第二讲：三种常用的正交坐标系、梯度、散度1
大学物理：坐标散度旋度梯度
哈密顿
xˆ yˆ zˆ x y z
拉普拉斯2
2 x2
2 y 2
2 z 2
divA 0 正源
divA 0 负源
divA 0 无源
散度的基本运算公式
•C 0
k A k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u
u为标量
散度定理 The divergence theorem
六面体的体积
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
三种正交坐标系 直角坐标系
矢量A三个坐标分量 Ax , Ay , Az 三个单位矢量： xˆ, yˆ, zˆ
x y z
l x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
梯度 gradient
1. 是一个矢量
2. 的模就是在给定点的最大方向导数 3. 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变
化率最大的方向。
grad xˆ yˆ zˆ
x y z
xˆ
x
yˆ
( )
( )
1
2
(
)
f ( ) f '( )
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
2、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
梯度的重要性质
场，反之亦然。
环量与旋度, 斯托克斯定理
几种常见的正交曲线坐标系
2.3、曲线坐标1）.要研究空间场的性质，首先要对空间加以描述，即在空间建立坐标。
坐标的定义：如果以某种方式使空间的每一个点对应一组有序数()321,,q q q ，而每一组有序数也对应于空间的一个点，这样的有序数称为坐标。
如果有两组坐标()321,,q q q 和()321,,p p p ，这两组坐标由于与空间的点一一对应，所以这两组坐标也一一对应，它们可以互相表示，即()321,,q q q p p i i =；()321,,p p p q q i i =。
=i q 常数，对应于空间的一张曲面，不同的常数对应于不同的曲面。
这就构成了三族曲面，这三族曲面称为坐标曲面。
对于空间的每一个点，每族曲面只有一张曲面过该点。
曲面=2q 常数和=3q 常数的交线称为坐标曲线，在这条曲线上只有1q 可以变化，也称之为坐标曲线1q ，或1q 曲线。
如果空间中每一点的坐标曲线都是正交的（坐标曲线的切线相互正交），则称这样的曲线坐标为正交曲线坐标。
如果每一条坐标曲线都是直线，则称为直角坐标或笛卡尔坐标。
一般用()z y x ,,来表示。
如果用321,,e e e表示321,,q q q 曲线在某一点的切向单位矢量，并指向321,,q q q 增加的方向，习惯上让它们构成右手系。
这样的321,,e e e称为坐标的基矢量。
一般地讲，i e的方向是随空间位置的变化而变化的。
在直角坐标中坐标基矢量的方向是不随空间位置变化的，习惯上用k j i,,表示。
因此在直角坐标中矢径可以表示为：k z j y i x r++=。
作为初步，本课程中只介绍正交曲线坐标。
2）.正交曲线坐标系中对弧的微分 考虑一个微元矢径123112233123i i i ir r r r dr dq dq dq dq ds e ds e ds e ds e q q q q ∂∂∂∂=++==++=∂∂∂∂ 因此，由坐标曲线及基矢量的定义可知i q r ∂ 与i e平行，设ii q rH ∂∂=则()i ie H q r=∂∂i H 称为拉梅系数，一般地讲，拉梅系数i H 是空间的函数。
第2章 矢量分析
工程电磁场基础第2 章矢量分析主讲人：陈德智dzhchen@华中科技大学电气与电子工程学院2011年2月第2章矢量分析1 关于矢量的一些约定2 矢量代数3 坐标系4 标量场的梯度5 矢量面积分，通量与散度6 矢量线积分，环量与旋度7 亥姆霍兹定理⑤矢量的坐标分量表示：⑥法向单位矢量与切向单位矢量：e n ，e t法向分量：A n 切向分量：A t关于矢量的基本约定④坐标单位矢量：直角坐标系(x , y , z ) ：e x ,e y ,e z ；x x y y z zA A A =++A e e e2．矢量代数（1）点乘（标积）：θcos :AB u =⋅=B A •A ∥B 时取最大值。
0=⋅B A •A ⊥B ⇔，矢量A 与B 正交。
B B A =⋅A e n n A =⋅A e •矢量的投影（分量）：。
法向分量。
zz y y x x B A B A B A ++=⋅B A •直角坐标系中的计算公式：，×如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向•圆柱坐标系d d d d d d d z S z z ρφρφρρρφ=++e e e z ,,φρ坐标变量,,zρφe e e 坐标单位矢量z zρρ=+r e e 位置矢量d d d d z zρφρρφ=++l e e e 线元矢量zV d d d d φρρ=体积元面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标系•在各种坐标系中，直角坐标系是唯一一种方向不变的坐标系。
