二次函数的最大值和最小值
二次函数求最值的方法
二次函数求最值的方法一提及函数就会让很多人望而生畏，不过也有很多人热衷于探索函数的本质。
函数的概念并不难，尤其是曲线函数。
在曲线函数中，二次函数是一种重要和实际的分析方法。
这篇文章将为你普及，如何利用二次函数来求取最大值和最小值。
首先，我们必须明白函数解析式。
在数学中，函数被定义为：给定一组输入值，每个输入值都有一个对应的输出值，而这种输入和输出定义关系就称为函数。
我们有一个函数 f (x)，其中每个值 x应一个值 f (x)。
函数 f (x)阶，决定了函数的特征，其中，二次函数的解析式为：f(x)=ax2+bx+c 。
参数 a、b c为实数，并且 a≠0 。
通常情况下，求函数 f (x)最大值和最小值，只需要分析函数的解析式，就可以计算出最大值与最小值的值。
接下来，我们就来分析一下求二次函数最值的方法：二次函数最大值及最小值解法：（1）首先，求二次函数的极值点，即满足：f′(x)=0则 x= -b/2a（2）其次，求出在 x= -b/2a的函数值，即：f (-b/2a)= (a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c）=-b2/4a+c（3）最后，比较 -b2/4a+c f (x)其它 x 上的值，若 -b2/4a+c 于其它 x 上函数值，则 x = -b/2a，函数 f (x)值-b2/4a+c 为最大值；若 -b2/4a+c于其它 x 上函数值，则其它 x 上函数值取最大值。
以上就是求解二次函数最值的方法，总结起来，我们需要做以下几件事：（1）求函数 f′(x)=0解；（2）求函数 f (-b/2a)值；（3）求最大值或最小值时，取最大或最小值。
在实际应用中，我们可以利用上述步骤求解一个二次函数的最值，该方法简单实用，也可以用来解决复杂函数的求解。
从上面可以看出，求解和研究函数可以帮助我们更好地理解数学，进而可以更好地运用它们去求解实际应用的问题。
二次函数求最值的方法正是这种应用的一种实例，不仅可以让我们更好地理解曲线函数，也可以让我们更好地应用它们来求解实际的问题。
二次函数最大最小值
二次函数最大最小值二次函数是一种非常常见的函数类型，其方程的一般形式为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现出一个开口朝上或开口朝下的抛物线形状。
在这篇文章中，我们将讨论二次函数的最大值和最小值。
一、二次函数的开口方向二次函数的开口方向由a的正负确定。
如果a>0，抛物线开口朝上；如果a<0，抛物线开口朝下。
开口方向的决定对于确定函数的最大值和最小值非常重要。
二、二次函数的顶点二次函数的最大值或最小值出现在其抛物线的顶点处。
顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，纵坐标为 f (-b / (2a)) = a((-b / (2a))^2) +b(-b / (2a)) + c。
顶点满足的条件是一阶导数等于零，即 f' (x) =2ax + b = 0。
由此可得 x = -b / (2a)。
三、最大值和最小值的判断条件1.如果a>0，函数的最小值为顶点的纵坐标。
2.如果a<0，函数的最大值为顶点的纵坐标。
四、求解最大值和最小值的步骤1.确定二次函数的开口方向，根据a的正负判断是求最大值还是最小值。
2.计算顶点的横坐标x=-b/(2a)。
3.将顶点的横坐标代入函数表达式中计算纵坐标f(-b/(2a))。
五、实例分析现假设有一个二次函数f(x)=2x^2+5x-3，我们来求解该函数的最大值或最小值。
步骤一：确定开口方向由于a=2>0，故抛物线的开口方向朝上。
步骤二：计算顶点的横坐标将a=2、b=5代入顶点公式x=-b/(2a)，得到x=-5/(2*2)=-5/4步骤三：计算顶点的纵坐标将计算得到的顶点横坐标x=-5/4代入函数表达式f(-5/4)=2((-5/4)^2)+5(-5/4)-3，计算得到f(-5/4)=17/8所以，函数f(x)=2x^2+5x-3的最小值为17/8六、总结通过求解二次函数的最大值和最小值，我们可以知道其图像的顶点位置。
二次函数的最大小值怎么求
二次函数的最大小值求解方法二次函数是一种重要的数学函数形式，它可以表示为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是常数，且a eq0。
对于二次函数而言，我们通常关心它的最大值和最小值，这在数学建模和实际问题中具有重要意义。
最大值和最小值的概念在数学中，二次函数的最大值和最小值分别代表函数在某个特定区间内取得的最大和最小值。
当函数开口向上（即二次项系数a>0）时，函数的最小值在顶点处取得；当函数开口向下（即二次项系数a<0）时，函数的最大值在顶点处取得。
