第二十一章《代数方程》复习
沪教版八年级下-第二十一章--《代数方程》全章复习与巩固知识讲解--讲义
《代数方程》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。
【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 注：①n5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
2022年强化训练沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程章节练习试题(含答案解析)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，购进B种书包用了600元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（）A．81060010%20x x=⨯+B．()810600110%20x x=-+C．60081010%20x x=⨯+D．()()81060020110%xx x=⨯+-2、若关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，且关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．﹣6 B．0 C．4 D．123、八年级学生去距学校15km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了30min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车同学的速度为x千米/时，则所列方程时（）A．1515302x x+=B．1515302x x-=C ．1511522x x +=D ．1511522x x-= 4、设甲、乙、丙为三个连续的正偶数，已知甲的倒数与丙的倒数的2倍之和等于乙的倒数的3倍，设乙为x ，所列方程正确的是（ ）A ．12311x x x+=-+ B ．12322x x x +=+- C ．12322x x x +=-+ D ．12311x x x +=+- 5、若整数a 使关于x 的不等式组2062x a x x->⎧⎨->⎩有解，且最多有2个整数解，且使关于y 的分式方程2ay y +-412y=-的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．26、已知关于x 的分式方程3x m x +-﹣1＝1x 无解，则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．﹣2或﹣3 D ．0或37、某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x 天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）A ．12001200302x x=-- B ．12001200302x x =-+ C ．12001200302x x =-+ D ．12001200302x x =-- 8、在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高?设它的下部设计高度为x m ，根据题意，列方程正确的是（ ）A ．()233x x =-B ．()233x x =-C ．23x =D ．23x x =-9、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，设乙队单独完成总工程共需x 个月，列方程正确的是（ ）A ．111132x ++=B ．11111332x+⨯+= C ．1111()1332x ++⨯= D ．11111332x ++⨯= 10、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）和y ＝mx +n （m ≠0）相交于点(2，﹣1)，则关于x ，y 的方程组kx y b mx n y =-⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩ 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生增根，则k 的值为__________． 2、若关于x 的一元一次不等式组()213212x x x a ⎧-≤-⎪⎨-≥⎪⎩的解集为x ≥5，且关于y 的分式方程122+=---y a y y有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 ___． 3、当m =__时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根． 4、代数式22231x x x ---的值等于0，则x =________．5、如图，已知一次函数y ＝－53x ＋6的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A 、B ，与一次函数y ＝13x 的图像相交于点C ，若点Q 在直线AB 上，且△OCQ 的面积等于12，则点Q 的坐标为__________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．解答下面的问题： （1）猜想并写()11n n =+ ． （2）求111112233420202021+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值． （3）探究并解方程：()()()()()211133366918x x x x x x x ++=++++++．2、列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？3、解答：（1021(2()2--+．（2）解分式方程：2411x x x+=--． 4、在《开学第一课》中，东京奥运会的奥运健儿们向新开学的同学们送上了“希望你们能像运动员一样，努力奔跑，刻苦学习，实现你们的梦想”的祝福．为了提高学生的体育锻炼的意识和能力，丰富学生的体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品． 在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，求甲乙两种跳绳的单价各是多少元？5、随着元旦的到来，某超市购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多10元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该超市购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为80元，乙种商品的销售单价为90元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的八折销售；乙种商品销售单价保持不变，要使两种商品全部售完后共获利不少于2160元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？-参考答案-一、单选题1、B【分析】设文具店购进B 种款式的笔袋x 个，则购进A 种款式的笔袋（x ＋20）个，根据单价＝总价÷数量结合A 种笔袋的单价比B 种袋的单价低10%，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设文具店购进B 种款式的笔袋x 个，则购进A 种款式的笔袋（x ＋20）个， 依题意，得：()810600110%20x x=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．