专题：正交曲线坐标系.ppt
中考复习题型专题课件 坐标曲线题 23张PPT
10.如图T2-10甲所示，小明在同一水平地面上沿水平方向用力推木 箱，推力F随时间变化的图像如图乙所示，木箱速度随时间变化的
B 图像如图丙所示，以下分析正确（ ）
A.0~2 s内木箱没有动，是因为人对木箱的推力小于地面对木箱的 摩擦力 B.2~4 s内木箱受到的摩擦力大小为40 N C.4~6 s内人对木箱的推力做功为80 J D.6 s后小明如果停止用力，木箱将做匀速直线运动
态。
比热容
6 大于
晶体熔化过程中持续吸热，内能增加
2.[2019·徐州]在“探究不同物质吸热升温的现象”实验中， 量取沙子和水时，要保证它们的质量 相等 ；用酒精灯
分别加热沙子和水，沙子和水的温度升高， 内 能增加； 如果采用升高相同温度，比较加热时间的方式，得到的图 像应是如图T2-2所示两图像中的图 乙 （选填“甲” 或“乙”）。
题型专题（二） 坐标曲线题
类型一：热学坐标曲线图
• 【方法归纳】 • 初中阶段常见的坐标曲线有三种：直线、
曲线、折线。坐标曲线题的解题步骤：
①识图，弄清图像横坐标和纵坐标所表示的 物理量，确定两个物理量之间的关系。② 析图，分析图像的起点、交点、拐点和终 点的意义，分析线段或曲线的趋势。③用 图，从题中提出的问题入手，顺藤摸瓜， 从图像中寻找相关的解题信息，问题就可 迎刃而解。
热学坐标曲线题
1.小南同学用同一酒精灯加热，完成了冰的熔化和水的沸 腾实验后，根据记录的数据，得到如图T2-1所示的图像。 请你分析：
图T2-1
（1）测得水的沸点为 98
℃，此时的大气压可能
（选填“大于”“小于”或“等于”）标准大气压。
（2）BC段表示物质处于 固液共存 状态，B点物质处于
曲线坐标系
曲线坐标系胡友秋 编著中国科学技术大学地球和空间科学学院中国科学院基础等离子体物理重点实验室i 郑重声明：未经作者允许，不得以任何方式出版或翻印衷心欢迎：凡读过本材料者给作者提出批评建议(email：huyq@)曲线坐标系胡友秋 编著中国科学技术大学地球和空间科学学院中国科学院基础等离子体物理重点实验室（2008年3月初稿，2010年2月定稿）ii目 录1．引 言 (1)1.1 曲线坐标系. (1)1.2 引入曲线坐标系的目的 (1)1.3 本材料的主要内容 (1)2．引入过程和基本参数 (2)2.1 坐标变换 (2)2.2 基矢和逆基矢 (2)2.3 度规系数和度规张量 (5)2.4 位移矢量的分解 (6)2.5 矢量的分解 (7)2.6 与度规系数相关的两个恒等式 (8)2.7 弧元、面元和体元 (9)2.8 基矢的代数运算 (10)3. 基矢的微分运算 (10)3.1 引言 (10)3.2 基矢的散度 (11)3.3 逆基矢的旋度 (11)3.4 标量的梯度. (12)3.5 基矢的方向导数 (12)4. 张量的微分运算 (14)4.1 矢量散度 (14)4.2 矢量旋度 (14)4.3 矢量梯度 (14)4.4 矢量梯度之梯度 (15)4.5 拉普拉斯算符 (16)5. 正交曲线坐标系 (16)5.1 定义 (16)5.2 拉梅系数和单位基矢 (16)5.3 弧元、面元和体元 (18)5.4 矢量和张量按单位基矢及其并矢展开 (18)5.5 单位基矢的微分 (19)5.6 标量的梯度和方向导数 (21)5.7 矢量的散度 (21)5.8 矢量的旋度 (21)5.9 拉普拉斯算符 (22)6. 具可忽略坐标的曲线坐标系 (25)6.1 问题的提出 (25)6.2 可忽略坐标的数学定义 (25)6.3 可忽略坐标对应的基矢 (25)6.4 Killing矢量与黎曼曲率张量的关系 (26)6.5 欧几里得空间Killing矢量的通解 (27)6.6 由可忽略坐标基矢确定坐标 (28)6.7 具可忽略坐标的坐标系的类型 (28)7. 曲线坐标系的构建及张量微分运算举例 (29)7.1 旋转椭球坐标系 (29)7.2 磁面坐标系 (33)7.3 任意曲面上面电流密度的二维散度 (38)8. 任意坐标变换下的张量定义和张量运算 (44)8.1 引言 (44)8.2 张量的定义 (46)8.3 张量的代数运算 (50)8.4 张量的微分运算 (52)8.5 典型张量微分运算不变性的验证 (52)8.6 狭义相对论中的正交线性变换 (56)- 1 -曲线坐标系1．引 言有关曲线坐标系的参考书甚多，但往往篇幅大，涉及背景知识和数学概念多，不便非数学专业人员阅读和尽快掌握相关运算技巧*．本材料将简述曲线坐标系的基本知识和张量微分运算，重点放在运算技巧方面，略去严格繁琐的数学分析和论证，旨在给非数学专业人员提供一本关于曲线坐标系下张量微分运算的通俗读物．1．曲线坐标系我们限于三维位置空间．该空间作为“欧几里得空间”的特例，需要3个坐标进行描述．最简单的坐标为直角坐标，由它们构成直角坐标系，又称“笛卡儿”坐标系．我们可以用直角坐标的3个彼此独立的连续可微函数作为新坐标，来取代3个直角坐标．新坐标的等值面一般为曲面，称为坐标曲面；不同坐标曲面之间的交线一般为曲线，称为坐标曲线．顾名思义，在某个坐标曲面上，对应坐标为常数，其余两个坐标可变；在某条坐标曲线上，对应坐标连续变化，其余两个坐标分别为常数．以上在直角坐标基础上引入的新坐标系，称为曲线坐标系．2．引入曲线坐标系的目的为何要引入曲线坐标系，而不统一使用最为简单的直角坐标系呢？从物理角度考虑，大致可归纳为以下几个方面的原因：(1) 使解域边界或解域内的间断面与某个坐标曲面一致，便于处理边界条件和边值关系．(2) 便于针对物理问题的对称性质实现空间降维处理，把复杂的三维问题（因变量与全部3个空间坐标有关）转化为二维（仅与2个曲线坐标有关）甚至一维问题（仅与1个曲线坐标有关）．(3) 便于处理介质的各向异性．反映介质各向异性的介质参量为三维二阶张量，且物理规律本身常常要求这些张量为对称张量．通过选择合适的曲线坐标系，可使得它们对角化，从而只出现3个对角元素，由它们完全确定相应张量的性质．以磁化等离子体为例，它在平行和垂直于磁场方向的物理性质截然不同，相应出现的热传导系数、电导率、粘制系数乃至等离子体压强均为张量．在这种情况下，可直接将磁力线选为一条坐标曲线，并选择其余两个坐标，共同构成正交曲线坐标系（其3个基矢彼此正交）．以下将这样构成的坐标系称为“磁力线坐标系”．在该坐标系中，上述张量将转化为对角张量，仅含3个对角元素．进一步，在这3个对角元素中，垂直方向上的两个元素一般相等，体现了该方向上的各向同性性质，以致独立元素的数目进一步缩减为2个．我们既可直接使用磁力线坐标系，也可以使用别的曲线坐标系S．对于后者，可通过磁力线坐标系和S系之间的变换关系，将对角化张量变换至S系中；经变换之后的张量虽可能出现9个非零分量，但其中只涉及2个独立参数，它们即为变换之前的张量的2个独立对角元素．3．本材料的主要内容(1) 介绍曲线坐标系的基本知识．(2) 给出曲线坐标系下的物理场张量的微分运算公式并介绍运算技巧．(3) 定义可忽略坐标，讨论具可忽略坐标的坐标系的可能类型．*近年出版的若干张量分析的通俗读物提到曲线坐标系，便于阅读，参见本材料末尾提及的3本具代表性参考书．- 2 -(4) 举例说明曲线坐标系中的张量微分运算步骤和基本技巧．(5) 任意坐标变换下的张量定义和张量运算．本材料的读者只需具备场论、微分（含隐函数微分）和线性代数方面的基本知识，就能通过自学掌握本材料的全部内容；在学习过程中，应完成和重复全部推导过程，从中训练和熟悉计算技巧．2． 引入过程和基本参数1． 坐标变换设),,(z y x 为三维位置空间的直角坐标，按下式确定曲线坐标：)3,2,1(),,,(==i z y x x x i i (2.1)要求变换函数为单值的连续可微函数，且变换的雅可比式满足,,0),,(),,(321∞≠∂∂≡ z y x x x x J (2.2) 以确保曲线坐标)3,2,1(=i x i 之间相互独立，变换非奇异，同时可以将式(2.1)反演，获得y x ,和z 与曲线坐标的函数关系，确保这些函数也是单值的连续可微函数．值得说明的是：允许变换式(2.1)在个别点、线和面上出现奇异性，即在这些局地奇异位置上∞=,0J ，或坐标出现多值．曲线坐标系存在局地奇异性，对其必须进行特别处理．此外，我们对曲线坐标采用上标记法．对下面即将定义的三维矢量和各阶张量，其分量也通过上标或下标表示，其中上标表示“逆变”指标，下标表示“协变”指标，可通过熟背“上逆下协”将这一约定记住．2． 基矢和逆基矢(1) 几何表述如图1所示：过空间任意点P 作出3个坐标曲面，它们的3条交线即为坐标曲线．针对P 点定义基矢和逆基矢如下：基矢为相应坐标曲线的切向矢量，由粗实线箭头表示，记为)3,2,1(=i i e ；逆基矢为坐标曲面的法向矢量，由细实线箭头表示，记为)3,2,1(=i i e ．记住基矢编号为下标，逆基矢编号为上标，满足“上逆下协”的约定．注意上述关于基矢和逆基矢指向的定义均是针对考察点P 而言的；考察点位置不同，一般将导致基矢和逆基矢的指向变化．因此，基矢和逆基矢均是空间位置或空间坐标的函数．此外，我们尚未就基矢和逆基矢的长度作出规定，这一问题留待下面解决．这里只强调一点，基矢和逆基矢不必图1 基矢和逆基矢的指向2x- 3 -为单位矢量．(2) 数学定义如前所述，沿i x 坐标曲线仅ix 本身变化，其余两个坐标维持常数不变（读者可类比直角坐标：沿x 轴仅x 变化，y 和z 维持不变）．用直角坐标下的位置矢量 z y x z y x e e e r ++= (2.3)表示沿ix 坐标曲线任意一点的位置，式中x e 、y e 和z e 为沿3个直角坐标轴方向的单位矢量；则该位置矢量应是i x 的单值连续可微函数．于是，我们可视i x 为“参数”，采用直角坐标将坐标曲线写成如下参数形式： ).(or );(),(),(i i i i x x x y x y y x x x r r ==== (2.4)该曲线的切向矢量与ix ∂∂/r 平行，将后者定义为基矢： )3,2,1(,=∂∂=i x ii r e (2.5) 由条件式(2.2)可知，)3,2,1(=i i e 彼此独立（或非共面），但不一定相互正交，且一般不是单位矢量，即其长度一般不等于1．作为坐标曲面的法向矢量，逆基矢可由基矢导出，基本思路如下．