正交曲线坐标系向量微分算子
演示文稿章正交曲线坐标系ppt讲解
q1
eˆ1
1 H2
q2
eˆ 2
1 H3
q3
eˆ 3
证毕
第13页，共19页。
曲线坐标系下的梯度、散度和旋度
A P(q1, q2 , q3 )eˆ1 Q(q1, q2 , q3)eˆ2 R(q1, q2 , q3)eˆ3
A
1 H1H 2 H 3
(
PH 2 H q1
3
)
(QH 3 H1 ) q2
j
z qi
k
方向余弦： i
1 Hi
x qi
i
1 Hi
y qi
i
1 Hi
z qi
，
基矢量的相 互表示：
i 1 eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3
，
j 1 eˆ1 2 eˆ 2 3 eˆ3
k 1 eˆ1 2 eˆ2 3 eˆ3
第7页，共19页。
弧微分计算公式
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
y
dy q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3 i1 qi dqi qi dqi (i 1, 2, 3)
z
z
z
3 z
z
dz q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3 i1 qi dqi qi dqi (i 1, 2, 3)
第8页，共19页。
(ds)2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
(q2 q3 ) q3 ( q2 ) q2 ( q3) 0
第14页，共19页。
(PH
2H3
)
(q2
q3
)
( PH 2 H 3 q1
)
q1
( PH 2 H 3 q2
)
q2
( PH 2 H 3 q3来自)q3(q2
光信息物理基础 第1章 数学基础 第3讲
旋度
Az Ay A A Ay Az R ex ( ) ey ( x z ) ez ( ) y z z x x y
梯度的方向就是标量场变化 率最大的方向，其模就是变 化率的最大值。 在给定点，梯度沿任意方向 的投影就是沿这个方向的标 量场的方向导数。
n lim
A dl S
L 0
lim S 0 S
为矢量场在点M 处沿方向 n的环量面密度。 特点：其值与点M 处的方向 n有关。
环量面密度的计算公式
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
C 0
（C 是常矢量）
(uC ) u C （u 是标量场） (uF ) u F u F （F 是矢量场） (F G) F G ( F G ) G F F G （矢量场的旋度的散度 恒为零） ( F ) 0 ( u ) 0
10
利用积分中值定理：
Ax Az Az Ay [( ) cos(n , x) ( ) cos( n , y ) y z z x Ax ( ) cos(n , z )] S x y M
因此环量面密度为：
Ay
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
（1）矢量场的环量 矢量场A沿任一闭合曲线L的积分,称为环量。
第十五章 正交曲面坐标系
d (a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) √ √ 1 ∂ det G 1 ∂ det G = √ a1 + √ a2 1 2 ∂x g ∂x g22 11 det G det G √ 1 det G ∂ √ + a3 . 3 ∂x g33 det G
∗ ∗
正交曲线坐标系中的Laplace算符 分形式．
§15.1 正交曲面坐标系
第2页
§15.1 正交曲面坐标系
作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x1 , x2 , x3 }， x1 = ξ (x, y, z ), 它的坐标面是三组曲面 x1 = 常数, x2 = 常数, x3 = 常数. x2 = η (x, y, z ), x3 = ζ (x, y, z ),
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
“∗ ”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 √ det G I gii ∗ i dx = dx , ∗ dxI = √ dxi , gii det G
第5页
其中(i, I )构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4
k=1,2,3 k=1,2,3
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aki akj = δij .