求解最大值和最小值的步骤步骤1：确定二次函数的标准形式首先需要将二次函数f(x)=ax2+bx+c转换为标准形式f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为顶点坐标。
步骤2：计算顶点坐标顶点的横坐标$h = -\\frac{b}{2a}$，通过将ℎ代入原函数得到纵坐标k。
步骤3：判断最大值和最小值根据a的正负来确定函数的开口方向，从而判断最大值或最小值。
•当a>0，函数开口向上，顶点为最小值；•当a<0，函数开口向下，顶点为最大值。
步骤4：求解最大值和最小值•最小值为数值k，即顶点坐标的纵坐标；•最大值为数值k，即顶点坐标的纵坐标。
示例假设有二次函数f(x)=2x2−8x+6，我们按照上述步骤求解：步骤1：标准形式将f(x)=2x2−8x+6转换为标准形式：f(x)=2(x−2)2+2。
步骤2：计算顶点坐标$h = \\frac{8}{4} = 2$，将ℎ=2代入原函数得到k=2，顶点坐标为(2,2)。
步骤3：判断最大值和最小值a=2>0，函数开口向上，顶点为最小值。
步骤4：求解最大值和最小值最小值为2，对应顶点(2,2)。
二次函数的最大值和最小值可以通过上述方法快速求解，在数学建模和分析问题时非常有用。
二次函数求极值公式
二次函数求极值公式
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$ 是常数，且$a \neq 0$。
要求二次函数的极值（最大值或最小值），可以使用以下公式：
1. 首先，计算二次函数的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
2. 如果$\Delta > 0$，则二次函数有两个不相等的实根，此时极值点为抛物线的顶点，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$。
-如果$a > 0$，则顶点为最小值点，最小值为$f(-\frac{b}{2a})$。
-如果$a < 0$，则顶点为最大值点，最大值为$f(-\frac{b}{2a})$。
3. 如果$\Delta = 0$，则二次函数有唯一实根，此时极值点为抛物线的顶点，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$。
-如果$a > 0$，则顶点为最小值点，最小值为$f(-\frac{b}{2a})$。
-如果$a < 0$，则顶点为最大值点，最大值为$f(-\frac{b}{2a})$。
4. 如果$\Delta < 0$，则二次函数没有实根，此时函数在定义域内没有极值点。
这些公式可以帮助你找到二次函数的极值点和极值。
二次函数的最大值与最小值(初中)
二次函数的最大值与最小值y 0ax2bx c aa x b2a 24a c4 ab2一、判断的基本方法a 当当a 0时，二次函数有最小值0时，二次函数有最大值二、求最值的类型与方法㈠在顶点处直接取得例：求y x22x 3最大值或最小值2y x1 4解：x R当x1时，y的最大值为4.㈡不能在顶点处取得例：求下列函数的最大值或最小值：1. 3231y x2x x解：y239 xx 22 4 2321743 3,1 23 17 当x y -2 4 时， 的最小值为 当x1时，y 的最大值为212y xxx2.21, 3,15解：y12x 5 65 53,1根据图像看，在-31y x区间上随的增大而减小当x3时，y的最大值为26 5当x1时，y的最小值为-6 512y x x x3. 21,1,22解：y 12x2 3 21,22根据图像看，y随x的增大而增大当x1时，y的最小值为-5 2当x2时，y的最小值为5㈢带有参数的二次函数求最值1 5例1：当t x t1时，求函数y x2x的最小值（其中t为实数）22125解：函数y x x x1，见下图的对称轴为2 2①当对称轴在所给范围的左侧时，即t>1时，当x t时，y的最小值为1t2t2 5 2②当对称轴在所给范围的之间时，即t 1t 10t1时，当x1时，y的最小值为1251-1-2 2-3③当对称轴在所给范围的右侧时，即t 1＜1t＜0时，当x t1时，y的最小值为1t 2t 51t 231 122 2例2.求函数y 2x2ax1，当0x1时的最小值。
解：函数y 2x2ax1，对称轴为a x2 2a4a a 0x1y x xy ①当0，即0 时，在范围内，随的增大而增大，当=0 时，最4小，y 的最小值= 202a 01 1a a②当0＜＜1，即0＜a＜4时，当x时，有最小值，4 4y的最小值= 22a a a2a1 1 448a③当1，即时，在范围内，随的增大而减小，当=1时，最a40x1y x x y 4小，y的最小值=212a113a7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
二次函数的最大值与最小值
