正交曲线坐标系中的向量微分算子
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光信息物理基础 第1章 数学基础 第3讲
旋度
Az Ay A A Ay Az R ex ( ) ey ( x z ) ez ( ) y z z x x y
梯度的方向就是标量场变化 率最大的方向，其模就是变 化率的最大值。 在给定点，梯度沿任意方向 的投影就是沿这个方向的标 量场的方向导数。
n lim
A dl S
L 0
lim S 0 S
为矢量场在点M 处沿方向 n的环量面密度。 特点：其值与点M 处的方向 n有关。
环量面密度的计算公式
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
C 0
（C 是常矢量）
(uC ) u C （u 是标量场） (uF ) u F u F （F 是矢量场） (F G) F G ( F G ) G F F G （矢量场的旋度的散度 恒为零） ( F ) 0 ( u ) 0
10
利用积分中值定理：
Ax Az Az Ay [( ) cos(n , x) ( ) cos( n , y ) y z z x Ax ( ) cos(n , z )] S x y M
因此环量面密度为：
Ay
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
（1）矢量场的环量 矢量场A沿任一闭合曲线L的积分,称为环量。
流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正交曲线坐标
全书分上下两册，三篇，十五章。上册包括第一篇“流体力 学基础”和第二篇“流体动力学基本原理及流体工程”，具体内 容为：绪论、场论与正交曲线坐标、流体静力学、流体运动学、 流体动力学微分形式基本方程、流体动力学积分形式基本方程、 伯努利方程式及其应用、量纲分析和相似原理、流动阻力与管道 计算、边界层理论、流体绕过物体的流动和气体动力学基础。下 册包括第三篇“计算流体动力学”，具体内容为：计算流体动力 学的数学物理基础、流体动力学问题的有限差分解法和流体动力
第一节 第二节 第三节 第四节
连续性方程 动量方程 动量矩方程 能量方程
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式
伯努利方程式的应用
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第八章 量纲分析和相似原理
流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正
交曲线坐标
前言
本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程 教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。 本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问 题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工 作提供必需的较为坚实的流体力学基础知识，同时也兼顾到工程 技术人员和科技工作者的需要。
第1页
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第一章 绪 论
第一节 流体力学的研究对象和发展历史
自Newton(1642-1727)提出了三大运动定律和线性流体的粘性定律以后， 流体力学得到了较大的发展。十八世纪的一大批数学家如Bernoulli、 Euler、 Lagrange、 Laplace等在理想流体的假定下取得了许多无摩擦流 动问题的研究成果，如Euler的运动微分方程和其积分形式——Bernoulli 方程。但理想流体的假定有较大的局限性，工程实际中的大多数流动无 不受流体粘性的影响。当时的工程师们开始抵制这种他们认为不切实际 的理想流体流动理论，在几乎完全依赖实验的基础上发展了一门新的科 学——水力学。这样的实验科学家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy 等。他们通过实验得到了诸如明渠流动、船舶阻力、管道流动、波动等 问题的有用数据。
第十五章 正交曲面坐标系
∗ ∗
d (a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) √ √ 1 ∂ det G 1 ∂ det G = √ a1 + √ a2 1 2 ∂x g ∂x g22 11 det G det G √ 1 det G ∂ √ + a3 . 3 ∂x g33 det G
∗ ∗
正交曲线坐标系中的Laplace算符 分形式．
§15.1 正交曲面坐标系
第2页
§15.1 正交曲面坐标系
作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x1 , x2 , x3 }， x1 = ξ (x, y, z ), 它的坐标面是三组曲面 x1 = 常数, x2 = 常数, x3 = 常数. x2 = η (x, y, z ), x3 = ζ (x, y, z ),
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
“∗ ”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 √ det G I gii ∗ i dx = dx , ∗ dxI = √ dxi , gii det G
第5页
其中(i, I )构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4
k=1,2,3 k=1,2,3
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aki akj = δij .
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
∗ ∗
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂θ2 ∂z 2
r2 ∂ ∂θ
∂u ∂r sin θ r2
sin θdr ∧ dθ ∧ dφ ∂u ∂θ + dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 ∂ sin θ ∂θ 1 ∂2u dφ ∧ dr ∧ dθ, sin θ ∂φ2 ∂u ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2u . ∂φ2
d (a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 ) √ √ 1 ∂ det G 1 ∂ det G = √ a1 + √ a2 1 2 ∂x g ∂x g22 11 det G det G √ 1 det G ∂ √ + a3 . 3 ∂x g33 det G
∗ ∗
正交曲线坐标系中的Laplace算符 分形式．
§15.1 正交曲面坐标系
第2页
§15.1 正交曲面坐标系
作为这些平面极坐标系、柱坐标系、球坐标系等的概括与推广，可以定义曲面坐标系① {x1 , x2 , x3 }， x1 = ξ (x, y, z ), 它的坐标面是三组曲面 x1 = 常数, x2 = 常数, x3 = 常数. x2 = η (x, y, z ), x3 = ζ (x, y, z ),
§15.2 正交曲面坐标系中的Laplace算符
“∗ ”算符是一个线性变换，它把p次微分形式变换为相应的n − p次微分形式 √ det G I gii ∗ i dx = dx , ∗ dxI = √ dxi , gii det G
第5页
其中(i, I )构成(1, 2, 3)的偶排列，det G表示矩阵G的行列式值． 运算法则4
k=1,2,3 k=1,2,3
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aki akj = δij .
