总例题分析

例 题 分 析
例1、无限长同轴电缆内导体半径为R 1，外导体半径为R 2，内外导体之间的电压为U 。

现固定外导体半径
R 2,调整内导体半径R 1,问：
（1）内外导体半径的比值R 1 /R 2为多少时内导体表面上的电场强度最小，和最小电场强度E min =？； (2）此时电缆的特性阻抗Z 0为多少？（设该同轴电缆中介质的参数为μ0和ε0）.
分析:解：(1）由高斯定律可得，内外导体间的电场强度沿径向方向,且大小为
ρE ετ
π2=
)(21R ρR <<
电介质中电场强度的最大值出现在内导体表面上，
1max 2R E πετ
=
(1）
内外导体间的电压
12
ln
π221
R R d U R R ε
τ
⎰
=
⋅=ρE （2）
把式（1)代入式（2），可得2R 和max E 一定时,电压U 与内导体半径1R 之间的关系
12
1max ln
R R R E U = （3)
为了求出1R 取什么数值时电压为最大值，令
0)1(ln d d 1
2max 1=-=R R
E R U
由此得
e 1
2
=R R
即当内外导体半径的比值e 12=R R 时,内导体表面的电场强度最小。

且最小电场强度
1min R U E =
（2）此时电缆的特性阻抗
Ω
==
60ln
π211
2
000R R Z εμ
例2、双线平行传输线导线半径为a ，两轴线距离d ，如果此双线传输线周围的介质电导率为 .求
双线传输线漏电导。

分析：利用恒定电场和静电场之间的比拟关系求解，也可以利用漏电导的定义求解。

解：双线传输线的电容在第二章里例中已经计算过.结果为 ln d a
C πε
=
，根据恒定电场与恒定电场的
对应关系。

，
，把上述结果中的相应参量替换得到ln
d
a
G πσ
=
当然这里也可以利用例4的方法，求出双线传输线总的横向电流以及两线之间的电位差，再根据定义I
G U
=
求出双线传输线的漏电导,结果是一样的。

总结：掌握如何利用恒定电场和静电场之间的比拟关系求解典型传输设备的漏电导. 例3、一半径为a 的导体球,作为接地电极深埋于地下，土壤的电导率为 ，求此电极的接地电阻.
分析：
1、 假定不计导体球自身的电阻，那么导体球为等位体，导体球面为等位面.
2、 因为是深埋地下，可以不考虑地面的影响，所以电流是以球心对称的形式，沿着径向（和导体球表面垂直）在土壤中扩散。

解:
如图所示,导体球深埋于地下,可以忽略地面的影响，电流流入导体球后，垂直于导体球表面向土 壤扩散,土壤中距导体球球心处的电流密度为
,相应土壤中电场强度为
则导体球电位:
所以土壤中导体球的接地电阻为
总结:此题也可利用静电比拟法,因为孤立导体球的电容为4C a πε=,所以由C G 的比拟关系，电导
4G a πσ=。

掌握接地电阻的计算.
例4、均匀平面波从理想介质(μr =1，εr =16）垂直入射到理想导体表面上，测得理想介质中电场强度最大值为200V/m ，第一个最大电场强度值与理想导体表面的距离为1m ，求：
（1)该平面波的频率和相位常数；
（2）试写出介质中电场和磁场的瞬时表达式。

解：
m/s
10751
6⨯==
με
v
Ω==
π300εμ
Z
（1)第一个最大电场强度值离理想导体表面的距离应为4λ
,即
1
4
=λ
因此,该平面波的波长
m 4=λ
所以,该平面波的频率、角频率分别为
Hz
10875.14107576
⨯=⨯==λv
f
f π2=ω
相位常数
rad/m
2
π
2π
λ
β=
=
（2） 介质中电场和磁场的瞬时表达式
()()V/m
90cos sin 200,y -=t x t x E ωβ
()A/m cos cos 320
,z t x t x H ωβπ=
例5、y 方向线性极化的均匀平面电磁波在ε=9ε0的理想介质中沿x 方向传播，在x =0处垂直入射到ε=4ε0的理想介质表面，如图所示。

