欧拉法,改进欧拉法,斐波那契法原理及流程图
《改进Euler法》课件
实例讲解
一阶微分方程
使用改进欧拉法解决了一阶微分方程。
不同步长的对比
展示了使用不同步长时所得到的结果的对比，说明 步长对解的准确性的影响。
总结
欧拉法的局限性
欧拉法虽然精度有限，但Байду номын сангаас在数值解微分方程中使用广泛。
改进欧拉法的优势
改进欧拉法通过增加计算量等方法，提高了精度和稳定性。
根据实际情况选择方法
2 处理高阶微分方程
使用改进的欧拉方法（Improved Euler Method），利用泰勒公式对下一时刻的解做泰勒 展开，得到更精确的解。
3 防止发散
采用小步长策略或自适应步长策略，防止迭代过程中发散。
改进欧拉法示意图
改进欧拉法迭代过程
展示了改进欧拉法的迭代过程和与欧拉法的区别。
更靠近真实解
通过计算得到更靠近真实解的值，提高了解的准确 性。
改进Euler法
通过本次PPT课件，我们将学习改进Euler法，一种数值解微分方程的方法， 通过迭代逼近真实解，提高精度和稳定性。
什么是Euler法？
Euler法是一种数值解微分方程的方法，通过迭代逼近真实解。然而，它存在精度有限、不能处理高阶微分方 程和容易发散等问题。
改进的方法
1 提高精度
使用龙格-库塔方法，在算法中增加计算量来提高精度。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适合的数值解法。
欧拉法求解微分方程
欧拉法求解微分方程
欧拉法是用来求解微分方程的一种常用方法，也是广义积分方法之一，它最早
由欧拉在19世纪40年代提出，因此又称为欧拉方法。
它可以用来求解非线性、非离散的常微分方程。
欧拉法的基本思想是把原来的微分方程变换为一个离散的差分方程,利用原来
的微分方程的性质，得到一个可以确定曲线参数的算法，用离散格点把原来的连续空间离散化，并将原来的无限分段曲线拆分成有限个离散点，以此求取曲线上某点的参数值。
欧拉法运用到求解微分方程中不仅具有很强的数学逻辑性，而且具有简洁明朗、表示方便且能够得到通用解的突出优势。
欧拉法应用于求解各类高等学校里的高数、物理等课程学生的数学解题技能，大大的提高了学生的数学分析理解能力，也使得学习者能够更好的利用自身的知识和技能，得到启发和解决问题的能力。
欧拉法是众多求解微分方程的方法中一种重要的数学理论和方法，不仅是许多
高等教育课程中重要的数学基础，也是高校学生解决各类数学问题时不可缺少的知识和技能。
欧拉定理推导过程经济学
欧拉定理推导过程经济学欧拉定理在经济学中可是个相当重要的家伙！你知道吗，它就像是经济学世界里的一把神奇钥匙，能帮咱们打开好多复杂问题的大门。
咱们先来说说啥是欧拉定理。
简单来讲，它说的是如果生产函数是齐次的，那么各要素的边际产量乘以要素的投入量之和，就等于总产量。
这听起来是不是有点晕？别担心，咱们慢慢捋。
比如说，你开了一家面包店。
生产面包需要面粉、鸡蛋、人工这些要素。
假设你的生产函数是齐次的，也就是说，你把所有要素的投入量都乘以一个相同的倍数，总产量也会乘以那个倍数。
那这定理咋推导出来的呢？咱们假设生产函数是$Q = F(L, K)$，这里的$L$是劳动投入量，$K$是资本投入量。
如果这生产函数是$r$次齐次的，那就是$F(tL, tK) = t^rF(L, K)$。
对这个式子两边同时对$t$求导，得到：$LF_1(tL, tK) + KF_2(tL, tK) = rt^{r - 1}F(L, K)$当$t = 1$的时候，这不就变成了：$LF_1(L, K) + KF_2(L, K) = rF(L, K)$这里的$F_1$和$F_2$就是劳动和资本的边际产量。
这就好比你在搭积木，每一块积木（要素）的作用（边际产量）加起来，就构成了整个积木塔（总产量）。
你说神奇不神奇？再想想，如果没有欧拉定理，咱们怎么去理解生产过程中的各种投入和产出的关系呢？那简直就是一团乱麻！有了它，咱们就能更清楚地知道，怎样合理地分配资源，才能让生产效率最大化。
比如说，一家工厂要决定是多买些机器还是多雇些工人，欧拉定理就能给个参考。
就像你做饭的时候，要考虑是多放些盐还是多放些醋，才能让菜更好吃一样。
而且，欧拉定理在研究经济增长、分配理论等方面也大有用处。
它能帮咱们看清要素投入和产出之间的深层关系，找到经济发展的规律。
你想想，要是不懂欧拉定理，就像在黑暗中摸索，啥都看不清。
但掌握了它，就像有了一盏明灯，照亮咱们在经济学领域前进的道路。
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
《向前欧拉法》课件
详细描述
并行向前欧拉法将计算任务分解为多个子任务，并由多 个处理器同时执行。通过并行计算，可以显著提高计算 效率，缩短计算时间。同时，由于多个处理器同时参与 计算，可以减少数值误差的累积，提高数值解的精度和 稳定性。
05
向前欧拉法的应用案例
流体动力学模拟
总结词
在流体动力学模拟中，向前欧拉法被广 泛用于描述流体的运动规律和行为。
02
向前欧拉法的数学原理
离散化与差分方程
离散化
将连续的时间或空间变量离散化 ，转换为离散的数值。
差分方程
描述离散变量之间关系的数学方 程，通常用于模拟离散系统的动 态行为。
向前欧拉法的推导过程
向前欧拉法的基本思想
通过递推的方式，根据已知的初始条 件和差分方程，逐步计算离散时间点 的数值解。
推导过程
《向前欧拉法》ppt 课件
• 向前欧拉法简介 • 向前欧拉法的数学原理 • 向前欧拉法的实现 • 向前欧拉法的改进与优化 • 向前欧拉法的应用案例 • 总结与展望
目录
01
向前欧拉法简介
定义与特点
总结词
向前欧拉法是一种数值计算方法，具有简单、稳定、高效的特点。
详细描述
向前欧拉法是一种常用的数值计算方法，主要用于求解常微分方程初值问题。它通过离散化微分方程，将连续的 问题转化为离散的问题进行求解。该方法具有简单、稳定、高效的特点，因此在科学计算、工程技术和金融等领 域得到了广法的又一应用领域。
详细描述
经济模型分析通过建立数学模型来描述经济系统的运 行规律和行为。向前欧拉法在经济模型分析中用于模 拟经济系统的动态变化，帮助决策者更好地理解和预 测经济形势，制定有效的经济政策。
06
总结与展望
第2讲(欧拉法续、局部截断误差相容性等)
2021/5/23
1
三种数值方法：
欧拉方法: yi1 yi h f ( xi , yi )
后退欧拉方法: yi1 yi h f ( xi1 , yi1 )
梯形方法:
1 yi1 yi 2 h [ f ( xi , yi ) f ( xi1 , yi1 )]
y(0) i1
Discrete operator
ODE operator
p 越大表示离散方程与原微分方程近似程度越高。
2021/5/23
9
对于欧拉方法，易见
yi1 yi h f ( xi , yi )
LTE y( xi1 ) y( xi ) h f ( xi , y( xi ))
y( xi1 ) y( xi ) h y( xi )
h LTE y( xi1 ) y( xi ) 2 f ( xi , y( xi )) f ( xi1, y( xi1 ))
y( xi1 )
y( xi )
h 2
[
y(
xi
)
y( xi1 )]
h y(
h3 6
y( xi )
h4 24
y(4) (1 )
h 2
2021/5/23
16
3. 收敛性(是算法有实际意义的理论基础）
当等距步长 h 0 时，若 xi [a, b], i 0, 1, n,
都有 yi y( xi ) ，则称原算法是收敛的，且
ei
yi y( xi )
称为整体截断误差。若
max i
ei
O (h p ),
则称原算法是 p (p≥1) 阶收敛的或具有 p 阶精度。
1,
2
欧拉法的若干基本概念ppt课件
非均匀流
急变流
.
返回 返回 返回
A
旋转抛物面
Q udA 即为旋转抛物体的体积 A
V A Q 即为柱体的体积
断面平均流速V
udA
VA A
.
返回
(z
p g
)1
C1
p+dp dA
dn
p α z z dz
p (z g )2 C2
O
O
在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有 Fn 0
即： p d A ( p d p ) d A g d A d n c o s 0 dpgdz0
积分得：
z g C p
.
返回
实际液体恒定总流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的具 体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互转 换，建立水流各运动要素之间的关系。
方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定总流的能量方程式
.
修正原因：
1．两个小孔的位置不同。 2．毕托管放入水流中所产生的扰动影响。
u 2gh
称为毕托管的校正系数， 一般约为0.98- 1.0。
.
