高考高三12月内部特供卷 文科数学(一)教师版 (2)

金戈铁骑

2019届高三12月份内部特供卷

文科数学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．设集合{}02M x x =≤<，{}

2

60N x x x =--<，则集合M N I 等于（ ）

A ．{}02x x ≤<

B ．{}23x x -≤<

C ．{}03x x <≤

D ．{}20x x -≤<

【答案】A

【解析】由集合{}02M x x =≤<，{}

{}26023N x x x x x =--<=-<<， 则集合{}02M N x x =≤

34i

z =-，则z =（ ） A ．3 B ．5 C ．1

D ．5

【答案】C

【解析】由题意，复数z 满足()()()5i 34i 5i 43

i 34i 34i 34i 55

z +=

==-+--+， 则22

4343i 15555z ????

=-+=+= ? ?????

，故选C ．

3．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（ ）

A ．π4

B ．14

π-

C ．

π

12- D ．2π

【答案】B

【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个1

4

的面积为π，

又由边长为2的正方形的面积为4S =， 根据面积比的几何概型可得概率为4π144

π

p -=

=-，故选B ． 4．函数()26πtan x f x ??

=- ???

的单调递增区间是（ ）

A ．2π4π2π,2π33k k ?

?-+????，k ∈Z

B ．2π4π2π,2π33k k ?

?-+ ???，k ∈Z

C ．2π4π4π,4π33k k ?

?-+????，k ∈Z

D ．2π4π4π,4π33k k ?

?-+ ???

，k ∈Z

【答案】B

【解析】由题意，函数()26πtan x f x ??

=- ???

，

令πππππ2262x k k -+<-<+，k ∈Z ，解得2π4π2π2π33

k x k -<<+

，k ∈Z ， 即函数()f x 单调递增区间是2π4π2π,2π33k k ?

?-+ ??

?，k ∈Z ，故选B ．

5．设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为（ ） A ．()2,2- B ．()0,+∞

C ．()()0,22,+∞U

D ．[]2,2-

【答案】C

【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，

则()()140x x ?+-?->且

4

1x x

≠，解得0x >且2x ≠， 即x 的范围为()()0,22,+∞U ，故选C ．

6．如下图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为（ ）

此

卷

只

装

订

不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．90?

【答案】C

【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1CD ，1AD ，则11CD A B ∥， 在异面直线AC 与1A B 所成的角等于直线AC 与1CD 所成的角，即为1ACD ∠， 又由1ACD △为等边三角形，所以160ACD ∠=?， 即异面直线AC 与1A B 所成的角等于60?，故选C ．

7．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-≥--≤-+≥??

???

，则2z x y =-的最小值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．2

D ．1

【答案】B

【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

又由目标函数2z x y =-，可化为122z y x =-，结合图形，可得直线122z

y x =-经过点A 时，

在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由()10

0,1330x y A x y +-=?-+??

?

=， 所以目标函数的最小值为0212z =-?=-，故选B ．

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【答案】D

【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=， 根据等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，

可得6877263a a a a +==?=，9678988331S S a a a a a -=++==?=，

则872d a a =-=-，可求得数列的通项公式为172n a n =-，

令0n a ≥，即1720n -≥，解得17

2

n ≤

，又由n ∈*N ， 可得等差数列{}n a 中，当18n ≤<，n ∈*N 时，0n a >，当9n ≥，n ∈*N 时，0n a <， 所以使n S 取得最大值时n 的值为8，故选D ．

9．如图，椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，

其离心率为1

2

，则:ABF BFO S S =△△（ ）

A ．1:1

B ．1:2

C ．()

23:2-

D ．3:2

【答案】A

【解析】由题意，椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，

中心为O ，其离心率为12，则面积为()12ABF S a c b =-?△，1

2

BFO S cb =△，

则

()1

2121112

ABF

BFO

a c

b S a

c a S c c cb --===-=-=△△，故选A ． 10．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为()πln x

x x

≈

的结论。若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数)

金戈铁骑

A ．768

B ．144

C ．767

D ．145 【答案】D

【解析】由题意，小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln x

x x

≈，则估计1000以内的素数的 个数为为()100010001000

π1000145lg1000

3ln1000lge 0.43429

≈

==≈，故选D ．

11．定义在上R 的连续可导函数()f x ，若当0x ≠时有()0xf x '<，则下列各项正确的是（ ） A ．()()()1220f f f -+> B ．()()()1220f f f -+=

C ．()()()1220f f f -+<

D ．()()12f f -+与()20f 大小不定

【答案】C

【解析】由题意可知，函数在上R 的连续可导函数()f x ，且当0x ≠时有()0xf x '<， 当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 为单调递减函数； 当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数，

