第九章 正交曲线坐标系中的分离变量
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Laplace方程的变量分离解析
0 z z0 R中, 方程的两个线性无关的级数解只含有有
s1 k 限多负幂次项。 w1 z ak z z0 k 0 w z b z z s2 k 2 k 0 k 0
s1 , s2 是判定方程 s s 1 sp1 q2 0 的两个根。
k 2 k 1 ak 2 l l 1 k k 1 ak 0.
10
从而一般的系数递推公式是:
ak 2
k k 1 l l 1 k l k l 1 ak ak k 2 k 1 k 2 k 1
2 d y dy 2 1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
4
在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现 各种各样的常微分方程，一般可表示如下：
y '' p x y ' q x y 0
通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求， 这可以归结为求解以下定解问题：
x
对于 l 不为零的情形，易知有如下结论：
1 s l . 2
y x C1 J
1 l 2
x C2 J l 1 x
17
令 s1 s2 m , 当 m 是整数时， 第二个根应该用如下形式 替代： w2 z Aw1 z ln z z0
k
b z z
k 0
s2 k
．
将级数解的形式代入原常微分方程，合并同幂次 的项，并要求各幂次相应的系数为零。其中最低幂次
方程的第二个特解应为：
k
2
2 y2 x AJ 1 x ln x bx x J 1 x cos x. x 1 2 2 k
s1 k 限多负幂次项。 w1 z ak z z0 k 0 w z b z z s2 k 2 k 0 k 0
s1 , s2 是判定方程 s s 1 sp1 q2 0 的两个根。
k 2 k 1 ak 2 l l 1 k k 1 ak 0.
10
从而一般的系数递推公式是:
ak 2
k k 1 l l 1 k l k l 1 ak ak k 2 k 1 k 2 k 1
2 d y dy 2 1 x dx2 2 x dx l l 1 y 0
4
在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现 各种各样的常微分方程，一般可表示如下：
y '' p x y ' q x y 0
通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求， 这可以归结为求解以下定解问题：
x
对于 l 不为零的情形，易知有如下结论：
1 s l . 2
y x C1 J
1 l 2
x C2 J l 1 x
17
令 s1 s2 m , 当 m 是整数时， 第二个根应该用如下形式 替代： w2 z Aw1 z ln z z0
k
b z z
k 0
s2 k
．
将级数解的形式代入原常微分方程，合并同幂次 的项，并要求各幂次相应的系数为零。其中最低幂次
方程的第二个特解应为：
k
2
2 y2 x AJ 1 x ln x bx x J 1 x cos x. x 1 2 2 k
球坐标系中的分离变量法PPT学习教案
处
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底面绝热
， 求 T ( r,
T
0 0
图4-3 例4－1示意图
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控制方程：
第57页/共68页
边界条件：
初始条件为： T= F( r, μ )
第58页/共68页
第59页/共68页
分离变量:
第60页/共68页
该方程的解为:
第61页/共68页
最后得到完整的解为
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基本解为 和
第33页/共68页
任意函数表示为
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利用缔合Legendre函数的正交性：
第35页/共68页
和三角函数的正交性：
第36页/共68页
第37页/共68页
第38页/共68页
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(二) 半球 0 ≤ μ ≤ 1
(1) T与ϕ无关的情况
第40页/共68页
第41页/共68页
第42页/共68页
第43页/共68页
第44页/共68页
第45页/共68页
第46页/共68页
第47页/共68页
(三)部分球 的表达式
区域内
第48页/共68页
第49页/共68页
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其中 m 1 m! (当m为整数时)
第51页/共68页
球坐标系中的分离变量法
会计学
1
§4.1 控制方程的分离变量
图4-0 球坐标系及微元控制体
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球坐标系下三维、稳态、 齐次
热传导方程
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分离变量，令 代入(4-1)式，得:
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经整理后，得到
第4页/共68页
第四讲上-柱坐标中的分离变量法
R' ' R' ' ' 2 2 R R
2
' ' 0
2
2
2013-8-9
R' ' R' R 0
2 2
6
R' ' R' R 0
16
0:
2
取 : , 为实数
2 2
A e B e
这不是周期函数
A B 0
2013-8-9 17
总之，本征值问题的本征值为
n ,
2 2
n 0,1,2,3,
本征函数为
A cosn B sin n
C0 D0 ln b 0 n n Cnb Dnb 0
C0 D0 ln b 2n Dn Cnb
D0 ln , n 0 Rn b C n b 2 n n , n 1,2,3, n
2013-8-9
7
亥姆赫兹经分离变量后变为：
Z ' ' z Z z 0
R' ' R' R 0
2 2 2 2
2013-8-9 8
' ' 0
2
二、圆形域上的定解问题
例1 半径为b的“无限长”圆柱形接地导 体，放置在均匀外电场E0中，圆柱的轴线与 E0方向垂直，求电势分布。
5
R' ' R' ' ' Z ' ' z 2 R R Z z
2
' ' 0
2
2
2013-8-9
R' ' R' R 0
2 2
6
R' ' R' R 0
16
0:
2
取 : , 为实数
2 2
A e B e
这不是周期函数
A B 0
2013-8-9 17
总之，本征值问题的本征值为
n ,
2 2
n 0,1,2,3,
本征函数为
A cosn B sin n
C0 D0 ln b 0 n n Cnb Dnb 0
C0 D0 ln b 2n Dn Cnb
D0 ln , n 0 Rn b C n b 2 n n , n 1,2,3, n
2013-8-9
7
亥姆赫兹经分离变量后变为：
Z ' ' z Z z 0
R' ' R' R 0
2 2 2 2
2013-8-9 8
' ' 0
2
二、圆形域上的定解问题
例1 半径为b的“无限长”圆柱形接地导 体，放置在均匀外电场E0中，圆柱的轴线与 E0方向垂直，求电势分布。
5
R' ' R' ' ' Z ' ' z 2 R R Z z
数学物理方法第九章二阶常微分方程的劫数解法本征值问题
特殊函数常微分方程
球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程
极坐标下热传导方程的分离变量
一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况
§9.2常点邻域上的级数解法
常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解
常微分方程中点的分类
二阶变系数常微分方程的一般形式
w”+p(z)w’+q(z)w=0
方程中点的分类
常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
•常点z0邻域
sin 1 cos
2 1 2
1 12
2、柱坐标下拉普拉斯方程
2 2 1 u 1 u u 2 ( ) 2 2 0 2 z
0为正则奇点，邻域解为 ：y k 0 ak x s k
x y k 0 ak x
2
sk 2
k 2 ak 2 x
sk
k 0 ak 2 x s k
级数解的导数为： y ' k 0 ( s k )ak x s k 1 y" k 0 ( s k )(s k 1)ak x s k 2
1 v 1 2v 2v 2 ( ) 2 k v 0 2 2 z
令
v( , , z ) R( ) ( )Z ( z )
柱坐标拉普拉斯方程分离变量
柱坐标拉普拉斯方程分离变量拉普拉斯方程是数学物理中一种常见的偏微分方程，描述了二维和三维空间中的静态场的行为。
柱坐标是一种常见的坐标系，在处理与圆柱形物体相关的问题时非常有用。
本文将介绍柱坐标系下的拉普拉斯方程，以及如何利用分离变量的方法解决这个方程。
柱坐标系简介柱坐标系是一种三维坐标系，由径向r、极角$\\theta$和高度z三个坐标表示。
在柱坐标系中，点的位置可以用$(r, \\theta, z)$表示，其中$r\\geq0$，$0\\leq\\theta<2\\pi$，$-\\infty<z<+\\infty$。
通过极坐标系的转换，我们可以将直角坐标系中的点的坐标转换为柱坐标系中的坐标。
柱坐标系下的拉普拉斯方程在柱坐标系下，拉普拉斯方程可以写作：$$\\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left(r\\frac{\\partial\\Phi}{\\partial r}\\right) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial\\theta^2} + \\frac{\\partial^2 \\Phi}{\\partial z^2} = 0$$其中$\\Phi(r, \\theta, z)$是待求解的场量。
分离变量方法为了解决柱坐标系下的拉普拉斯方程，我们引入一个假设：$\\Phi(r, \\theta, z) = R(r)\\Theta(\\theta)Z(z)$。
将这个假设代入到拉普拉斯方程中，我们可以将方程分解为三个独立的普通微分方程。
首先考虑径向方程$\\frac{1}{r}\\frac{d}{dr}\\left(r\\frac{dR}{dr}\\right) +\\left(\\lambda - \\frac{m^2}{r^2}\\right)R = 0$，其中$\\lambda$和m是待定常数。