一个坐标曲面通过两条坐标曲线，相应两条基矢恰好与坐标曲面相切．于是我们可由两基矢的矢积去定义逆基矢．先让我们计算由3个基矢构成的六面体的体积，结果如下：.),,(),,()(321321x x x z y x V ∂∂=×⋅=e e e (2.6) 推导中用到式(2.5)．由3个基矢非共面性质，必有0≠V ．在安排坐标变换式(2.1)时，我们不难实现0>V ，这样的坐标系称为右旋坐标系；以下我们默认0>V ，即限于右旋坐标系．三个逆基矢定义如下：.e e e e e e e e e )(1),(1),(1213132321×=×=×=VV V (2.7) 通过简单的矢量运算可以证明,e e e e e e e e e e e e 323212113323321)]([)]()[()(1)(V V ×⋅=×××⋅×=×⋅ 再由式(2.6)得.1)(321V=×⋅e e e (2.8) 上式表明，3个逆基矢同样具有非共面性质，即它们彼此独立；3个逆基矢的混合积与对应的基矢混合积同号，且互为倒数关系．不过，3个逆基矢之间不一定相互正交，且一般不是单位矢量．在进行矢量分解和乘法（点乘、叉乘）运算时，基矢的正交性将会提供便利．在我们常用的直角坐标系、球坐标系和圆柱坐标系中，3个基矢彼此正交，分别与相应逆基矢平行．通常将它们合二而一，全部转化为单位矢量．于是，我们可以十分方便地在这类坐标系中将矢量进行分解和乘法（点乘或叉乘）运算．可是，对于一般曲线坐标系来说，上述定义的基矢一般互不正交，逆基矢也是如此．有趣的是，在基矢和逆基矢之间存在正交关系，使得我们在一般曲线坐标系中的矢量分解- 4 -和乘法运算同样方便．这正是人们在一般曲线坐标系中引入两套基矢的理由之一．(3) 正交“归一”关系基矢和逆基矢之间存在如下正交“归一”关系：⎩⎨⎧≠===⋅,,0,,1k i k i i k k i δe e (2.9) 式中ik δ称为克罗内克（Kronecker ）符号．上式可利用式(2.7)和式(2.6)通过简单的矢量运算去证明，例如 ,0)(1,1)(12322113211=⋅×=⋅=⋅×=⋅e e e e e e e e e e VV 等等． 正交归一条件不可理解为i i e e //，二者之间的夹角可以不等于0，但二者之间的标积等于1．正因为如此，我们在“归一”一词上加上引号，以区别于通常对于归一含义的理解．(4) 用逆基矢表示基矢直接由式(2.6)和式(2.7)可证.V V V )(),(),(213132321e e e e e e e e e ×=×=×= (2.10)(5) 逆基矢表为曲线坐标的梯度以上我们通过基矢的矢积即式(2.7)定义逆基矢，其几何意义是所定义的逆基矢与相应坐标曲面垂直．另一方面，i x 的梯度i x ∇也与坐标曲面垂直，也就是说i e 应与ix ∇平行．其实，我们可以证明二者恰好相等，即 )3,2,1(,=∂∂+∂∂+∂∂=∇=i z x y x x x x z iy i x i ii e e e e (2.11) 下面以11x ∇=e 为例给出证明．将变换式(2.1)反演求得直角坐标作为曲线坐标的函数： ),,,(),,,(),,,(321321321x x x z z x x x y y x x x x x ===然后按隐函数求导的办法计算z y x x ,1)/(∂∂．为此，分别对上面3个等式求微分得 .,,332211332211332211dx x z dx x z dx xz dz dx xy dx x y dx x y dy dx xx dx x x dx x x dx ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂= 将上式视为21,dx dx 和3dx 的3元1次代数方程，其系数矩阵为V （见式(2.6)）．维持左边的源项0≠dx (表示对x 求导)，令0==dz dy (表示求导时固定y 和z 不变)，则可由克拉玛法则解得.),(),(113223321dx x x z y V dx x z x y x z x y V dx ∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂−∂∂∂∂=于是，我们最终求得- 5 -.),(),(132,1x x z y V x x zy ∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂ 至此完成隐函数求导过程．上式即为ix ∇的x 分量．另一方面，由式(2.5)和式(2.7)有 ().e e e e e e ),(),(1)(1323211x x z y V V x x x ∂∂=×⋅=⋅= 于是证得.)(1,1x zy x x e =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂ 同理可证,)(,)(1,11,1z yx y z x z x y x e e =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂ 从而最终证得11x ∇=e 成立．对于式(2.11)的其余两个等式（i = 2,3），证明步骤类似，证毕．将式(2.11)代入式(2.8)得,),,(),,(),,(),,(1)(1321321321−⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂==∂∂==×⋅x x x z y x J z y x x x x V e e e (2.12) 推导过程中用到式(2.2)和式(2.6)．上式表明，V 的倒数正好等于坐标变换式(2.1)的雅克比式．3． 度规系数和度规张量(1) 度规系数度规系数定义如下：.,ki k i ik ki k i ik g g g g =⋅==⋅=e e e e (2.13)由点乘运算的互易性，可证明度规系数对指标的对称性：ki ik g g =，ki ik g g=．(2) 度规张量以并逆基矢或并基矢为“基底”，由相应度规系数按如下方式构成的二阶张量称为度规张量： .k i ik k i ik g g e e e e G ==I (2.14)在上式中，我们使用了同指标求和约定，且一对求和指标总是一上一下，或者说一逆一协．同指标求和约定又称为爱因斯坦约定．在本材料中，除非做出特别说明，我们一律遵循爱因斯坦约定．有关上式表示的量为二阶张量这一点，将在第8节做出说明．由度规系数的对称性，自然推得度规张量为对称张量．此外，ik g 表示度规张量的协变分量，ikg 则表示它的逆变分量，与前述“上逆下协”的命名规则一致．(3) 度规张量与空间性质度规系数完全决定了空间的度量性质和几何结构，下面将作出具体说明．以上通过欧几里得空间的坐标变换引入度规张量，经变换得到的空间仍属于欧几里得空间．其实，度规张量的分量可以随意规定，只要求它是非退化的，即它对应的矩阵G ＝)(ik g 的行列式不为零（0)det(≠G ）．如果度规张量是对称的，按它规定度量性质的空间称为黎曼空间；其中，由度规张量确定的所谓“黎曼- 6 -曲率张量”（参见第4节）等于零的空间称为欧几里得空间，又称“平直空间”；否则属于“弯曲空间”．在坐标变换下，度规系数（即度规张量分量）会发生变化，但度规张量和黎曼曲率张量作为一个整体维持不变．因此，坐标变换不会改变空间的本来性质，例如欧几里得空间经坐标变换之后，仍为欧几里得空间．顺便指出，引力空间属于（四维）弯曲空间，其黎曼曲率张量不为零，将在广义相对论中进行定量分析．这些概念与我们关注的曲线坐标系和相关运算并无直接关系，提及它们只是为了定性说明坐标变换、度规张量与空间性质之间的关系．(4) 曲线坐标下的度规系数表达式由坐标变换式，按式(2.5)和式(2.11)可获得所需要的度规系数,k i k i k i ik x z x z x y x y x x x x g ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=(2.15) .zx z x y x y x x x x x g ki k i k i ik ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= (2.16) 4． 位移矢量的分解位移矢量即位置矢量r 的微分r d ，它是张量微分的基础．(1) 位移矢量按基矢分解由式(2.5)得.i i i i dx dx xd e r r =∂∂=(2.17) 上式即为r d 按基矢的展开式，其展开系数i dx 为位移矢量的逆变分量．再次提醒注意：基矢i e 的模一般不等于1，且不同基矢之间一般不正交．(2) 位移矢量按逆基矢分解也可以将r d 按逆基矢展开，设展开式如下：.k k dx d e r = (2.18)相应，k dx 为r d 的协变分量．既代表同一矢量，协变分量和逆变分量之间一定存在某种换算关系，下面就来分析这种关系．(3) 位移矢量协变分量和逆变分量的关系由式(2.17)和式(2.18)得.k k i i dx dx d e e r ==将上式与k e 点乘，利用正交归一关系式(2.9)和式(2.13)得.)(i ik k k k i i dx g dx dx dx =⇒=⋅ e e若改为与ie 点乘，则相应结果为 .)(k ik i k i k i dx g dx dx dx =⇒⋅= e e将上述结果写在一起：.,k ik i i ik k dx g dx dx g dx == (2.19)上式中，求和指标同样是一上一下，即一逆一协．- 7 -(4) 度规张量的协变分量和逆变分量的关系将jk g 乘以式(2.19)中第1式对k 求和得.i ik jk k jk dx g g dx g =接着由式(2.19)中的第2式（令其中j i =）可知上式左边等于j dx ，或将其等效地写为ij i dx δ，于是得 .i j i i ik jk dx dx g g δ=由idx 的任意性，上式成立的充分必要条件是 .j i ik jk g g δ= (2.20)上式表明，由度规张量协变分量构成的矩阵与由度规张量逆变分量构成的矩阵互逆，即).(),(1ik ik g G g G ==− (2.21)5． 