初中数学竞赛一元二次方程的整数整数解(含答案)-
初中竞赛第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么
b
a a
b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、
c 的值．
【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．
思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．
【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．
注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．
【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．
学历训练
1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．
2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．
5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根
6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．
7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．
8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．
9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．
10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．
11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．
12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1
x '、2x '，且1x 2x >0，1
x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1
x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．
13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
参考答案。
初中数学竞赛一元二次方程卷(一)及解答
一元二次方程卷(一)一、填空:1.方程x 2－丨2x －1丨－4=0的根是________________________.[提示:分2x －1≥0和2x －1<0两种情况讨论.注意:当2x －1≥0时,求出的根必须满足2x －1 ≥0,否则应舍去;同样,当2x －1<0时,求出的根必须满足2x －1<0,否则应舍去]2.当b=______时,方程x 2+bx+1=0和方程x 2－x －b=0有一个公共根.[提示:设公共根为α,代入两个方程得到方程组,解方程组(两方程相减)得b 的值,再验算b 值能否使Δ≥0.]3.已知实数x 、y 满足x 2－2x －4y=5,则x －2y 的最大值是________.[提示:设x －2y= m,消去x,得到关于y 的一元二次方程,再由Δ≥0解得m 的取值范围]4.设x 1、x 2是方程x 2－x －4=0的两根,则x 13+5x 22+10的值为______.[提示:用根的定义和韦达定理.先将x 1和x 2分别代入原方程,并用一次式表示出x 12及x 22,再代入原式.]5.设ΔABC 的一边为1,另两边的长是方程x 2－2x+m=0的两个根x 1和x 2,则m 的取值范围是_________.[提示:由Δ≥0、两边之和大于笫三边、两边之差小于笫三边以及韦达定理列出不等式组]6.已知实数a 、b 、c 满足a 2－a －bc+1=0,2a 2－2bc －b －c+2=0,则a 的取值范围是_______.[提示:先用a 表示出b+c 及bc,则以b 和c 为根的一元二次方程是?,再由Δ≥0解得a 的取值范围]7.要使关于x 的两个方程x 2－5x=a 和x 2－5x=－a 有且只有一个方程有两个不同的实数根,则a 的取值范围是________.8.已知方程组223320x y x y +=⎧⎨+=⎩的两组解是(x 1,y 1)和(x 2,y 2),则x 1y 2+x 2y 1的值是_____. 9.已知关于x 的方程(a －1)x 2+2x －a －1=0的根都是整数,则整数a 的值为__________.10.已知xy+x+y=11,x 2y+xy 2=30,则x 2+y 2的值为_____.[提示:构造以x+y 和xy 为根的方程]二、解下列各题:1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和3,乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为－1和3,求(2b+3c)∶a 的值.[提示:设甲把a 看成a ’,乙是否看错b 的符号?由韦达定理列出方程,再设法求b a 和c a的值]2.设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0, x2+(2m+1)x+m2=0, (m－1)x2+2mx+m－1=0中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围. [提示:先求三个方程都无实根时m的取值范围]3.实数a取何值时,分式方程222(2)x x x ax x x x--++=--只有一个实数根?4.已知方程ax2+2(2a－1)x+4(a－3)=0 (a为正整数)至少有一个整数根,求a的值.参考答案:一.1. 2. 2;3. 92; 4. 39; 5. 314m <≤; 6. 1a ≥; 7. 2525或44a a ≥≤-; 8. 10;9. 1,2,3,0,-1;10. 26或13.二.1.4.2.31或24m m ≤-≥-; 3.a=72,4,8. 4.(求参法)由原方程得(x+2)2a=2x+12,求得a=2212(2)x x ++, (x ≠-2) (*) 由a 为正整数,有a ≥1, 即2212(2)x x ++≥1, 解得-4≤x ≤2,∴整数x 的一切可能值为-4,-3,-3,-2,-1,0,1, 分别代入(*),得正整数a=1,3,6,10.。
初中数学竞赛第1讲一元二次方程的解法(含解答)
第1讲一元二次方程的解法一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。
如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。