§15.3 Laplace算符的平移、转动和反射不变性
∗ ∗
1 ∂ r ∂r
r
∂ ∂r
+
1 ∂2 ∂2 + . r2 ∂θ2 ∂z 2
r2 ∂ ∂θ
∂u ∂r sin θ r2
sin θdr ∧ dθ ∧ dφ ∂u ∂θ + dθ ∧ dφ ∧ dr + 1 ∂ sin θ ∂θ 1 ∂2u dφ ∧ dr ∧ dθ, sin θ ∂φ2 ∂u ∂θ + 1 r2 sin2 θ ∂2u . ∂φ2
1.3 矢量微分算子
fA f f f x y z ( f Ac ) (e x f A c ) (e y f A c ) (e z f A c ) x y z f f f A ex A ey A e z A f x y z ( f A) f A A f 所以
微分算子是一个运算符号在运算中具有矢量和微分的双重性质其优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数运算从而明显地简化运算过程并且推导简明扼要易于掌握
1.3 矢量微分算子
一、微分算子▽的定义
ex ey ez x y z
在电磁场理论中,为简化运算，引入了微分算子▽，它 已成为场论分析中不可缺少的工具。微分算子▽是一个运算 符号，在运算中具有矢量和微分的双重性质，其优点在于可 以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数运算，从而明显 地简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。 微分算子▽的三种基本运算为
Ax Az
Ay
4
例2： ( A B ) ? ( A B ) ( A c B ) ( A B c )(*)
由矢量代数恒等式 可得
A ( B C ) ( A C ) B ( A B )C B ( A C ) C ( A B ) ( A c B ) A ( B ) ( Ac ) B A ( B ) ( A ) B ( A Bc ) ( Bc ) A ( A ) Bc ( B ) A B ( A )
A A A A ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) x y z x y z 2 2 2 A A A 2 A 2 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 x y z
《向量微分算子》课件
总结词
阐述向量微分算子具有的特性，如线性性、连续性、 可逆性等。
详细描述
向量微分算子具有一系列重要的性质。它通常是线性 的，意味着对于任意常数c和d，以及向量函数f和g， 有L(c*f+d*g)=c*L(f)+d*L(g)。此外，向量微分算子 还是连续的，意味着当输入的函数或场在一定范围内 变化时，输出的函数或场也会连续变化。有些向量微 分算子还是可逆的，意味着存在另一个算子，当与原 算子结合时，可以恢复原始的向量函数或场。
向量微分算子在解析几何中的应用实例
01
曲线的弯曲程度
利用向量微分算子，我们可以计算曲线的曲率，了解曲线在各个点的弯
曲程度。
02
速度和加速度的研究
在解析几何中，我们可以使用向量微分算子来研究物体的速度和加速度
，了解物体的运动状态。
03
向量的散度和旋度
向量的散度和旋度是描述向量场的重要概念，它们可以通过向量微分算
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
REPORTING
向量微分算子的几何意义
要点一
总结词
解释向量微分算子在几何上的表现和意义，如何影响向量 场的方向、大小等。
要点二
详细描述
向量微分算子在几何上有着深刻的含义。通过对向量函数 或场施加微分算子，可以改变其方向、大小或形状。这在 实际应用中非常有用，例如在流体动力学中，可以使用向 量微分算子来描述流体速度场的变化规律；在电磁学中， 可以用来研究电场或磁场的变化。因此，理解向量微分算 子的几何意义对于深入理解其应用非常重要。
子进行计算。在解析几何中，向量的散度和旋度可以用于研究向量场的
性质和变化规律。
阐述向量微分算子具有的特性，如线性性、连续性、 可逆性等。
详细描述
向量微分算子具有一系列重要的性质。它通常是线性 的，意味着对于任意常数c和d，以及向量函数f和g， 有L(c*f+d*g)=c*L(f)+d*L(g)。此外，向量微分算子 还是连续的，意味着当输入的函数或场在一定范围内 变化时，输出的函数或场也会连续变化。有些向量微 分算子还是可逆的，意味着存在另一个算子，当与原 算子结合时，可以恢复原始的向量函数或场。
向量微分算子在解析几何中的应用实例
01
曲线的弯曲程度
利用向量微分算子，我们可以计算曲线的曲率，了解曲线在各个点的弯
曲程度。
02
速度和加速度的研究
在解析几何中，我们可以使用向量微分算子来研究物体的速度和加速度
，了解物体的运动状态。
03
向量的散度和旋度
向量的散度和旋度是描述向量场的重要概念，它们可以通过向量微分算
2023-2026
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向量微分算子的几何意义
要点一
总结词
解释向量微分算子在几何上的表现和意义，如何影响向量 场的方向、大小等。
要点二
详细描述
向量微分算子在几何上有着深刻的含义。通过对向量函数 或场施加微分算子，可以改变其方向、大小或形状。这在 实际应用中非常有用，例如在流体动力学中，可以使用向 量微分算子来描述流体速度场的变化规律；在电磁学中， 可以用来研究电场或磁场的变化。因此，理解向量微分算 子的几何意义对于深入理解其应用非常重要。
子进行计算。在解析几何中，向量的散度和旋度可以用于研究向量场的
性质和变化规律。
第九章正交曲面坐标系
1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
