长春市高考数学二模试卷(I)卷
长春市高考数学二模试卷(文科)(I)卷
长春市高考数学二模试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·石景山模拟) 已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A . {x|x≥0}B . {x|x≤1}C .D . {x|0≤x＜ }2. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 复数的虚部是（）A . iB .C . - iD . -3. （2分） (2016高一下·双流期中) 已知向量 =（x，1）， =（1，﹣1），若∥，则x=（）A . ﹣1B . 1C . ±1D . 04. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件“三次取到的球颜色都不相同”，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·虎林模拟) 设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A . 14B . 16C . 17D . 196. （2分）(2017·东城模拟) 设，是非零向量，则“ ，共线”是“| + |=| |+| |”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高三下·赣州期中) 如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的值分别为1，﹣2，9，3，则输出x的值为（）A . ﹣29B . ﹣5C . 7D . 198. （2分） (2016高二上·蕉岭开学考) 已知向量 =（sinα，cos2α）， =（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若• =﹣，的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·临川模拟) 已知圆（x﹣1）2+y2= 的一条切线y=kx与双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A . （1，）B . （1，2）C . （，+∞）D . （2，+∞）10. （2分）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A .B .C .D .11. （2分）设甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·北京期中) 下面给出的关系式中正确的个数是（）① • =② • = •③ 2=| |2④（• ） = （• ）⑤| • |≤ • ．A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知α为钝角，且cos（+α）=﹣，则sin2α=114. （1分） (2018高二上·无锡期末) 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值是________．15. （1分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的曲线是一段半圆弧，则这个几何体的表面积是________．16. （1分）设函数f（x）= ，函数y=f[f（x）]﹣的零点个数为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18. （20分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下．寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图及频率分布折线图；（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例；（4）从频率分布直方图可以看出电子元件寿命的众数，平均数和中位数是多少？19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥CD，∠BCD=90°．（1）求证：BC⊥平面PDC；（2）求点A到平面PBC的距离．20. （10分） (2015高二上·城中期末) 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．21. （15分） (2016高三上·厦门期中) 已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+ ＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当n∈N*，且n≥2时， + +…+ ＞．22. （5分）(2017·成安模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（I）写出直线l的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（II）直线l与曲线C2交于A、B两点，求|AB|．23. （5分）设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略18-4、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略22-1、23-1、答案：略。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41， 故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可． 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误， 故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ， 则有cosA =12， 则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ， 则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0， 故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5． 故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ． 故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)． 设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )， 则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则． 因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。
2025届吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高考数学二模试卷含解析
2025届吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高考数学二模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =3．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．53C ．1316D ．1134．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．515．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-6．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13B ．4C ．2D ．37．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞8．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23289．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A ．2B ．1C ．22D ．1210．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,211．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·湖北模拟) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·龙岩月考) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）若函数为奇函数，则a=（）A .B .C .D . 14. （2分）设等差数列的公差为d，若的方差为2，则d等于（）A . 1B . 2C . ±1D . ±25. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A .B .C .D . 36. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A . ﹣B . ﹣C .D .7. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）A .B .C . 6D .8. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），直到结束为止，则输出的s=（）A . 9B . 27C . 32D . 1039. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A .B .C .D . 36π10. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A . α＞βB . α＜βC . α+β＞0D . α2＞β211. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·长宁模拟) 如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a 的取值范围是（）A . （﹣∞， ]B . [3，+∞）C . [﹣2 ，2 ]D . [﹣3，3]二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）关于函数，给出下列命题：①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数，且满足f(1)＝1，则f(2)－f(－4)＝0；②若函数f(x)满足f(x＋1)f(x)＝2 017，则f(x)是周期函数；③若函数g(x)＝是偶函数，则f(x)＝x＋1；④函数y＝的定义域为 .其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)14. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则| + |=________．15. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．16. （1分）(2017·呼和浩特模拟) 天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为________年．三、解答题 (共7题；共70分)17. （15分）(2017·白山模拟) 已知函数f（x）=lnx+bx﹣c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若在区间内，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．18. （10分） (2018高三上·辽宁期末) 在如图所示的四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面PAB,且分别为的中点， .证明：（1）平 ;（2）若，求二面角的余弦值.19. （10分）(2020·扬州模拟) 某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为；②架面与架底平行，且架面三角形与架底三角形均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点分三根细钢管上、下两段之比均为 .