江苏高三上学期期末数学试题分类之应用题
江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编 圆锥曲线 苏教版
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ 答案2、（连云港市2013届高三期末）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点，AB =3，则C 的实轴长为 ▲ .答案：13、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点,点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ▲ ．答案：[0,2]+4、（南通市2013届高三期末）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．答案：221520y x -=． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ . 答案6、（苏州市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ． 答案：27、（泰州市2013届高三期末）设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556 8、（无锡市2013届高三期末）如图，过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。
江苏省高三上册期末数学试题分类：函数与不等式、导数综合
八、函数与不等式（一）试题细目表1.（南通泰州期末·14）已知函数221,0,()ln(),0,x ax a x f x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩2()12g x x a =+-.若函数(())y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是.【答案】()1,⎫+∞⎪⎪⎝⎭2.（无锡期末·13）已知函数()f x =2212211,211log (),22x x x x x x ⎧+-≤-⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩，2()22g x x x =---.若存在a R ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是． 【答案】(2,0)-3.（镇江期末·9）已知函数f ()=2-+4对任意的∈[1,3]，不等式f ()≥0恒成立，则实数的最大值为【答案】44.（镇江期末·13）已知a ,b ∈R ,a +b =4,则111122+++b a 的最大值为5.（镇江期末·14）已知k 为常数，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0ln 0,12)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为【答案】31(,1)e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭6.（扬州期末·11）已知函数xx x x x f 241sin )(-+-=，则关于的不等式)75()1(2-+-x f x f ＜0的解集为_________.【答案】(2,3) 7.（扬州期末·13）已知函数，若在实数使得该函数的值域为 ，实数a 的取值范是______. 【案】1(,2]2.（扬州期末·14）已知正实数,y 满足52+4y-y 2=1，则122+8y-y 2的最小值为_________. 【答案】739.（常州期末·11）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为． 【答案】1e10.（南京盐城期末·7）. 设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是． 【答案】(,2]-∞11.（南京盐城期末·11）.设函数()f x 是偶函数，当≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是． 【答案】9[1,)412.（苏州期末·5）已知42a =，log 2a x a =，则正实数x =． 【答案】1213（苏州期末·12） 已知正实数a ，b ，c 满足111a b +=，111a b c+=+，则的取值范围是． 【答案】4(1,]314（苏州期末·14）已知直线y ＝a 分别与直线22y x =-，曲线2e x y x =+交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为． 【答案】3ln 22+15.（苏北四市期末·3）函数y =的定义域为．【答案】(0,1]16（苏北四市期末·13）已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为．【答案】[2,2]-17.（苏北四市期末·10）在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P 到直线:0l x =的距离的最小值为．九、导数（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·10）若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为.【答案】2e -2.（无锡期末·14）若函数2()(1)||f x x x a =+-在区间[1,2]-上单调递增，则实数a 的取值范围是． 【答案】7(,1][,)2-∞-+∞3.（南通泰州期末·19）已知函数32()g x x ax bx =++(,)a b R ∈有极值，且函数()()xf x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明：7()3M a <-.【答案】【解】（1）因为'()()x x f x e x a e =++(1)xx a e =++，令'()0f x =，解得1x a =--.列表如下.所以时，取得极小值. 因为2'()32g x x ax b =++，由题意可知'(1)0g a --=，且24120a b ∆=-> 所以23(1)2(1)0a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=-2412(1)(3)0a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---，32a ⎛⎫≠-⎪⎝⎭. （2）因为()()()F x f x g x =-32()()x x a e x ax bx =+-++， 所以'()'()'()F x f x g x =-2(1)[32(1)(3)]x x a e x ax a a =++-+-++(1)(1)(33)x x a e x a x a =++-++-- (1)(33)x x a e x a =++-++记()33xh x e x a =-++，则'()3xh x e =-，令'()0h x =，解得ln3x =.列表如下.所以时，取得极小值，也是最小值， 此时，ln3(ln 3)3ln 33h ea =-++63ln3a =-+3(2ln3)a =-+23(ln )03e a a =+>>.令'()0F x =，解得1x a =--. 列表如下.所以时，取得极小值，也是最小值. 所以()(1)M a F a =--=132(1)((1)(1)(1))a a ea a ab a -------+--+--12(1)(2)a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记2()(1)tm t e t t =---32t e t t =-+-，1t <-， 则2'()32tm t e t t =-+-，1t <-. 因为10t e e --<-<，2325t t ->， 所以'()0m t >，所以()m t 单调递增. 所以17()2233t m t e -<--<--=-， 所以7()3M a <-.4.（无锡期末·20）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程；（2）若对任意x R ∈，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.【答案】（1）设切点为00(,)x y ，'()(31)x f x e x =+，则切线斜率为00(31)xe x +， 所以切线方程为0000(31)()xy y e x x x -=+-，因为切线过(2,0)， 所以00000(32)(31)(2)x xe x e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =.当00x =时，切线方程为2y x =-，当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-.（2）由题意，对任意x R ∈有e (32)(2)xx a x -≥-恒成立，①当(,2)x ∈-∞时，max (32)(32)[]22x x e x e x a a x x --≥⇒≥--， 令(32)()2x e x F x x -=-，则22(38)'()(2)x e x x F x x -=-，令'()0F x =得0x =，max ()(0)1F x F ==，故此时1a ≥.②当2x =时，恒成立，故此时a R ∈.③当(2,)x ∈+∞时，min (32)(32)[]22x x e x e x a a x x --≤⇒≤--， 令8'()03F x x =⇒=，83min 8()()93F x F e ==，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤.（3）因为()()f x g x <，即(32)(2)xe x a x -<-， 由（2）知83(,1)(9,)a e ∈-∞+∞，令(32)()2x e x F x x -=-，则当(,2)x ∈-∞，存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，等价于(32)2x e x a x -<-存在唯一的整数0x 成立，因为(0)1F =最大，5(1)3F e -=，1(1)F e =-，所以当53a e<时，至少有两个整数成立， 所以5[,1)3a e∈. 当(2,)x ∈+∞，存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，等价于(32)2x e x a x ->-存在唯一的整数0x 成立，因为838()93F e =最小，且3(3)7F e =，4(4)5F e =，所以当45a e >时，至少有两个整数成立，所以当37a e ≤时，没有整数成立，所有34(7,5]a e e ∈. 综上：345[,1)(7,5]3a e e e∈. 5.（镇江期末·19）已知b >0,且b ≠1，函数f ()=e +b ，其中e 为自然对数的底数：（1）如果函数f ()为偶函数，求实数b 的值，并求此时函数的最小值； （2）对满足b >0,且b ≠1的任意实数b ，证明函数y =f ()的图像经过唯一定点； （3）如果关于的方程f ()=2有且只有一个解，求实数b 的取值范围.【答案】（1）由(1)(1)f f =-得：11e b e b +=+，解得b e =-（舍），1b e=， 经检验1()x x f x e e =+为偶函数，所以1b e=，又1()2x x f x e e=+≥，当且仅当0x =时取等号， 所以1()xx f x e e =+的最小值为2.(2)假设y = f ()过定点00(,)x y ，则000=x xy e b +对任意满足b >0,且b ≠1恒成立. 令b =2得：000=2xxy e +；令b =3得：000=3xxy e +所以0023xx=，03()12x =，解得唯一解00x =，所以0=2y . 经检验，当0x =，f (0)=2，所以函数y =f ()的图像经过唯一定点(0，2).………8分（3）令()()22x x g x f x e b =-=+-为R 上连续函数，且g (0)=0，则方程g ()=0存在一个解. 1°当b >1时，g ()为增函数，此时g ()=0只有一个解.2°0<b <1时，令()ln (1()ln )0x x x x bg x e b b e b e '=+=+=，解得(ln )0()log b e bx -=.因为0,01x b e e><<，令()1()ln x bh x b e =+，()h x 为增函数，所以当0(,)x x ∈-∞时，()0h x <，所以()0g x '<，()g x 为减函数，当0()x x ∈+∞，时，()0h x >，所以()0g x '>，()g x 为增函数， 所以0()()g x g x =极小值，又()g x 定义域为R ，所以min 0()()g x g x =①若00x >，()g x 在0(,)x -∞上为减函数，0()(0)0g x g <=，而ln 2ln 2(ln 2)220g b b =+-=>， 所以0(,ln 2)x x ∈时，()g x 至少存在另外一个零点，矛盾！②若00x <，()g x 在0()x +∞，上为增函数，0()(0)0g x g <=，而log 2log 2(log 2)220b b b g e e =+-=>， 所以0(log 2,)b x x ∈时，()g x 存在另外一个零点，矛盾！ ③当(ln )0()logb e bx -==，则ln 1b -=，解得1b e=，此时方程为1()20x x g x e e =+-=，由(1)得，只有唯一解00x =，满足条件综上，当1b >，或1b e=时，方程f ()=2有且只有一个解.………16分6.（扬州期末·19）已知函数()xe xf =，()R b a b ax xg ∈+=,,.(1) 若()01=-g ，且函数()x g 的图像是函数()x f 图像的一条切线，求实数a 的值； (2) 若不等式()x f ＞2+m 对任意∈()+∞,0恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若对任意实数a ，函数()()()x g x f x F -=在()+∞,0上总有零点，求实数b 的取值范围.【答案】解：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-，设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x f x e =得切线方程是000()x x y e e x x -=-此直线过点(1,0)-，故0000(1)x x ee x -=--，解得00x =，所以'(0)1a f ==.………3分 （2）由题意得2,(0,)xm ex x <-∈+∞恒成立，令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞，则'()2x m x e x =-，再令()'()2x n x m x e x ==-，则'()2x n x e =-， 故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增， 从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->， 所以()m x 在(0,)+∞上单调递增，.………6分 所以(0)m m ≤，即1m ≤.………8分 注：漏掉等号的扣2分（3）若0a <，()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增，故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >，………10分 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点。
江苏省市县高三上学期期末考试数学试题分类汇编：函数 含答案
江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编函 数一、填空题（1）1、（常州市2016届高三上期末）函数22()log (22)f x x =-+的值域为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，b x a x x f +-++=)1()2(log )(2（a ，b 为常数），若1)2(-=f ，则)6(-f 的值为3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xxmf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是▲ .4、（南通市海安县2016届高三上期末）若函数⎩⎨⎧>++-≤-=0,5ln 0,)()(2x a x x x a x x f 的最小值为)0(f ，则实数a 的取值范围是 ；5、（苏州市2016届高三上期末）函数22,0,()1,0xx f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4xxf x =+，记(5)n a f n =-，则数列{}n a 的前8项和为 ▲7、（无锡市2016届高三上期末）已知函数()322,1ln ,1x x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，若对于(),t R f t kt ∀∈≤恒成立，则实数k 的取值范围是8、（扬州市2016届高三上期末）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲9、（镇江市2016届高三第一次模拟）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．填空题答案1、5、3(,]2-∞ 2、4 3、33[,]22- 4、［0,3］ 5、(,1]-∞ 6、－16 7、1[,1]e8、3 9、(－2，0)∪(2，＋∞) 二、填空题（2）1、（常州市2016届高三上期末）已知函数2223,0()3,0x x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，若不等式()f x kx ≥对x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0)(0cos 2)(x x a x x x x x f ，若关于x 的不等式π<)(x f 的解集为)2,(π-∞，则实数a 的取值范围是 ．3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标xOy 中，将函数])2,0[(232∈-+=x x x y 的图像绕坐标原点O 按逆时针方向旋转角θ，若],0[αθ∈∀，旋转后所得曲线都是某个函数的图像，则α的最大值是 ；5、（苏州市2016届高三上期末）已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则20(1)sin 2x x x +＝ ▲ ．6、（扬州市2016届高三上期末）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为 ▲7、（镇江市2016届高三第一次模拟）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x >0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ， x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．答案1、2[3,]e - 2、()-∞+ 3、1(0,]1e + 4、3π 5、12 6、1(,]6-∞ 7、【答案】[－13，1)∪(1，＋∞)．【解析】作函数图象可得，当y kx k =-过点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭时，直线的斜率最小即13k =-，当直线y kx k =-与()20y x x x =->相切时有一个交点，'1k y ==，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x >0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ， x ≤0，与直线y kx k =-有两个不同的交点时，k 的取值范围为[－13，1)∪(1，＋∞)，即关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为[－13，1)∪(1，＋∞)．。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省市县高三上学期期末考试数学试题分类汇编：数列 含答案