08第八章 分离变量法part1
n1
l
, 0 xl
(2) 若 f' (0) = f' (l)=0，选周期偶延拓
f ( x)
a0 2
an cos
n1
n l
x,
0
x
l
-l
l
0
-l
l
0
21
➢广义级数展开：若 ( x)不满足 (0) (l) 0
则称
(x)
~
n
n1
sin n
l
x
,
n
2 l
l
( x)sin
n
x
dx
0
l
为 ( x) 的广义级数展开
9
(ii) 待求解展开为特解的叠加
u( x, t) [An cos(n t) Xn( x) Bn sin(n t) Xn( x)] n1
初始条件 (3) 叠加系数：
( x) u( x, 0) Am Xm ( x) (求和指标换为 m) m 1 ( x) ut ( x, 0) m Bm Xm ( x) m1
uspecial( x, t )
X(x)
T(t)
满足
ut
t
a2
uxx
u |x0 u |xl
0
•
带入齐次泛定方程： T
a2
(t ) T(t)
X ( x) X(x)
该式左边只是 t 的函数，右边只是 x 的函数
只有两边都是常数时，等式才能成立！
X X , T a2 T
• 带入齐次边界条件：X (0) X (l) 0
Y( y) Y (0)
(b y) / b, sinh[ kn(b
y)]
sinh( knb)
l
, 0 xl
(2) 若 f' (0) = f' (l)=0，选周期偶延拓
f ( x)
a0 2
an cos
n1
n l
x,
0
x
l
-l
l
0
-l
l
0
21
➢广义级数展开：若 ( x)不满足 (0) (l) 0
则称
(x)
~
n
n1
sin n
l
x
,
n
2 l
l
( x)sin
n
x
dx
0
l
为 ( x) 的广义级数展开
9
(ii) 待求解展开为特解的叠加
u( x, t) [An cos(n t) Xn( x) Bn sin(n t) Xn( x)] n1
初始条件 (3) 叠加系数：
( x) u( x, 0) Am Xm ( x) (求和指标换为 m) m 1 ( x) ut ( x, 0) m Bm Xm ( x) m1
uspecial( x, t )
X(x)
T(t)
满足
ut
t
a2
uxx
u |x0 u |xl
0
•
带入齐次泛定方程： T
a2
(t ) T(t)
X ( x) X(x)
该式左边只是 t 的函数，右边只是 x 的函数
只有两边都是常数时，等式才能成立！
X X , T a2 T
• 带入齐次边界条件：X (0) X (l) 0
Y( y) Y (0)
(b y) / b, sinh[ kn(b
y)]
sinh( knb)
数学物理方法-复变函数与解析函数
上篇 复变函数论
2
数学物理方法 课程说明
数学物理方法为2013学年第二学期理工学院12级光信息专业所 开设， 72学时。 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、 微分方程、线性代数和概率论)和普通物理(力学、热学、电学和 光学)的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当 介绍近年来的新发展，为光信息专业后继的基础课程和专业课 程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作学习中遇到 的数学物理问题的求解提供基础。
R 0 0 0
第一章 复变函数和解析函数
21
y
(z )
z1
z2
o
x
第一章 复变函数和解析函数
22
第一章 复变函数和解析函数
23
例1：用复数方程表示: (1)过两点 z j = x j + i y j (j = 1 , 2 )的直线； (2)中心在点( 0 , - 1 ) 点的表示：z = x + i y <=> 复平面上的点 P ( x , y )
第一章 复变函数和解析函数
19
向量表示法
第一章 复变函数和解析函数
20
计算 arg z (z ≠ 0) 的公式
y arctan x 0, y x π x 0, y argz 2 y arctan π x 0, y x π x 0, y
2
G : w 4, 0 argw π
函数 w = z2(D) 的几何表示
第一章 复变函数和解析函数
34
常见的复变函数
w = z 2 ； u = x 2- y 2， v = 2 x y
第一章 复变函数和解析函数
2
数学物理方法 课程说明
数学物理方法为2013学年第二学期理工学院12级光信息专业所 开设， 72学时。 本课程在高等数学(一元和多元微积分、幂级数和Fourier级数、 微分方程、线性代数和概率论)和普通物理(力学、热学、电学和 光学)的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当 介绍近年来的新发展，为光信息专业后继的基础课程和专业课 程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作学习中遇到 的数学物理问题的求解提供基础。
R 0 0 0
第一章 复变函数和解析函数
21
y
(z )
z1
z2
o
x
第一章 复变函数和解析函数
22
第一章 复变函数和解析函数
23