矢量的分解对于矢量f ，同样存在两种分解方式：,k k i i f f e e f == (2.22)i f 为逆变分量，k f 为协变分量．(1) 矢量分量的计算由基矢与逆基矢之间的正交归一关系式(2.9)易证.,k k i i f f e f e f ⋅=⋅= (2.23)(2) 矢量协变分量和逆变分量的关系将式(2.22)代入式(2.23)，并利用式(2.13)得,,i ik k i i k k k ik i k k i i f g f f f g f f =⋅=⋅==⋅=⋅=e e e f e e e f即 .,k ik i i ik k f g f f g f == (2.24)上式与位移矢量协变、逆变分量的关系式(2.19)形式类似．这是预料中的结果，既然位移矢量也是矢量．(3) 由度规系数给出基矢和逆基矢的关系前面得到的式(2.7)和式(2.10)已经给出基矢和逆基矢之间的关系．下面设法通过度规系数来表达这种关系．将式(2.24)代入式(2.22)得.k i ik k k i i f g f f e e e f ===由i f 的任意性得k ik i g e e =；通过类似步骤可证i ikk g e e =．于是通过度规系数给出的基矢和逆基矢的关系如下： .,i ik k k ik i g g e e e e == (2.25)上述基矢与逆基矢的关系在张量微分运算中特别有用．基矢、逆基矢关系式(2.25)与位移矢量协变、逆变分量关系式(2.19)形式上也是类似的．6． 与度规系数相关的两个恒等式),det(2G V = (2.26).3321222112221333111122333222g g g g g g g g g g g g V −=−=−= (2.27) (1) 恒等式(2.26)的证明将式(2.25)代入式(2.6)得).()(321321k j i k j i g g g V e e e e e e ×⋅=×⋅= (2.28)引入交错符号⎪⎩⎪⎨⎧−=下标出现重复下标奇排列下标偶排列,0,1,1ijk ε (2.29)其中偶排列指的是排列123及其相邻下标实施偶次置换操作后的结果，奇排列指的是排列123的相邻下标实施奇次置换操作后的结果．容易看出，对两个相邻下标实施奇次置换操作之后，ijk ε反号；偶次置换操作之后，ijk ε维持不变．使用ijk ε，可将)det(G 写成,)det(321g g g g G k j i ijk ≡=ε式中g 为度规系数矩阵的行列式．由式(2.12)得.1)(1)(123321ijk k j i VV εε=×⋅⇒=×⋅e e e e e e 将上述两式代入式(2.28)得 ),det(11321G V g g g V V k j i ijk ==ε 证毕．(2) 恒等式(2.27)的证明由式(2.21)得I g G GG ik ==−)(1（I 为单位矩阵），亦即.100010001333231232221131211⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛g g g g g g g g g G 将上述代数方程组拆成如下3个部分：,100,010,001332313322212312111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛g g g G g g g G g g g G 各部分均为3元1次代数方程组，其系数矩阵同为G ．由克拉玛法则，可分别解得11g 、22g和33g ，结果如下：.,,212221133213331122223332211g g g g g g g g g g g g g g g −=−=−= 将2)det(V G g ==（参见式(2.26)）代入上式，即证得式(2.27)，证毕．顺便指出，交错符号ijk ε与克罗内克符号j i δ之间存在如下重要关系： .m k n j n k m j imn ijk δδδδεε−= (2.30)上式可通过列举法给予证明．当张量运算式中出现两次叉乘运算时，在直角坐标下将运算式展开之后将连续两次出现交错符号，这时式(2.30)特别有用．下面举例说明它的应用．例1 证明如下等式成立（同指标求和）：.6,2==ijk ijk n m ijn ijm εεδεε证 利用式(2.30)得,23n m n m n m j m n j n m j j ijn ijm δδδδδδδεε=−=−=.6333=−×=−=j k k j k k j j ijk ijk δδδδεε证毕．7． 弧元、面元和体元弧元、面元和体元是描述空间度量性质和几何结构的基本要素，它们的表达式涉及坐标微分和度规系数，下面一一导出．空间的几何图形由弧元、面元和体元这些基本要素构成，而这些要素由坐标微分和度规系数确定，因此我们说度规系数完全决定了空间的度量性质和几何结构．(1) 弧元：弧元ds 的表达式可通过位移矢量r d 求模得到．由式(2.17)、式(2.18)和式(2.13)得.)(2j i ij j i ij dx dx g dx dx g d d ds ==⋅=r r (2.31)上式即为度规张量决定空间度量性质的数学表述：度规系数（或度规张量）确定了弧元（长度）与坐标微分之间的关系．写下沿坐标曲线方向的位移矢量（又称弧元矢量）：,,,333222111dx d dx d dx d e s e s e s === (2.32)其模为（利用式(2.13)）.,,333322221111dx g ds dx g ds dx g ds === (2.33)(2) 面元：沿各坐标曲面的面元的表达式由弧元矢量按如下方式导出：⎪⎩⎪⎨⎧=×==×==×=.,,321213231132132321e s s a e s s a e s s a dx Vdx d d d dx Vdx d d d dx Vdx d d d (2.34)各面元的模可由上式和式(2.27)导出，结果如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−==−==−==.dx dx g g g dx dx g V da ,dx dx g g g dx dx g V da ,dx dx g g g dx dx g V da 212122211213333121333113122232223332232111 (2.35)(3) 体元：由式(2.32)、式(2.6)和式(2.26)得.)(321321321dx dx dx g dx dx Vdx d d d d ==×⋅=s s s τ (2.36)8． 基矢的代数运算张量的代数运算归结为基矢、逆基矢之间的代数运算．基矢、逆基矢之间的点乘由式(2.9)和式(2.13)规定，基矢之间或逆基矢之间的叉乘（矢积）运算由式(2.7)和式(2.10)表述．碰到基矢与逆基矢之间的叉乘，可利用式(2.25)将逆基矢相对基矢展开或反之，转化为基矢之间或逆基矢之间的叉乘运算．以矢量f 和h 之间的点乘为例，可按如下4种方式进行：),(k i k i k k i i h f h f e e e e h f ⋅=⋅=⋅),(k i k i k k i i h f h f e e e e h f ⋅=⋅=⋅),(k i k i k k i i h f h f e e e e h f ⋅=⋅=⋅).(k i k i k k i i h f h f e e e e h f ⋅=⋅=⋅其中涉及基矢之间、逆基矢之间以及基矢与逆基矢之间的点乘．由式(2.9)和式(2.13)求得上述四种计算方案的答案分别为k i ik h f g 、k i ik h f g 、i i h f 和ii h f ；利用矢量协变分量和逆变分量之间的关系式(2.24)，很容易证明这些答案彼此相等．基矢和逆基矢之间还存在并列运算．基矢和逆基矢本身，以及由它们之间的并列运算的产物，将作为矢量和张量展开式的“基底”（参见第8节）． 3． 基矢的微分运算1． 引 言对于曲线坐标系来说，基矢因点而异．对张量进行微分运算时，不仅要对分量微分，还要对基底所涉及的基矢（或逆基矢）微分．对分量的微分类似于一般标量微分，容易处理；关键是如何实现对基矢的微分运算．因此，基矢的微分运算是一切张量微分运算的基础．以矢量的散度和旋度为例，将矢量f 写成基矢或逆基矢的线性组合(参见式(2.22)）：.k k i i f f e e f ==对于散度计算，我们采用第1个展式，求得f 的散度为.)()(i i i i i i f f f e e e f ⋅∇+⋅∇=⋅∇=⋅∇ (3.1)对于旋度计算，我们采用第2个展式，求得f 的旋度为.)()(i i i i i i f f f e e e f ×∇+×∇=×∇=×∇ (3.2)完成上述计算的关键在于计算基矢的散度和逆基矢的旋度．至于就散度和旋度计算针对矢量展开式的不同选择，完全出于计算方便；通过以下基矢的散度和逆基矢的旋度计算可以清晰理解这一点．2． 基矢的散度为计算基矢的散度，我们从散度的原始定义出发：,1lim 0∫∫⋅Δ=⋅∇→ΔAii d a e e ττ (3.3) 式中τΔ为由坐标面元构成的六面体体积，示于图2，图中P （321,,x x x ）为六面体的顶点，1x Δ、2x Δ和3x Δ为边长，A 为边界（闭合曲面）．由式(2.36)和式(2.34)分别求得六面体的体积和三个面元矢量如下：,321x x x V ΔΔΔ=Δτ⎪⎩⎪⎨⎧ΔΔ=ΔΔΔ=ΔΔΔ=Δ.,,321323121321e a e a e a x x V x x V x x V由于ji j i δ=⋅e e ，只有以i e 为法向的面元即面元i a Δ对式(3.3)右边的积分有贡献．这样的面元有两个：一个位于i x ，另一个位于i i x x Δ+，两个面元面积的差别仅来自乘子V 随i x 的变化．于是，式(3.3)右边的积分化为 [].1)()()(11i i i i A i i i x V V x V x x V x x V d ∂∂≈−Δ+Δ≈⋅Δ∫∫a e τ (3.4) 在以上推导过程中，体元τΔ中3个弧元乘子被面元i d a 中的2个弧元乘子消去之后，余下一个弧元乘子i x Δ留在分母；将式(3.4)代入式(3.3)之后取极限0→Δτ（即0→Δix ），式(3.4)中的近似相等变为严格相等，最终求得基矢的散度公式如下： )3,2,1(,211=∂∂=∂∂=⋅∇i x g g x V V i i i e (3.5) 最后一个等式用到2)det(V G g ==（参见式(2.26)）．