解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+1 10 (100x2-100)]克朗，得方程100+110(100x2-100)=100x. 同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,∴x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x22=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1,x2;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x12(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=45.(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=1 3 .(7)原方程可化为∴ x1=,x2(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。
初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。
这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。
例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。
例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。
例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。
例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。
5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。
求a,b 的值。
练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。
2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。
数学竞赛 全国奥林匹克数学大赛初中数学竞赛试题解答 含答案解析
中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题题 号 一 二 三总 分1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1D E FS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A FC B A C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b a b a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者815a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。
泉州五中初二下奥数讲座(6) ——一元二次方程的整数根提高+答案
泉州五中初二下奥数讲座（6）——一元二次方程的整数根提高班 号 姓名 供稿人：李锦扬例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例4】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99109910≤≤≤≤y x ，，则y x y x +=+100)(2， 即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例5】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．（“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练B 级1．已知a 、b 为实数，设2006b a -=，如果关于x 的一元二次方程20x ax b ++=的根都是整数，则该方程的根共有( )组． A ．4 B ．6 C ．8 D ．102．已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，则_________=a . 3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.4．使方程071222=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a .（全国初中数学联赛试题）6．设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为________（《学习报》公开赛试题）7．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.（全国初中数学联赛试题）8．当x 为何有理数时，22392-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）9．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02=+-p qx px 有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）10．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bcx a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值； （2）求k 的值及它对的y x ,的值.参考答案【例1】 ．已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值． 【解答】解：当4k =时，原方程为32320x -+=，所以1x =，符合题意； 当8k =时，原方程为16320x +=，所以2x =-，符合题意；当4k ≠且8k ≠时，原方程化为[(4)8][(8)4]0k x k x ----=，解得184x k =-，248x k=-．k Q 为整数，且1x ，2x 均为整数根，41k ∴-=±，2±，4，8±，得3k =，5，2，6，0，4-，12 或81k -=±，2±，4-，得7k =，9，6，10，12．综上所述，当k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．【例2】 ．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 【解答】解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=． 