若入射波的角频率ω=300rad/s ，在介质分界面处电场强度的最大值为0.1V/m 。

求：
（1）反射系数和透射系数；
（2）两种介质中电场、磁场的瞬时表达式；
解：
V /m 1.0max =E
Ω==
π401
1
01εμZ Ω==
π602
2
02εμZ
rad/m 1036111-⨯==εμωβ
rad/m 1026222-⨯==εμωβ
(1）反射系数
2
.001
0201
02=+-=
Z Z Z Z Γ 透射系数
2
.1201
0202
=+=
Z Z Z T
(2)由于反射系数Γ大于零，因此在两种介质分界面处出现电场强度的最大值，即
()ΓE E +=+1max
因此
V/m 121
1max =+=
+ΓE E
且
V/m 601=
=+-ΓE E V/m 101'==+TE E
介质1中的电场、磁场的瞬时表达式
()()()
V/m 103300cos 601
103300cos 121,661y x t x t t x E --⨯++⨯-=
()()()
A/m
103300cos π24001
103300cos π4801,66z1x t x t t x H --⨯++⨯-=
而介质2中的电场、磁场的瞬时表达式
()()
V/m 102300cos 101
,62y x t t x E -⨯-=
例6、频率分别为
110f MHz =,21000f MHz = 的平面波在金属铜里传播。

已知金属表面上
的磁场幅度为00.1/y H A m =，铜的电参量为75.810/S m σ=⨯ ，1r ε= ，1r μ= 。

试求：
(1）金属铜内波的相移常数β，衰减常数α,以及相速度
p v 和波长λ。

（2）金属铜内的波阻抗及金属表面上的电场幅度0x E .
（3）趋肤深度δ及表面阻抗s Z 。

分析： 由于铜的电导率σ非常高,在频率分别为110f MHz =及21000f MHz =时，其/σωε值都很大（对
1f 、2f 分别为1110和910），显然对于这两个频率,铜均为良导体。

因此，可直接利用良导体中平面波的公
式进行计算。

解：（1）,
,p v αβ和λ的计算
因为77
410 5.810f f αβπμσππ-===⨯⨯⨯⨯，分别把
1f 、2f 代入式中，
有
41 4.78510/Np m α=⨯,4247.8510/Np m α=⨯ 41 4.78510/rad m β=⨯，4247.8510/rad m β=⨯
因为2p f
v f ωπλββ
===，分别把1f 、2f 及1β、2β代入式中可得
3
1 1.31310/p v m s =⨯，3
213.1310/p v m s =⨯
可见，电磁波在良导体中的传播速度是很慢的，远远小于光速（8
310/m s ⨯）。

而且,频率
越低速度越慢.因为2p v f
π
λβ
=
=
，分别把1β、2β代入式中可得
41 1.31310m λ-=⨯，52 1.31310m λ-=⨯
显然,1f 、2f 在自由空间的波长分别为1(0)30m λ=、2(0)3m λ=，而此时1λ、2λ之值远远小于它们在自由空间的波长。

（2）金属的波阻抗c η及表面上的0x E .因为
，于是有
,（）
显然，金属的波阻抗为复数，由于铜的电导率很高，因而它的波阻抗值很低。

因为
，
,把
及
代入上式，则得：
(V/m ）,(V/m ）
（3）趋肤深度及表面阻抗
因为，把所求的、之值代入上式，则得:
= , = (m)
因为，把所求的及代入上式则得：
(）， （)
例7、为了进行有效的电磁屏蔽，常以屏蔽材料中的一个波长作为屏蔽层的厚度.求：
(a ）收音机中周变压器铝（7
3.7210/S m σ=⨯,1r ε= ,1r μ=）屏蔽罩的厚度。

（b)电源变压器铁屏蔽罩的厚度（铁：7
10/S m σ=,1r ε=，410r μ=）.（中周的频率为465kHz ）
分析:1.、求屏蔽罩的厚度即求屏蔽罩材料中的波长；
2、因为 ,所以解题思路为；
3、若 ，则可视为良导体，。

解：1、本题中的两种材料,在所使用频率下均满足 ，视为良导体。

2、铝屏蔽罩的厚度
3、铁屏蔽罩的厚度
结果：掌握如何利用趋肤效应理论解决实际的电磁屏蔽问题。