由以上推导过程可见，选择求基矢i e 的散度，便于直接利用基矢和逆基矢之间的正交归一关系，简化推导过程，最终求得的基矢散度表达式也较为简单．与此相应，在求矢量散度时，应当将作用对象按基矢展开，按式(3.1)给出的方式进行计算．3． 逆基矢的旋度由式(2.11)，逆基矢等于曲线坐标ix 的梯度，故其旋度为零： )3,2,1(,0==×∇i i e(3.6)图2 用于基矢散度计算的体积元Δτ顺便指出，基矢的旋度一般不等于零．在求旋度时，应当将作用对象按逆基矢展开，按式(3.2)给出的方式进行计算，其中右边第2项恒等于零．4． 标量的梯度标量φ的梯度表达式可从φ的全微分表达式中获取：;r r e d d xdx x d i i i i ⋅∇=⋅∂∂=∂∂=φφφφ 由r d 的任意性，推得φ∇的表达式如下：.i i x e ∂∂=∇φφ (3.7) 注意，ix ∂∂/φ为φ∇的协变分量．虽说矢量和张量的分量不是标量，但作为单个数量，同样可使用式(3.7)计算它的“梯度”（这类梯度自然也非矢量）．例如，出现在式(3.1)和式(3.2)中的i f ∇和i f ∇就属于这类梯度．5． 基矢的方向导数一般物理教科书的附录只给出正交曲线坐标系（参见第5节）中的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符公式，但在连续介质力学的动力学方程中常会出现方向导数运算．对于这类运算，一般只好利用如下矢量恒等式，将方向导数转化为梯度、散度和旋度运算： .)()()()()(2g f f g g f f g g f g f f g ⋅∇−⋅∇+×∇×−×∇×−⋅∇+××∇=∇⋅ (3.8) 从该式出发，由给定的梯度、散度和旋度表达式，原则上可以导出方向导数在各类正交曲线坐标系中的表达式．由式(3.8)可见，这类推导相当繁琐．如果将矢量f 和g 相对基矢展开，方向导数的计算将变得十分简单：)()()()(k i i k k k i i k k i i g f f g f g e e e e e e f g ∇⋅+∇⋅=∇⋅=∇⋅， (3.9)其中关键在于计算基矢的方向导数k i e e ∇⋅．为此，在式(3.8)中取ρe f =，σe g =（希腊字母σ和ρ表示整数标号，在1到3间取值，与i 、j 等作用相同）得σρρσσρρσσρσρρσe e e e e e e e e e e e e e ⋅∇−⋅∇+×∇×−×∇×−⋅∇+××∇=∇⋅)()()()()(2),2/(])/()/[()]([)]([)]/([g x g x g g g g V V ρσσρμσμρμρμσρσσρe e e e e e e e ∂∂−∂∂+×∇×−×∇×−∇+××∇= 推导中依次用到式(2.13)、式(2.25)和式(3.5)．上式右边第一项化为 ,2121)(21)1()]1([σρρσσρσρσρe e e e e e e e x g g x g g g gV V V V ∂∂−∂∂=××∇=××∇=××∇ 推导中依次用到式(3.6)、式(2.7)、式(3.7)和式(2.9)．代回原式得ρσσρμσμρμρμσρσσρσρρσe e e e e e e e e e x g g x g g g g g x g g x g g ∂∂−∂∂+×∇×−×∇×−∇+∂∂−∂∂=∇⋅2121)()(2121)(2.)()()(λρσλσρλρσμρμρρμσρσμρμρσμμρμρμσρμμσρσδδe e e e e e e e ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+−∇=∇⋅+∇⋅+−∇=∇⋅+∇−∇⋅+∇−∇=x g x g g g g g g g g g g 在推导过程中依次用到式(3.7)、式(2.9)和度规张量的对称性，最后一步将求和指标μ换成λ．利用式(3.7)，上式最终化为,2121)(μλρσρσλσρλμλλλρσρσλσρλρσe e e e ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂=∇⋅x g x g x g g x g x g x g (3.10) 其中第2个等式用到式(2.25)．定义,21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂=Γλρσρσλσρλμλμρσx g x g x g g (3.11) 则可将式(3.10)简写为.)(μμρσρσe e e Γ=∇⋅ (3.12)μρσΓ为基矢ρe 沿σe 的方向导数的逆变分量，称为“仿射联络”．由度规张量的对称性，易判断仿射联络对下指标对称，即.μσρμρσΓ=Γ (3.13)由仿射联络对下标的对称性及式(3.12)，不难看出基矢的方向导数满足如下互易关系：.)()(σρρσe e e e ∇⋅=∇⋅ (3.14)对固定的一组ρ和σ，μρσΓ为一个矢量的逆变分量，该矢量即ρσe e )(∇⋅或σρe e )(∇⋅．如果允许ρ和σ在1到3间取值，则μρσΓ有2733=个分量，但它并不代表一个三阶张量的分量．也就是说，将所有9个方向导数凑在一起，并不能构成三阶张量；或者一般地说，由若干个低阶张量的分量凑在一起，并不能构成高阶张量．关于μρσΓ不构成三阶张量这一结论，将在第8节给出证明．其实，从曲线坐标系中的张量微分运算角度，大可不必引入和计算仿射联络，只需引入和计算度规张量就足够了．换句话说，我们在实施曲线坐标系中的张量微分运算时，只需计算9个度规系数，用不着去计算仿射联络的27个分量（其中独立分量数目为18个）．之所以在这里引入仿射联络，纯粹出于便于表述之目的．在下一节提到矢量梯度运算，在第6节讨论可忽略坐标，以及在第8节验证张量微分运算的不变性时，会用到仿射联络这种简便表示．本节得到的式(3.5)~(3.7)和式(3.10)十分有用；从它们出发，可以在任意曲线坐标系下准确、便捷地导出各类张量微分运算表达式及其分量形式．在结束本节之前，我们再强调一点．基矢（逆基矢）的运算，包括第2节末提到的代数运算和本节介绍的微分运算，系张量运算的中间步骤，它们的运算结果一般不是张量，亦即基矢（逆基矢）的运算不具备相对坐标变换的不变性．仿射联络作为基矢方向导数的产物并不构成张量（参见式(3.12)），就是一个典型例子．不过，一旦将分解后的所有涉及基矢（逆基矢）微分的运算结果合成起来，所得到的张量微分的最终结果必为张量．有关这一点，将在第8节做进一步说明．。
--坐标系ppt(共38张PPT)
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第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
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第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
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第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
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第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
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第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
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第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
第二章矢量分析
则有:
g
式中
ex ey e z grad x y z
( , , ) x y z
梯度(gradient)
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
体积元
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 长度元：dl = exdx + eydy + ezdz • 面积元：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy • 体积元：dV = dxdydz
单位矢量
e
e
ez
任意矢量A在直角坐标系下的表达式
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。
因此，其面积分后，环量为
l A dli ( A) dSi
i
l A dl ( A ) dS
S
Stocke’s定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场
中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
divA lim
v 0
1 v
A dS
S
四元数,矢量运算规则,场论基础,并矢,算符,场量的Taylor展开,正交曲线坐标系,Delta函数