所以()()10f f -<，()()20f f <，所以()()()1220f f f -+<，故选C ． 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，求()()2

2

a c

b d -+-的最小值（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2

【答案】B

【解析】由题意，可知点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，(),d c 是直线:1l y x =+上的点， 则()()2

2

a c

b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 易知所求的最小值为2．故选B ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知函数()12sin 2π13cos2πf x x x =+，则()f x 的最小正周期为______．

【答案】1

【解析】由题意，函数()()2212sin 2π13cos2π12132πf x x x x ?=+++， 其中13tan 12?=

则()f x 的最小正周期为2π12π

T ==． 14．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利

用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，L ，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_____． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】068

【解析】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第8列开始向右读取， 依次为331，455，068，L ，所以第3支疫苗的编号为068．

15．若1a >，则双曲线22

213x y a

-=的离心率的取值范围是___________． 【答案】()1,2

【解析】由题意，双曲线22213x y a

-

=，可得双曲线的离心率为2233

1c a e a a +===+ 因为1a >，可得()2

3

11,2e a +

，即双曲线的离心率的取值范围是()1,2． 16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ABCD ⊥底面，且2PD a =， 若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________． 【答案】(22a

【解析】由题意，当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球的半径最大，

作出其侧视图，如图所示，

易知球的半径(

)

22r a =-．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()11n n n a a n a +=∈+*N ，且()

1

n n

b n a =∈*N ． （1）求证：数列{}n b 为等差数列；

（2）设数列1n a n ??

??+??

的前n 项和为n T ，求出n T 的表达式．

【答案】（1）证明见解析；（2）1

n n

T n =+．

【解析】（1）证明：因1

n n b a =

，且11

n n n a a a +=+， 故11

111

1n n n n n

a b a a a +++=

=

=+，故11n n b b +-=． 又因11

1

1b a ==，故数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）知数列{}n b 的通项公式为n b n =， 又1n n b a =

，所以11n n a b n ==．故()111

111

n a n n n n n ==-+++，

所以11

111111n

n k n T k k n n =??=-=-

= ?+++?

?∑

． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2PA AB ==，

E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．

（1）求此四棱锥的体积； （2）求证：AG ∥平面PEC ； （3）求证：平面PCD ⊥平面PEC ．

【答案】（1）8

3

；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】（1）四棱锥的体积118

222333

P ABCD ABCD V S PA -=?=???=．

（2）证明：在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ， 则易得AE FG ∥，且1

2

AE CD FG ==，

且故四边形AEFG 为平行四边形，故EF AG ∥， 又EF ?面PEC ，AG ?面PEC ，故AG ∥面PEC ．

（3）证明：∵CD AD ⊥，CD PA ⊥， 又PA AD A =I ，∴CD ⊥平面PAD ， 又AG ?平面PAD ，∴CD AG ⊥，

又PD AG ⊥，PD CD D =I ，∴AG ⊥平面PCD ．∴EF ⊥平面PCD ． 又EF ?面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．

19．（12分）下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

金戈铁骑

注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数r ，并用相关系数的大小说明y 与t 相关性的强弱；

（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注： 参考数据：

7

1

10.97i i y ==∑

，

7

1

47.36i i i t y ==∑

()7

2

1

0.664i i y y =-=∑7 2.646≈．

参考公式：相关系数()()

()()()()1

11

22

22

1

1

1

1

n

n

n

i

i

i i

i

i i i n

n

n n

i i i i i i i i t t y y t y t y

r t t y y t t y y =======---=

=

----∑∑∑∑∑∑∑，

回归方程???y

a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()

()

1

2

1

?n

i

i i n

i

i t

t

y y b t

t

==--=-∑∑，???a

y bt =-． 【答案】（1）0.99r ≈，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；

（2）回归方程为 1.070.?12y

t =+，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨． 【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，

()

7

2

1

28i i t t =-=∑()

7

2

1

0.664i

i y y =-=∑，

()()7

7

7

1

1

1

47.36410.97 3.48i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-?=∑∑∑，

∴ 3.48

0.990.6642 2.646

r ≈

≈??．

因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．

（2）由10.97 1.5677

y =

≈及（1）得()()

()

7

1

7

2

1

3.48

0.128

?42i

i i i i t

t

y y b t t ==--==

≈-∑∑， ∴ 1.5670.1244 1.?07?a

y bt =-≈-?≈．所以y 关于t 的回归方程为 1.070.?12y t =+． 将2018年对应的9t =代入回归方程得 1.070.122?9.15y

=+?=． 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨．

20．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3．

（1）求抛物线C 的方程；

（2）已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线1x =-上的点，且FP FQ ⊥．求直线PQ 与抛物线C 的交点个数，并说明理由．

【答案】（1）24y x =；（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由见解析．

【解析】（1）抛物线的准线方程为2p x =-

，所以点()2,E t 到焦点的距离为232

p

+=． 解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．

（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由如下：

设点P 为200,4y y ?? ? ???，点Q 为()1,m -，焦点F 为()1,0．则2001,4y FP y ??=- ? ???u u u r ，()2,FQ m =-u u u

r ．

由题意可得0FP FQ ?=u u u r u u u r ，故2002104y my ??--+= ? ???

，从而2004

2y m y -=． 故直线PQ 的斜率02002

1

4

PQ

y m

k y y -==+．故直线PQ 的方程为2

00024y y y x y ??-=- ? ???， 即2

00

24

y y y x =-

①．又抛物线C 的方程24y x = ②， 联立消去x 得()

2

00y y -=，故0y y =，且2

4

y x =． 故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点． 21．（12分）已知函数()ln f x x ax =+， （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当0a <时，求函数()f x 的零点个数．

【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；

当0a <时，()f x 在10,a ??- ???上递增，在1,a ??

-+∞ ???

上递减．

（2）当e 1a <-时，函数()f x 没有零点；当e 1

a =-时，函数()f x 有一个零点；

当1

0e

a -<<时，函数()f x 有两个零点．

【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()11

'ax f x a x x

+=

+=

， ①当0a ≥时，()'0f x >，故()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a <时，令()'0f x =，则1

x a

=-，

在10,a ?

?- ???上，()'0f x >，()f x 单调递增，

在1,a ??

-+∞ ???

上，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；

当0a <时，()f x 在10,a ??- ???上递增，在1,a ??

-+∞ ???

上递减．

（2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在10,a ??- ???上递增，在1,a ??

-+∞ ???

上递减．

故()max 11ln 1f x f a a ????

=-=-- ? ?????，

①当1ln 1a ??

-< ???，即e 1a <-时，

10f a ??

-< ???

，此时函数()f x 没有零点． ②当1ln 1a ??

-= ???

，即e 1a =-时，

10f a ??

-= ???

，此时函数()f x 有一个零点． ③当1ln 1a ??

-> ???

，即10e a -<<时，

10f a ??

-> ???

， 令01b <<且1

b a

<-

，则ln 0b <，()ln ln 0f b b ab b =+<<， 故()10f b f a ??

?-< ???

，故()f x 在1,b a ??- ???有一个零点；

再者，2211111

ln 2ln f a a a

a a ????=+=-+ ? ?????，

令1

t a

=-，则()e,t ∈+∞；再令()2ln g t t t =-，()e,t ∈+∞，

则()2

'10g t t

=

-<，故()g t 在()e,+∞上单调递减， 故()()e e 20g t g <=-<，210f a ??

< ???．

故2110f f a a ????-?

< ? ???

??，故()f x 在211,a a ??

- ???

上有一个零点． 故()f x 在()0,+∞上有两个零点．

综上所述：当e 1a <-时，函数()f x 没有零点；当e 1

a =-时，函数()f x 有一个零点；

当1

0e

a -<<时，函数()f x 有两个零点．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为

cos 1sin x t y t α

α==+??

?

(t 为参数，[)0,πα∈)，曲线C 的极坐标方程为4sin ρα=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q

两点，若PQ =，求直线l 的斜率． 【答案】（1）()2

220x y +-=；（2

）．

【解析】（1）4sin ρθ=Q ，24sin ρρθ∴=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得224x y y +=． ∴曲线C 的直角坐标方程为()2

220x y +-=．

（2）把cos 1sin x t y t α

α

==+???代入224x y y +=，整理得22sin 30t t α--=，

设其两根分别为1t ，2t ，则122sin t t α+=，123t t =-，

12PQ t t ∴=-=

sin α=

，2ππ33

α=或，

∴直线l 的斜率为．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

金戈铁骑

设函数()12f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≤的解集；

（2）当[]2,3x ∈时，()22f x x x m ≥-++恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{}12x x -≤≤；（2）(],3-∞．

【解析】（1）()12,1

123,

1221,2x x f x x x x x x -≤-??

=++-=-<

， 由()3f x ≤，解得12x -≤≤，

即不等式()3f x ≤的解集为{}12x x -≤≤． （2）当[]2,3x ∈时，()21f x x =-，

由()22f x x x m ≥-++，得2212x x x m -≥-++， 也就是21m x ≤-在[]2,3x ∈恒成立， 故3m ≤，即m 的取值范围为(],3-∞．

【广东省中山一中等七校联合体2019届高三第二次（11月）联考数学（文）试题用稿】