§1~3二次函數的最大值與最小值(1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表：(2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值：函數y=f(x) 若頂點位於範圍α ≤ x ≤ β內時，圖形如下：若頂點為(m,n)而圖形二端點為(α,f(α))，(β,f(β))，則n ，f(α)，f(β)三者中 較小者為最小值， 較大者為最大值。
若頂點不位於範圍α ≤ x ≤ β內時，圖形如下：xy)) xy y圖形二端點為(α,f(α))，(β,f(β))，則f(α)，f(β)二者中 較小者為最小值， 較大者為最大值。
(3)最大值與最小值的求法，除可利用二次函數來求外，尚可利用下列的方法： 利用ab ba ≥+2(算術平均數)≥(幾何平均數) 例：二正數x ，y ，若xy=24，求2x+3y 之最小值。
∵()()y x yx 32232≥+ 2x+3y xy 62≥∴ 2x+3y ≥2144=24 故最小值為24 利用∣a ∣+∣b ∣≥∣a+b ∣例：設x 為實數，求∣x+2∣+∣x -5∣之最小值。
∵∣x+2∣+∣x -5∣=∣x+2∣+∣5-x ∣≥∣(x+2)+(5-x)∣ =7∴∣x+2∣+∣x -5∣≥7 故最小值為7 利用一元二次方程式D ≥0例：設k 為實數，方程式x 2-(k -1)x+(k 2-1)=0有實根，求k 之最大值與最小值。
∵方程式有實根 ∴D ≥0⇒[-(k -1)]2-4×1×(k 2-1)≥0 (k -1)(k -1-4k -4)≥0⇒ (k -1)(3k+5)≤0∴ 1≥k ≥-35，故 k 之最大值為1，最小值為-35。
分式型：當分子為定值，分母最大時分式的值為最小；分母最小x(β,f(β))時分式的值為最大。
例：設x 為實數，求y=4x 2x 122++ 之最大值。
∵ x 2+2x+4=(x 2+2x+1)+3=(x+1)2+3≥3∴當x=-1時，x 2+2x+4有最小值3，此時y 有最大值312=4。
二次函数的最大值和最小值
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
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解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
2636二次函数的最大值或最小值
二次函数的最大值或最小值的应用
用6m长的铝合金型材做个形状如图所示 的矩形窗框，做成长、宽各 为多少时，才能使做成的窗 框的透光面积最大？最大透 光面积是多少？
二次函数的最大值或最小值的应用
例：广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出 的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y (米)关于水珠与喷头的水平距离x (米)的
26.3(6)二次函数的 最大值或最小值
当抛物线开口向上时，抛物线的顶点是最低 点，此时的函数值y有最小值，等于顶点的纵 坐标，相对应的自变量x等于顶点的横坐标；
当抛物线开口向下时，抛物线的顶点是最高 点，此时的函数值y有最大值，等于顶点的纵 坐标，相对应的自变量x等于顶点的横坐标；
当x=顶点的横坐标时，y 最值=顶点的纵坐标
例题精讲 抛物线y = – x 2 + bx + c在点 (4， – 2)
处达到最高点，求b、c的值
已知二次函数y = (x – 1) 2 + (x – 3) 2， 求当x为何值时，函数y取到最小值，并 求这个最小值
例题：在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩 形铁皮（如图），它的底边AB长20cm，要截 得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分 别在边CA、CB上，设EF的长为x厘米，矩形 EFGD的面积为y平方厘米
C (1)试写出y关于x的函数解析式
E
D
及定义域，(2)当EF＝
A
Байду номын сангаас
F
4cm时，矩形EFGD的
G
B
面积。(3)当EF长度多
少时，矩形EFGD的面积最大
例题：一位运动员推铅球，铅球运行时离 地面的高度y米是关于时间x秒的二次函数。
5
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(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
a
0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递增
当x=t时