四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中R d ,c ,b ,a ∈ 另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为)k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---=四元数的单元间的运算规则: j ik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-===四元数加法适合结合律,交换律;,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=⇒∈R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！ 四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ=四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα性质: )(S )(S )(S βαβα+=+四元数的模:R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα性质: )(N )(N )(N βααβ⋅=,0)(N 0=⇔=αα证明: 0,oder ,00==⇒=βααβ00)(N 00)(N 00,und ,0=⇒⎭⎬⎫≠⇒≠=⇒=⇒≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=⇒≠=βααβ,同理00,,0=⇒≠=αβαβund证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根.因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-⇒ααααα⇒=++-⇒0)()(2αααααα也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H内方阵型如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110011010011001011001101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即}R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故02222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=⋅ R V ,V →两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯, b ,a )b a ( ⊥⨯ V )V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2222222222∧∧=-=⋅-=⨯ 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯推论 22b a b b a a )b a ()b a (;b a )b a ()b a (-=⋅-⋅=+⋅-⨯=+⨯-四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321=,)b ,b ,b (b 321= 间关系βα↔↔b ,a 两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(21)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=⋅ ,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(21b a αβαβαβαβαβ=-=-=⨯ ,即两矢外积b a ⨯对应于四元数αβ的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=⋅-⨯b a b a三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [ ⨯⋅≡⋅⨯=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a三矢为边的平行六面体的体积性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a (⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =⨯⨯⨯ 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯V )V ,V ,V (→c)b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 321332211321332211333221133322112332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321⋅-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++-++++-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯推论0)b a (c )a c (b )c b (a=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (db cb d a ca )d c ()b a (⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯R )V ,V ,V ,V (→)c b )(d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外积三矢内积 ⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅⨯⨯=⨯⋅⨯四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a (-=-=⨯⨯⨯ V )V ,V ,V ,V (→ a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积三矢外积 -=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯推论c ]c ,b ,a []d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯流线 等X 面/线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度为形象描述矢量场)z ,y ,x (f 定义)z ,y ,x (f 的流线f.为形象描述标量场)z ,y ,x (ϕ定义)z ,y ,x (ϕ的等X 面/线.S d 为开/闭有向曲面S 上一面元,矢量f 在面元S d 上的元通量S d f d f⋅=Φ,面积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲面S 上的通量(标)⎰⋅=ΦSf S d fl d 为开/闭有向曲线l 上一面元,矢量f 在线元l d 上的元环量l d f d f⋅=Θ,线积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲线l 上的环量(标)⎰⋅=Θlfl d f 矢量场)z ,y ,x (f的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面S 包围体积V ∆,0V →∆时f 在S上的通量与V ∆比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的散度V /S d f lim f div S 0V ∆⋅=⎰→∆矢量场)z ,y ,x (f的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度.闭合曲线l 包围有向曲面S ∆,0S |S |→∆=∆ 时f 在l 上的环量与S ∆的比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的旋度f rot 沿S∆法向的分量S /l d f lim )f rot (l 0S n ∆⋅=⎰→∆ 等效于0S →∆时S )f rot (l d f ∆⋅=⋅⎰标量场)z ,y ,x (ϕ的梯度(矢):描述标量场各点空间变化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场)z ,y ,x (ϕ沿l d 向改变ϕd ,称dl d ϕ为ϕ沿l d 向的方向导数,dl d ϕ等于ϕ的梯度的l d 向分量l d )grad (d dld )grad (l ⋅=⇔=ϕϕϕϕ积分变换公式Gauss 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅∇VV dS f n dV f(f 的散度对体积V 体积分 ←转换→ f 对V 的包面的闭面积分)Stokes 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SS l d f dS n )f ((f 对有向曲线S ∂的闭线积分 ←转换→ f 的旋度对以S∂为边的有向曲面S 的面积分)Green 恒等式:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂=⋅∇=⋅∇=∇⋅∇=∇+∇⋅∇V V V V V 2dS ndS n )(S d )(dV )(dV )(ψφψφψφψφψφψφ (n ∂∂:外法线方向导数)Green 定理:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂-∂∂=⋅∇-∇=⋅∇-∇=∇-∇⋅∇=∇-∇VV V V V 22dS )n n (dS n )ˆˆ(S d )ˆˆ(dV )ˆˆ(ˆdV )ˆˆ(φψψφφψψφφψψφφψψφφψψφ ⎰⎰⨯∇=⨯∂V V dV A A S d (⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯∇⋅=⨯⋅⇔⨯∇⋅=⨯⋅∇=⨯⋅=⨯⋅∂∂∂VV V V V V dV )A (C )A S d (C dV )A (C dV )C A ()C A (S d )A S d (C) ⎰⎰∇=∂VVdV S d ψψ (⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅=⋅⇔∇⋅=⋅∇=⋅=⋅∂∂∂VVVVVVdV C )S d (C dV C dV )C (S d C )S d (C ψψψψψψ)⎰⎰∂=∇⨯SSl d S d ψψ(⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂⋅=⋅∇⨯⇔⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅∇⨯SSSSSSl d C C )S d (l d C S d )C (S d )C (C )S d (ψψψψψψ)并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量i T 在坐标架转动满足变换关系i mi m T R T =,坐标转动矩阵miR 即二阶张量.