江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1249a a +=，3456a a a a +++＝40，则7899a a a ++的值为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则1321b b b +⋯++的值为3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：0=++c by ax 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ；5、（苏州市2016届高三上期末）已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，则33a b +的取值范围是 ▲7、（无锡市2016届高三上期末）对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：1()n n n b a a n N *+=-∈，且1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =8、（扬州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲9、（镇江市2016届高三第一次模拟）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．填空题答案1、1172、263、20 4、 5、5或6 6、(,2)-∞- 7、8 8、31 9、【答案】35．【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前n 项和，考查学生的运算能力，难度中等．【解析】由S n S 2n ＝n ＋14n ＋2可得，()()111212122212n n n n n a a a a n n a a a a n +++==+++，当1n =时，112223a a a =+，212112,a a d a a a ==-=，311511233455a a d a a a d a +===+． 二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）已知等差数列{}n a 的公为d 为整数，且22k a k =+，22(2)k a k =+，其中k 为常数且*k N ∈。
2022-2023学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷及答案
2022-2023学年江苏省苏州市高三上学期期末数学试卷及答案注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回．2、答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数b 的值为（{}220,A x x x x =-<∈Z{}0,B b =A B ⋂≠∅） A. B. 0C. 1D. 21-【答案】C 【解析】【分析】求出集合，根据，可得答案.A AB ⋂≠∅【详解】化简得，，由，A {}{}{}(2)0,02,1A x x x x x x x =-<∈=<<∈=Z Z {}0,B b =且，故.A B ⋂≠∅1b =故选：C2. 已知（，i 为虚数单位）（ ） ii 2ix y =--,x y ∈R =A.15【答案】B 【解析】 【分析】根据（，i 为虚数单位），利用复数相等求得，代入ii 2ix y =--,x y ∈R ,x y求解.【详解】解：因为（，i 为虚数单位）， ii 2ix y =--,x y ∈R 所以， ()()()i 2i i 12i==i 2i 2i 2i 55x y +-=-+--+所以， 12,=55x y =-，==故选：B 3. 设，，，则（ ） a =52b =2log 6c =A.B.C.D.a b c <<b a c <<b c a <<c a b <<【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数以及对数函数的单调性，结合关键无理数的估计值，可得答案. 【详解】，22512log 22log 22b ==+=+，22222333log 6log 4log 4log 2log 222c ⎛⎫==⨯=+=+ ⎪⎝⎭，则， 225322log 2log 22<=<=+<+a b c <<故选：A.4. 已知通过某种圆筒型保温层的热流量，其中，分别为保温层的内()12212πln ln l t t Φr r λ-=-1r 2r 外半径（单位：mm ），，分别为保温层内外表面的温度（单位：℃），l 为保温层的长度1t 2t （单位：m ），为保温层的导热系数（单位：）．某电厂为了减少热损失，准备λW/(m )⋅℃在直径为120 mm 、外壁面温度为250℃的蒸汽管道外表面覆盖这种保温层，根据安全操作规定，保温层外表面温度应控制为50℃．经测试，当保温层的厚度为30 mm 时，每米长管道的热损失为300 W ．若要使每米长管道的热损失不超过150 W ，则覆盖的保温层厚度至少Φl Φl为（ ）A. 60 mmB. 65 mmC. 70 mmD. 75 mm【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得，然后代入不等式求得的范围即Φl2πλ2π(25050)150ln(60)ln 60d λ-≤+-d 可．【详解】由题意可得，()12212πln ln t t Φl r r λ-=-，，2π(25050)300ln 90ln 60λ-=-332πln 22λ=设覆盖的保温层厚度至少为，(mm),0>d d 则，，2π(25050)150ln(60)ln 60d λ-≤+-33ln322ln(60)ln 604d ≤+-整理可得，即，解得， 960ln ln 460+≤d 960460+≤d 75d ≥故选：D ．5. 若的展开式中的系数为60，则的最小值为（ ）6a bx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 22a b +A. 2C. 3D. 51+【答案】C 【解析】【分析】由二项式定理求得的关系,然后由均值不等式求得最小值． ,a b 【详解】，令，，6626166C ()()C rrr r r r r r aT bx a b x x---+==262r -=4r =所以，∴，4246C 60a b=244a b =，当且仅当 ，即22222444411322a b b b b b b +=+=++≥=24412b b =时等号成立，b =故选：C ．6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线C ：（，）的左顶点为xOy 22221x y a b-=0a >0b >，右焦点为F ，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足A 为Q ．若，，成等差数列，则C 的离心率为（ ）OQ QF OA B.C. 232【答案】B 【解析】【分析】不妨设渐近线方程为，计算点坐标得到，，b y x a =P 2a OQc =2a QF c c=-，根据等差数列性质得到，解得答案.OA a =321e e=+【详解】，，不妨设渐近线方程为，则直线为：(),0A a -(),0F c by x a=PF ，()ay x c b=--，解得，故，，， ()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a OQ c =2a QF c c =-OA a =，，成等差数列，故，整理得到，OQ QF OA 222a a c a c c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭321e e =+解得或（舍）. 32e =1e =-故选：B7. 