讲1曲线坐标系
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
一级动力学曲线横纵坐标
一级动力学曲线横纵坐标
【原创实用版】
目录
1.动力学曲线的定义和概念
2.一级动力学曲线的特点和横纵坐标的含义
3.一级动力学曲线的应用和实际案例
4.总结
正文
动力学曲线是物理学中描述物体运动状态的一种图像，它通过将物体的位移、速度和加速度等物理量按时间顺序绘制在坐标系中，从而直观地表现出物体的运动规律。
在动力学曲线中，根据物体运动的不同特点，可以分为一级动力学曲线、二级动力学曲线等。
一级动力学曲线，又称为匀加速运动曲线，是指物体在运动过程中，其加速度保持不变的运动轨迹。
在一级动力学曲线中，横坐标通常表示时间，纵坐标表示位移。
横纵坐标的数值变化可以反映出物体在不同时间内的位移变化情况，从而为研究物体的运动状态提供依据。
在一级动力学曲线中，横纵坐标的具体含义如下：
- 横坐标：时间，表示物体运动的持续时间，通常以秒为单位。
- 纵坐标：位移，表示物体在某一时间内所经过的路程，通常以米为单位。
一级动力学曲线在实际生活中的应用非常广泛，例如在运动学、力学、航空航天等领域都有重要的应用。
一个典型的应用案例是自由落体运动，即在没有阻力的情况下，物体在重力作用下做的匀加速直线运动。
在这个过程中，物体的位移与时间的平方成正比，因此其动力学曲线为一条抛物线。
总结来说，一级动力学曲线是一种描述物体匀加速运动的图像，通过横纵坐标可以直观地反映物体在不同时间内的位移变化情况。
第一节 第一课时 坐标系
第一节 坐标系与参数方程考试要求1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．第一课时 坐标系[知识排查·微点淘金]知识点1 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．知识点2 极坐标系与点的极坐标在如图所示的极坐标系中，点O 是极点，射线Ox 是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O 与点M 的距离)，点M 的极坐标是M (ρ，θ)．[微提醒](1)极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．(2)由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．知识点3 直角坐标与极坐标的互化(1)如图，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x ，y )、极坐标为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ.(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般取ρ≥0，θ∈[0，2π)．常用结论曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a ，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.(√) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)2．(链接教材选修4－4 P 15T 4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π2 B ．⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2.故选B ． 3．(链接教材选修4－4 P 15T 2)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2答案：D4．(链接教材选修4－4 P 15T 3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为 .解析：因为y ＝1－x (0≤x ≤1)，所以ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，所以ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.答案：ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π25．(极坐标与直角坐标的互化致误)若点P 的直角坐标为(3，－3)，则点P 的极坐标为 ．解析：因为点P (3，－3)在第四象限，与原点的距离为23，且OP 与x 轴所成的角为－π6，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6一、基础探究点——平面直角坐标系中的伸缩变换(题组练透)1．曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为 ．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.答案：x ′24＋y ′2＝12．曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为 ．解析：根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.答案：4x 2＋9y 2＝11.应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标（x ，y ）与变换后的坐标（x ′，y ′）.2.平面上的曲线y ＝f （x ）在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f （x ），得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到,y ′＝h （x ′），即为变换之后的方程.二、应用探究点——求曲线的极坐标方程(思维拓展)[典例剖析][例1] 如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4， M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[学会用活]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0， 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233，∴M (2，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．三、综合探究点——极坐标方程的应用(思维拓展)[典例剖析][例2] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32，即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[学会用活]2.如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．解：取O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5，设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，∵点A 在直线ρcos θ＝5上，∴ρ0cos θ0＝5， ①∵△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°，∴ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°. ②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.限时规范训练 基础夯实练1．在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12，所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得ρ2＝4ρsin θ.故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20，即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离．3．(2021·四川泸州二模)在平面直角坐标系xOy 中，动直线l 1：y ＝1k x (k ∈R ，且k ≠0)与动直线l 2：y ＝－k (x －4)(k ∈R ，且k ≠0)交点P 的轨迹为曲线C 1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0，求曲线C 1与曲线C 2的交点的极坐标．