由于该方程有整数根，则判别式△0…，且是完全平方数．由△2224(229)71160y y y =--=-+…， 解得211616.57y ≈…．于是显然，只有16y =时，△4=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时11x =-，23x =-； 当4y =-时，原方程为2430x x -+=，此时31x =，43x =．所以，原方程的整数解为312431241133444 4.x x x x y y y y ==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩ 故选：C ．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根．【解答】解：（1）若0r =，12x =，原方程无整数根；（2）当0r ≠时，122r x x r ++=-，121r x x r-=；消去r 得：121242()17x x x x -++=， 即12(21)(21)7x x --=， 717(1)(7)=⨯=-⨯-Q ， ∴①12211217x x -=⎧⎨-=⎩，解得1214x x =⎧⎨=⎩，114r r -∴⨯=，解得13r =-； ②12217211x x -=⎧⎨-=⎩，解得1241x x =⎧⎨=⎩；同理得：13r =-，③12211217x x -=-⎧⎨-=-⎩，解得1203x x =⎧⎨=-⎩，1r =，④12217211x x -=-⎧⎨-=-⎩，解得1230x x =-⎧⎨=⎩，1r =．∴使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根的r 值是13-或1．【例4】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 【解答】解：设前后两个二位数分别为x ，y ，2()100x y x y ∴+=+． 222(50)()0x y x y y +-+-=．22244(50)4()4(250099)0b ac y y y y -=---=-…，解得252599y …，当2525y …时，原方程有解．50x y ∴==-250099y ∴-必为完全平方数，Q 完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9． ∵x 的数位是2位，y 是2位．25y ∴=30x ∴=或20，∴所求的四位数为3025或2025． 【例5】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．【分析】反客为主：首先将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+，进而分析2x +，以及a 的取值，得出所有的可能结果．【解答】解：将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+．显然20x +≠，于是22(6)(2)x a x +=+由于a 是正整数，所以1a …，即22(6)1(2)x x ++…所以2280x x +-…， (4)(2)0x x +-…， 所以42(2)x x -≠-剟．当4x =-，3-，1-，0，1，2时，得a 的值为1，6，10，3，149，1 1a ∴=，3，6，10说明从解题过程中知，当1a =时，有两个整数根4-，2； 当3a =，6，10时，方程只有一个整数根．综上所述，当1a =，3，6，10时，关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．法二：()221=481=48n a n a -∆+=设，则代入方程得：()()()22221454250n x n x n -+-+-= ()()12101210=0n x n n x n +++⋅-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦12210821082,21111n n x x n n n n +-=-=--=-=-+++--能力训练1．已知a 、b 为实数，设2006b a -=，如果关于x 的一元二次方程20x ax b ++=的根都是整数，则该方程的根共有( )组． A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【解答】解：由韦达定理得12x x a +=-，12x x b =，则12122006x x x x ++=． 所以，12(1)(1)20079223x x ++==⨯9(223)36693(669)12007(1)(2007)=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-． 易知方程有6组解． 故选：B ．2．已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【解答】解：设两个根为12x x …， 由韦达定理得12126x x a x x a +=-⎧⎨=⎩，从上面两式中消去a 得 12126x x x x ++=， 12(1)(1)7x x ∴++=， ∴121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩，∴1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩，120a x x ∴==或16．3．若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数时k 的值有 5 个． 【解答】解：①当60k -=，即6k =时，则原方程为(117156)540x --⨯+=，解得2x =； ②当90k -=，即9k =时，则原方程为(117159)540x --⨯+=，解得3x =-； ③当60k -≠、90k -≠时，即6k ≠且9k ≠时，196x k =-，269x k=-； ①当61k -=±，3±，9±时，x 是整数，此时7k =、5、3、15、3-；③当91k -=±、2±、3±、6±时，x 是整数，此时10k =、8、11、7、12、15、3． 综合①②知，3k =、15、6、7、9时，原方程的解为整数． 故答案为：5．4．设方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数，求所有正数a ．【解答】解：Q 方程有根，2224(17)0a a a ∴-⨯-…，243280a a -+…，21283a …，121x x a ∴+=-；12217x x a=-，Q 两根之和与两根之积均为整数，∴211a=，4，9．又1a -Q 为整数，∴11a=，2，3，1a ∴=，12，13．5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=.6．设方程2(6)(3)0x m x m +++-=有两个不同的奇数根，则整数m 的取值为 2-或6- ． 【解答】解：设两根为1x 、2x ． 12(6)x x m +=-+Q ，123x x m =-g ， 12129x x x x ∴++=-g ， 12(1)(1)8x x ∴++=-．1x Q 、2x 为奇数，11x ∴+、21x +为偶数， 112x ∴+=，214x +=-或112x +=-，214x +=，11x ∴=，25x =-或13x =-，23x =， 12(6)4x x m ∴+=-+=-或0，2m ∴=-或6-，故答案为：2-或6-．7．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值． 【解答】解：2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=，2222(68)(264)40k k x k k x k -++--+-=， 22(4)(2)(264)(2)(2)0k k x k k x k k --+--+-+=， [(4)(2)][(2)(2)]0k x k k x k -+--++=． (4)(2)0k k --≠Q1214x k ∴=---， 2412x k =---； 1124(1)1k x x ∴-=-≠-+①2242(1)1k x x -=-≠-+②由①②消去k ，得121320x x x ++=g ． 12(3)2x x ∴+=-．由于1x ，2x 都是整数．∴12231x x =-⎧⎨+=⎩，12132x x =⎧⎨+=-⎩，12231x x =⎧⎨+=-⎩，即1222x x =-⎧⎨=-⎩，1215x x =⎧⎨=-⎩，1224x x =⎧⎨=-⎩6k ∴=，3，103． 经检验，6k =，3，103满足题意． 8．当x 为何有理数时，代数式29232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 【解答】解：设两个偶数为2n ，22(0)n n +>，则292322(22)x x n n +-=+，即292322(22)0x x n n +--+=．x 为有理数，则方程的△为完全平方数，△2222349[22(22))]36(441)565[6(21)]565n n n n n =+⨯⨯++=+++=++， 设△2m =（不妨设0)m …，22[6(21)](126)(126)56556511135m n m n m n -+=++--==⨯=⨯， 当126565m n ++=时，1261m n --=解得283m =，23n =； 当126113m n ++=时，有1265m n --=解得59m =，4n =；当23n =时，292324648x x +-=⨯，17x =-或1309x =；当4n =时，29232810x x +-=⨯，2x =或419x =-．9．是否存在质数p ．q ，使得关于x 的一元二次方程2px qx p O -+=有有理数根？ 【解答】解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△2224q p n =-=， 规定其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=．（5分） 由于1q n q n -+剟，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数，因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩、24q n q n p -=⎧⎨+=⎩、4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩、22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩、24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩ 消去n ，解得22251,2,,2,2222p p p q p q q q p q =+=+===+．（10分） 对于第1，3种情形，2p =，从而5q =；对于第2，5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去）； 对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，5q =时，方程为22520x x -+=，它的根为121,22x x ==，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．（15分）10. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bc x a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值； （2）求k 的值及它对的y x ,的值.解：(1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .(2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x , ∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ； 当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ， 即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
求一元二次方程整数根的若干方法
经检验, m = 12, 24 均符合题意.
三、 利用求根公式
例 4 ( 第四届 “祖冲之杯” 数学竞赛题) 已知方程
(a 2 - 1) x 2 + 2 ( 5a + 1) x + 24 = 0 有两个不等的负整
一、 利用整数的性质
例 1 ( 希望杯数学竞赛题) 已知 p 为质数, 且方程
= 10 (m 2 - 2n ± 1) ± 2
又 ∵ ∃ ≥ 0, 即 b - 20c ≥ 0,
2
故 b2 ≥ 20c 由 ①、 ③、 ④ 得 100 > b2 ≥ 20c, c < 5.
2
④
若 c = 1, 则由 ②、 ④ 得 0 < b < 6 且 b ≥ 20, 得 b
= 5;
若 c = 2, 则 0 < b < 7 且 b2 ≥ 40, 无整数解; 若 c = 3, 则 0 < b < 8 且 b2 ≥ 60, 无整数解. 故所求 b, c 的值为 b = 5, c = 1.
当 a - 6 = 0 时, m = ± 1 时, 方程 x 2 - 8x + 15 =
0, x 1 = 3, x 2 = 5, ∴ a = 6;
∴ a = 6 或 7, 方程整数根分别为 x 1 = 3, x 2 = 5 或
x 1 = x 2 = 4.