•原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述。
但是根据问题的不同类型，选取不同的坐标系可能更方便，例如用圆柱坐标系描述轴对称问题，用球坐标系描述球对称问题等。
•直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它坐标系要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表解决。
4．标量场的梯度（1）标量场的图形表示——等值面（线）地形图与等高线()const f=r标量场的图示——绘制场图（草图）是工程电磁场中最重要和最常用的分析方法之一，也是最基本的技能。
1.6 正交曲线坐标系
微分体积元为
dV d l i ( d l j d l k ) hi h j h k du i du j du k
6
2．常用的正交曲线坐标系
常用的正交曲线坐标系除了直角坐标系外，还有柱坐标系和 球坐标系。 z （1）柱坐标系 在此坐标系中P点的位置是由ρ =常数 ρ 的圆柱面、φ =常数的平面和z=常数的平 P(ρ ,φ ,z) 面三者的交点来确定的。这时， z
2
d l e u 1 dl 1 e u 2 dl 2 e u 3 dl 3
或者
dl
d l e u 1 ( h1 du 1 ) e u 2 ( h 2 du 2 ) e u 3 ( h3 du 3 )
dl [( dl 1 ) ( dl 2 ) ( d标系中的梯度、散度和旋度
1．一般正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度
（1）梯度
v v v e u1 eu 2 eu3 l1 l2 l3
dl 1 h 1du 1
1
dl
2
du h2
2
dl
3
h du 3
3
1 1 e u1 e u2 e u3 h1 u 1 h2 u 2 h3 u 3
Ar A A sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos A x sin A y 0 Az
dV d d dz
这里
h1 1, h 2 , h3 1
柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x cos y sin z z
第1章三种坐标系与场
25
2力线方程
F（r，t）
P
r
0
图1-11 力线图
设P点处的位置矢量：r ex x ey y ez z
设P点处切线微分方程为 dl exdx eydy ezdz
设P点场量 F（r，t） ex Fx ey Fy ez Fz
本次您浏览到是第二十五页，共六十八页。
26
因dl / /F 则 dl F（r，t） 0
本次您浏览到是第四页，共六十八页。
5
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻 B
边的平行四边形的对角线,如图所示。
A B
A
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
3
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A
eA A
eA
A
A
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
F（r，t）
dy Fy dz Fz dz Fz dx Fx dx Fx dy Fy
P点处场量为F（r，t）的力线微分方程为
dx dy dz
Fx
Fy
Fz
27
本次您浏览到是第二十七页，共六十八页。
28
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
三种常用的坐标系
它们相互正交，而且遵 循右手螺旋法则
er e e
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
在点 M r,,处沿er , e , e
z
方向的长度元分别是： dlr dr dl rd dl r sin d 面积元:
dsr dl dl r2 sin d d
y
sin
z z
o
x
(x, y, z)
M (,, z)
r z (r, ,)
y
y
x2 y2
tg 1
y x
sin 1
z
z
x
y cos1 x2 y2
x x2 y2
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
2 直角坐标系与球坐标系的关系 z
x r sin cos
y
r
sin
sin
解
Ax A ex A e ex A e ex Az ez ex A cos A sin
Ay A ey A e ey A e e y Az ez e y A sin A cos