解：(1)设直线l 1与l 2的交点P (x 0，y 0)，所以y 0＝1kx 0和y 0＝－k (x 0－4)，消去参数k 得C 1的普通方程为x 20－4x 0＋y 20＝0，把x 0＝ρcos θ，y 0＝ρsin θ代入上式得(ρcos θ)2－4ρcos θ＋(ρsin θ)2＝0， 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0且ρ≠4)； (2)将ρ＝4cos θ代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0得 4cos θ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝0，则θ＝12k π－π6(k ∈Z )， 即曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3＋2k π，⎝⎛⎭⎫23，11π6＋2k π(k ∈Z )． 综合提升练4．(2021·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，且曲线C 1与极轴的交点为M (异于极点)；曲线C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .(1)求点M 的直角坐标及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2与曲线C 1、C 2分别交于点A 、B ，当∠ABM ＝π6时，求tan α.解：(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y2代入上式得，圆C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，则点M 的直角坐标为(2, 0)，因为圆C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .所以圆C 2的半径为3，故圆C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. (2)依题意设A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝6cos α，则|AB |＝ρ2－ρ1＝6cos α－2cos α＝4cos α，∵OM 为圆C 1的直径，故OA ⊥AM ，∴|AM |＝2sin α，则在Rt △ABM 中，∠ABM ＝π6，|AB |＝3|AM |，则4cos α＝23sin α，故tan α＝233.5．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值． 解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2 θ＋9ρ2sin 2 θ＝9， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2 θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.创新应用练6．在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线C 2的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．解：(1)由ρ＝4cos θ得曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 经过变换后曲线对应的方程为x 24＋y 2＝1，即为曲线C 2的普通方程，∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)．(2)设四边形MNPQ 的周长为l ，点M (2cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 则l ＝8cos α＋4sin α ＝45⎝⎛⎭⎫25cos α＋15sin α ＝45·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝15＝55，sin φ＝25＝255.∴当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，l 取得最大值，此时α＝π2－φ＋2k π，k ∈Z ，l max ＝45，∴2cos α＝2sin φ＝455，sin α＝cos φ＝55，即M ⎝⎛⎭⎫455，55.。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
黑龙江省大庆市第十三中学数学4-4教案：第一章 坐标系 常用曲线的极坐标方程(1)
课题：常用曲线的极坐标方程（1)教学目的:知识目标：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：求直线与圆的极坐标方程教学难点：寻找关于ρ，θ的等式授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入:问题情境情境1：3cos =θρ ， 5=ρ， 2sin =θρ, πθ43=分别表示什么曲线? 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化,它们的方程分别是什么？二、讲解新课：1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。
变式训练：直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线l 的极坐标方程。
把前面所讲特殊直线用此通式来验证。
2、若圆心的坐标为),(00θρM ,圆的半径为r ，求圆的方程。
运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。
3、例题讲解在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中,求过极点O 的弦的中点的轨迹。
变式训练在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ， (1）求圆C 的极坐标方程。
（2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上,且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程.三、巩固与练习四、小 结:本节课学习了以下内容：1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y ；2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。
五、课后作业:见教材P10习题1.2六、课后反思：。
高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表 示．曲线与方程满足如下关系： 点的坐标 都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线 圆心在极点，半径 为r的圆 圆心为C(r,0)，半径 为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
第1讲 坐标系与参数方程
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1. 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问 题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较 麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决. 2. 要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭 圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时 常用的技巧是转化为普通方程解答.
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热点三 极坐标与参数方程的综合应用
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高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
数学素材：第一讲一平面直角坐标系