定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值.20. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.21. （5分）(2017·呼和浩特模拟) 已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①讨论f（x）的单调性；②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0 ，证明f′（x0）＜0．22. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．23. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={xx(x −2)≤0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1,0，3}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,2，3} 2. 若z =1+(1−a)i(a ∈R)，|z|=√2，则a =( )A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1 3. 下列与函数y =1√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是( ) A. a 1 B. a 3 C. a 8 D. a 105. 若单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 夹角为60°，a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 4 B. 2 C. √3 D. 16. 《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高数二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是(注：雷达图(RadarCℎart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderCℎart)，可用于对研究对象的多维分析)( )A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7. 命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立：q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∨(￢q)C. p ∧(￢q)D. (￢p)∧q8. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，则函数y =f(x)−3的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n (n∈N∗)，则S n=()A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4.正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约条条件{2x+y≥2y−2≤02x−y≤2，则z=x+y的最大值为______14.曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=______．15.在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为______．16.三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，三棱锥A−BCD体积的最大值为______；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若AC=2，求AB长．18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P(K2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．(Ⅰ)求证：A1B⊥GM；(Ⅱ)求点A1到平面MNG的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．(Ⅰ)若x 1为f(x)的极值点，且f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值； (Ⅱ)求证：当m >0时，f(x)有唯一的零点．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)(Ⅰ)求C 1和C 2的普通方程；(Ⅱ)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23. 已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(Ⅰ)若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|0≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：C ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：因为z =1+(1−a)i(a ∈R)，∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒(1−a)2=1⇒a =0或2； 故选：A ．根据复数求模公式计算即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题． 3.答案：C解析：解：y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x|x >0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x|x ≥0}． 故选：C ．可看出，y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{x|x >0}上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{x|x >0}，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ． 本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵等差数列{a n }中，3a 5=2a 7， ∴3(a 1+4d)=2(a 1+6d)， 化为：a 1=0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：C解析：解：由a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，得a ⃗ 2=(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )2=4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4×1−4×1×1×cos60°+1=3， 所以|a ⃗ |=√3． 故选：C ．根据平面向量的数量积，计算模长即可．本题考查了利用平面向量的数量积求模长问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误， 对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7.答案：A解析：解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立， 当x 0=π时，对任意实数x ，使得sin(x +π)=−sinx 恒成立， 故P 为真命题；命题q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x ，有a+xa−x >0，解可得−a <x <a ，函数的定义域为(−a,a)，关于原点对称，有f(−x)=ln a+xa−x =−ln a+xa−x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数， 故其为真命题；则p ∧q 为真命题，(￢p)∨(￢q)、P ∧(￢q)、(￢p)∧q 为假命题； 故选：A ．根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f(x)=ln a+xa−x 在a >0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题． 8.答案：B解析：解：因为函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，且x ≤0时f(x =−2x(x +2)=−2(x +1)2+2； 所以f(x)的图象如图，由图可得：y =f(x)与y =3只有两个交点； 即函数y =f(x)−3的零点个数是2； 故选：B ．画出f(x)的图象，结合图象求出y =f(x)与y =3的交点个数，即可判断结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，作图是难点，属于中档题． 9.答案：C解析：解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ．由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论． 本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题． 10.答案：D解析：解：圆x 2+y 2−4y =0化为标准方程为：x 2+(y −2)2=4， ∴圆心为(0,2)，半径r =2，∵渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay =0， ∴√a 2+b 2=√3，即2ac =√3∴离心率e =c a=2√33， 故选：D ．先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值． 本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，是中档题． 11.答案：B解析：解：法一：排除法：a 2=6，a 3=16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2nS n (n ∈N ∗)，∴S n+1−S n =n+2nS n ,化简得：S n+1n+1 =2Sn n， ∴数列{Snn}是以2为首项，2为公比的等比数列， S n n=2n ,S n =n ⋅2n ．故选：B ．根据a n+1=S n+1−S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，a n 与S n 的关系是解决本题的关键． 12.答案：C解析：解：如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，则EG//D 1B 1，而CA 1⊥平面EFG ，所以AC 1⊥EG ；故①正确；对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，∴CM//ED ，因此GC//ED 不正确；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，∴B 1F 与BC 不垂直，因此B 1F ⊥平面BGC 1不成立．④∵D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.∴EF 和BB 1成角为π4.正确．正确命题的个数是2． 故选：C ． 如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，可得EG//D 1B 1，又CA 1⊥平面EFG ，即可判断出正误．对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误； ③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，可得B 1F 与BC 不垂直，即可判断出正误． ④由于D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.