二阶张量ij T 满足变换关系ij nj mi mn T R R T =.由两矢B A ,并列放置且之间无运算则构成并矢B A,含9个分量,记为j i B A ,由于i A 和j B 分别满足:i mi m A R A =,j nj m B R B =,故并矢B A满足j i nj mi B A R R B A = ,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系. ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡><≡⊗≡z z z z z z y y y y y y x x x x x x z y x z y x v v g f g f g f g f g f g f g f g f g f g g g f f f g f g f g f g f || , 单位并矢(单位二阶张量)ij ij kk jj ii r δ=I =++=∇=I,性质:X X X =⋅I =I ⋅;(X 为矢量或算符); 2:∇=∇∇ I ; ϕϕ∇=⋅∇)(I ; )(:T Spur T T I ii ==; g f g f I ⋅=:;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘p g f p g f )(⋅=⋅;左点乘)(f p g f p g⋅=⋅,这样,三矢外积可用并矢表示)()(p g g p f p g f -⋅=⨯⨯两二阶张量B A ,间的双点乘:ji ij B A B A = :(或))(()(:)(q f p g q p g f⋅⋅=)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.g f f g g f)()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇g f g f g f)()()(∇⨯-⨯∇=⨯∇f r f r r f ⋅+⋅∇=⋅∇2)(22f r f r f +⋅∇=⋅∇)()(f r r f r r f r r f++⋅∇=⋅∇)()( ⎰⎰⎰∂∂⋅I =I ⋅=I ⋅∇VV V S d dS n dV⎰⎰∂I ⨯=I ⨯∇VV dS n dV⎰⎰∂=∇V V dS f n dV f⎰⎰∂⋅=⋅∇VVS d g f dV g f)()(根据以上矢量运算定理,可把Gauss 定理⎰⎰∂=∇VV n S d dV 和Stokes 定理⎰⎰∂=∇⨯SS l d n dS 的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算∇算符具有:矢量性和算符性.∇对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于∇,但需调整∇在结果中的位置,使等式左右量同型. f )g (g )f ()g f ( ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ (第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的两矢量次序,取负)f )f ()f (2 ∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (按c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯写结果,再调整次序,使右端得矢量)ψϕϕψϕψ∇+∇=∇ )( f f )()f ( ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕf f )()f (⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ 2f 21f )f ()f f (f )f (f )f ( ∇-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇]g )f ()f (g []f )g ()g (f [)g f (∇⋅+⋅∇-∇⋅+⋅∇=⨯⨯∇ )f (g )g (f f )g (g )f ()g f (⨯∇⨯+⨯∇⨯+∇⋅+∇⋅=⋅∇3r =⋅∇ ; I r r =⊗∇≡∇; r e r r r ==∇;0e r r =⨯∇=⨯∇; r 2e r =⋅∇ 2r 3re r r r 1 -=-=∇ r e dr df r ˆdr df )r (f ˆ =∇=∇ ⎩⎨⎧=∞≠=-=-∇=-∇=∇)0(,)0(,0)(4ˆˆ1ˆ232r r r r e r r r r πδ Coulomb 定理的微分式:Green 函数|'r r |141)'r ,r (G ),r (4r e ˆ02r -==∇πεπδ标量场的梯度场无旋0)(≡∇⨯∇ϕ无旋场必可表为一标量场的梯度ϕ∇=⇒=⨯∇f 0f矢量场的旋度场无源0)f (≡⨯∇⋅∇ 涡旋场必可表为一矢量场的旋度A f 0f⨯∇=⇒=⋅∇a,0E ,k 为常矢a r )a ()r a ( =∇⋅=⋅∇ r r a r a ⋅=∇⋅ r a]e )e a (a [r 1e )a (r r r ⊥=⋅-=∇⋅ 533r r )r a (3r a r r )a ( ⋅-=∇⋅ 0a )r (r )a ()r a (=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇a 2r )a ()r (a )a (r a )r ()r a ()r a ()r a (r a =∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇ 5333333r r )r a (3r a a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( ⋅-=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 0a )rr (r r )a ()r r a (333=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ 35333333r a r )r a (3r r )a (a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( -⋅=∇⋅-=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇33rr a )r r (a r 1a ⋅-=-⋅=∇⋅ r k i 0e E E ⋅=:E k i E ⋅=⋅∇;E k i )k i (e E )]r k i (e [E e E )e E (E r k i 0r k i 0r k i 0r k i 0⨯=⨯-=⋅∇⨯-=⨯∇-=⨯∇=⨯∇⋅⋅⋅⋅其中1:=⋅=r r r r e e I e e 故r r e e I r r I r r :'':''22==.Taylor 展开:...)(...'...''!)(...)(''!)('|'|,...,,+∂∂∂∂-++∂∂∂+∂∂-=-∑∑∑kj i k j i nk j i ji j i j i ii i rx x x x x x n r x x x x r x x r r r 111211112 其中k j i ,...,,取1,2,3; i x 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对'r 展开; 2 对'r 的展开和对'r的展开相差一个负号. 曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P 的位置需3个坐标321u ,u ,u .若P 点坐标在直角坐标系中表为)u ,u ,u (z ),u ,u ,u (y y ),u ,u ,u (x x 321321321===,则)z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u 332211===,两坐标系等价.=i u 常数)3,2,1i (=的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为)3,2,1i (,e i =,其指向为iu 增加的方向.当过P 点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件)j i (,0)u z )(u z ()u y)(u y ()u x )(u x (h ji j i j i 2ij≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=.