2、D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出积即可．【详解】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩，∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，∴2a+2≤8，即a≤3，解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+，∵关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数，∴22a+≥0，且22a+≠1，解得，a≥﹣2，且a≠0，∴﹣2≤a≤3，且a≠0，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2或3，∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3、C【分析】设骑车同学的速度为x千米/时，汽车的速度是2x千米/时，根据同时到达列出方程即可．【详解】解：设骑车同学的速度为x千米/时，汽车的速度是2x千米/时，根据题意列方程得，1511522x x+=，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，列出方程，注意单位转换．4、C【分析】因为甲、乙、丙为三个连续的正偶数，设乙为x，则甲为2x-，丙为2x+，然后根据已知甲的倒数与丙的倒数的2倍之和等于乙的倒数的3倍列出方程即可．【详解】解：∵甲、乙、丙为三个连续的正偶数，∴设乙为x，则甲为2x-，丙为2x+，根据题意得：12322x x x+=-+，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系是解决本题的关键．5、D【分析】根据题意先解不等式，确定a 的范围，进而根据分式方程的解为整数，确定a 的值，再求其和即可．【详解】解：2062x a x x ->⎧⎨->⎩①② 解不等式①得：2ax >解不等式②得：2x < 不等式组有解，则22a x <<且最多有2个整数解，则122a -≤< 解得24a -≤<2,1,0,1,2,3a ∴=--分式方程去分母得：42ay y -=- 解得21y a =- 分式方程2ay y +-412y=-的解为整数， 21a ∴-是整数，且2,10y a ≠-≠ 2,1,2a ∴≠-1,0,3a ∴=-1032∴-++=即符合条件的所有整数a 的和为2，故选D【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．【详解】解：两边都乘以x （x ﹣3），得：x （x +m ）﹣x （x ﹣3）＝x ﹣3，整理，得：（m +2）x ＝﹣3， 解得：32x m =-+， ①当m +2＝0，即m ＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x 的分式方程3x m x +-﹣1＝1x 无解， ∴302m -=+或332m -=+， 即无解或3（m +2）＝﹣3，解得m ＝﹣2或﹣3．∴m 的值是﹣2或﹣3．故选C ．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．7、A【分析】根据工作效率=工作总量÷时间结合采用新技术后每天多生产30套，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：依题意，得：12001200302x x=--，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8、B【分析】设它的下部设计高度为x m，则上部为3x-米，根据题意列方程化简即可．【详解】解：设它的下部设计高度为x m，则上部为3x-米，根据题意可得：33x xx-=，化简可得()233x x=-故选B【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程．9、C【分析】设乙队单独施1个月能完成总工程的1x，根据甲队完成的任务量+乙队完成的任务量=总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的1x，根据题意得：即1111()1332x ++⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10、B【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】解：∵一次函数y =kx +b 和y =mx +n 相交于点（2，-1），∴关于x 、y 的方程组kx y b mx n y =-⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=-⎩． 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．二、填空题1、3【分析】将分式方程化为整式方程，再将分式方程的增根代入整式方程计算即可求解．【详解】方程两边同乘以(3)x -，得2(3)x x k =-+，当30x -=时，3x =，∴关于x 的方程233x k x x =+--的增根为3x =， 当3x =时，32(33)k =⨯-+，解得3k =故答案为：3．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，求解方程的增根是解题的关键．2、−2【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x ≥5，列出不等式求得a 的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且y −2≠0列出不等式，求得a 的范围；综上所述，求得a 的范围．根据a 为整数，求出a 的值，最后求和即可．【详解】解：()213212x x x a ⎧-≤-⎪⎨-≥⎪⎩①②， 解不等式①得：x ≥5，解不等式②得：x ≥a ＋2，∵解集为x ≥5，∴a ＋2≤5，∴a ≤3；分式方程两边都乘以（y −2）得：y −a ＝−（y −2），解得：y ＝22a +， ∵分式方程有非负整数解， ∴22a +≥0，22a +为整数，∴a ≥−2，a 为偶数， ∵22a +≠2， ∴a ≠2，综上所述，−2≤a ≤3且a ≠2且a 为偶数，∴符合条件的所有整数a 的数有：−2，0，和为−2＋0＝−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时一定记得要检验． 3、6或4-【分析】先将分式方程化为整式方程，再求得分式方程的增根，然后求解m 即可．【详解】解：方程两边都乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-，最简公分母为(2)(2)x x +-，∴原方程增根为2x =-或2，∴把2x =-代入整式方程，得212m -=-，解得6m =；把2x =代入整式方程，得820m +=，解得4m =-．故答案为：6或4-．【点睛】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根，掌握分式方程的增根是解题的关键．4、3【分析】根据题意建立分式方程，求解并检验即可．【详解】 解：由题意，222301x x x --=-， 左右同乘21x -，得：2230x x --=，()()310x x -+=，解得：3x =或1x =-，检验：当3x =时，210x -≠；当1x =-时，210x -=，则舍去；故答案为：3．【点睛】本题考查可化为一元二次方程的分式方程，理解题意，准确建立分式方程求解并检验是解题关键．