d 2Z + λZ = 0
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
∇2v + k2v = 0
1 ∂ ∂v 1 ∂2v ∂2v 2 r + 2 2 + 2 + k v = 0 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
dz
2
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
柱函数
9.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量
球坐标系下，亥姆霍兹方程 ∇2v + k2v = 0 的具体形式为：
1 ∂ 2 ∂v 1 1 ∂ ∂v ∂2v + k2v = 0 r + 2 sinθ + 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r sinθ ∂θ
cos2π λ −1 A、B有非零解 ⇔ =0 cos2π λ −1 − sin2π λ sin2π λ
λm = m2, m = 1,2,3⋯
相应的A、B为任意值
本征函数 Φm1(φ) = sinmφ, Φm2(φ) = cosmφ
d 2Z + λZ = 0
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
∇2v + k2v = 0
1 ∂ ∂v 1 ∂2v ∂2v 2 r + 2 2 + 2 + k v = 0 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
dz
2
d 2Φ dφ
2
+ µΦ = 0
1 d dR 2 µ r + k − λ − 2 R = 0 r dr dr r
柱函数
9.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量
球坐标系下，亥姆霍兹方程 ∇2v + k2v = 0 的具体形式为：
1 ∂ 2 ∂v 1 1 ∂ ∂v ∂2v + k2v = 0 r + 2 sinθ + 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r sinθ ∂θ
cos2π λ −1 A、B有非零解 ⇔ =0 cos2π λ −1 − sin2π λ sin2π λ
λm = m2, m = 1,2,3⋯
相应的A、B为任意值
本征函数 Φm1(φ) = sinmφ, Φm2(φ) = cosmφ
第九章正交曲面坐标系
u(r,φ) r=0 有界， 0 < φ < 2π 有界， u(r,φ) r=a = f (φ), 0 < φ < 2π
令 u(r,φ) = R(r)Φ(φ) ，分离变量
1 ∂ ∂R 1 ∂ 2Φ Φ =0 r + R 2 2 r ∂r ∂r r ∂φ
r2 1 ∂ 2Φ ∂ ∂R 1 两边同乘以 得 ≡λ r =− 2 RΦ Φ ∂φ ∂r ∂r R
x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ z=z
0≤ ρ < ∞ 0 ≤ ϕ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符： 直角坐标系：
∇ =
2
∂2 ∂x
2
+
∂2 ∂y
2
+
∂2 ∂z2
柱坐标系：
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ∇ = + ρ + ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z2
u0(r,φ) = R0(r)Φ0(φ) = C0 + D0 lnr
um1(r,φ) = Rm(r)Φm1(φ) = (Cm1r m + Dm1r −m )sinmφ
um2(r,φ) = Rm(r)Φm2(φ) = (Cm2r m + Dm2r −m )cos mφ
一般解：
u(r,φ) = C0 + D0 lnr +
∂ ∂R r r − λR = 0⋯⋯⋯⋯(1) ∂r ∂ r
∂ 2Φ ∂φ
2
+ λΦ = 0⋯⋯⋯⋯( 2)
Φ(0) = Φ(2π )
若 λ = 0 可知： Φ(φ) = C1φ + C2 本征函数 Φ0(φ) = 1 若 λ ≠ 0 可知： Φ(φ) = Asin λφ + Bcos λφ 由周期性条件知：
矢量微分算子
( Az Ay ) ( Ax Az ) ( Ay Ax ) 0 x y z y z x z x y
( A) 0 (f ) 0
8
四、包含 算子的恒等式
(1)( f g) f g
(2)( fg) f g gf
(3)(
f) gur
gf ur
g2
f g ur
(g 0) ur
ex
f y
ey
f z
ez )
2 f 2 f 2 f x2 y 2 z 2
5
例2：求
ur A
在直角坐标系中的展开式。 f
2 f x2
2 f y2
2 f z 2
A
x
Aex
y
A
( x
ex
Aey
z
y ey z
Aez
ez )
( A x
ex
A y
ey
A z
ez
)
2
f
2A x 2
2A y 2
2A z 2
2A
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2
A
Axex
Ayey
Azez
2A x 2
2 Ax x 2
ex
2 Ay x 2
ey
2 Az x 2
ez
A
(
2
Ax
x2
2 Ax y2
2 Ax z 2
)ex
(2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
二、 一重▽算子
f
( x
ex
y
ey
z
ez
)
f
f f f x ex y ey z ez