由i 31i i i 31i i i 31i i du u z dz ,du u ydy ,du u x dx ∑∑∑===∂∂=∂∂=∂∂=得2222)dz ()dy ()dx ()ds (++=232322222121j,i j i 2ij )du (h )du (h )du (h du du h ++==∑,其中2i 2i 2i 2ii 2i )u z ()u y()u x (h h ∂∂+∂∂+∂∂==,称)3,2,1i (,h i =为Lame 系数或度量因子.Delta 函数定义)a (f )x (f )a x (=-δ⎰性质1 偶函数)x ()x (δ=-δ2 采样性)a (f )x (f )a x (=-δ⎰3 函数下的面积⎩⎨⎧∉∈=-δ⎰])b ,c [a (,])b ,c [a (,dx )a x (bc 01; ⎩⎨⎧=∞≠=-δ)a x (,)a x (,)a x (04 缩放 )x (|a |)ax (δ=δ1证明)x (|a |)ax ()a (,|a |dz )z (|a |dz )z ()a (,a dz)z (dx )ax (|a ||a |a a a a δ=δ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<δ=-δ>δ=δ⎰⎰⎰⎰∆∆-∆∆-∆∆-∆∆-100 5 若)(x f 为连续函数,且∆为包含a 电的任意长度区间,则a )x (g |)]x ('g /)x (f [dx ]a )x (g [)x (f =∆=-δ⎰证明dy a y g g dx dy x g dx dx x g dy a x g y a y g x a x g y )](['1)('1)(')()()(11+=→⎪⎭⎪⎬⎫=→=→-=+=→-=-- 若)x (f 为单值连续函数,且有N 个过零点N ,...,,i ,x i 321=,则a x g x g x f a g g a g f dy a y g g y a y g f dx a x g x f =--∆--∆==++=-⎰⎰)(1111|)('1)()](['1)]([)](['1)()]([])([)(δδ 6 复合函数∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 证明: )x (f y =单值连续,则)x (f 在每个过零点的邻域内可逆;且)x (g 为任意品优(gutartig)函数,则dy )]y (f ['f 'x dy )x ('f 'x dy )]'y (f ['x )y (f x )x (f y 11111---=→=→=→=→=⎰∑∑∑∑⎰⎰+∞∞---∆+∆---+∞∞--δ===δ=δii i ii i iix x dx )x x (|)x ('f |)x (g |)x ('f |)x (g )](f ['f )](f [g dy )]y (f ['f ]y [)]y (f [g dx )]x (f [)x (g i i1101011111 被积函数须相等,再由)x (g 的任意性,得∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 6 导数x)a x (:)a x ('∂-δ∂=-δ则)a ('f dx )a x (')x (f -=-δ⎰∆证明)a ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x (')x (f =-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰∆∆=+∆-∆∆∆ 07)a (f )(dx )a x ()x (f )n (n )n (1-=-δ⎰∆证明)a (f )(dx )x (f )a x ()(dx )x (f )a x ()(...dx )x (''f )a x ()x ('df )a x (|)]a x ()x ('f [)a x (d )x ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x ()x (f )n (n )n (n)m ()m n (m)n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n (1112202211011-=-δ-=-δ-==-δ=-δ+-δ-=-δ-=-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆⎰∆=-=-δa)x (g |]})x ('g )x (f [dx d )x ('g {dx ]a )x (g [')x (f 1 三维δ函数⎩⎨⎧=≠=-δ-δ-δ=-δ)r r (,)r r (,)z z ()y y ()x x ()r r (00000010曲线系下的三维δ函数3213020103020100h h h )u u ()u u ()u u (|)u ,x (J |)u u ()u u ()u u ()r r (i i -δ-δ-δ=-δ-δ-δ=-δ ,(其中)u ,x (J i i 为Jacobi 行列式)柱坐标系下)z z ()()()r r (00001-δϕ-ϕδρ-ρδρ=-δ球坐标系下)()()r r (sin r )r r (000201ϕ-ϕδθ-θδ-δθ=-δ注意:n 维δ函数的量纲为n m -,即n -米δ函数的逼近钟形曲线: 2201xa a lim )x (a +π=δ→ Gauss 曲线;)x n exp(n lim )x (n 220π-=δ→sinc 函数: )kx (c sin k lim x kx sin lim )x (k k π=π=δ∞→∞→1sinc 函数平方: )kx (c sin k lim kx kx sin lim )x (k k 2221π=π=δ∞→∞→ 复指函数:⎰⎰+∞∞-+∞∞-π=±π=δdk )kx cos(dk )ikx exp()x (121盒子函数:∑+∞-∞==δn )L /inx exp(L )x (21*********************.cn。
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
(人教版)物理必修二：5.1《曲线运动》ppt课件
vcosθ
vsinθ
图5－1－1
三、运动描述的实例
1．蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升
的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动
的速度设为vx，从蜡块开始运动的时
刻计时，在某时刻t，蜡块的位置P可
以用它的x、y两个坐标表示x＝_v_x_t，
y＝_v_y_t__．
图5－1－2
2．蜡块的速度：速度的大小 v＝___v_2x_＋__v_2y__，速度的方向满
答案 C
解析设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为 v1， 位移为 x1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速
度为 v2，位移为 x2，如图所示，v2＝tanv310°
＝0.1 3
m/s≈0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间 t＝vx11＝
3
1.0 0.1
s＝10 s．由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水
运动，C选项错误；物体做曲线
运动，一定有加速度，但不一定恒定，D选项错误．
二、对曲线运动条件的理解
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：协力方向与物体的速度方向不在同一条直
线上．
(2)运动学条件：加速度方向与速度方向不在同一直线上． 2. 无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动
的轨迹始终夹在协力方向与速度方向
【例1】 下列说法中，正确的是
()
A．物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为0
B．曲线运动一定是变速运动
C．变速运动一定是曲线运动
D．物体沿曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线 运动
答案 B
解析 曲线运动的速度方向时刻变化，是变速运动，故加速度一定不
为0，故B选项正确，A选项错误；直线运动中速度大小变化仍是变速
高中数学第一章坐标系1.3曲线的极坐标方程课件新人教B版选修4_4【优质ppt版本】
2．在直线的极坐标方程中，ρ 的取值范围是什么？ 提示：ρ 的取值范围是全体实数．
极坐标方程与直角坐标方程的互化
[例 1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； (3)ρcos2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝2－c1os θ. [思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
解析：∵直线 θ＝π4过圆 ρ＝4 的圆心，∴直线把圆分成两部分的 面积之比是 1∶1. 答案： 1:1
7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线 ρ＝2sin θ 与 ρcos θ＝ －1 的交点的极坐标为________．
解析：由 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为 x2＋y2＝2y.
1．求极坐标方程 ρcosθ－π6＝1 所表示的直角坐标方程．
解：将 ρcosθ－π6＝1 化为 23ρcos θ＋12ρsin θ＝1. 将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入上式，得 23x＋2y＝1， 即 3x＋y－2＝0.
