
多项式
1 dn p n ( x) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx
称为n 次勒让德多项式。
3.3.3 常用的正交多项式
1、第一类切比雪夫多项式
(1)定义
Tn cos n arccos x , x 1
(2)性质
正交性：
切比雪夫多项式序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x
2
的正交多项式序列。
且
(Tm ( x), Tn ( x))
(n 1, 2, )
n
( x) e
x2
的正交多项式序列。
e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
(n 1, 2,
)
(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式
定义： 称多项式
n d Ln ( x) e x n ( x n e x ), (0 x ) dx (n 0, 1, 2, )
为拉盖尔多项式。
拉盖尔多项式的性质： ① 是在区间[0, +∞]上带权 Ln x 的正交多项式序列。 x e x
(n 0, 1, 2, )
(2)性质
正交性 勒让德多项式序列 的正交多项式序列。即
P[-1, x1] 上带权 是
n
x 1
0 mn 1 ( Pm ( x), Pn ( x)) Pm ( x) Pn ( x)dx 2 1 mn 2n 1
P 当n为奇数时， n x 为奇函数。
在区间[-1, 1]内部存在n个互异的实零点。 P n x 的最高次项系数为 P n x
(2n)! 2n (n !) 2
(5) 在所有首项系数为1的 n 次多项式中， 勒让德
多项式 Pn 在 1,1 x 上与零的平方误差最小。
P , P P , P
k k n n
当且仅当 即当
a0 a1 ... an1 0
时等号才成立，
Qn 时平方误差最小。 x P n x
3、其他常用的正交多项式
(1) 第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式 定义： 称
U n ( x)
sin[(n 1) arccos x] 1 x
2
(n 0, 1, 2,
)
为第二类切比雪夫多项式。
第二类切比雪夫多项式的性质： ①
U
n
x是区间[-1, 1]上带权
( x) 1 x
2
的正交多项式序列。
② 相邻的三项具有递推关系式：
U 0 ( x) 1, U1 ( x) 2 x, U n 1 ( x) 2 xU n ( x) U n 1 ( x)
1
1
0, 1 T ( x)Tn ( x)dx , 2 m 1 x 2 ,
mn mn0 mn0
递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：
T0 x 1, T1 x x n 1, 2,... Tn 1 x 2 x Tn x Tn 1 x
0
m n, 0, e Lm ( x) Ln ( x)dx 2 ( n ! ) , m n。
x
② 相邻的三项具有递推关系式：
L0 ( x) 1, L1 ( x) 1 x, 2 L ( x ) ( 1 2 n x ) L ( x ) n Ln 1 ( x), (n 1, 2,) n n 1
(3) 埃尔米特(Hermite)多项式 定义： 称多项式
n d n x x2 H n ( x) (1) e n (e ), x (, ) dx (n 0, 1, 2, )
2
为埃尔米特多项式。
埃尔米特多项式的性质：
①
x (-, +)上带权 H 是区间
证明： 设 是任意一个最高项系数为 1的 Q n x 次多项式，
n 1
n
于是
它可表示为
Qn x Pn x ak Pk x ,
k 0
Qn , Qn 1 Q x dx Pn , Pn a
1 2 n k 0
n 1
2 k
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：
P0 ( x) 1, P1 ( x) x, 2n 1 n Pn 1 ( x) xPn ( x) Pn 1 ( x) n 1 n 1
(n 1, 2, )
奇偶性：
当n为偶数时， 为偶函数； P n x