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymax t 2 2
y
1
x
0 t t+1
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论 4、作业：练习册第 页15题、一课一练第50页
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
如果不等式f(x) f(x0 ), 对于定义域内任意x都成立，
那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最大值。记作ymax=f(x0 )
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
X=1
3⑵当t 1时，函数y在[t,t 1]上单调递增
ymin f (t) t 2 2t 2
t2 1,(t 0) 综上所得：y最小值 1,(0 t 1)
t2 2t 2,(t 1)
1
t t t+1t t+1
0
1
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
解： y ( x 3 )2 2 9
2
4
3 x
2
y
( x 3)2 4 1
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
当 x 3 时 2
1
ymin
4 4
当 x 1时 ymax 1 3 2 2
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
当x t 1时 ymax t 2 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
当x t 时
ymax t 2 2t 3
y
0
t t+1 x
y
0
t t+1 x
(4) 当 t 1时
5
x 5
解：y 1 ( x 5)2 6
y
5
5[3,1]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
当x 3时 当x 1时
26 ymax 5
6
ymin
5
1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、判断顶点的横坐标是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
主讲人：杨sir
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x
b 2a
)
2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0ห้องสมุดไป่ตู้
x
4ac b 2
4a
0
x
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
解： y 2( x1)2 2
xR
当 x=1时，ymin 2
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
1 3a
-1
1
0
x
二
次
x=a x=a x=a
函
2. 1 a 1 ymin f ( a ) a a 2
数
3. a 1 ymin f ( 1 ) 1 a
的
y
y
y
最
-1
1
-1
1
-1
1
值
0
x
0
x
0
x
x=a
x=a
x=a
例4：已知函数 y x2 2x 2 x [t,t 1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
对称轴 x 1
(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
二次函数的最值
例 3 ：已知函数 y x2 2ax a x 1, 1
a是常数，求函数的最小值
解 函数 y x 2 2ax a
y
配方得：y x a2 a a2
自变量x的取值范围为 1, 1
1. a 1 ymin f ( 1 )
t为常数，求：函数的最小值。
解 y x2 2x 2 (x 1)2 1 对称轴为x 1
1⑶当t 1 1, 即：t 0时，函数y在[t,t 1]上单调递减
ymin f (t 1) t 2 1
2⑴当1[t,t 1],即：t [0,1]时
ymin f (1) 1
当x 1时 当x 1时
ymax 4 a ymin 4 a
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y - 01 x 1
例4: 求函数 y x2 2 x 3 在 [t , t 1] 上的最大值
和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1)2 2