例1：用复数方程表示: (1)过两点 z j = x j + i y j (j = 1 , 2 )的直线； (2)中心在点( 0 , - 1 ) 点的表示：z = x + i y <=> 复平面上的点 P ( x , y )
第一章 复变函数和解析函数
19
向量表示法
第一章 复变函数和解析函数
20
计算 arg z (z ≠ 0) 的公式
y arctan x 0, y x π x 0, y argz 2 y arctan π x 0, y x π x 0, y
2
G : w 4, 0 argw π
函数 w = z2(D) 的几何表示
第一章 复变函数和解析函数
34
常见的复变函数
w = z 2 ； u = x 2- y 2， v = 2 x y
第一章 复变函数和解析函数
4.4分离变量法
b2 0
nπ Yn ( y ) b1sh a
y
故基本解形式为
通解为
n x, y X n ( x) Yn ( y) a1b1 sin
x, y n x, y a1b1sh
n 1 n 1
nπ nπ y sin x a a
O
=0
x
为了满足 ( x, 0) 0及 ( x, d ) 0 边界条件，应选 Y(y) 的解为
Y ( y) a1 sin k y y a2 cos k y y
因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 a2 = 0。为了满足边界
条件 ( x, d ) 0 ，分离常数 ky 应为
n a
b
它是与n有关的常数
nπ C sin n x U0 a n 1
则
mπ sin x 上式左右同乘以 a
，并在区间（0，a）处积分，则
a
a
0
由三角函数正交性得：
a nπ mπ mπx n 0 0 sin a a a n 1
【解】：该题为一个轴对称问题，因此选择圆柱坐 标系，由于无限长，故电位 与 z 坐标无 关，又由于轴对称性，电位与 坐标无关， 故最终电位仅为 r 的函数。它满足拉普拉 斯方程：
2 1 r 0 r r r
a
O
b
将此式积分两次得： c1 ln r c2 式中 c1 , c2为待定系数，根据边界条件确定值。 由题知边界条件为： r a, U 0 r b. 0
第四章 静态场的解
nπ Yn ( y ) b1sh a
y
故基本解形式为
通解为
n x, y X n ( x) Yn ( y) a1b1 sin
x, y n x, y a1b1sh
n 1 n 1
nπ nπ y sin x a a
O
=0
x
为了满足 ( x, 0) 0及 ( x, d ) 0 边界条件，应选 Y(y) 的解为
Y ( y) a1 sin k y y a2 cos k y y
因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 a2 = 0。为了满足边界
条件 ( x, d ) 0 ，分离常数 ky 应为
n a
b
它是与n有关的常数
nπ C sin n x U0 a n 1
则
mπ sin x 上式左右同乘以 a
，并在区间（0，a）处积分，则
a
a
0
由三角函数正交性得：
a nπ mπ mπx n 0 0 sin a a a n 1
【解】：该题为一个轴对称问题，因此选择圆柱坐 标系，由于无限长，故电位 与 z 坐标无 关，又由于轴对称性，电位与 坐标无关， 故最终电位仅为 r 的函数。它满足拉普拉 斯方程：
2 1 r 0 r r r
a
O
b
将此式积分两次得： c1 ln r c2 式中 c1 , c2为待定系数，根据边界条件确定值。 由题知边界条件为： r a, U 0 r b. 0
第四章 静态场的解
数学物理方法第九章课件
的解。
第九章的习题解答
习题1
求解无限长杆在垂直磁场中的扭转问题。利用分离变量法将偏微分 方程化为常微分方程，得出杆的扭转角与磁场强度的关系。
习题2
求解三维空间中的电场问题。利用分离变量法将偏微分方程化为三 个常微分方程，进而得出电势的解。
习题3
求解波动方程在非周期边界条件下的解。通过分离变量法将波动方程 化为常微分方程，得到波函数的解。
本章内容的总结
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，例如波动、热传导、弹性力学等问题都可以用偏微 分方程来描述。
本章介绍了偏微分方程的基本概念和分类，以及如何求解偏微分方程，包括分离变量法、有 限差分法等。
后续学习的展望
更深层次的数学物理方法
这些方法在解决物理问题时具有更广泛的应用，例如在 量子力学、相对论等领域。
在掌握基本的数学物理方法后，可以进一步学习这些方 法在各个领域的应用，例如在材料科学、生物医学、环 境科学等领域的应用。
在后续的学习中，可以进一步学习更深入的数学物理方 法，例如广义函数与分布、积分方程、微分几何等。
应用领域的拓展
通过深入了解这些应用，可以更好地理解数学物理方法 在解决实际问题中的作用和价值。
在工程学中的应用
结构分析
数学物理方法能够用于分 析工程结构中的力学问题， 如弹性力学、断裂力学等。
控制系统设计
数学物理方法能够用于设 计各种控制系统，如航空 航天、机器人等领域。
信号处理
数学物理方法能够用于信 号处理和图像处理，如图 像压缩、图像增强等。
在其他领域的应用
经济学
数学物理方法能够用于分析经济现象和预测经济 趋势，如金融市场分析、风险评估等。
数学物理方法定义
第九章的习题解答
习题1
求解无限长杆在垂直磁场中的扭转问题。利用分离变量法将偏微分 方程化为常微分方程，得出杆的扭转角与磁场强度的关系。
习题2