Az A ez A e ez A e ez Az ez ez Az
r
z r cos
y
o
x
r x2 y2 z2
x
cos1
z
sin1
x2 y2 z2
x2 y2 x2 y2 z2
tg 1
y
sin 1
y
cos1
x
x
x2 y2
x2 y2
(x, y, z)
M (,, z)
z (r, ,)
y
1 – 1 三种常用的坐标系
电磁场与电磁波大纲
《电磁场与电磁波》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：210522课程名称：电磁场与电磁波英文名称：Electromagnetic Fields and Electromagnetic Waves课程类别：专业基础课学时：63学分：3适用对象: 电子信息专业考核方式：考试先修课程：大学物理、高等数学与工程数学(包括矢量分析,场论和数理方程等)二、课程简介电磁场与电磁波是通信技术的理论基础，是电子信息专业本科学生的知识结构中重要组成部分。
本课程使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。
使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。
培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。
为后续课程打下坚实的理论基础。
Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave is the theoretical foundation of communication technology, it is one of the most important components of the knowledge structerue for undergraduate students who major in information and electronic. Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave make students grasp the theorem and the physical meaning of the Maxwell equations and mathematical expressions. It also make students grasp building method and analyzing method of some important mathematical model (such as wave equation,Laplace equation). This course trains students on the proper ways of thinking and ability to analyze issues, It also provides a solid theoretical foundation for following courses.三、课程性质与教学目的一切电现象，都会产生电磁场，而电磁波的辐射与传播规律，更是一切无线电活动的基础。
三大坐标系
2
e
A
ez A Az 1 1 Az A e e z z z Az
两个矢量点积：A B= Ar Br A B A B ； 两个矢量叉积：
er A B Ar B r
e A B
e A A B A B er A Br Ar B e Ar B A Br e B
位置矢量：r = e ez z ；
其微分为：dr = d e d ez z e d de ez dz e d e d ez dz ；
2
它在 、 和 z 增加方向上的微分分别是： d 、 d 和 dz 。
(圆锥面)
0
z
er e
的投影。 与直角坐标系之间的变换关系：
r x 2 y 2 z 2， arccos z x 2 y 2 z 2 ， arctan y x ； x r sin cos ，y r sin sin ，z r cos
位置矢量：r = er r ；其微分为：dr = d (er r ) er dr rder er dr e rd e r sin d ； 它在 er 、 e 和 e 增加方向上的微分分别是： dr 、 rd 和 r sin d 。
球坐标系中的坐标单位矢量 er 、 e 和 e 都不是常矢量，是 和 的函数，且
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z r cos
3、基矢： eˆr , eˆ , eˆ ，正交且符合右螺旋
1）矢量表示： A eˆr Ar eˆ A eˆ A ， 例：位置矢量 r eˆrr 2）基矢变换：基矢满足下列变换
eˆr eˆ
sin cos
cos cos
eˆ sin
sin sin cos sin
1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2 学时