教材习题点拨思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题?答：建立直角坐标系的原则是使直线或曲线的方程尽可能的简单，一般有以下一些规则．如：(1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上．思考:我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？答:点P的直角坐标为（－680错误!,680错误!），即巨响的位置在信息中心的西680错误!m，北680错误!m处，还可以说,巨响在信息中心的西偏北45°方向，距离680错误!m处，从以上的两种表述可以看出，对这个问题而言，第二种角与距离的方法更简单些．探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么?解：如图，以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系．由已知，点A，B，F的坐标分别为A错误!，B错误!，F（0，0)．设点C的坐标为(x，y），则点E的坐标为错误!，即错误!.由b2＋c2＝5a2，可得|AC|2＋|AB|2＝5｜BC|2，即错误!2＋y2＋c2＝5错误!.整理得,2x2＋2y2－3cx＝0.因为BE＝错误!，CF＝（－x，－y），所以BE·CF＝－错误!＋错误!－错误!＝－错误!(2x2＋2y2－3cx)＝0。
因此，BE与CF互相垂直．以上这种建立直角坐标系的方法也可以,但是不如教科书上提供的建系方式好,因此在运算过程中出现了较多的分数，增加了运算的难度，也就增加了出错的概率．思考：在伸缩变换④下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线?答：由伸缩变换公式()()0,0x x y y λλμμ'=⋅>⎧⎪⎨'=⋅>⎪⎩可知，在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变，曲线(包括直线）的形状不变,直线、双曲线、抛物线还是变为直线、双曲线、抛物线．虽然圆可以变椭圆、椭圆也可以变成圆,但这是因为我们可以认为圆是椭圆的特例．习题1.11．两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹．解:设两个定点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (－3,0),B （3，0)．设M (x ，y ）是轨迹上任意一点，则有｜MA |2＋|MB ｜2＝26，即（x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26，化简得x 2＋y 2＝4。
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A (B C) A Bx By Bz Bx By Bz
Cx Cy Cz
Cx Cy Cz
Bx By Bz Cx Cy Cz
Ax Ay Az
Cx Cy Cz Ax Ay Az
Bx By Bz
B (C A) C ( A B)
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
• 圆柱坐标系
dr ed e d ezdz
zρ ·P(ρ,φ,z)
o
φ
y
• 1.2.3 圆柱坐标系
z
坐标单位矢量 e , e , ez
e
e
e ez
e
ez
0
e e ez
e ez e
ez e e
x
zρ
ez
P
e
e
o
φ
y
坐标曲线 ρ曲线： φ曲面与z 曲面的交线 φ曲线： ρ曲面与z曲面的交线 z曲线： ρ曲面与φ曲面的交线
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述 坐标轴的量称为坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
1637年，笛卡尔(法国，1596~1650)发表了《几何学》， 创立了直角坐标系,为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为 一大批数学家的新发现开辟了道路。
矢量的单位矢量：
eA
A A
矢量的几何表示
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
变矢量：大小或方向会改变的矢量。
注意：单位矢量不一定是常矢量。
位置矢量： r ex x ey y ez z
场矢量用坐标分量表示
A(r ) ex Ax (r ) ey Ay (r ) ez Az (r ) A(r ) e A (r ) e A (r ) ez Az (r ) A(r ) er Ar (r ) e A (r ) e A (r )
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量
标量：任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、电 流、电荷是标量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用
黑体字母或带箭头的字母表示。电场磁场是矢量。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：
A eA A eA A
A
矢量的大小或模： A A
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos
AB B A
AB A B 0 A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
A B Ax Bx Ay By Az Bz
B
A
矢量 A与 B 的夹角
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en ABsin A B B A
若
A
B
，则 A B AB
Hale Waihona Puke 若 A// B ，则A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
A(B C) B (C A) C (A B)
(1.1.12) —— 标量三重积
A (B C) (AC)B (A B)C (1.—1.1—3) 矢量三重积
A (B C) B (C A) C (A B) (1.1.12)
ex ey ez
Ax Ay Az
• 球坐标系
dr erdr e rd ersind
dS ddz
dSr r2sindd
dS ddz
dS rsindrd
dSz dd
dV dddz
dS rdrd dV r2sindrdd
作业：1.8，1.22计算沿逆时针圆周的线积分
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线 的交点来确定。
(ez
z
)
莱布尼茨（1646-1716）德国
d(ex )x exdx d(ey ) y eydy d(ez )z ezdz
【例1】：求xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针
方向的的圆周曲线的线元矢量。
r ex x ey y
y dr
x a cos y a sin
ar
dr exdx eydy
• 1.2.1 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
z
x y
z 坐标单位矢量
ex
,
ey
,
ez
dz
dr
r
位置矢量
o
r ex x ey y ez z
dx
线元矢量
x
dr exdx eydy ezdz
dy
y
牛顿（1643-1727）英国
dr
d(ex x)
d
(ey
y)
d
x
exa sind eya cosd
[ex
a
cos(
2
)
ey
a
sin(
2
)]d
dr 的方向指向有向曲线的切线方向
线元矢量
dr exdx eydy ezdz
坐标曲面： x=C1 y=C2 z=C3
面元 dSx dydz
dSy dxdz
dSz dxdy
体积元dV dxdydz
z
dsz
dsy
dz dr
dsx
dz
dsx
r
dx dy
dsy
o
dy
y
dx
dsz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
• 1.2.3 圆柱坐标系
坐标变量 ,, z
坐标单位矢量
e , e , ez
坐标曲面
x
ρ曲面：ρ =Const圆柱面 φ曲面：φ =Const半平面
z曲面： z =Const平面
z
ex ex 0
ey ex ez
ez ex ey
ex ey ez ey ey 0
ez ey ex
ex ez ey
ey ez ex
ez ez 0
（5）矢量的混合运算
(A B)C AC B C
(1.1.7)
—— 分配律
(A B)C AC B C (1.1.11) —— 分配律
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线。
A B
B
A
矢量的加法
交换律 A B B A
结合律 A (B C) (A B) C
B
A
AB
（2）标量乘矢量
B
矢量的减法
kA exkAx eykAy ezkAz
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )