正交曲线坐标系的场论公式及其他性质
演示文稿章正交曲线坐标系ppt讲解
q1
eˆ1
1 H2
q2
eˆ 2
1 H3
q3
eˆ 3
证毕
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曲线坐标系下的梯度、散度和旋度
A P(q1, q2 , q3 )eˆ1 Q(q1, q2 , q3)eˆ2 R(q1, q2 , q3)eˆ3
A
1 H1H 2 H 3
(
PH 2 H q1
3
)
(QH 3 H1 ) q2
j
z qi
k
方向余弦： i
1 Hi
x qi
i
1 Hi
y qi
i
1 Hi
z qi
，
基矢量的相 互表示：
i 1 eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3
，
j 1 eˆ1 2 eˆ 2 3 eˆ3
k 1 eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3
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弧微分计算公式
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
y
dy q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3 i1 qi dqi qi dqi (i 1, 2, 3)
z
z
z
3 z
z
dz q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3 i1 qi dqi qi dqi (i 1, 2, 3)
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(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
(q2 q3 ) q3 ( q2 ) q2 ( q3) 0
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(PH
2H3
)
(q2
q3
)
( PH 2 H 3 q1
)
q1
( PH 2 H 3 q2
)
q2
( PH 2 H 3 q3来自)q3(q2
几种常见的正交曲线坐标系
2.3、曲线坐标1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。
坐标的定义：如果以某种方式使空间的每一个点对应一组有序数()321,,q q q ，而每一组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。
如果有两组坐标()321,,q q q 和()321,,p p p ，这两组坐标由于与空间的点一一对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即()321,,q q q p p i i =；()321,,p p p q q i i =。
=i q 常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。
这就构成了三族曲面，这三族曲面称为坐标曲面。
对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。
曲面=2q 常数和=3q 常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有1q 可以变化，也称之为坐标曲线1q ，或1q 曲线。
如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐标。
如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。
一般用()z y x ,,来表示。
如果用321,,e e e表示321,,q q q 曲线在某一点的切向单位矢量，并指向321,,q q q 增加的方向，习惯上让它们构成右手系。
这样的321,,e e e称为坐标的基矢量。
一般地讲，i e的方向是随空间位置的变化而变化的。
在直角坐标中坐标基矢量的方向是不随空间位置变化的，习惯上用k j i,,表示。
因此在直角坐标中矢径可以表示为：k z j y i x r++=。
作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。
2）.正交曲线坐标系中对弧的微分 考虑一个微元矢径123112233123i i i ir r r r dr dq dq dq dq ds e ds e ds e ds e q q q q ∂∂∂∂=++==++=∂∂∂∂ 因此，由坐标曲线及基矢量的定义可知i q r ∂ 与i e平行，设ii q rH ∂∂=则()i ie H q r=∂∂i H 称为拉梅系数，一般地讲，拉梅系数i H 是空间的函数。
正交曲线坐标系
正交曲线坐标系
正交曲线坐标系是一种常用的坐标系，用于描述三维空间中的物
理现象。
在这种坐标系下，坐标轴不再是直线，而是相互交叉的曲线，因此被称为“曲线坐标系”。
正交曲线坐标系通过一组曲线来定义坐标轴，通常是三条互相垂
直的曲线。
这些曲线可以是任意形状的曲线，但是它们必须满足两个
条件：
1.每一组坐标点必须唯一地对应于唯一的位置。
2.在每个坐标点上，这些曲线必须相互垂直。
在三维正交曲线坐标系中，一个点的位置可以用一组数字来表示，这些数字对应于每个轴上与该点相交的曲线的参数值。
例如，在三维
笛卡尔坐标系中，点的位置表示为(x,y,z)，而在三维正交曲线坐标系中，点的位置可能表示为(r,θ,φ)，其中r,θ,和φ是三个互相垂直的曲线的参数值。
正交曲线坐标系可以用于描述许多物理现象，包括电磁场、热力学、量子力学和流体力学等。
例如，在量子力学中，原子轨道可以用
正交曲线坐标系来描述，这些轨道在三维空间中表示为曲线表面。
在
流体力学中，正交曲线坐标系可以用来描述某些复杂的液体流动模式。
正交曲线坐标系也有一些应用限制。
由于曲线定义了坐标轴的形状，因此计算难度较高，而且它们通常只能适用于特定的物理问题。
此外，正交曲线坐标系的变换公式很难推导和应用，因此需要更高的
数学技能和计算机辅助工具才能进行计算和分析。
总之，正交曲线坐标系是一种常用的坐标系，可以用于描述三维
空间中的物理现象，并且在某些情况下可以提供更简单的分析方法，
但由于其特殊性质和较高的计算难度，使用时需要谨慎考虑。
三种常用的正交坐标系程
张量分析
z
1、直角坐标系 坐标变量
z z0 （平面）
ez
x, y, z
o
坐标单位矢量 ex , e y , ez
位置矢量 线元矢量
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
r ex x e y y ez z
dl ex dx ey dy ez dz
o
x
dx d y dSx exdydz
y
体积元
南京工业大学
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
张量分析 2、圆柱面坐标系
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez r e ez z 位置矢量 线元矢量 dl e d e d ez dz
x1 x 2 x 3 g1 1 i 1 j 1 k x x x x1 x 2 x 3 g2 2 i 2 j 2 k x x x x1 x 2 x 3 g3 3 i 3 j 3 k x x x
3
1
x3' g3 g2 O
1 v1 v v 2 r 2 v 2 0 r sin 2 v 3 r sin 2 v 3
面元矢量
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
体积元
南京工业大学
dV dddz
张量分析 3、球面坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 er , e , e
第十五章 正交曲面坐标系
d (a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) √ √ 1 ∂ det G 1 ∂ det G = √ a1 + √ a2 1 2 ∂x g ∂x g22 11 det G det G √ 1 det G ∂ √ + a3 . 3 ∂x g33 det G
∗ ∗
正交曲线坐标系中的Laplace算符 分形式．
§15.1 正交曲面坐标系
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§15.1 正交曲面坐标系
作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x1 , x2 , x3 }， x1 = ξ (x, y, z ), 它的坐标面是三组曲面 x1 = 常数, x2 = 常数, x3 = 常数. x2 = η (x, y, z ), x3 = ζ (x, y, z ),
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
“∗ ”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 √ det G I gii ∗ i dx = dx , ∗ dxI = √ dxi , gii det G
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其中(i, I )构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4
k=1,2,3 k=1,2,3
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aki akj = δij .
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
∗ ∗
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂θ2 ∂z 2
r2 ∂ ∂θ
∂u ∂r sin θ r2
sin θdr ∧ dθ ∧ dφ ∂u ∂θ + dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 ∂ sin θ ∂θ 1 ∂2u dφ ∧ dr ∧ dθ, sin θ ∂φ2 ∂u ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2u . ∂φ2
1.6 正交曲线坐标系
微分体积元为
dV d l i ( d l j d l k ) hi h j h k du i du j du k
6
2．常用的正交曲线坐标系
常用的正交曲线坐标系除了直角坐标系外，还有柱坐标系和 球坐标系。 z （1）柱坐标系 在此坐标系中P点的位置是由ρ =常数 ρ 的圆柱面、φ =常数的平面和z=常数的平 P(ρ ,φ ,z) 面三者的交点来确定的。这时， z
2
d l e u 1 dl 1 e u 2 dl 2 e u 3 dl 3
或者
dl
d l e u 1 ( h1 du 1 ) e u 2 ( h 2 du 2 ) e u 3 ( h3 du 3 )
dl [( dl 1 ) ( dl 2 ) ( d标系中的梯度、散度和旋度
1．一般正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度
（1）梯度
v v v e u1 eu 2 eu3 l1 l2 l3
dl 1 h 1du 1
1
dl
2
du h2
2
dl
3
h du 3
3
1 1 e u1 e u2 e u3 h1 u 1 h2 u 2 h3 u 3
Ar A A sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos A x sin A y 0 Az
dV d d dz
这里
h1 1, h 2 , h3 1
柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x cos y sin z z
第九章正交曲面坐标系
d 2Z + λZ = 0
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
∇2v + k2v = 0
1 ∂ ∂v 1 ∂2v ∂2v 2 r + 2 2 + 2 + k v = 0 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
dz
2
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
柱函数
9.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量
球坐标系下，亥姆霍兹方程 ∇2v + k2v = 0 的具体形式为：
1 ∂ 2 ∂v 1 1 ∂ ∂v ∂2v + k2v = 0 r + 2 sinθ + 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r sinθ ∂θ
cos2π λ −1 A、B有非零解 ⇔ =0 cos2π λ −1 − sin2π λ sin2π λ
λm = m2, m = 1,2,3⋯
相应的A、B为任意值
本征函数 Φm1(φ) = sinmφ, Φm2(φ) = cosmφ
流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标
长的发展过程。史前人类就有解决某些流体流动问题的丰富知识，如 船舶制造和灌溉系统建设。公元前三世纪Archimedes(285-212 B.C.) 提出了浮力定律并将其应用于漂浮和浸没于液体中的物体，这实际上 是流体力学微分算法的雏形。
前言
本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程 教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。 本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问 题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工 作提供必需的较为坚实的流体力学基础知识，同时也兼顾到工程 技术人员和科技工作者的需要。
十九世纪末，实验的水力学和理论的流体动力学开始结合。William Froude（1810-1879）和他的儿子Robert Froude（1846-1924）建立了模 型 试 验 定 律 ， Rayleigh （ 1842-1919 ） 提 出 了 量 纲 分 析 技 术 。 Reynolds （1842-1912）在1883发表了经典的管道实验结果，提出了著名的无量 纲参数——雷诺数Re。
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第一章 绪 论
第一节 流体力学的研究对象和发展历史
Navier (1785-1836)和Stokes (1819-1903)在欧拉运动方程中加入了牛 顿粘性项，建立了粘性流体的运动方程式。1904年德国工程师Prandtl (1875-1953)发表了流体力学方面最具影响的论文，提出了现代流动分 析中最重要的理论——边界层理论。这些理论对流体力学开始脱离经 典式的理论研究而与工程实际相结合起到了很大的作用。二十世纪中 叶以后，随着宇宙航行，人造卫星、核能工业、生物工程和环境、医 学等科学技术的发展，稀薄气体动力学、电磁流体力学、非牛顿流体 力学、多相流体力学、生物流体力学、气动噪声流体力学等流体力学 分枝也均在形成和发展中。