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
∗ ∗
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂θ2 ∂z 2
r2 ∂ ∂θ
∂u ∂r sin θ r2
sin θdr ∧ dθ ∧ dφ ∂u ∂θ + dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 ∂ sin θ ∂θ 1 ∂2u dφ ∧ dr ∧ dθ, sin θ ∂φ2 ∂u ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2u . ∂φ2
1.6 正交曲线坐标系
微分体积元为
dV d l i ( d l j d l k ) hi h j h k du i du j du k
6
2．常用的正交曲线坐标系
常用的正交曲线坐标系除了直角坐标系外，还有柱坐标系和 球坐标系。 z （1）柱坐标系 在此坐标系中P点的位置是由ρ =常数 ρ 的圆柱面、φ =常数的平面和z=常数的平 P(ρ ,φ ,z) 面三者的交点来确定的。这时， z
2
d l e u 1 dl 1 e u 2 dl 2 e u 3 dl 3
或者
dl
d l e u 1 ( h1 du 1 ) e u 2 ( h 2 du 2 ) e u 3 ( h3 du 3 )
dl [( dl 1 ) ( dl 2 ) ( d标系中的梯度、散度和旋度
1．一般正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度
（1）梯度
v v v e u1 eu 2 eu3 l1 l2 l3
dl 1 h 1du 1
1
dl
2
du h2
2
dl
3
h du 3
3
1 1 e u1 e u2 e u3 h1 u 1 h2 u 2 h3 u 3
Ar A A sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos A x sin A y 0 Az
dV d d dz
这里
h1 1, h 2 , h3 1
柱坐标系与直角坐标系的变换关系：
x cos y sin z z
第一章 预备知识：场论与正交曲线坐标总结
高等流体力学第一章第章预备知识●场论与正交曲线坐标•场：具有物理量的空间=f t •物理量()f R t 空间位置，§1.1 向量及张量的基本运算一向量运算符号规定、向量运算符号规定1、爱因斯坦（Einstein ）求和符号定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的指标（哑指标）如：i i 112233a =a +a +a e e e e ++()12112233i i j j 12k a b k =k a b +a b +a b +3k +e e i克罗内尔2、克罗内尔（Kronecker ）δ符号定义：任意两个正交单位向量点积用表示ij δ1i=j =δ=⎧e e i =1i j ij 0i j ⎨≠⎩123i j ，，，3、置换符号任意两个正交单位向量叉积可表示为式中称为置换符号，又称利西（Ricci ）符号i j ijk ke e e e ×=ijk e j i ⎧0j k 231i j k 123123ijk e ⎪=⎨，，中有个或个自由指标值相同，，中按顺序任取个排列 1 i j k 132133⎪−⎩，，中按顺序任取个排列e e 123123i j ijk k a b e a a a ==e e 123b b b()()()()()()() a b c d a c b d b c a d ××=−i i i i i三、向量分量的坐标变换i i i i =a a ′′=e e a 和分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方i i a a ′，i i ′e e ，a 向余弦）为(123)j j j l m n j =，，，，各坐标轴方向余弦e e e ()()123i i i i i i i a a a i =, , ′′′′==e e e e i i 123123l l l m m 1′e ()()123i i i i i i i a a a i=, , ′′′′==e e e e i i 12′′e e 123123 m m m n n n 23′′e e 3′e例如：阶的基本算()()()1121311123112233a a a a l a l a l a ′′′′=++=++e e e e e e i i i 四、二阶张量的基本运算二阶张量是两个向量的并积表示为：()B j 123i i j j i j i j ij i j a c a c b i =, , ===e e e e e e ，ac =！i j j i≠e e e e二阶张量的基本运算规则1、二阶张量的基本运算规则()i j i j i ja b c d ±±e e ab cd =()()()c =c =c =c i i i i a b a b b a b a ()()()i i i i ab cd =a b c d =b c ad =ad c b b b d b d d b ()()()()()()==i i i i i i i i c ab d =c a c a a c ()××ab c =a b c 2、二阶张量分量的坐标变换B=b b =′′′′e e e e ij i j i j i j()()()ij i j i i j j i j i j ij b b b ′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ′′，i j i j i i j j ij i j i j b b b ′′′′′′′′==e e e e e e e e i i i i ()j 123i =, , ，例如：()()()j ()()()()()()11211122112312111213b b b b ′′′′′′′′=++e e e e e e e e e e e e i i i i i i ()()()()()()()()()()()()211221221222231223311321321322331323b b b b b b ′′′′′′′′′′′′++++++e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e i i i i i i i i i i i i 1111121213132l m b l m b l m b l =+++12122222323m b l m b l m b ++313132323333l m b l m b l m b +++T =−）二阶单位张量()()22ij ij ji ij ji T T T T ++5）二阶单位张量：ijδϕgradϕϕϕϕ∂∂∂=++i j kl x y z∂∂∂∂x y z∂∂∂在直角坐标系中的梯度●重要性质：2、向量梯度的定义、性质定义个●定义：一个二阶张量向量的散度的定义物理量的散度可用来判别场是否有源1、向量的散度的定义如：Q=d d i v sd =++V xy z ΔΩ∫∫∫⎜⎟∂∂∂⎝⎠y x z ∂∂∂a a a 则有div x y z++∂∂∂a =◆流体力学中x z y div y x z∂∂∂++P p p p =则应力张量散度x y z∂∂∂3、有源场与无源场∂()xx xy xz p u+p v+p w x =∂()yx yy yz p u+p v+p w y∂+∂∂()zx zy zz p u p v p z+++∂三物理量的旋度三、物理量的旋度⎛⎞⎞a a rot y y x x z z y zz x x y ∂∂⎛∂∂∂∂⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠a a a a a =i +j +k xy z ∂∂∂=∂∂∂a a a xyz◆流体力学中速度旋度为：δ解：rot rot rot rot ωω=+×=×V V R R ()()0δi ωω×=R x z x y z y x x z z y ωωωωωω−−+−−−k ()()()y x x y ⎥⎢⎥∂∂∂⎦⎣⎦2222ωωω=i+j+k =ωx y z j ∴ rot 2δ=V ω§1.3 哈密顿（x ∂ix ∂i=div ∂∂∇=i i i a a e a =e a =rot i i x x ∂∂∇×××=∂∂a a e a =e a i i i i x x ∂∂i i2i j x x x x 2∂∂∂∇=∇∇==∂∂∂∂i i a a a a e e i j i i§1.4 广义高斯（Gauss ）定理与斯托克斯（Stokes ）定理一广义高斯定理、广义高斯定理d dA τ∇=∫i i a n a d dA τ∇=∫n Aτ∫A τϕϕ∫ d dA τ∇×=×∫∫a n a 二、斯托克斯定理A τ标量势向量势和场()A ldA dl ∇×=∫∫i n a a i 三、标量势及向量势、调和场可以证明0∇×∇a =a =∇×i =a =b 式中称为向量的标量势，称为向量的向量势ϕ 0∇∇a ϕa b a流体力学中速度势为单位质量力=●流体力学中，速度势，单位质量力的势定义为ϕϕ∇V −∇f = U f U ●如向量处处是无旋的，即，，同时又是无散的即=0∇×a ϕ∇a =是无散的，即则其势必满足此时向量场称为调和场=0∇i a ϕ=0ϕϕ2∇∇=∇i 此时，向量场称为调和场，为调和函数ϕa。
第九章正交曲面坐标系
d 2Z + λZ = 0
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
∇2v + k2v = 0
1 ∂ ∂v 1 ∂2v ∂2v 2 r + 2 2 + 2 + k v = 0 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
dz
2
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
柱函数
9.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量
球坐标系下，亥姆霍兹方程 ∇2v + k2v = 0 的具体形式为：
1 ∂ 2 ∂v 1 1 ∂ ∂v ∂2v + k2v = 0 r + 2 sinθ + 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r sinθ ∂θ
cos2π λ −1 A、B有非零解 ⇔ =0 cos2π λ −1 − sin2π λ sin2π λ
λm = m2, m = 1,2,3⋯
相应的A、B为任意值
本征函数 Φm1(φ) = sinmφ, Φm2(φ) = cosmφ
矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用--正交曲线坐标系下
第39卷第3期曲靖师范学院学报Vol. 39 No. 32020年5月JOURNAL OF QUJING NORMAL UNIVERSITY May. 2020矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用-----正交曲线坐标系下杨阔,李丽（阿坝师范学院 应用物理研究所，四川 汶川 623002）摘 要:在物理学相关专业的教材《数学物理方法》中，正交曲线坐标系下的矢量场散度和旋度的相关应用非常广泛，但是，教材中并未结合定义给出一般性的证明.以矢量场的散度和旋度的定义和物 理图像为基础，结合基本的微积分方法，给出了正交曲线坐标系下的矢量场散度和旋度公式的证明和一些典型应用，为学生理解并应用提供参考.关键词：正交曲线坐标系；散度;旋度场；矢量场中图分类号:0411.1 文献标识码:A 文章编号= 1009 -8879（2020）03 -0024 -050引言1 正交曲线坐标系中的度量正交曲线坐标系下的矢量场的散度和旋度的计算在物理学的多个分支中具有重要的应用，但是在许多《数学物理方法》教材中，仅仅是给出了直角坐标系下的散度公式和旋度公式的推 导过程，并未给出一般正交曲线坐标系下的公式 的证明过程，只是将公式以附录形式给出⑴•有文献采用了矢量微分算子的性质对这两个公式 进行了证明，或者采用坐标变换的观点，用张量 分析的方法进行了证明或推导，但是这些推导所 用的数学手段都超出了学生数学方法的储备,这给学生在学习、理解和应用这两个公式带来了困扰I".本文从矢量场散度和旋度的定义和物理 图像入手，给出一般正交曲线坐标系下散度和旋度公式的详细推导和证明.本文所采用的方法不 需要学生掌握张量分析的相关知识，也不涉及到矢量微分算子的性质•虽然证明过程损失了一些简洁性，但是，这种证明方法所需要的数学基础 较低，只需要基本微积分的知识就可以达到,对于学生理解和使用公式提供了方便.若空间中的点与有序数组5恐心一一对应，则称为空间点的曲线坐标，曲线坐标（91,$2,他）与直角坐标（光,y,z ）互为单值函数.坐标曲面由下列等值曲面定义：91（%,y,z ）二 Cl ,g2（%,y,z ）二 C2,g3（%』,z ）=c 3.将坐标曲面两两相交的交线定义坐标曲线, 如图1所示.图1正交曲线坐标系的坐标线和单位标架矢量rQi 线：g2（%,y,z ）= C2,g3（%,y,z ）= c 3 ”2 线：gi （%,y,z ）= Cl ,q 3Cx,y,z ）= c 3S3 线：gi （%,y,z ）= C] ,g2（%,y,z ）= c 2收稿日期：2020-03 -24基金项目：四川堵教育厅自然科学基金项目“用于无线通信系统的小型化超宽带天线的设计研究” （18ZA0004）. 作者简介:杨 阔，阿坝师范学院应用物理研究所副教授，主要从事电磁场与电磁波研究.・24・杨阔，李丽：矢量场散度及旋度计算公式的定义法证明及应用若坐标曲线相互正交，则构成正交曲线坐标系.用勺“2心表示对应正交曲线的切线单位矢量，则空间任意矢量场可表示为：F=几勺+F2c2+F3e3其中"二｛：宀用取，山2，施分别表示坐标曲线的弧微分,并使弧长增大方向为坐标增大方向，有⑺:二仏dg(=l,2,3)(1)定义以下系数为拉梅系数(也称度量系数):(2)由此看出，一般情况下，拉梅系数是(0旳2, ^3)的函数，即叽=川2,他)•在正交曲线坐标系中，弧长、面积、体积元素分别为：ds=J(dS])2+(ds2)2+(ds3)2(3) dS12=(bids?=h1h2dq1dq2dS13=ds]ds3=h x h3dq i dq3(4)dS23=d52d53=h2h3dq2dq3dV=dsidszdss=h1h2h3dq1dq2dq32矢量场散度公式的推导及证明域体积大小为d#=h1h2h3dq1dq2dq3，所构成的封闭曲面为S,由六个有向面积元-dS230,图2正交曲线坐标系下矢量场散度计算示意图其中,包含了p点的面积元大小分别为：(IS23=d^2^-^3；=h1h3dq1dq3;dS]2仏仏曲1曲2；(7)在P点坐标发生了变化d qi,dq2,dq3之后,未包含P点的三个面积元大小分别变为:dS；3=心(山+dgi川2,93)篦(山+曲\内2, q3)dq2dq3(8) dS；3=hi(q、,q2+dg?旳3)篦(山，血+dg?, ^3)d^d^3(9) dS；2=h1(q1,q2,q3+dg?)心(gi旳2,他+ dx3)dgi dq2在P点的dU邻域内：—Rs F4S23~-h2h3dq2dq3(10)(11)设矢量场F=几勺+F2e2+F3e3，在空间中任意一点P处的散度定义为⑻：设01=F x h2h3(12)・dsdivF=Hmg5(5)则:£23F id^23-A d^d^3(13)S为包围P点的任意闭合曲面，散度的物理意义为矢量通量的体密度.根据定义,结合图2,可取封闭曲面S为包围dV的边界曲面，有：F4S23=015+dq1,q2,q3^dq2dq3丿S233B/B1dq2dq3++・••①故:一kJ帆+匸皿；3边严％+监加陥-£12耳d%+L耳dS；2(6)如图2所示，在空间中建立一个正交曲线坐标系，取空间中P点附近一个由六个坐标面构成的邻域，当坐标线变化量为dgi、dg2、dg3时，该邻£^dS23+R/idS；3=譽曲曲2曲3(14)同理可得：^dS13+f F2dS；3="Eg叫価2耐(15)・25・第3期曲靖师范学院学报第39卷(山，$2，$3)」j j/1攵、=----------------曲1曲2曲3(16)其中，02(91，$2，$3)=〃2^也3；03(91，$2，$3)=F3h i h2.将式(14)-(16)带入式(6)可得矢量场F通过体积为=h.h.h.dq.dq.dq.的总的通量为：「0伤(山，92，他)*。