已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平ABCD 1P AB A B P 面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为αAB αAP x =S x 的函数，则的图象大致为（ ）()f x ()S f x =A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面AB O OC OD AB ⊥OCD 与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出αOCD 102x <<12x =112x <<OCD 的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项. ()f x 【详解】取线段的中点，连接、，AB O OC OD 因为、为等边三角形，为的中点，则，，ABC ABD △O AB OC AB ⊥OD AB ⊥，、平面，平面，OC OD O ⋂= OC OD ⊂OCD AB ∴⊥OCD 因为平面，所以，平面与平面平行或重合， AB ⊥ααOCD且 OD OC ===取的中点，连接，则， CD M OM OM CD ⊥且OM ==12OCD S CD OM =⋅=△①当时，平面平面，平面平面， 102x <<//αOCD α ABC PE =平面平面，，同理可知，，， OCD ABC OC =//PE OC ∴//PF OD //EF CD 所以，，故， PE AE EF AF PFOC AC CD AD OD====PEF OCD △∽△如下图所示：则，则； 224OCD S AP x S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△()2S f x ==②当时，； 12x=12S f ⎛⎫== ⎪⎝⎭③当时，平面平面，平面平面， 112x <<//αOCD α ABC PE =平面平面，，同理可知，，， OCD ABC OC =//PE OC ∴//PF OD //EF CD 所以，，故， PE BE EF BF PFOC BC CD BD OD====PEF OCD △∽△如下图所示：则，则. ()2241OCD S BP x S BO ⎛⎫==- ⎪⎝⎭△())21S f x x ==-综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象. ())221,0211,12x S f x x x <≤==-<<()f x 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的识别，解题的关键对分类讨论，求出函数x ()f x 的解析式，进而辨别出函数的图象.()f x 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数.记函数()f x R (1)f x +(2)f x +，则（ ）()2(21)1g x f x =++3112k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑A. 25 B. 27C. 29D. 31【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得函数的图象点对称也关于直线对称，由此求得其是周()f x (1,0)2x =期函数，周期是4，由中心对称得，然后求得，(2)(4)0f f +=(2)(3)(4)(5)0+++=f f f f 代入计算可得．【详解】为奇函数，是由向左平移1个单位得到， (1)f x +(1)f x +()f x 则的图象关于点对称，所以，，()f x (1,0)(2)()f x f x -=-(1)0f =为偶函数，是由向左平移2个单位得到，(2)f x +(2)f x +()f x 则的图象关于直线对称，所以，则， ()f x 2x =(2)(2)f x f x -=+(3)0f =所以，从而，(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=是周期函数，且周期为4，所以，()f x (21)0,Z f k k -=∈因为的图象关于直线对称，也关于点对称， ()f x 2x =(1,0)所以的图象关于点对称，所以， ()f x (3,0)(2)(4)0f f +=所以，(2)(3)(4)(5)0+++=f f f f 所以[][]3117(2)(3)(4)(5)(2)(3)(4)0(1)==+++++=++∑k f f f f f k f f f 因为，，()2(1)12=++k g f k Z k ∈所以，313111231(3121)==+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑k k f k k g 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有a b2a = 1b = a b - （ ）A.B.C.D.b a b + 2a b - 2b a - 【答案】BC 【解析】【分析】显然不可能平行，因此只要计算出数量积为正即可．【详解】由已知各选项中向量与向量不平行， a b -，21cos 601a b ⋅=⨯⨯︒=， 2()110a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，22()()4130a b a b a b -⋅+=-=-=> ， 22()(2)324312130a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+⨯=> ，22()(2)232431160a b b a a a b b -⋅-=-+⋅-=-⨯+⨯-=-< 只有BC 选项符合题意． 故选：BC ．10. 已知函数，则（ ） π()sin cos 6f x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭A. 的周期为B. 直线()f x 2π32y x =+()y f x =的切线C. 在上单调递增D. 点是曲线的对()f x R ππ,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()y f x =称中心 【答案】BCD 【解析】【分析】判断是否相等即可判断A ；根据导数的几何意义即可判断B ；利()()2π,f x f x +用导数计算即可判断C ；构造函数，再判断函数的奇偶性即可()ππ33g x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 判断D.【详解】解：对于A ，因为， ()()π2πsin cos 2π6f x x x x f x ⎛⎫+=++++≠ ⎪⎝⎭所以不是函数的周期，故A 错误；2π()f x对于B ，， ππ()sin cos cos 66f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设切点为，()()00,x f x ，()πsin 16f x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭令，则， ()032f x '=0π1sin 62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可取，则， 00x =()0f =所以过点的切线方程为 ⎛ ⎝32y x =所以直线的切线，故B 正确； 32y x =+()y f x =对于C ，， ()πsin 16f x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭因为，所以， []πsin 1,16x ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭()πsin 106f x x ⎛⎫'=--+≥ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，故C()f x R 对于D ，令，()πππcos sin 332g x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()sin g x x x g x -=--=-所以函数是奇函数，关于原点对称， ()g x 又因函数是由函数先向右平移个单位，再向上平移个单位所得的， ()g x ()f x π3π3所以函数点是曲线的对称中心，故D 正确. ππ,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()y f x =故选：BCD.11. 已知正方体的棱长为，，，其中1111ABCD A B C D -11BP BD λ= 1CQ CC μ=，，则下列说法中正确的有（ ）[]0,1λ∈[]0,1μ∈A. 若平面，则B. 若平面，则PQ ⊂1AB C 13λμ+=//PQ ABCD 12λμ==C. 存在，，使得D. 存在，使得对于任意的，都有λμ35PQ =λμPQ BD ⊥【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据共面向量定理可判断选项A ，利用直线方向向量和面法向量垂直可判断线面平行，可判断选项B ，通过向量求得模长，根据条件判断方程是否有解，可判断C ，向量数量积为，可判断D.0【详解】以为原点，所在直线为建立空间直角坐标系. D 1,,DA DC DD ,,x y z 因为正方体的棱长为，1111ABCD A B C D -11(1,1,1)BD =--面为点，.11,,Q CC CQ CC PQ μ∈=⊂1,AB C Q ∴C 0μ∴=设， 1(1,0,0)(1,1,1)(0,1,0)(,,)DP xDA yDB zDC x y z x y y z y =++=++=++又,1(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,1,)DP DB BP BD λλλλλλλ=+=+=+--=--1112,,12,x y y z x y z y λλλλλλ+=-⎧⎪∴+=-∴=-==-⎨⎪=⎩又因为点面， P ∈1,AB C 113x y z λ∴++=∴=所以若平面，则，故A 正确. PQ ⊂1AB C 13λμ+=面的法向量，ABCD (0,0,1)m =,1(,,),(1,1,0)BP BD B λλλλ==--(1,1,),P λλλ∴--,1(0,0,),(0,1,0)CQ CC C μμ==,(0,1,)Q μ∴(1,,)PQ λλμλ∴=--平面,， //PQ ABCD PQ m ∴⊥，故B 错误.0μλμλ∴-==，, 222222(1)()32(1)1PQ λλμλλλμμ=-++-=-+++ 若,,35PQ =2925PQ ∴=22932(1)125λλμμ∴-+++=,221632(1)025λλμμ∴-+++=,[]1112(1),0,1,(1),3333λμμμ⎡⎤=+∈+∈⎢⎥⎣⎦令， 2216()32(1)25g λλλμμ=-+++易得，(0)0,(1)0g g >>， 2211116((1))3(1)2(1)(1)39325g μμμμμ+=⨯+-++++，22222321231()0337532756μμμ=-+=-+->在无解，故C 错误.