第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是自然科学和现代技术领域中一种最基本的数学描述工具，它可以描述物理世界中的各种现象。
微分方程的解析解往往很难求出，因此数值解法成为解决微分方程问题的主要手段之一。
本文将介绍几种常见的微分方程的数值解法。
一、欧拉法欧拉法是微分方程初值问题的最简单的数值方法之一，它是由欧拉提出的。
考虑一阶常微分方程：$y'=f(t,y),y(t_0)=y_0$其中，$f(t,y)$表示$y$对$t$的导数，则$y(t_{i+1})=y(t_i)+hf(t_i,y_i)$其中，$h$为步长，$t_i=t_0+ih$，$y_i$是$y(t_i)$的近似值。
欧拉法的精度较低，误差随着步长的增加而增大，因此不适用于求解精度要求较高的问题。
二、改进欧拉法改进欧拉法又称为Heun方法，它是由Heun提出的。
改进欧拉法是在欧拉法的基础上进行的改进，它在每个步长内提高求解精度。
改进欧拉法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$y_{i+1}$:$y^*=y_i+hf(t_i,y_i),t^*=t_i+h$2. 利用$y^*$和$t^*$估算$f(t^*,y^*)$:$f^*=f(t^*,y^*)$3. 利用$y_i$、$f(t_i,y_i)$和$f^*$估算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(t_i,y_i)+f^*)$改进欧拉法具有比欧拉法更高的精度，但是相较于其他更高精度的数值方法，它的精度仍然较低。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种广泛使用的高精度数值方法，它不仅能够求解一阶和二阶常微分方程，还能够求解高阶常微分方程和偏微分方程。
其中，经典的四阶龙格-库塔法是最常用的数值方法之一。
四阶龙格-库塔法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$k_1$:$k_1=f(t_i,y_i)$2. 根据$k_1$和$y_i$估算$k_2$:$k_2=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_1)$3. 根据$k_2$和$y_i$估算$k_3$:$k_3=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_2)$4. 根据$k_3$和$y_i$估算$k_4$:$k_4=f(t_i+h,y_i+hk_3)$5. 根据$k_1$、$k_2$、$k_3$和$k_4$计算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$龙格-库塔法的精度较高，在求解一些对精度要求较高的问题时，龙格-库塔法是一个比较好的选择。
第八章常微分方程的数值解法
y( xn1 )
15
Euler法的收敛性
称初值问题(8.1.1)的数值解法是收敛的，如:
h0 ( n )
lim yn y ( x)
其中： x xn x0 nh , x [ x0 , b]
16
例考察以下初值问题Euler法的收敛性
dy y dx y (0)＝y0 ( 0)
★
可得： h (k ) ( k 1) y y | f ( xn 1 , yn ) f ( x , y 1 n 1 n 1 ) | 2 hL ( k ) hL k 1 (1) ( k 1) (0) | yn 1 yn 1 | ( ) | yn 1 yn 1 | 2 2 hL k 1 ( k 1) 从而 : lim( ) 0 , 故有 lim yn 1 y n 1 。 k 2 k
★
由y0＝y( x0 ), 假定yn＝y( xn ), 往证：
y0 yn 1 y ( xn 1 ) xn 1； x0
14
证明
yn yn1 yn hf ( xn , yn ) yn h xn 1 1 yn (1 h ) y( xn )(1 h ) xn xn y0 y0 1 xn (1 h ) ( xn h) x0 xn x0 y0 xn 1 x0
8
局部截断误差
假设第n步在点xn的值计算没有误差,即yn y( xn ), 由单步法计算出yn1 , 则
Tn1 y( xn1 ) yn1 称为点xn1上的局部截断误差.
从初值y( x0 ) y0出发，由单步法显式或隐式 逐步计算，得xn 1的值yn 1 , 则
n1 y( xn1 ) yn1
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
第八章常微分方程的数值解23页PPT文档
由 y ( x 0 ) f( x 0 ,y 0 ), y ( x 0 ) y 0
得 y (x 1 ) y 0 h(x f0 ,y 0 ) y 1
同理，在x= xn 处，用差商代替导数： y(xn)y(x x n n 1 1 ) x y n (xn)y(xn 1)h y(xn)
第八章 常微分方程的数值解
引言 简单的数值方法
欧拉方法 梯形方法
8.1 引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
yf(x,y) axb (1)y(a)y0
yf(x,y,y) axb
(2) y(a)y0,y(a)
yf(x,y,y) axb (3) y(a)y0,y(b)yn
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。
2.6
0.3351 0.3459 0.0108
2.8
0.3167 0.3246 0.0079
3.0
0.3000 0.3057 0.0057
由表中数据可以看到，微分方程初值问题的数值解和解
析解的误差一般在小数点后第二位或第三位小数上，这
说明Euler方法的精度是比较差的。
数值解和解析解的图示比较如下：
考虑一阶常微分方程初值问题
y f (x, y) (1)y(x0) y0
其中，y = y(x) 是未知函数，y(x0) = y0 是初值条 件，而f(x, y) 是给定的二元函数.
由常微分方程理论知，若f(x)在x[a,b]连续且 f 满足对 y 的Lipschitz条件：
f(x ,y 1 )f(x ,y2)L y 1y2
因 y n (k 1 1 ) y n 1 h f(x n 1 ,y n (k 1 )) f(x n 1 ,y n 1 )
常微分方程数值解
常微分方程数值解常微分方程数值解是数学中的一门重要学科，主要研究如何求解常微分方程，在科学计算中有着重要的应用。
常微分方程模型是自然界中广泛存在的现象描述方法，有着广泛的应用领域。
比如，在物理学中，运动中的物体的位置、速度和加速度随时间的关系就可以通过微分方程描述；在经济学中，经济变化随时间的变化也可以用微分方程来描述。
而常微分方程数值解的求解方法则提供了一种快速、高效的计算手段。
一、常微分方程数值解的基本概念常微分方程就是一个描述自变量（通常是时间）与其导数之间关系的方程。
其一般形式如下：$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$其中 $f(y,t)$ 是一个已知的函数。
常微分方程数值解就是对于一个常微分方程，对其进行数字计算求解的方法。
常微分方程数值解常使用数值积分的方法来求解。
由于常微分方程很少有解析解，因此数值解的求解方法显得尤为重要。
二、常微分方程数值解的求解方法常微分方程数值解的求解方法很多，以下介绍其中两种方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种数值算法，其思想是通过将一个微分方程转化为一个数值积分方程来求解。
其数值积分方程为：$y_{i+1}=y_i+hf(y_i,t_i)$其中 $h$ 为步长，可以理解为每次计算的间隔。
欧拉法的主要缺点是其精度比较低，收敛速度比较慢。
因此，当需要高精度的数值解时就需要使用其他的算法。
2.级数展开方法级数展开法是通过将一个待求解的微分方程进行Taylor级数展开来求解。
通过对Taylor级数展开的前若干项进行求和，可以得到微分方程与其解的近似解。
由于级数展开法的收敛速度很快，因此可以得到相对较高精度的数值解。
但是，当级数过多时，会出现截断误差。
因此，在实际应用中需要根据所需精度和计算资源的限制来选择适当的级数。
三、常微分方程数值解的应用常微分方程数值解在现代科学技术中有着广泛的应用。
以下介绍其中两个应用领域。
1.物理建模常微分方程的物理建模是常见的应用领域。
常微分方程的数值解法与实际应用研究
常微分方程的数值解法与实际应用研究引言：常微分方程是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理、经济、生物等领域的实际问题的数学建模。
在解析求解常微分方程存在困难或不可行的情况下，数值解法提供了一种有效的求解方法，并被广泛应用于实际问题的研究中。
本文将介绍常微分方程的数值解法以及一些实际应用的研究案例。
一、常微分方程的数值解法：1. 欧拉法：欧拉法是一种基础的数值解法，通过将微分方程离散化，近似得到方程的数值解。
欧拉法的基本思想是根据微分方程的导数信息进行近似计算，通过逐步迭代来逼近真实解。
但是欧拉法存在截断误差较大、收敛性较慢等问题。
2. 改进的欧拉法（改进欧拉法推导过程略）：为了解决欧拉法的问题，改进的欧拉法引入了更多的导数信息，改善了截断误差，并提高了算法的收敛速度。
改进欧拉法是一种相对简单而可靠的数值解法。
3. 四阶龙格-库塔法：四阶龙格-库塔法是常微分方程数值解法中最常用和最经典的一种方法。
通过多次迭代，四阶龙格-库塔法可以获得非常精确的数值解，具有较高的精度和稳定性。
二、常微分方程数值解法的实际应用研究：1. 建筑物的结构动力学分析：建筑物的结构动力学分析需要求解一些动力学常微分方程，例如考虑结构的振动和应力响应。
利用数值解法可以更好地模拟建筑物的振动情况，并对其结构进行安全性评估。
2. 生态系统模型分析：生态系统模型通常包含一系列描述物种数量和相互作用的微分方程。
数值解法可以提供对生态系统不同时间点上物种数量和相互作用的变化情况的模拟和预测。
这对于环境保护、物种保护以及生态系统可持续发展方面具有重要意义。
3. 电路模拟与分析：电路模拟与分析通常涉及电路中的电容、电感和电阻等元件，这些元件可以通过常微分方程进行建模。
数值解法可以提供电路中电压、电流等关键参数的模拟和分析，对电路设计和故障诊断具有重要帮助。
4. 化学反应动力学研究：化学反应动力学研究需要求解涉及反应速率、物质浓度等的微分方程。
常微分方程组数值解法
常微分方程组数值解法一、引言常微分方程组是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、生物等领域都有广泛应用。
对于一些复杂的常微分方程组，往往难以通过解析方法求解，这时候数值解法就显得尤为重要。
本文将介绍常微分方程组数值解法的相关内容。
二、数值解法的基本思想1.欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，它的思想是将时间连续化，将微分方程转化为差分方程。
对于一个一阶常微分方程y'=f(x,y)，其欧拉公式为：y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)其中h为步长，x_n和y_n为第n个时间点上x和y的取值。
2.改进欧拉法改进欧拉法是对欧拉法的改良，其公式如下：y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n+hf(x_n,y_n))] 3.四阶龙格-库塔方法四阶龙格-库塔方法是目前最常用的数值解法之一。
其公式如下：k_1=f(x_n,y_n)k_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1)k_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_2)k_4=f(x_n+h,y_n+hk_3)y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)其中，k_i为中间变量。
三、常微分方程组的数值解法1.欧拉法对于一个二阶常微分方程组：\begin{cases} y'_1=f_1(x,y_1,y_2) \\ y'_2=f_2(x,y_1,y_2)\end{cases}其欧拉公式为：\begin{cases} y_{n+1,1}=y_{n,1}+hf_1(x_n,y_{n,1},y_{n,2}) \\y_{n+1,2}=y_{n,2}+hf_2(x_n,y_{n,1},y_{n,2}) \end{cases}其中，x_n和y_{n,i}(i=1, 2)为第n个时间点上x和y_i的取值。
微分方程数值解法
微分方程数值解法微分方程是数学中的重要概念，它描述了物理系统中变量之间的关系。
解微分方程是许多科学领域中常见的问题，其中又可以分为解析解和数值解两种方法。
本文将重点介绍微分方程的数值解法，并详细讨论其中的常用方法和应用。
一、微分方程的数值解法概述微分方程的解析解往往较为复杂，难以直接求解。
在实际问题中，我们通常利用计算机进行数值计算，以获得方程的数值解。
数值解法的基本思想是将微分方程转化为一组离散的数值问题，通过逼近连续函数来获得数值解。
二、常见的数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，其核心思想是将微分方程转化为差分方程，通过逼近连续函数来获得数值解。
欧拉法的基本形式为：yn+1 = yn + h·f(xn, yn)其中，yn表示第n个时间步的数值解，h为时间步长，f为微分方程右端的函数。
欧拉法的精度较低，但计算简单，适用于初步估计或简单系统的求解。
2. 改进的欧拉法（Heun法）改进的欧拉法（Heun法）是对欧拉法的改进，其关键在于求解下一个时间步的近似值时，利用了两个斜率的平均值。
Heun法的基本形式为：yn+1 = yn + (h/2)·(k1 + k2)k1 = f(xn, yn)，k2 = f(xn+h, yn+h·k1)Heun法较欧拉法的精度更高，但计算量较大。
3. 龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的数值解法，包含了多个不同阶数的方法。
其中，最常用的是经典四阶龙格-库塔法（RK4法），其基本形式为：k1 = f(xn, yn)k2 = f(xn + h/2, yn + (h/2)·k1)k3 = f(xn + h/2, yn + (h/2)·k2)k4 = f(xn + h, yn + h·k3)yn+1 = yn + (h/6)·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)RK4法实现较为复杂，但精度较高，适用于解决大多数常微分方程问题。
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第8章 常微分方程数值解法本章主要内容：1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。
3．单步法的收敛性与稳定性。
重点、难点一、微分方程的数值解法在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。
对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。
本章我们主要讨论常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(yx y y x f dx dy的数值解法。
数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。
二、欧拉法与改进欧拉法欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。
将常微分方程),(y x f y ='变为()*+=⎰++11))(,()()(n xn x n n dtt y t f x y x y1．欧拉法（欧拉折线法）欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。
欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：Nab h N n y x hf y y n n n n -=-=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差11121)(2++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。
我们在计算时应注意欧拉法是一阶方法，计算误差较大。
欧拉法的几何意义：过点A 0（x 0，y 0），A 1（x 1，y 1），…，A n （x n ，y n ），斜率分别为f （x 0，y 0），f （x 1，y 1），…，f （x n ，y n ）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。
例1用欧拉法解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=1)0()10(2y x xy dx dy在x ＝0 (0.2) 1处的近似解。
（计算过程保留4位小数）。
【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时，首先熟练掌握欧拉公式的一般形式， 根据具体题目写出找出欧拉公式的迭代式，并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。
解 ∵ f (x ，y )＝－2xy ，h ＝0.2，欧拉公式为：)5,4,3,2,1,0()4.01()2(2.0),(1=-=-+=+=+n y x y x y y x hf y y n n n n n n n n n列表计算如下：2．改进欧拉法改进欧拉法比欧拉法的计算准确，是对欧拉法的改进。
改进欧拉法的基本思想：用梯形公式计算（＊）式右端积分，则得改进欧拉法的计算公式为：[]Na b h N n y x f y x f hy y n n n n n n -=-=++=+++)1,...,1,0(),(),(2111利用改进欧拉法计算常微分方程初值问题时，我们应注意此公式为隐式表达式，需要对它进行迭代求解。
计算时可以采用一次迭代和多次迭代，因此，就有改进欧拉法预估-校正法公式和反复迭代的改进欧拉法预估-校正法公式。
改进欧拉法预估-校正法公式：()()[]⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=++++)1,...,1,0(),(),(2),(011101N n y x f y x f h y y y x hf y y nn n n n n n n n n反复迭代的改进欧拉法预估-校正法公式：()()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+=+++++),...,1,0,1,,0(),(),(2),(111101m N n y x f y x f h y y y x hf y y m n n n n n m n n n n n改进欧拉法的局部截断误差11131)(12++++≤≤'''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 3）。
从局部截断误差的形式看，改进欧拉法是二阶方法，因此，它比欧拉法更精确。
例2用预估-校正法求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤--='1)0()10(2y x xy y y在x=0（0.2）1的解。
【思路】掌握预估-校正法的计算公式，根据已知条件迭代求解。
解 步长h=0.2，将2),(xyy y x f --=代入预估-校正公式，整理得⎪⎩⎪⎨⎧+--=-=+++++2)0(11)0(1212)0(1)((1.01.09.02.08.0n n n n n n n n n n n y x y y x y y y x y y 列表计算如下：例3用改进欧拉法求解例1的初值问题,要求3)1()(10--<-m nm n y y 。
【思路】掌握改进欧拉法的计算公式，根据已知条件迭代求解，并检验迭代解是否满足精度要求，若满足则确定此解为常微分方程在某点的近似解。
解 将xy y x f 2),(-=代入改进欧拉法的计算公式得：()()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=-=-+=+=-++-++++)2.0),(),(2)4.01()2(2.0),(1111111)0(1m n n n n n m n n n n n m n n n n n n n n n ny x y x y y x f y x f h y y y x y x y y x hf y y列表计算如下：三、龙格-库塔法 1．龙格-库塔法龙格-库塔法具有精度高、收敛、稳定，不需要计算高阶导数等优点，是求解微分方程初值问题的一组著名的显示单步方法，广泛应用于求解常微分方程的初值问题。
本章我们介绍了二、三、四阶龙格-库塔法。
龙格-库塔法的基本思想： 在计算初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的数值解时，考虑均差h x y x y n n )()(1-+，则由微分中值定理可得)10()()()(1<<+'=-+θθh x y h x y x y n n n ， 由初值问题可得公式为：))(,()()(1h x y h x hf x y x y k k k k θθ+++=+上式中))(,(h x y h x f k k θθ++称为区间上的平均斜率。
如果给平均斜率一种计算方法，就可得到计算y （x n+1）的近似值y n+1的公式。
如果仅取n x 处的斜率值),(n n y x f 作为平均斜率的近似值，则得到的1+n y 的公式为欧拉公式；如果取1,+n n x x 处的斜率值),(n n y x f ，),(11++n n y x f 的平均值作为平均斜率的近似值，则得到的1+n y 的公式改进欧拉公式。
㈠ 二阶龙格-库塔法的公式和局部截断误差：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==++=++),(),()(112122111hk y x f k y x f k k k h y y n n n n n n λλ在上式中选择不同的参数，会得到不同的二阶龙格-库塔法公式，所以二阶龙格-库塔法公式不唯一。
二阶龙格-库塔法公式的局部截断误差为Ο（h 3）。
常见的二阶龙格-库塔法公式有以下两种 改进欧拉法迭代公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==++=++),(),()(21121211hk y x f k y x f k k k h y y n n n n n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)2,2(),(12121k h y h x f k y x f k hk y y n n n n n n㈡ 三阶龙格-库塔法的公式和局部截断误差： 常见的三阶龙格-库塔法公式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+=++==+++=+)2,()2,2(),()4(62131213211hk hk y h x f k k h y h x f k y x f k k k k h y y n n n n n n n n三阶龙格-库塔法公式的局部截断误差为Ο（h 4）。
㈢ 四阶龙格-库塔法公式通常所说的龙格-库塔法是指四阶龙格-库塔法，也称为标准龙格-库塔法。
由于它是一步法，（即已知n y ，就可以求出1+n y ，无需知道1-n y ，2-n y ，…的值）且它的计算精度高，所以应用较多，但在计算时，因为每一步都需要计算四次f （x ，y ）的值，计算量较大，所以，一般用来计算前几项的近似值，即“表头”。
四阶龙格-库塔法公式为的公式和局部截断误差：⎧+2⎪⎪⎩⎪⎪⎨+==+=+),2(),(12121k h y h x f k y x f k hk y y n n n n n n⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n nn n n n n四阶龙格-库塔法的局部截断误差为Ο（h 5）。
四、单步法的收敛性和稳定性 1．收敛性如果在无舍入误差且步长h 充分小的情况下，求得的近似值n y 足够精确地逼近真解)(n x y ，即：当0→h 时，一致地有)(n n x y y →①欧拉法整体截断误差：n n ny x y -=)(ε其中)(n x y 为真解，n y 为在无舍入误差情况下，从y 0用欧拉法计算公式求得的近似解。
② 欧拉法的收敛条件：如果f(x,y)关于y 满足Lipschitz 条件，且局部截断误差R n 有 界，即),,...,2,1(222N n M h R n =≤则欧拉法收敛。
且欧拉法的整体截断误差估计式为：)1(2)(2-≤-a b L n e LhM ε 其中L 为Lipschitz 常数，b-a 为求解区间的长度，)(max 2x y M bx a ''=≤≤。
3.稳定性和绝对稳定性①稳定性：指初始（或某步）产生的误差在后面的迭代计算中不会再扩大。
即存在常数C 及h 0,0＜h ≤h 0时，对任意两个初始值00~,y y 满足不等式 00~~y y C y y n n -≤-。
② 欧拉法稳定性的条件：如果f(x,y)关于y 满足Lipschitz 条件，则欧拉法稳定。
③ 绝对稳定性：若对固定步长0h 及任意两个初始值00~,y y 满足不等式00~~y y y y n n -≤-。
④ 我们在讨论稳定性时应注意，一般在实际计算中只能取固定步长，它不可能任意缩小。
所以绝对稳定性则表示的是对固定步长h 0，在初始（或某步）所产生的误差，在以后计算中不会逐步增长。