七、 利用韦达定理
例 8 ( 北京初二数学竞赛题) 方程 x 2 + p x + q =
解: 原方程可化为 (x - 8) 2 + ( 8 - a ) (x - 8) - 1
= 0
(x 1 + x 2 ) = 1992
初中数学解一元二次方程经典练习题(含答案)
初中数学解一元二次方程经典练习题（含答案）解下列解一元二次方程：1、x2=121；2、（2x+3）2=9；3、3（4x+5）2-147=0；4、（2x−7）2+9 =6（2x-7）；5、7x（x-6）=3（12-2x）；6、（3x-5）（2x+5）= x+7；7、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；8、x（2x+5）=4（2x-1）+3；9、（x−3）2+4=5（3-x）；10、4x2+7x +1=0；11、512x2+ 13= x；12、（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3；13、14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x2；14、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；15、x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2；16、x2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0；参考答案1、x2=121；解：x2=121等式两边同时开平方x= 11故原方程的根是：x1=11，x2= -112、（2x +3）2=9；解：（2x +3）2=9等式两边同时开平方（2x +3）=±3令2x +3 = 3，即2x=0，解得x=0令2x +3 =-3，即2x=-6，解得x=-3故原方程的根是：x 1=0，x 2=-33、3（4x +5）2-147=0；解：3（4x +5）2-147=03（4x +5）2=147等式两边同时除以3（4x +5）2= 49等式两边同时开平方4x+5=±7令4x+5=7， 解得x= 12 令4x+5= -7，解得x=-3故原方程的根是：x 1= 12，x 2=-34、（2x −7）2+9 =6（2x-7）；解：（2x −7）2 +9 =6（2x-7）右边的项移到等号左边（2x−7）2-6（2x-7）+9 =0（2x−7）2 -2・3・（2x-7）+32=0[（2x−7）−3 ]2=0令（2x−7）−3 =0，解得 x=5故原方程的根是：x1=x2=55、7x（x-6）=3（12-2x）；解：7x（x-6）=3（12-2x）等号左边提取-27x（x-6）=-6（x-6）右边的项移到等号左边7x（x-6）+6（x-6）=0提取公因式（x-6）（x-6）（7x+6）=0令x-6=0，解得x=6令7x+6=0，解得x= - 67故原方程的根是：x1=6，x2=- 676、（3x-5）（2x+5）= x+7；解（3x-5）（2x+5）= x+7等号左边去括号6x2+15x-10x-25 =x+76x2+5x-25=x+76x2+4x-32=03x2+2x-16=0（3x+8）（x-2）=0令3x+8=0，解得x= - 83令x-2 =0，解得x=2故原方程的根是：x1=- 8，x2=237、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；解：3（3x-4）+ x（4-3x）=0 3（3x-4）- x（3x-4）=0 提取公因式（3x-4）（3x-4）（3- x）=0令3x-4=0，解得x= 43令3- x =0，解得x=3，x2=3 故原方程的根是：x1= 438、x（2x+5）=4（2x-1）+3；解：x（2x+5）=4（2x-1）+3 2x2 +5x =8x-4+32x2 +5x =8x-12x2 -3x +1=0（2x-1）（x-1）=0令2x-1=0，解得x= 12 令x-1=0，解得x=1故原方程的根是：x 1= 12 ，x 2=19、（x −3）2 +4=5（3-x ）；解：（x −3）2 +4= 5（3-x ）等号左边提取-1（x −3）2 +4= -5（x-3）右边的项移到等号左边（x −3）2 +5（x-3）+4=0[（x -3）+1][（x-3）+4]=0（x-2）（x+1）=0令x-2=0，解得x=2令x+1=0，解得x=-1故原方程的根是：x 1=2，x 2=-110、4x 2+7x +1=0；解：4x 2+7x +1=0判别式△=72 -4×4×1 =33x= −7 ±√332×4 = −7 ±√338故原方程的根是：x 1=−7 +√338，x 2=−7 −√33811、512x 2 + 13 = x ； 解：512x 2 + 13 = x等式两边同时乘以125x 2 +4 =12x5x 2 +4 -12x =0（5x-2）（x-2）=0令5x-2=0，解得x= 25 令x-2=0，解得x=2故原方程的根是：x 1= 25，x 2=212、（x−1）（x−2）2-1 = （x+1）（x−3）3 ； 解：（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3 等式两边分子去括号x 2−3x+22 -1 = x 2−2x−33等式两边同时乘以63（x 2−3x +2）-6 =2（x 2−2x −3） 3x 2 -9x+6 -6= 2x 2 -4x −6x 2 -5x +6=0（x-2）（x-3）=0令x-2=0，解得x=2令x-3=0，解得x=3故原方程的根是：x 1=2，x 2=313、 14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2；解：14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2等号两边同时乘以412（x+1）+13（x+2）+2 =4x 2等号两边同时乘以63（x+1）+2（x+2）+12 =24x 23x+3+2x+4+12=24x 224x 2-5x-19=0（24x+19）（x-1）=0令24x+19=0，解得x= −1924令x-1=0，解得x= 1故原方程的根是：x 1=−1924，x 2= 114、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；解：（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32 等号两边去括号x 2+3x+2+x 2+7x+12 =x 2+5x+6+32整理得x 2+5x-24=0（x+8）（x-3）=0令x+8=0，解得x= -8令x-3=0，解得x= 3故原方程的根是：x 1=-8，x 2= 315、x=2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2 ； 解：x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2等号两边同时乘以66x=4（0.3x+21）-3（0.2x-1）（x+2） 去括号6x=1.2x+84-0.6x 2+1.8x+6整理得0.6x 2+3x-90=0等号两边同时乘以10，然后再除以6 x 2+5x-150=0（x+15）（x-10）=0令x+15=0，解得x= -15令x-10=0，解得x= 10故原方程的根是：x 1= -15，x 2= 1016、x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0； 解：x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0 判别式△=（1+ 2√5）2-4・1・（ 4+√5）=1+4√5+20-16-4√5=5x= −（1+ 2√5）±√52∙1即x= −（1+ 2√5）+√52=−（1+ √5）2或 x= −（1+ 2√5）−√52=−（1+3 √5）2故原方程的根是：x1=−（1+ √5）2，x2= −（1+3 √5）2。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；这个方法确实要简单些，不过却不容易想到将x替换为np，一般来说，谁能想到这个？老师提供的第二种方法也包含了部分这个方法中的一些设想，只不过路线不同罢了，所以同一道题方法有很多，有些只是我们还未发现而已，并不代表不存在。
初中培优竞赛含详细解析 第10讲 一元二次方程
1. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、根式方程、二元一次方程、选择题）方程x2+y2+22=x+y+2的整数解有 ( )A. 1组 B . 3组 C . 6组 D . 无穷多组分析：由题意知χ+y≧0，方程化简得xy+2x+y=0,x+2y+2=4. 因为χy≦0，所以上式就分成2×2,1×4，两种情况，对应的整数解有3组.答案:B技巧：将方程化简，在进行因式分解，最后根据整数解来进行情况讨论.易错点：容易将题中一些隐含性的条件忽视，从而造成错解.2.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、等腰梯形计算、勾股定理、一元二次方程、选择题）如果某个等腰梯形的下底与对角线长都是10，梯形的上底与高相等，则上底的长是 ( ) A . 5 2 B .6 2 C .5 D .6+x)2+x2=100，整理得x2+4x−60=0.解得分析：设上底长为x，由勾股定理得(10−x2x1=6,x2=−10（舍去）.答案：D .技巧：根据图形用勾股定理.易错点：注意方程两根的取舍.3. （2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、选择题）关于x的一元二次方程4x2+4mx+m2+m−10=0(m为正整数）有整数根时，m的值可以取 ( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个分析：因为χ=−4m±16(10−m), 要使根为整数，则需对m=1,9,6,10.分别进行讨论.8.当m=1时，对应的χ为1、-2成立；当m=9时，对应的χ为4、由求根公式得χ=−m±10−m2-5成立；当=6时，对应的χ为-4、-2成立；当m=10时，对应的χ为-2.所以m的值有4个. 答案：D技巧：先用求根公式表示出根，再根据题目条件进行讨论.易错点：容易漏掉讨论情况.4.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题）二次多项式x2+2kx−3k2能被x-l整除，k=_______.分析：由题意知该二次多项式对应的关于χ的一元二次方程的根为1，将根代入得到关于k 的一元二次方程，求解即得.详解：方程x2+2kx−3k2=0的一根为1，所以有1+2k−3k2=0.解得：k=1;k=−13⋅技巧：像这种类型的题需要将多项式对应成方程来解.易错点：连续两次对应方程和解得时候要注意，容易出错.5. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题）若关于x的一元二次方程x2+2kx+14−k=0有两个实根，则k的取值范_______分析：因为有两实根，所以只需保证Δ≥0.详解：由题意知Δ=4k2−4(14−k)=4k2+4k−1=(2k+1)2−2≥0.解得 |2k+1|≥2.由此得2k+1≥2或2k+1≤− 2.所以k≥2−12，k≤−2+12.技巧：利用根与系数的判别式来处理.易错点：在开根号、去绝对值时要注意.6. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题）设x1,x2,x3,⋯,x2007为实数，且满足x1x2x3.⋯⋅x2007=x1−x2x3.⋯⋅x2007=x1x2−x3.⋯⋅x2007=⋯=x1x2x3.⋯⋅x2006−x2007=1,则x2000=_______.分析：易知x2000=1符合.因为x1x2x3.⋯.x2000−1x1x2x3.⋯⋅x2000=1,x1x2.x3⋯⋅x1999−1x1x2x3.⋯.x1999=1，解得x1x2x3....⋅x2000=1±52,x1x2′x3.⋯.x1999=1+52，所以x2000=1或x2000=−3±52⋅答案：1或−3±52⋅技巧：将每一个乘积看成一个整体，然后采用一元二次方程思想来解决.易错点：讨论时易遗漏某种情况.7.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、解答题）设−a2−2a+1=0,b4−2b2−1=0且1−ab2≠0，求代数式(ab2+b2+1a)2006的值.分析：本题要先观察，发现a、b之间的次数差为2，而且所求为2006次方，所以本题不适合直接去解方程代入.观察发现，条件中的两个方程有相同之处.最后通过根与系数关系求解.详解：因为−a2−2a+1=0，所以(1a )2−2(1a)−1=0.又因为b4−2b2−1=0且1−ab2≠0，所以把1a ,b2看做是方程x2−2x−1=0的两根，由根与系数关系得1a+b2=2,1a⋅b2=−1.所以原式=[(1a+b2)+a1⋅b2]2006=[2+(−1)]2006=12006=1.技巧：通过观察，利用根与系数关系解题 .易错点：公式使用要注意根与系数关系的对应.8. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、应用题、解答题）某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次的产品，每件获利润8元；每提高一个档次，每件产品利润增加2元.最低档次的产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果使一天获利润858元，则应生产哪个档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量增加而提高）?分析：由题意知，如果设应生产第χ档次的产品，那么由每提升一个档次，减少3件所获的总利润来列方程.详解：设应生产第x档次的产品，由题意得[60−3(x−1)][8+2(x−1)]=858.整理得x2−18x+80=0.解得x1=8,x2=10.答：生产第8档次或第10档次的产品可获利润858元.技巧：找出售出的件数及此时对应的每件的利润.易错点：售出的件数与每件的利润不对应.9. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、应用题、解答题）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两个农妇一共带了100个鸡蛋上市，两人所带蛋数不同，但卖得的钱数一样，于是，第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板.”第二农妇答道：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖203个铜板，”试问两个农妇各有多少鸡蛋？分析：由两个农妇的话，可求她们卖每个鸡蛋的单价，再根据卖的钱数一样来列方程.详解：设第一个农妇有x个鸡蛋，则第二个农妇有100 -x个鸡蛋，根据题意可列方程15x 100−x =20(100−x)3x,即x2+160x−8000=0，所以x=40或x=−200（舍去）.答：第一个农妇有40个鸡蛋.第二个农妇有60个鸡蛋. 技巧:找等量列方程.易错点:计算要细致，避免出错.。