欧拉及改进的欧拉法求解常微分方程
分别利用欧拉法和改进欧拉法求解微分方程组的数值解
分别利用欧拉法和改进欧拉法求解微分方程组的数值解欧拉法（Euler’s Method）和改进欧拉法（Improved Euler’s Method），是求解常微分方程数值解的两种常用方法。
它们都属于一阶精度的显式迭代算法。
首先，我们来介绍一下欧拉法。
欧拉法是一种简单的数值求解算法，它基于微分方程的定义，将微分方程转化为差分方程。
考虑一个一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，并给定初始条件 y(x0)= y0，我们希望求解在给定区间 [x0, xn] 上方程的数值解。
首先，我们将区间 [x0, xn] 平均分成 N 个小区间，每个小区间的长度为 h = (xn - x0) / N。
然后，我们可以使用以下的欧拉迭代公式计算数值解：y[i+1] = y[i] + h * f(x[i], y[i])其中，x[i] = x0 + i * h，y[i] 是在点 x[i] 处的数值解。
通过不断迭代上述公式，我们可以获得[x0, xn] 上微分方程的数值解。
欧拉法的优点在于简单易懂，计算速度较快。
然而，欧拉法的缺点是精度较低，误差随着步长h 的增大而增大。
为了提高精度，我们可以使用改进欧拉法。
改进欧拉法，也称为龙格–库塔算法（Runge-Kutta Method）或四阶龙格–库塔方法，是一种基于欧拉法的改进算法。
改进欧拉法使用了更多的近似取值，以减小误差。
与欧拉法类似，我们将区间 [x0, xn] 平均分成 N 个小区间，每个小区间的长度为 h = (xn - x0) / N。
然后，我们可以使用以下的公式计算数值解：k1 = h * f(x[i], y[i])k2 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k1/2)y[i+1] = y[i] + k2其中，k1 和 k2 是计算过程中的辅助变量。
通过不断迭代上述公式，我们可以获得 [x0, xn] 上微分方程的数值解。
改进欧拉法相对于欧拉法而言，计算精度更高。
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法、改进欧拉法 2
第8章 常微分方程数值解法本章主要内容：1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。
3．单步法的收敛性与稳定性。
重点、难点一、微分方程的数值解法在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。
对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。
本章我们主要讨论常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(yx y y x f dx dy的数值解法。
数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。
二、欧拉法与改进欧拉法欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。
将常微分方程),(y x f y ='变为()*+=⎰++11))(,()()(n xn x n n dtt y t f x y x y1．欧拉法（欧拉折线法）欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。
欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：Nab h N n y x hf y y n n n n -=-=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差11121)(2++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。
我们在计算时应注意欧拉法是一阶方法，计算误差较大。
欧拉法的几何意义：过点A 0（x 0，y 0），A 1（x 1，y 1），…，A n （x n ，y n ），斜率分别为f （x 0，y 0），f （x 1，y 1），…，f （x n ，y n ）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
改进欧拉公式的计算步骤计算步骤求解常微分方程公式计算步骤
改进欧拉公式的计算步骤计算步骤求解常微分方程公式计算步骤欧拉公式是数学中的一个重要公式，可以通过以下步骤进行改进的计算：1.确定要计算的欧拉公式的参数：欧拉公式表达式为e^(ix) =cos(x) + i·sin(x)，其中i是虚数单位，x是角度或弧度。
2.根据要计算的具体角度或弧度，将x代入欧拉公式中。
3.计算cos(x)和sin(x)的值：根据输入的角度或弧度，使用三角函数表或计算器来求解cos(x)和sin(x)的数值。
4.将cos(x)和sin(x)的值代入欧拉公式：将步骤3中计算得到的cos(x)和sin(x)的数值代入欧拉公式中。
5.求解e^(ix)的值：根据欧拉公式，将cos(x)和sin(x)的数值代入，计算e^(ix)的数值。
6.得到最终的结果：最终的计算结果即为e^(ix)的数值。
对于求解常微分方程的公式，以下是一般的计算步骤：1.确定常微分方程的类型和阶数：常微分方程可以是一阶或高阶的。
确定方程中的未知函数以及其导数的阶数。
2.将常微分方程转化为标准形式：对于高阶方程，可以将其转化为一系列一阶方程的组合。
简化方程的形式，将其转化为常微分方程的标准形式。
3.确定初始条件：对于一阶常微分方程，需要提供一个初始条件，即未知函数在某个特定点的值。
对于高阶方程，需要提供多个初始条件。
4.选择合适的数值解法或解析解法：根据方程的性质和复杂度，选择适合的数值解法（例如欧拉法、龙格-库塔法等）或解析解法（例如分离变量法、变量可分离的方程等）。
5.进行数值计算或解析求解：根据选择的方法，进行数值计算或解析求解。
对于数值解法，将方程离散化，并进行迭代计算。
对于解析解法，根据方程的性质和求解技巧，进行代数计算。
6.验证和分析解的结果：对求解得到的结果进行检验和分析，确保它们满足初始条件和方程的性质。
在需要的情况下，对结果进行进一步的数值模拟和分析。
常微分方程的数值解法(欧拉法、改进欧拉法、泰勒方法和龙格库塔法)