第九章正交曲面坐标系
u(r,φ) r=0 有界， 0 < φ < 2π 有界， u(r,φ) r=a = f (φ), 0 < φ < 2π
令 u(r,φ) = R(r)Φ(φ) ，分离变量
1 ∂ ∂R 1 ∂ 2Φ Φ =0 r + R 2 2 r ∂r ∂r r ∂φ
r2 1 ∂ 2Φ ∂ ∂R 1 两边同乘以 得 ≡λ r =− 2 RΦ Φ ∂φ ∂r ∂r R
x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ z=z
0≤ ρ < ∞ 0 ≤ ϕ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符： 直角坐标系：
∇ =
2
∂2 ∂x
2
+
∂2 ∂y
2
+
∂2 ∂z2
柱坐标系：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ∇ = + ρ + ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z2
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
∂ ∂R r r − λR = 0⋯⋯⋯⋯(1) ∂r ∂ r
∂ 2Φ ∂φ
2
+ λΦ = 0⋯⋯⋯⋯( 2)
Φ(0) = Φ(2π )
若 λ = 0 可知： Φ(φ) = C1φ + C2 本征函数 Φ0(φ) = 1 若 λ ≠ 0 可知： Φ(φ) = Asin λφ + Bcos λφ 由周期性条件知：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e
,,构成右手系，
微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2
2
2
2
dw h dv h du h ds w v u ++=
散度：
在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V
V
∙=
∙∇⎰
⎰∂
换成曲线正交坐标系下可得：
()⎰
⎰++=
∙∇∂dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A udvdw d h
h h A v u w u w v w v u D
w
v
u
D
右边应用高斯定理的：
()()()udvdw d w h h A v h h A u h h A dudv
h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D
⎰
⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
++∂
所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D
w v u ⎰⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
∙∇
比较得曲正交标架下的散度公式：()()()⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
∙∇w h h A v h h A u h h A h h h A v u w u w v w v u w v u 1
旋度：
直角坐标下用斯托克斯公式：()⎰
⎰
∂∙=
∙⨯∇S
S
l d A S d A
换成曲线正交坐标系下可得：
()()()dw
h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D
u u v u w D
u w v w v u ++=
⨯∇+⨯∇+⨯∇⎰
⎰∂
右边应用斯托克斯公式：
()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dw
h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D
u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰
∂
所以：
()()()()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dudv
h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D
u w v w v u ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇+⨯∇+⨯∇⎰⎰
对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。
梯度：
有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量：
w w v v u u e w
h e v h e u h
∂∂+∂∂+∂∂=
∇ϕϕϕϕ。