5、拉梅系数： h1 1， h2 r ， h3 r sin
x
r sind
z
dr
d
r
d rd
o
y
1.3 标量场的梯度 若所研究的物理量是标量，则该物理量所确定的场称为标量场，如：温度场，密
度场、电位场等。标量场 u 可用标量函数来描述。如：直角坐标系中
u u x, y, z
一、标量场的几何描述——等值面（线）
4、拉梅系数（度规系数）
在坐标系中，设 Pq1, q2 , q3 点的位置矢量为：
r
r
q1
,
q2
,
q3
则
d
r
r q1
dq1
r q2
dq2
r q3
dq3
式中
r
q1
r
q2
r
q3
r q1
eˆ1
h1eˆ1
r q2
eˆ2
h2eˆ2
r q3
eˆ3
h3eˆ3
h1, h2, h3 称为坐标系的度规系数（拉梅系数）。这样，
q1 q1 x, y, z c1 q2 q2 x, y, z c2 q3 q3 x, y, z c3
三个等值曲面，称为标曲面
两个坐标面的交线称为坐标线。若在空间任意一点，三个坐标面正交(基矢正交)，
称为三维正交坐标系。
3、单位矢 用 eˆ1, eˆ2 , eˆ3 分别表示坐标曲线 q1, q2 , q3 上的切向单位基矢。 规定： eˆ1, eˆ2, eˆ3 的方向关系构成右手系。 注意：在曲线坐标系中 eˆ1, eˆ2, eˆ3 一般是空间点函数。
1）矢量表示： A eˆ A eˆ A eˆz Az ， 例：位置矢量 r eˆ eˆz z 2）基矢变换：
eˆ cos sin 0 eˆx
eˆ
sin
cos
0
eˆy
或
eˆz 0
0 1 eˆz
eˆ cos
eˆ
sin
eˆz 0
sin cos
cos
cos eˆx
sin
eˆy
0 eˆz
3）基矢变化： eˆr , eˆ , eˆ 都不是常矢量，随 , 变化，有：
eˆr
eˆ
，
eˆ
eˆr ，
eˆ 0 ；
eˆr
eˆ sin
，
eˆ
eˆ cos
，
eˆ
eˆr sin
eˆ cos
。
4、空间微元： 线元： dr eˆrdr eˆ rd eˆ r sin d eˆrh1dr eˆ h2d eˆh3dz 面元： dSr eˆrr2 sindd, dS eˆ r sindrd, dS rdrd 体元： dV r2 sin drd d
方程： ux, y, z Const
特点：等值面互不相交（可以自相交） 约定：相邻等值面物理量的差值保持相同。这样，等值面的疏密能反映标量场的空
间变化率。
在空间某点沿什么方向高度变化最快？
二、标量场的方向导数 等值面给出了标量场的整体描述，其局部（即场中各点处的邻域内） 怎样变化？
1、方向导数的概念
0
0 eˆx
0
eˆy
1 eˆz
3）基矢变化： eˆ , eˆ 不是常矢量，随 变化，有：
eˆ
eˆx sin eˆy cos
eˆ ，
eˆ
eˆx cos eˆy sin
eˆ
提问： 1）怎么得到第 一个变换？ 2）两个变换矩 阵存在什么关 系？
4、空间微元： 线元： dr eˆ d eˆ d eˆzdz eˆ h1d eˆ h2d eˆzh3dz 面元： dS eˆ ddz, dS eˆd dz, dSz eˆzdd 体元： dV d d dz
d r eˆ1h1dq1 eˆ2h2dq2 eˆ3h3dq3
二、直角坐标系
1、坐标变量： x, y, z
2、坐标面： x C1 ， y C2 ， z C3
Z为常数平面
z eˆz
r
eˆx
p
eˆ y
坐标线：三条直线
3、基矢： eˆx , eˆy , eˆz ，正交且符合右螺旋
x x为常数平面
5、拉梅系数： h1 h3 1 ， h2 四、球坐标系
1、坐标变量： r,,
const
2、坐标面： r C1 ， C2 ， C3
坐标线：一条直线、两条曲线
r const
坐标变换： x r sin cos
x
y r sin sin
z
eˆr
Pr,, •
eˆ
r
θ
eˆ
o
y const
矢量表示： A eˆx Ax eˆy Ay eˆz Az ，例：位置矢量 r eˆx x eˆy y eˆz z
(x,y,z)
y为常数平面
y
4、空间微元：
线元： dr eˆxdx eˆydy eˆzdz
面元： dSx eˆxdydz, dSy eˆydxdz, dSz eˆzdxdy
§1.2 三种常用的正交坐标系
一、坐标系的概念
1、坐标
确定一个空间点需要三个有序数 q1, q2 , q3 ，称为空间点的坐标。
由于空间点同时可用 x, y, z表示，因此
q1 q1x, y, z q2 q2 x, y, z q3 q3 x, y, z
q3 eˆ3
eˆ1 q1
q2 eˆ2
2、坐标面、坐标线
体元： dV dx dy dz 5、拉梅系数： h1 h2 h3 1 三、柱坐标系
1、坐标变量： ,, z
2、坐标面： C1 ， C2 ， z C3 坐标线：两条直线、一个曲线 坐标变换： x cos, y sin, z z
z eˆz
P•
eˆ
z
y
eˆ
x
3、基矢： eˆ , eˆ , eˆz ，正交且符合右螺旋
如图所示，l 为场中的任意方向，P0 是这个方向线上给定的一点， P 为同一线上邻