即可判断出正误．本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：4解析：解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图： 化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A(2,2)时， 目标函数有最大值为z =4． 故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：1解析：解：∵f′(x)=2cosx ， ∴f′(π3)=2cos π3=1，∵切线与直线ax +y −1=0垂直， 所以−a =−1 ∴a =1．故答案为：1．根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，利用切点处的导数等于切线斜率是本题的切入点．15.答案：16解析：解：由∠ABQ =90°，∠BAP =90°， 延长BO 到P ，AO 到Q ；当点P 位于劣弧PQ 之间时，△ABP 为锐角三角形，因为AO =OB =AB ；所以：∠AOB =∠POQ =60°； 所以其概率为：P =60°360∘=16．故答案为：16．先找到等于90°的分界点，进而求得结论．本题主要考查几何概型，此题涉及到弧长问题，属于基础题目．16.答案：2√2 4π3解析：解：当BD 过球心，所以∠BAD =∠BCD =90°，所以AO ⊥面BCD ，V A−BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC =CD 时体积最大， 因为BD =2√2，OA =√2，所以BC =CD =2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23；三棱锥A −BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB =AC =√OC 2+OA 2=2=BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =√32，所以r =√3，所以外接圆的面积为S =πr 2=4π3，故答案分别为：2√23，4π3． 由于BD 过球心，所以可得∠BAD =∠BCD =90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC =CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵sinBsin 2A =√2cosA 中，sinB =2√23， ∴2sin 2A =3cosA ，即2(1−cos 2A)=3cosA ， 解得cosA =12，A =π3．(2)∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB ，∴AB =ACsinB ⋅sinC =√64+1．解析：(1)由已知结合同角平方关系可求cos A ，进而可求A ； (2)由已知结合和差角公式可求sin C ，然后结合正弦定理可求． 本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题．18.答案：解：(Ⅰ)由图可知，(0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005)×10=1， 解得m =0.025；擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 3070 100K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762<6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．解析：(Ⅰ)由小矩形面积之和为1即可求出m ；(Ⅱ)根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，可得CB ⊥平面ABB 1A 1， M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，可得MN//BC ， 可得MN ⊥平面ABB 1A 1，又A 1B ⊥NG ， 由三垂线定理可得A 1B ⊥GM ；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，由(Ⅰ)可得A 1B ⊥平面MNG ， 在△BNE 中，AA 1=2AB =4，tan∠EBN =12，则cos∠EBN =√5， 可得BE =4√55，由BA 1=2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．解析：(1)运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，易得A 1B ⊥平面MNG ，即A 1到平面MNG 的距离为A 1E ，由解三角形的知识求得所求距离．本题考查线面垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用转化思想和平面几何的性质，属于中档题．20.答案：解：(1)已知点P 在椭圆上，设P(x 0,y 0)，即有x 02a 2+y 02b 2=1，又k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c =2， 可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ， 联立直线AP 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0， 由x A =−2，可得x P =6−8k 23+4k 2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2−12=0，即x M 2=6−8k 23+4k 2，所以|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M|2=|x p +2|⋅|0+2||x M |2=2．即|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，且定值为2．解析：(1)由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a =−34，又c =1，再结合a 2=b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识．21.答案：解：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得(2x 1+x 2+3)(x 1−x 2)=0．2x 1+x 2=−3.(6’)(2)证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，可知ℎ(x)在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在[−2,0]上单调递减，又ℎ(−2)=43，ℎ(0)=0；−m(x +1)为过点(−1,0)的直线，又m >0，则−m <0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．(12分)解析：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．(2)令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程为(x −2)2+y 2=4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)，得{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y =8； (Ⅱ)如图，圆C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)， 则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=4|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4<α<π2，∴−π4<2α+π4<5π4．∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1,1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为4√2+1=4(√2−1)．解析：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4为{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程；(Ⅱ)分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)，可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9，解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)；(Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立，即为1<f(x)min，当a=0时，f(x)=|x−1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a<0，即−a>0时，f(x)=|ax+1|+|x−1|=−a|x+1a |+|x−1|=(−a−1)|x+1a|+(|x−1|+|x+1a|)，当−a−1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a|>1不恒成立；当a>0，x>0时，f(x)=ax+1+|x−1的最小值为f(1)=a+1|>1恒成立，综上可得，a的范围是(0,+∞)．解析：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
吉林省长春市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(强化卷)模拟试卷
吉林省长春市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(强化卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题双曲线的离心率大于的充分必要条件是A．B．C．D．第(2)题已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（）A．B．C．D．第(3)题为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（）A．30B．25C．20D．15第(4)题若复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为A．B．C．D．第(5)题设集合，则（）A．B．C．D．第(6)题如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．第(7)题已知为锐角，若，则（）A．B．C．D．第(8)题半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A．1B．2C．4D．8二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．的最小正周期为B．的最大值为2C ．在区间上单调递增D．为偶函数第(2)题定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（）A．的最小正周期为B ．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D ．在区间上单调递增第(3)题下列命题中正确的命题是（）A．，使；B．若，则；C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为___________.第(2)题已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.第(3)题已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
长春市高考数学二模试卷(理科)(I)卷
B .