求曲线的极坐标方程
[例 2] 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系．曲线 C 的极坐标方程为 ρcosθ－π3＝1，M，N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点．
11．如图，点 A 在直线 x＝4 上移动，△OPA 为等腰直角三角形，△OPA 的顶角为∠ OPA(O，P，A 依次按顺时针方向排列)， 求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状． 解：取 O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直 线 x＝4 的极坐标方程为 ρcos θ＝4. 设 A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)． ∵点 A 在直线 ρcos θ＝4 上， ∴ρ0cos θ0＝4.① ∵△OPA 为等腰直角三角形，且∠OPA＝π2，
谢处方电磁场与电磁波-第四版-第一章--ppt可修改全文
eA ex cos ey cos ez cos
5
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻
边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A B
B
A
矢量的加法
A B ex (Ax Bx ) ey (Ay By ) ez (Az Bz )
e cos sin
e sin
ey
sin sin cos sin
cos
ez
cos sin
0
y
e
13
ey
e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
14
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
F dS
S
S F endS
24
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
0
0
0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
有净的矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
25
3、矢量场的散度 F
方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较，得出相应结论。
解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
P
(ex
《坐标曲线》PPT课件 通用
解题关键： 信息转换 数字——关键点——曲线
谢谢您的指导！
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
坐标曲线题的考查形式和命题意图
考查形式 1、识图
命题意图 获取信息的能力
2、析图 （说图）
3、绘图
处理、表达信息的能力 运用信息的能力
（一）识图
例1.(2008广州二模)下图中正确表示水稻呼吸强 度与K+吸收量关系的是（ C）
【变式】右图是胡萝卜在不同的含氧情况下（横
轴）从硝酸钾溶液中吸收K+和NO3-（纵轴）的曲
例2.下图所示某种植物 在不同光照强度（lx） 下的CO2——光合速率 曲线，请分析回答：
(1)曲线A表明：
。
在700lx下，在一定CO2浓度范围内，光合速率随CO2浓度的 增加而增加；CO2浓度增加到一定程度后，光合速率达到最大； 以后稳定不变。
答(2案) 分bg析段：的斜率小于ad 段，是因为
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梯度
i j k x y z
1 h1
q1
eˆ1
1 h2
q2
eˆ 2
1 h3
q3
eˆ 3
梯度
证明： (q1 i q1 j q1 k) ( x i y j z k) ?
x y z
q1 q1 q1
qi qi (x, y, z)
xi xi (q1, q2 , q3 )
dq1 dq2 dq3
arctan
y x
arctan
y x
r xq1, q2, q3 i y q1, q2, q3 j z q1,q2,q3 k
r x y z i j k
qi qi qi qi
矢端曲线的切线矢量
2
2
2
hi
r qi
x
qi
y qi
z qi
拉梅系数
eˆ i
1 hi
r qi
A
1 h1h2h3
(
A1h2 q1
h3
)
(h1 A2h3 ) q2
(h1h2 A3 q3
)
证明：
A
(eˆ1
1 h1
q1
eˆ 2
1 h2
q2
eˆ3
1 h3
)g
q3
( A1h2h3q2 q3 h1A2h3q3 q1 h1h2 A3q1 q2 )
x y z
q1 q1 q1
q1
r q1
1q1 r Fra bibliotek11qi
r qi
1
考虑到 qi 沿等值面 qi C 的外法线方向（即 eˆi ）
以及
r qi
hi eˆ i
qi
1 hi
eˆi
i j k x y z
qi
1 hi
eˆi
( q1 q2 q3 )i ( q1 q2 q3 )j ( q1 q2 q3 )k q1 x q2 x q3 x q1 y q2 y q3 y q1 z q2 z q3 z
正交曲线坐标系
为什么需要曲线坐标系？
适应不同边界形状
q3
三组曲面族方程：
eˆ1, eˆ 2 , eˆ3,
q2
q1 x, y, z c1 q2 x, y, z c2
q1
z
q3 x, y, z c3
i, j, k
y
x
x, y, z
q1, q2, q3
基矢量的特点
正交曲线坐标系：
eˆi
ds (dx)2 (dy)2 (dz)2
dV ds1ds2ds3 h1h2h3dq1dq2dq3
dΣq1 ds2ds3 h2h3dq2dq3 dΣq2 ds1ds3 h1h3dq1dq3
s2 s3
s1
Cylindrical coordinates
Spherical coordinates
k 1 eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3
弧微分计算公式
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
(ds)2 h12 (dq1)2 h22 (dq2 )2 h32 (dq3 )2
证明：
r x(q1, q2, q3)i y(q1, q2, q3)j z(q1, q2, q3)k
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
h12 (dq1)2 h22 (dq2 )2 h32 (dq3 )2
r r
r r
r r
2 q1 q2 dq1dq2 2 q1 q3 dq1dq3 2 q2 q3 dq2dq3
考虑到
r q1
r q2
h1h2eˆ1 eˆ2
0
r q1
r q3
h1h3eˆ1 eˆ3
0
r q2
r q3
h2h3eˆ2
eˆ3
0
证毕
(ds)2 h12 (dq1)2 h22 (dq2 )2 h32 (dq3)2
坐标曲线的弧微分 ds (ds1)2 (ds2 )2 (ds3)2
dsq1 h1dq1
dsq2 h2dq2 dsq3 h3dq3
dx
x q1
dq1
x q2
dq2
x q3
dq3
3 i 1
x qi
dqi
x qi
dqi (i
1, 2,3)
dy
y q1
dq1
y q2
dq2
y q3
dq3
3 i 1
y qi
dqi
y qi
dqi (i
1, 2,3)
z
z
z
3 z
z
dz q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3 i1 qi dqi qi dqi (i 1, 2, 3)
q1 x
q2 x
q3 x
q1 y
q2 y
q3 y
q1 z
dx
q2 z
q3 z
dy dz
x x x
dx dy dz
q1 y q1 z
q2 y q2 z
q3 y q3 z
dq1 dq2 dq3
q1 q2 q3
( q1 i q1 j q1 k) ( x i y j z k) 1
eˆ j
0 1
i j i j
柱坐标系：
Cylindrical coordinates
x rcos
y
r
sin
z z
x2 y2 z2
arc tg
y x
z z
球坐标系：
Spherical coordinates
x r sincos
y
r
sin
sin
z r cos
r x2 y2 z2
A
1 h1h2h3
(
A1h2h3 q1
)
(h1 A2h3 ) q2
(h1h2 A3 ) q3
h1dq1h2dq2 A3
q3 dq3
h1dq1h2dq2 A3
q3
(h1h2 A3 q3
)
dq1dq2dq3
(h1 A2 q2
h3
)
dq1dq2
dq3
(
A1h2h3 q1
)
dq1dq2
dq3
散度 A A1(q1, q2 , q3 )eˆ1 A2 (q1, q2 , q3)eˆ2 A3 (q1, q2, q3)eˆ3
(q1 i q1 j q1 k) (q2 i q2 j q2 k) (q3 i q3 j q3 k) q1 x y z q2 x y z q3 x y z
q1
q1
q2
q2
q3
q3
1 h1
q1
eˆ1
1 h2
q2
eˆ 2
1 h3
q3
eˆ3
证毕
散度
矢量 A A1(q1, q2 , q3 )eˆ1 A2 (q1, q2 , q3)eˆ2 A3 (q1, q2, q3)eˆ3
1 hi
x
qi
y i
qi
z j
qi
k
eˆi
r
qi
eˆ i
1 hi
r qi
1 hi
x
qi
i y qi
j z qi
k
方向余弦：
i
1 hi
x qi
i
1 hi
y qi
i
1 hi
z qi
，
基矢量的相
互表示：
，
i 1 eˆ1 2 eˆ 2 3 eˆ3
j 1 eˆ1 2 eˆ 2 3 eˆ3