()0g λ∴=[]0,1λ∈,,(1,,)PQ λλμλ=--(1,1,0)BD = ,故D 正确.1,0,2PQ BD PQ BD λ⊥⋅=∴= 故选：AD12. 中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（ ） 13A. 四支球队的积分总和可能为15分B. 甲队胜3场且乙队胜1场的概率为523C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况D. 丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为 583【答案】ACD 【解析】【分析】举例比赛的各种得分情况判断AC ，由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断BD ．【详解】四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC 均正确； 每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为13，B 错； 31251124(C 3333⨯⨯⨯=丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲， 131C 3⨯若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场21(3比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率， 1221C (323两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，21(3两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是21()313综上概率为，D 正确．12122232511121118C ()[C (()()33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=故选：ACD ．【点睛】难点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆台的上、下底面半径分别为4和5，高为2，则该圆台的侧面积为________．【答案】 【解析】【分析】直接利用侧面积公式计算得到答案.【详解】圆台的侧面积为.()()πππ9S r l R r =+=+=⨯=故答案为：14. 在平面直角坐标系中，已知圆C ：，过点的直xOy 22((2)4x y -+-=(0,1)M -线l 交C 于A ，B 两点，且，请写出一条满足上述条件的l 的方程：MA AB =________________．【答案】（答案不唯一，也满足） 0x =1y x =-【解析】【分析】分别讨论直线l 斜率存在、不存在的情况，设C 到直线的距离为d ，由MA AB =得.-【详解】由题意得，半径，，故在圆)2C 2r =2MC ==>(0,1)M -外，设C 到直线的距离为d ， 由得MA AB =，解得，=d =当直线l 斜率不存在时，即，此时0x =d =当直线l 斜率存在时，设为，即，则1y kx =-10kx y --=d，解得.3=k =1y x =-故答案为：（答案不唯一，也满足） 0x =1y =-15. 记函数（）的最小正周期为T ，给出下列三个命题： π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>甲：；3T >乙：在区间上单调递减；()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭丙：在区间上恰有三个极值点．()f x (0,3)若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________（填“甲”、“已”或“丙”）；ω的取值范围是________． 【答案】 ①. 甲 ②. 7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】甲，利用三角函数的周期性求出；乙，利用三角函数的单调性求出2π3ω<；丙，利用函数的极值点定义求出，结合已知可知甲是假命题，2π4π33ω≤≤7π10π99ω<≤进而求解.【详解】对于甲，，即，解得； 3T >2π3ω>2π3ω<对于乙，，，112x << π62ππ66x ωωω∴<<+++由正弦函数的单调性得，解得， ππ2π262,Z π3π2π62k k k ωω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩2π4π4π2π,Z 33k k k ω+≤≤+∈又，故，又，则，故，且0ω>2π4π03k +>Z k ∈0k ≥2π2π4π33k ω≥+≥， 2π4π4π4π,033k x k k +≤≤+≥对于丙，，， 03x << πππ6636x ωω<++∴<由正弦函数的极值点得，解得； 35ππ7π262ω+≤<7π10π99ω<≤由这三个命题中有且仅有一个假命题，假设乙是假命题，则甲、丙是真命题，但显然甲、丙矛盾，故该假设不成立； 假设丙是假命题，则甲、乙是真命题，但显然甲、乙矛盾，故该假设不成立； 所以假命题是甲，则乙、丙是真命题，取交集的取值范围是. ω7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：甲，. 7π10π,99⎛⎤⎥⎝⎦16. 若对任意，关于x 的不等式恒成立，则实数a 的最,m n ∈R 2()e x n m n x m a --≤-+-大值为________． 【答案】##0.75 34【解析】【分析】不等式化为恒成立，22()e ()()e ()x n x n a x m m n x m x m x n --≤-+-+=-+-+--由于都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加：,,m n x 2()()y x m x m =-+-和，后者设，由导数求得其最小值，前者由二次函数性质得e ()x n y x n -=--e ()x x f x =-最小值，两者相加即得最小值，从而得的范围，得出结论．a 【详解】原不等式化为恒成22()e ()()e ()x n x n a x m m n x m x m x n --≤-+-+=-+-+--立，由于是任意实数，也是任意实数，∴与是任意实数，它们之间没有任何,m n x x m -x n -影响，，当且仅当时等号成立，22111()()()244-+-=-+-≥-x m x m x m 12x m -=-设，则，e ()x xf x =-()e 1xf x '=-时，，单调递减，时，，单调递增，0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 所以， min ()(0)1f x f ==所以的最小值是1，e ()x n x n ---所以的最小值是， 2()()e ()x n x m x m x n --+-+--13144-+=从而，的最大值是．34a ≤a 34故答案为：．34【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于都是任意实数，因此,,m n x 题中与可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两个函数的和，分x m -x n -别求出其最小值后得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．ABC cos 2b B =c =（1）求A ；（2）若，点D 在边BC 上，，求AD ． tan 2C =2ADB BAC ∠=∠【答案】（1）； π4（2. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作2222b a b +-=答.（2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【小问1详解】在中，由，，由余弦定理得ABC cos 2b B +=c =cos 2ac B b =-，2222cos a c b ac B =+-即，整理得，由余弦定理得，22224b a b -=-+2222b a b +-=222cos 2b c aA bc+-=， cos A ===(0,π)A ∈所以. π4A =【小问2详解】因为，即，而，则tan 2C =sin 2cos 0C C =>22sin cos 1C C +=sin C =cos C=所以，cos cos()(cos cos sin sin )B A C A C A C =-+=--=-=又，则显然是锐角三角形，由（1）知，(0,π)B ∈sin B ==ABC ，π22ADB BAC∠=∠=点D是边BC 上的高所在直线与BC 的交点，在边BC 上，符合题意， 在中，， Rt △ABD sin AD AB B ===所以． AD =18. 记为数列的前n 项和，已知，． n S {}n a 212a a =12n n S a n +=（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足求中的最大项与最小项．{}n b 1,1,,2,21n n a n b a n n =⎧⎪=⎨≥⎪+⎩{}n b 【答案】（1）()*n a n n =∈N（2）最大项为，最小项为 11b =225b =【解析】【分析】（1）两种方法解，方法一：先利用已知条件求出，然后根据已知条件建立方程，1a 相减后变形构造数列利用递推公式求得数列的通项公式；方法二：利用数列和与项的递推公式构造项和项的递推公式，然后，根据项和项的递推公式进而求得数列的通项公式； （2）由（1）写出的表达式，作差法比较数列的单调性，分析最大项和最小项即可. n b 【小问1详解】 法一： 在中， 12n n S a n +=令，得， 1n =11a =故， 2122a a ==因为，① ()21n n S n a =+所以，②()()11211n n S n a ++=++，得，②①-112(1)1n n n a n a na ++=+-+即，③1(1)1n n n a na +-=-当时，将③式两边同时除以，2n ≥(1)n n -得， 11111n n a a n n n n +=+---所以， 121111121n n a a a n n +---====-- 所以当时，， 2n ≥n a n =又因为，所以；11a =()*n a n n =∈N 法二：因为①， ()21n n S n a =+所以②()()11211n n S n a ++=++，得，②①-112(1)1n n n a n a na ++=+-+即③， 1(1)1n n n a na +-=-从而④，21(1)1n n na n a ++=+-得，-④③211(1)(1)n n n n na n a n a na +++--=+-即， 212n n n a a a +++=所以为等差数列． {}n a 在中， 12n n S a n +=令，得，故， 1n =11a =2122a a ==又因为为等差数列，所以；{}n a ()*n a n n =∈N 【小问2详解】由（1）得，1,1,221n n b n n n =⎧⎪=⎨≥⎪+⎩当时，2n ≥， 11102321(23)(21)n n n n b b n n n n ++-=-=>++++且，1112122n n b n n ==<++所以，2341112b b b b <<<<<= 所以中的最大项为，最小项为． {}n b 11b =225b =19. 新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车产业的发展方向，发展新能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车产业和交通运输行业转型升级具有积极意义，经过十多年的精心培育，我国新能源汽车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．（1）已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命（单位：万公里）服从正态分布ξ，问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以超过(60,16)N 68万公里？参考数据：若随机变量，则，(,)N ξμσ~()0.683P μσξμσ-≤≤+≈，．(22)0.955P μσξμσ-≤≤+≈(33)0.997P μσξμσ-≤≤+≈（2）下表给出了我国2017~2021年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据．年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 新能源汽车保有量y153260381492784经计算，变量的样本相关系数，变量与的样本相关系数． ,x y 10.946r ≈2x y 20.985r ≈①试判断与哪一个更适合作为与之间的回归方程模型？ y bx a =+2y bx a =+y x ②根据①的判断结果，求出关于的回归方程（精确到0.1），并预测2023年我国新能源y x 汽车保有量． 参考数据：令（），计算得，，，2i i t x=1,2,3,4,5i =414y =517704i i i x y ==∑5132094i i i t y ==∑．52979iit=∑参考公式：在回归方程中，，． y bta =+ 1221ni ii nii t y nt yb tnt==-=-∑∑ a y bt=- 【答案】（1）450块（2）①更适合作为y 与x 之间的回归方程模型；②. 2y bx a =+ 224.9140.1y x =+【解析】【分析】（1）根据正态分布计算概率；（2）相关系数绝对值越大相关性越强，根据给出公式，代入数据计算可得回归方程. 【小问1详解】因为新能源汽车电池的使用寿命，()260,4N ξ~所以， ()12210.955(68)0.022522P P μσξμσξ--≤≤+->===所以块．200000.0225450⨯=答：每月生产的万块电池中，使用寿命超过万公里的大约有块； 268450【小问2详解】①因为，所以更适合作为y 与x 之间的回归方程模型．21r r >2y bx a =+②因为，2222212345115t ++++==，122213209451141424.9979511ni ii ni i t y nt ybt nt==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ ， 41424.911140.1a y bt=-=-⨯= 所以． 224.9140.124.9140.1y t x =+=+当时，万辆． 7x = 24.949140.11360.2y =⨯+=答：年我国新能源汽车保有量约为万辆．20231360.220. 如图1，在长方形ABCD 中，已知，，E 为CD 中点，F 为线段EC 上（端2AB =1BC =点E ，C 除外）的动点，过点D 作AF 的垂线分别交AF ，AB 于O ，K 两点．现将折起，DAF △使得（如图2）．DK AB ⊥（1）证明：平面平面； ABD ⊥ABC （2）求直线DF 与平面所成角的最大值． ABC 【答案】（1）证明见解析 （2）π6【解析】【分析】（1）先证平面，得平面，所以，再证AF ⊥ODK DK ⊂ODK AF DK ⊥DK ⊥平面，从而得证面面垂直；ABC（2）直线DF 与平面所成角为，记，设（），ABCF DFK ∠DFK θ∠=DF x =12x <<由，得，计算，利用基本不等式得最大值，从而得角的最大FDA DAK !!1AK x=sin θ值．【小问1详解】因为，，，平面，， AF OK ⊥AF OD ⊥OD OK ⊂ODK OD OK O = 所以平面．AF ⊥ODK 因为平面，所以．DK ⊂ODK AF DK ⊥又因为，，平面，， DK AB ⊥AB AF ⊂ABC AB AF A = 所以平面．DK ⊥ABC 因为平面，所以平面平面． DK ⊂ABD ABD ⊥ABC 【小问2详解】连结FK ，由（1）可知，直线DF 与平面所成角为，记． ABCF DFK ∠DFK θ∠=在图1中，因为，所以， DK AF ⊥90DFA FDK ︒∠+∠=又因为，所以． 90FDA FDK ADK ∠︒=∠+∠=DFA ADK ∠=∠又因为，所以． 90FDA DAK ︒∠=∠=FDA DAK !!设（），由，得，解得． DF x =12x <<DF DA AD AK =11x AK =1AK x=在图2中，因为，所以 DK AB ⊥DK ==所以， 1sin 2DK DF θ===≤当且仅当时等号成立，x =又因为，所以的最大值为，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦θπ6即直线DF 与平面所成角的最大值为． ABC π621. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点与椭圆：xOy 1C 22x py =2C 22143x y+=的右焦点关于直线对称． y x =（1）求的标准方程；1C （2）若直线与相切，且与相交于A ，B 两点，求面积的最大值．l 1C 2C AOB （注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点） 【答案】（1） 24x y =（2 【解析】【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，根据的焦点与的右焦点关于直线对称，可求1C 2C y x =得抛物线焦点坐标，进而求得抛物线方程.（2）根据直线与相切，设出直线方程与椭圆方程联立，求得弦长和点到直线的l 1C AB O 距离，写出面积，化简利用重要不等式求最值. AOB 【小问1详解】因为的右焦点为，的焦点与的右焦点关于直线对称， 2C (1,0)1C 2C y x =所以的焦点为， 1C (0,1)所以，即，所以的标准方程为． 12p=2p =1C 24x y =【小问2详解】 设与相切于点（），因为，所以，l 1C ()22,P t t 0t ≠214y x =2x y '=所以的斜率，所以的方程为． l 22tk t ==l 2y tx t =-由得，222,1,43y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22343484120t x t x t +-+-=因为，所以（*）．()()624Δ644344120t tt=-+->42430t t --<设，，由韦达定理可知，，()11,A x y ()22,B x y 3122834t xx t +=+412241234t x x t -=+所以：AB===．==又因为点O 到直线l 的距离d =所以的面积AOB 1122S ABd =⋅⋅=， ()424432t t t -+++=≤=当且仅当，即时等号成立， 2t =2t =此时满足（*）， 42340t t --<所以AOB (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；(2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22. 已知函数． ()ln(1)2axf x x x =+-+（1）若时，，求实数a 的取值范围； 0x ≥()0f x ≥（2）讨论的零点个数． ()f x 【答案】（1） 2a ≤（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，求导，得到，对进行分类讨论，可22(42)(1)()(1)(2)x a x f x x x '+-+=++a得的单调性，进而求得的时候，实数a 的取值范围.()f x ()0f x ≥（2）通过分类讨论，可得函数的单调性，进而得到的图像，根据数形结合，可a ()f x ()f x 得的零点个数. ()f x 【小问1详解】的定义域是，．()f x (1,)-+∞22212(42)(1)()1(2)(1)(2)a x a x f x x x x x +'-+=-=++++①当时，，所以在上单调递增， 2a ≤()0f x '≥()f x (1,)-+∞又因为，所以当时，，满足题意； (0)0f =0x ≥()(0)0f x f ≥=②当时，令， 2a >22()(42)(1)(42)(42)g x x a x x a x a =+-+=+-+-由，得，． ()0g x =1(2)0x a =--<2(2)0x a -=+>当时，，，所以在上单调递减， ()20,x x ∈()0g x <()0f x '<()f x ()20,x 所以，不满足题意． ()()200f x f <=综上所述，． 2a ≤【小问2详解】①当时，由（1）可得在上单调递增，且， 2a ≤()f x (1,)-+∞(0)0f =所以在上存在1个零点；()f x (1,)-+∞②当时，由（1）可得必有两根，，2a >()0g x =1x 2x 又因为，所以，．(1)10g -=>(0)420g a =-<1(1,0)x ∈-2(0,)x ∈+∞x()11,x -1x()12,x x2x()2,x +∞()f x '＋0 －0 ＋()f x 单调递增 极大值()1f x 单调递减 极小值()2f x 单调递增当时，因为，所以在上存在1个零点， ()12,x x x ∈(0)0f =()f x ()12,x x 且，；()()100f x f >=()()200f x f <=当时，因为，()11,x x ∈-()()e 12ee 1ln e 0e 1e l---------=-=<++a aa a aaa a f ，而在单调递增，且，而，故1e 10--<-<a ()f x 1(0,)x 1()0f x '=(e 1)0a g -->，所以在上存在1个零点；11e 1a x --<-<()f x ()11,x -当时，因为， ()2,x x ∈+∞()()e 12e 1ln e 0e 1e 1a a a a aa af --=-=>++，而在单调递增，且，而， e 10a ->()f x 2(,)x +∞2()0f x '=(e 1)0ag ->所以，所以在上存在1个零点．2e 1ax ->()f x ()2,x +∞从而在上存在3个零点．()f x ()1,-+∞综上所述，当时，存在1个零点；当时，存在3个零点．2a ≤()f x 2a >()f x 【点睛】思路点睛：通过求导，得到，通过分析导数，得到的图像，通过数形结()f x '()f x 合，可求得不等式恒成立时，参数的取值范围，以及相应的的零点个数()f x。
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
则有 | PO |2 | PA |2 | OA |2 2 ，变形可得 PO 2 ，
|m2|„ 2 若直线 x my m 2 0(m R) 上存在点 P ，满足题意，必有 1 m2 ，
变形可得： 3m2 4m… 0 ，
解可得：
m„
0或
m…
4 3
，即 m
的取值范围为{m |
m„
0
m… 或
1 (m2 9
16 m2
28)…
1 (2 9
m
2
16 m2
28) 4
m 2 m 2
x 1 x 1
，当且仅当 n
1 2
， n
1 2
时，即 y
1 2
， y
1 2
时取等号．
5x2 4 y2 的最小值为 4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属
车辆数． 【详解】由频率分布直方图得：
在[5 ， 7) 之间通过的车辆的频率为 0.24 0.20 0.44 ，
在[8 ， 9) 之间通过的车辆的频率为 0.10，
设在[8 ， 9) 之间通过的车辆数为 n ．
在[5 ， 7) 之间通过的车辆数是 440 辆，
440 0.44
n 0.1
，解得
n
7 【答案】 4
【解析】 【分析】
可连接 FP ， FQ ， EP ， EQ ，根据题意即可得出四边形 EPFQ 为平行四边形，从而可得出
PQ
1
( AD
BC ),
EF
1
( AD
BC )
2
2
，然后进行数量积的运算即可．
【详解】如图，连接 FP ， FQ ， EP ， EQ ，
江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编 导数及
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．解：（1）设AF y =，则x y l ++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎭上，'0S <，S 递减，故当x =时，2max S =.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； 若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分(2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++, 由309[,]114a a++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分 (3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩,又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b ≥⎧⎨≤⎩(*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()2x x=-+≤-当且仅当x =(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分2米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，3222142(2)02x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分 关于x 的函数2S在上递增，在上递减．所以当x =时，2S 取得最大值． …………………………13分宽为2制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.ABCD（第17题）B 'P⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度 （3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠Θ32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。
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江苏高三上学期期末数学试题分类之应用题精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-十、应用题（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点思 想 方 法 2018·南通泰州期末·18解 答直线、圆、三角函数的定义、基本不等式建模思想2018·无锡期末·17 解 答2018·镇江期末·17 解 答 2018·扬州期末·17 解 答 2018·常州期末·17 解 答 2018·南京盐城期末·17 解 答 2018·苏州期末·17 解 答 2018·苏北四市期末·17 解 答（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）【答案】【解】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系.（1）直线PB 的方程为2y x ，半圆O 的方程为22240x y +=(0)y ≥，由2222,40(0),y x x y y =⎧⎨+=≥⎩得165y =. 所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ. 直线PB 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+80cos 40sin sin 2θθθ-=+.直线PC 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ-+=--， 令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以，EF 的长度为()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+(0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，2121600(2)6400t S S t-++=. 81600(4)t t=+-1600(284)≥-6400(21)=-.当且仅当22t =，即sin 222θ=-时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为26400(21)m -. 答：当sin 222θ=-时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.2.（2018·无锡期末·17）如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低请说明理由. 【答案】解：（1）由题意，3CAP πθ∠=-，所以3CP πθ=-，又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度()1cos 3f πθθθ=-+-cos 13πθθ=--++，03πθ<<，因为当03πθ<<时，'()1sin 0f θθ=-+<，所以()f θ在(0,)3π上单调递减，即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >，则总成本()(22cos )3g a πθθθ=-+-(2cos 2)3a πθθ=--++，03πθ<<，'()(12sin )g a θθ=-+，令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6πθ=， 当06πθ<<时，'()0g θ<，当63ππθ<<时，'()0g θ>.所以，当6πθ=时，()g θ最小.答：当6πθ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.3.（2018·镇江期末·17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD , CD 两段，其中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60 ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求 S 关于 的函数表达式，并求出 的取值范围； （2）问 AD 段多长时， S 最小？【答案】在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD ADππαα==-，所以331,2sin 2sin 2BD AD ααα==+， 则3cos 13cos 13()2[1()]4()22S a a ααα=+-++433cos 3)2a α-=+，由题意得2(,)33ππα∈（2）令214cos 30sin S a αα-'==，设01cos 4α= α0(,)3πα0α02()3πα，cos α11(,)421411[,)24- S ' － 0 ＋ S单调递减极大值单调递增所以当1cos 4α=时，S 最小， 此时153cos 155sin 2AD αα+===答：（1）S 关于 的函数表达式为433cos 3()2S a α-=+，且2(,)33ππα∈；（2）当5510AD +=时S 最小. 4.（2018·扬州期末·17）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。
经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即∠POQ ）为32π、半径为1千米。
为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S 。
设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： (2) 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.【答案】解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN .在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS=α，所以SM =tan α， 在RTOSN 中，∠NOS=23πα-，所以SN=2tan()3πα-， 所以223(tan 1)tan tan()33tan 1MN παααα+=+-=- .………4分 其中62ππα<<..………6分⑵ 因为62ππα<<10α->，令10tα=->，则tan (1)3t α=+，所以4(2)3MNt t=++， . .………8分由基本不等式得2)3MN ≥⋅=， ………10分 当且仅当4t t=即2t =时取“=” . .………12分此时tan α=62ππα<<，故3πα=. . .………13分答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=，其中62ππα<<⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为 .. .………14分注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分5.（2018·常州期末·17）已知小明（如图中AB 所示）身高米，路灯OM 高米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3π1=∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．【答案】解：（1）由题意AB OM ∥，' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为226327()πππ⨯-⨯=平方米；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知000'12A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-⋅∠，化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2327()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32t =时，()f t 的最小值为33， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为332（米）．6.（2018·南京盐城期末·17）.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？（第17C B E FOE F M【答案】解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin1203323R R ππ=-︒=-. ……………4 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=16433π-.答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积 为16433π-立方分米. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(3)323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(23)(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分 x (0,2)2(2,3)()f x ' ＋ 0 － ()f x增极大值减A B EG FOM N H T答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分7.（2018·苏州期末·17）如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100km ，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2αθ<≤，其中锐角α的正切值为12）航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C ．已知船速为25km/h ，车速为75km/h .（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=︒-，50AB =，则5050cos(90)sin AP θθ==︒-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθθθθ︒-=︒-==︒-． 50cos 100100sin PC BP θθ=-=-． ················································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分）由A 到P 所用的时间为1225sin AP t θ==， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θθθθ-==-， ················· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为12242cos 62cos 4()sin 33sin 3sin 3t f t θθθθθθ-==+=++-． ··························· 8分 函数()f θ的定义域为(,]2απ，其中锐角α的正切值为12.（2）由（1），62cos 4()3sin 3f θθθ-=+，(,]2θαπ∈，A2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=，令()0f θ'=，解得1cos 3θ=，························ 10分 设θ0(0,)2π，使01cos 3θ=θ 0(,)αθθ0 0(,)2θπ ()f θ' - 0 + ()f θ 减函数 极小值 增函数 ························································································ 12分 所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =0050cos 252sin 2θθ=≈ km ， 答：在BC 上选择距离B 为 km 处为登陆点，所用时间最少． ······· 14分 （注：结果保留根号，不扣分）8.（2018·苏北四市期末·17）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．【答案】（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分A BC OA B C O θ 图1 图2 （第17 DθA BCOE（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<<则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<所以()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x 在x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， (11)分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为．…………14分。