［例1］用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1［解］欧拉方法的计算公式为x0=0;y0=1;x(1)=0.1;y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 101.2028 1.2443改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为()y x=x0=0;y0=1;ya(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);y(1)=y0+0.05*(2*x0/(3*y0^2)+2*x0/(3*ya^2));for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);ya(n+1)=ya(n)+0.1*2*x(n)/(3*ya(n)^2);y(n+1)=y(n)+0.05*(2*x(n)/(3*y(n)^2)+2*x(n+1)/(3*ya(n+1)^2));end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.1783 Columns 9 through 101.2183 1.2600［例2］用泰勒方法解x＝0.1, 0.2, …, 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。
MATLAB常微分方程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔方法
MATLAB常微分⽅程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔⽅法MATLAB常微分⽅程数值解作者：凯鲁嘎吉 - 博客园1.⼀阶常微分⽅程初值问题2.欧拉法3.改进的欧拉法4.四阶龙格库塔⽅法5.例题⽤欧拉法，改进的欧拉法及4阶经典Runge-Kutta⽅法在不同步长下计算初值问题。
步长分别为0.2,0.4,1.0.matlab程序：function z=f(x,y)z=-y*(1+x*y);function R_K(h)%欧拉法y=1;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K=f(x,y);y=y+h*K;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%改进的欧拉法y=1;fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h,y+h*K1);y=y+(h/2)*(K1+K2);fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%龙格库塔⽅法y=1;fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h/2,y+(h/2)*K1);K3=f(x+h/2,y+(h/2)*K2);K4=f(x+h,y+h*K3);y=y+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);end结果：>> R_K(0.2)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.200000, y=0.800000欧拉法：x=0.400000, y=0.614400欧拉法：x=0.600000, y=0.461321欧拉法：x=0.800000, y=0.343519欧拉法：x=1.000000, y=0.255934改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.200000, y=0.807200改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.636118改进的欧拉法：x=0.600000, y=0.495044改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.383419改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.296974龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.200000, y=0.804636龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631465龙格库塔法：x=0.600000, y=0.489198龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377225龙格库塔法：x=1.000000, y=0.291009>> R_K(0.4)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.400000, y=0.600000欧拉法：x=0.800000, y=0.302400改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.651200改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.405782龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631625龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377556>> R_K(1)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=1.000000, y=0.000000改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.500000龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=1.000000, y=0.303395注意：在步长h为0.4时，要将for i=1:1/h改为for i=1:0.8/h。
Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式
Comparison with exact results
Temperature, θ(K)
1500
1000
500
0 0
-500
-1000
-1500
Exact solution
h=120 h=240
100
200
300
400
500
Tim e, t (sec)
h=480
Figure 4. Comparison of Euler’s method with exact solution for different step sizes 5
考虑形如
k
ynk ynk 1 h i fni i0
的 k步法，称为阿当姆斯（Adams)方法. k为显0式方法， 为隐k 式0方法，通常称为阿
当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adam -Monlton公式.