求解三维空间中的电场问题。利用分离变量法将偏微分方程化为三 个常微分方程，进而得出电势的解。
习题3
求解波动方程在非周期边界条件下的解。通过分离变量法将波动方程 化为常微分方程，得到波函数的解。
本章内容的总结
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，例如波动、热传导、弹性力学等问题都可以用偏微 分方程来描述。
本章介绍了偏微分方程的基本概念和分类，以及如何求解偏微分方程，包括分离变量法、有 限差分法等。
后续学习的展望
更深层次的数学物理方法
这些方法在解决物理问题时具有更广泛的应用，例如在 量子力学、相对论等领域。
在掌握基本的数学物理方法后，可以进一步学习这些方 法在各个领域的应用，例如在材料科学、生物医学、环 境科学等领域的应用。
在后续的学习中，可以进一步学习更深入的数学物理方 法，例如广义函数与分布、积分方程、微分几何等。
应用领域的拓展
通过深入了解这些应用，可以更好地理解数学物理方法 在解决实际问题中的作用和价值。
在工程学中的应用
结构分析
数学物理方法能够用于分 析工程结构中的力学问题， 如弹性力学、断裂力学等。
控制系统设计
数学物理方法能够用于设 计各种控制系统，如航空 航天、机器人等领域。
信号处理
数学物理方法能够用于信 号处理和图像处理，如图 像压缩、图像增强等。
在其他领域的应用
经济学
数学物理方法能够用于分析经济现象和预测经济 趋势，如金融市场分析、风险评估等。
数学物理方法定义
《分离变量法》PPT课件 (2)
第十章 分离变量法
1
简介
前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问 题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解 定解问题的一种最常用、最基本的方法. 分离变 量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件 的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用 另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解 问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系 下的分离变量法.
X (x) C2;
若 0,则X (x) C1 cos x C2 sin x代入齐次边界条件(27),得
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
23
只有当 0时的本征值问题才具有有意义的解,其中本征值为
n2 2
l2 相应的本征函数为
n 0,1,2,
（30）
X n (x)
n
A0 n1 An cos l
x (x),
B0
n1
Bn
n
l
a
cos n
l
x (x).
An
2 l
l(x) cos n
0
l
xdx
Bn
2
n a
l
(
x)
c
os
n
0
l
xdx
（37）
将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问 题的确定解.
26
物理意义
一般解(36)中A0 B0t描写杆的整体移动,其余部分描写杆的纵振动, 而且从系数表达式(37)中可以看出,A0和B0分别表示平均初始位移 和平均速度,由于不受外力作用,杆以不变的速度B0移动.
,
un
(x,
t)
(
An
cos
n
l
1
简介
前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问 题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解 定解问题的一种最常用、最基本的方法. 分离变 量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件 的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用 另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解 问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系 下的分离变量法.
X (x) C2;
若 0,则X (x) C1 cos x C2 sin x代入齐次边界条件(27),得
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
23
只有当 0时的本征值问题才具有有意义的解,其中本征值为
n2 2
l2 相应的本征函数为
n 0,1,2,
（30）
X n (x)
n
A0 n1 An cos l
x (x),
B0
n1
Bn
n
l
a
cos n
l
x (x).
An
2 l
l(x) cos n
0
l
xdx
Bn
2
n a
l
(
x)
c
os
n
0
l
xdx
（37）
将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问 题的确定解.
26
物理意义
一般解(36)中A0 B0t描写杆的整体移动,其余部分描写杆的纵振动, 而且从系数表达式(37)中可以看出,A0和B0分别表示平均初始位移 和平均速度,由于不受外力作用,杆以不变的速度B0移动.
,
un
(x,
t)
(
An
cos
n
l