1
文丘里流量计（文丘里量水槽）
2 h
h
h1
h2
1
h1 h2
1
2
22
B1 B2
1
收缩段 喉管 扩散段
1
2
以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，
对1-1、2-2断面列能量方程式：
欧拉法的若干基本概念
•迹线与流线 •流管、微小流束、总流和过水断面 •流量和断面平均流速 •水流的分类 •均匀流、渐变流过水断面的重要特性
欧拉法的若干基本概念
高阶偏微分方程的求解
总结词
对于高阶偏微分方程，欧拉法可以通过迭代的方式逐 步逼近解，但可能收敛速度较慢且精度较低。
详细描述
对于高阶偏微分方程，如 (u_{tt} = f(x, y, u, u_x, u_y, u_z, u_{xx}, u_{xy}, u_{xz}, u_{yy}, u_{yz}, u_{zz}))，可 以通过泰勒级数展开等方式将其转化为多个一阶偏微分 方程，然后对每个一阶偏微分方程应用欧拉法进行求解。 但需要注意的是，由于欧拉法的精度和收敛速度限制， 对于高阶偏微分方程，可能需要采用其他数值方法如有 限元法、谱方法等来提高精度和收敛速度。
欧拉法的应用领域
物理模拟
欧拉法可用于求解物理现象的数学模 型，如流体动力学、电磁学和热传导
等。
工程设计
在工程设计中，欧拉法可用于模拟和 分析复杂系统的行为，如机械系统、
控制系统和航空航天系统等。
金融建模
欧拉法也可用于金融领域，如股票价 格模拟、期权定价和风险评估等。
02
欧拉法的基本原理
离散化思想
一阶偏微分方程的求解
总结词
欧拉法也可以用于求解一阶偏微分方程，通过将偏微分方程转化为多个一维常微分方程， 然后分别用欧拉法求解。
详细描述
对于形如 (u_t = f(x, y, u, u_x, u_y, u_z)) 的一阶偏微分方程，可以通过有限差分法等 手段将其转化为多个一维常微分方程，然后对每个一维常微分方程应用欧拉法进行求解。
研究欧拉法在处理高阶微分方程 和其他复杂问题中的应用，以扩 大其应用范围。
05
欧拉法的应用实例
一维常微分方程的求解
要点一
总结词
欧拉法在求解一维常微分方程时，通过选取离散的时间点 ，将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解。
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1欧拉法求微分方程
方法说明
欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题
(4.1)
最简单的数值方法，其具体做法是，将区间[a，b]进行N等分：
，步长.并将式(4.1)写成等价的积分形式
（4.2）
再对式(4.2)右端积分用矩形公式计算，则有
, (4.3)
在式(4.3)右端取，舍去余项。
则得
,
作为的近似值。
在式(4.3)右端取，舍去余项，则得
作为的近似值．
一般地，在式(4.3)右端取舍去余项，则得
(4.4)
作为的近似值．式(4.4)为欧拉法计算公式．
我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式(4.1)的解．
欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便得到过点的一条折线，见图4.1．过的积分曲线则用此折线来代替．因此，这种方法亦称折线法．
图4.1
例：用欧拉法求微分方程[
]2',(0)1,0.1,0,1x y y y h y 区间为=-==
欧拉法流程图如下:
欧拉法程序如下： clear;
clc;
x1=0; x2=1; h=0.1; x0=0; y0=1;
N=(x2-x1)/h;%要计算的次数 x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n)); end X=x Y=y
2改进欧拉法求微分方程
方法说明
由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进欧拉法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(4.3)右端积分，则有
（5.1）
在式(5.1)右端取，舍去余项，则得
将作为的近似值．
在式(5.1)右端再取，舍去余项，则得
将作为的近似值．
一般地，在式(5.1)右端取，舍去余项．则得
(5.2)
将作为的近似值．
式(5.2)为改进欧拉法计算公式．
流程图如下：
例：用改进欧拉法求微分方程
[] 2
',(0)1,0.1,0,1
x
y y y h
y
区间为
=-==
改进欧拉法程序如下：
clear;
clc;
x1=0;
x2=1;
h=0.1;
x0=0;
y0=1;
p(1)=0;
N=(x2-x1)/h;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1));
y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2;
end
X=x
Y=y
3斐波那契法求极值
方法说明
斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄金分割数0.618。
如图7.1所示，只要在[a,b]取两点x1,x2,并计算出f(x1),f(x2),通过比较，可将区间[a,b]缩短为[a,x2]或[x1,b]。
因为新的区间包含一个已经计算过函数值的点，所以再从其中取一个试点，又可将这个新区间再缩短一次，不断地重复这个过程，直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精确度为止。
图7.1
现在的问题是，怎样选取试点，在保证同样精确度的情况下使得计算f(x)函数值的次数最少？在计算函数值的次数一定的情况下，最初区间与最终区间的长度之比可作为取点方式优劣的一个标准。
计算n次函数值，如何取点使最终区间最小？或者最终区间长度为1，计算n次函数值，初始区间最多为多长？为此，引入Fibonacci数列：
表7.1
系
所以当试点个数n确定之后，最初的两个试点分别选为:
显然x1,x2关于区间[a,b]对称，即有x1-a=b-x2,如图7.2所示
图7.2。