C .
D .
5. （2分） (2015高三上·保定期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018·河南模拟) 定义 表示不超过 的最大整数， ，例如 ， ，执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）
A . π+2
B . π+
C . 2π+2
D . 2π +
11. （2分） 给出下列命题，其中错误命题的个数为（ ）
（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；
（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．
长春市高考数学二模试卷（理科）（I）卷
姓名:________班级:______；共24分)
1. （2分） ， ， 则
A . (0,1)
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设z= ，则 =（ ）
A . ﹣1+3i
B . ﹣1﹣3i
（1） 将2017年11月的空气质量指数 数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个 数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；
（2） 根据《环境空气质量指数（ ） 技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为 （含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为 ，求 的分布列及数学期望；
吉林省长春市汽车经济开发区第六中学2024年高三第二次高考模拟考试数学试题试卷
吉林省长春市汽车经济开发区第六中学2024年高三第二次高考模拟考试数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．3πC ．(833)πD ．(16312)π2．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙4．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．23D ．336．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．87．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+8．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>11．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ） A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-12．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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长春市高考数学二模试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题： (共14题；共15分)
1. （1分） (2019高三上·上海期中) 若集合，，则 ________
2. （1分） (2017高二下·鞍山期中) 已知i是虚数单位，计算的结果为________．
3. （1分）(2017·南京模拟) 执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为________．
4. （1分）某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________．
5. （1分） (2017高二下·盘山开学考) 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为________．
6. （1分）已知点A（﹣,），在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x 轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为________
7. （1分）已知球的表面积为4π，则其半径为________．
8. （1分） (2019高一上·丹东月考) 若函数的定义域是，则函数的定义域是________．
9. （2分）已知等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=________ ，an=________
10. （1分） (2017高一下·正定期末) 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，若圆与直线
相切，则圆的标准方程是________．
11. （1分） (2017高三下·银川模拟) 已知| |=1，| |= ，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是________．
12. （1分） (2018高一下·应县期末) 在中，三个角所对的边分别为 .若角
成等差数列，且边成等比数列，则的形状为________．
13. （1分）(2017·东台模拟) 若函数f（x）= ，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为________．
14. （1分）(2020·南京模拟) 若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.
二、解答题： (共12题；共110分)
15. （5分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），
（1）求的值；
（2）求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．
16. （10分） (2017高一下·河北期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．
17. （10分）(2017·大连模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M 为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．
18. （5分）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
19. （15分）(2017·新余模拟) 已知函数f（x）=sinx﹣xcosx（x≥0）．
（1）
求函数f（x）的图象在处的切线方程；
（2）
若任意x∈[0，+∞），不等式f（x）＜ax3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）
设m=f（x）dx，，证明：．
20. （10分）(2020·邵阳模拟) 已知正项数列中, .
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列是等差数列,且 , ,求数列的前项和 .
21. （10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC于点E，过点E作圆O的切线交BC于点F．
（1）求证：BC=2EF；
（2）若CE=3OA，求∠EFB的大小．
22. （5分）(2017·东台模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A= 对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1 ．
23. （10分）(2017·河北模拟) 在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，若以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（1）求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程；
（2）已知A，B分别为两曲线上的动点，求|AB|的最大值．
24. （10分）(2019·南通模拟) 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．
① 求实数的取值范围；
② 证明：．
25. （10分）(2014·大纲卷理) 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2） X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
26. （10分） (2016高二下·连云港期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足an+Sn=2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
参考答案一、填空题： (共14题；共15分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题： (共12题；共110分)
15-1、答案：略16-1、
16-2、
17-1、
17-2、
18-1、19-1、
19-2、19-3、
20-1、20-2、
21-1、21-2、
22-1、23-1、23-2、24-1、
25-1、25-2、26-1、26-2、。