22
阿当姆斯显式公式
kp
公式
c p1
1 1 yn1 yn h fn
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn )
d dx
f
( xn ,
yn )
0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))]
=hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y'(xn) [fy’]n+
O局 故(h部修y3n)截正+1断 的= 误Eyun差l+er:h法yy(’具xddyn(x有y+(x1x)20n–))阶+fy精0n(+.xy15度0,=hy。2y)y(,”xxn)(–xnxy)n0+=OO((hh33))
向前欧拉法,向后欧拉法与改进欧拉法求解微分方程
向前欧拉法,向后欧拉法与改进欧拉法求解微分方程
向前欧拉法、向后欧拉法和改进欧拉法是求解微分方程的常用数值方法。
这些方法都是基于欧拉公式，即将微分方程中的导数用差分代替，从而将微分方程转化为差分方程，进而用数值方法求解。
向前欧拉法是一种简单的数值方法，它利用当前时刻的导数来估计下一时刻的解。
具体来说，假设微分方程为dy/dt=f(y,t)，则向前欧拉法的迭代公式为：y_n+1=y_n+hf(y_n,t_n)，其中h为时间步长。
这个公式可以看作是在当前时刻上做一个切线，然后用这个切线的斜率来估计下一时刻的解。
向后欧拉法是一种更加精确的数值方法，它利用下一时刻的导数来估计当前时刻的解。
具体来说，向后欧拉法的迭代公式为：
y_n+1=y_n+hf(y_n+1,t_n+1)，其中h为时间步长。
这个公式可以看作是在下一时刻上做一个切线，然后用这个切线的斜率来估计当前时刻的解。
由于向后欧拉法需要解一个非线性方程，因此比向前欧拉法更加复杂。
改进欧拉法是向前欧拉法和向后欧拉法的结合，它利用当前时刻和下一时刻的导数来估计当前时刻的解。
具体来说，改进欧拉法的迭代公式为：y_n+1=y_n+(h/2)(f(y_n,t_n)+f(y_n+1,t_n+1))，其中h 为时间步长。
这个公式可以看作是在当前时刻和下一时刻上各做一个切线，然后将这两个切线的斜率取平均值来估计当前时刻的解。
改进欧拉法相对于向前欧拉法和向后欧拉法更加精确。
总的来说，向前欧拉法、向后欧拉法和改进欧拉法都是求解微分
方程的有力工具，使用时需要根据具体问题选择合适的方法。
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printf("\n常微分方程组是y'=y-x and y(0)=2采用欧拉改进法求解得\n");
Байду номын сангаасf1(y,x,yy);
printf("\n常微分方程组是y'=x*x+2y and y(0)=1采用欧拉改进法求解得\n");
f1(y,x,yy);
}
}
};
void main()
{
double y[10],x[10],yy[10],y0[10];
printf("\n常微分方程组是y'=y-x and y(0)=2采用欧拉法求解得\n");
f1(y,x,yy);
printf("\n常微分方程组是y'=x*x+2y and y(0)=1采用欧拉法求解得\n");
}
};
void f4(double *y,double *x,double *yy,double *y0)
{
y[0]=1.0;
x[0]=0.0;
yy[0]=1.0;
for(int i=1;i<=9;i++)
{
x[i]=x[i-1]+0.2;
y0[i]=y[i-1]+0.2*(2*y[i-1]+x[i-1]*x[i-1]);
for(int i=1;i<=9;i++)
{
x[i]=x[i-1]+0.2;
y0[i]=y[i-1]+0.2*(y[i-1]-x[i-1]);
y[i]=y[i-1]+0.1*(y[i-1]-x[i-1]+y0[i-1]-x[i-1]);
yy[i]=x[i]+1+exp(x[i]);
printf("若x=%f,计算值是%f,真实值是%f,截断误差是%f\n ",x[i],y[i],yy[i],y[i]-yy[i]);
{
y[0]=1.0;
x[0]=0.0;
yy[0]=1.0;
for(int i=1;i<=9;i++)
{
x[i]=x[i-1]+0.2;
y[i]=y[i-1]+0.2*(2*y[i-1]+x[i-1]*x[i-1]);
yy[i]=-0.5*(x[i]*x[i]+x[i]+0.5)+1.25*exp(2*x[i]);
y[i]=y[i-1]+0.2*(y[i-1]-x[i-1]);
yy[i]=x[i]+1+exp(x[i]);
printf("若x=%f,计算值是%f,真实值是%f,截断误差是%f\n ",x[i],y[i],yy[i],y[i]-yy[i]);
}
};
void f2(double *y,double *x,double *yy)
printf("若x=%f,计算值是%f,真实值是%f,截断误差是%f\n ",x[i],y[i],yy[i],y[i]-yy[i]);
}
};
void f3(double *y,double *x,double *yy,double *y0)
{
y[0]=2.0;
x[0]=0.0;
yy[0]=2.0;
y[i]=y[i-1]+0.1*(2*y0[i-1]+x[i-1]*x[i-1]+2*y[i-1]+x[i-1]*x[i-1]);
yy[i]=-0.5*(x[i]*x[i]+x[i]+0.5)+1.25*exp(2*x[i]);
printf("若x=%f,计算值是%f,真实值是%f,截断误差是%f\n ",x[i],y[i],yy[i],y[i]-yy[i]);
生物信息技术0801徐聪U200812594
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void f1(double *y,double *x,double *yy)
{
y[0]=2.0;
x[0]=0.0;
yy[0]=2.0;
for(int i=1;i<=9;i++)
{
x[i]=x[i-1]+0.2;