5、（－1，233）（7，－173） 【分析】根据题意联立两个一次函数可确定点C 的坐标，然后确定点A 、点B 的坐标，分两种情况讨论：①当点Q 位于线段BC 上时，设5,63Q a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求得S SSSS =9<12，由此可得点Q 必在点B 左侧，即0a <，可得+12==OCQ BOC BOQ S S S ，代入求解即可得点Q 的坐标；②当点Q 位于C 点右侧时，设5,63Q b b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据图形可得12=+=OCQ AOC AOQ S S S ，代入求解即可得点Q 的坐标．【详解】解：根据题意分两种情况进行讨论，56313y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：31x y =⎧⎨=⎩， ∴()3,1C ，令0y =代入563y x =-+得：18,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令0x =代入563y x =-+得：()0,6B ，①当点Q 位于线段BC 上时，如图即点Q 的位置，设5,63Q a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， S SSSS =12×6×3=9<12，∴点Q 必在点B 左侧，即0a <，+12==OCQ BOC BOQS S S ， 11+1222⨯⨯⨯⨯=C Q BO x BO x ， 1163+61222⨯⨯⨯⨯=a ， 解得：1=a ，∴1a =-， 则523633a -+=， ∴231,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当点Q 位于C 点右侧时，如图即点Q 的位置，设5,63Q b b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 12=+=OCQ AOC AOQ S S S ，111222C Q AO y AO y ⨯⨯+⨯⨯=， 1181185161225253b ⨯⨯+⨯⨯-+=， 解得：7b =， 则517633b -+=-， ∴177,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 综上可得：231,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭或177,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：231,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭或177,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】题目主要考查一次函数的性质及与二元一次方程组的联系，三角形动点问题，理解题意，作出相应图形结合一次函数性质是解题关键．三、解答题1、（1）111n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭；（2）20202021；（3）2x = 【分析】（1）根据材料可直接得出答案；（2）根据（1）的规律，将算式写出差的形式，计算即可；（3）先按照（1）的结论进行化简，再解分式方程，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，可知：()11111n n n n =-++； 故答案为：111n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭； （2）由（1）可知，111112233420202021+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ =1111111(1)()()()2233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =111111112233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =112021-=20202021；（3）由（1）可知，()()()()()211133366918x x x x x x x ++=++++++， ∴211111113()33366918x x x x x x x -+-+-=++++++， ∴21113()3918xx x -=++， ∴2119918x x x -=++， ∴299(9)18x x x =++， ∴22918x x x +=+，∴2x =；经检验，2x =是原分式方程的解．∴2x =．【点睛】本题考查了解分式方程以及有理数的混合运算，掌握分式方程的解法是解题的关键．2、约为1.5吨【分析】设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨 由题意，得15021620 1.2x x+=．解得 1.5x =． 经检验， 1.5x =是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．3、（1（2）23x =【分析】（1）根据二次根式、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可得答案；（2）方程两边同时乘以最简公分母（x ﹣1），将方程去分母转化为整式方程，解方程后检验即可得答案．（1）021(2()2-+14+3．（2）2411x x x+=-- 方程两边同乘（x ﹣1）得：24(1)x x -=-，去括号得：244x x -=-，移项、合并得：﹣3x ＝﹣2，解得：x ＝23，经检验x ＝23是原方程的解，∴原方程的解为x ＝23．【点睛】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂的运算及解分式方程，熟练掌握运算法则及解分式方程的步骤是解题关键．4、乙种跳绳的单价为42元，甲种跳绳的单价为32元【分析】设乙种跳绳的单价为x 元，则甲种跳绳的单价为(10)x -元，根据题意列出方程求解即可【详解】设乙种跳绳的单价为x 元，则甲种跳绳的单价为(10)x -元， 依据题意列出方程为：1600210010x x =-， 解得：42x =，经检验：42x =是所列方程的解，并且符合实际意义，∴1032x -=，答：乙种跳绳的单价为42元，则甲种跳绳的单价为32元．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，分式方程注意检验．5、（1）甲种商品的每件进价为50元，乙种商品的每件进价为60元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售25件【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为()x 10+元，根据购进两种商品件数相同列分式方程即可得答案；（2）先求出两种商品的数量，根据商品全部售完后共获利不少于2160元列不等式即可得答案．【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x 元，乙种商品的每件进价为()10x +元， 依题意，得：2000240010x x =+， 解得：50x =，经检验，50x =是原分式方程的解，且符合题意，1060x ∴+=，答：甲种商品的每件进价为50元，乙种商品的每件进价为60元；（2）甲商品的购进数量为20005040÷=（件），乙商品的购进数量为24006040÷=（件），设甲种商品按原销售单价销售了m 件，依题意，得：80800.8(40)9040200024002160m m +⨯-+⨯--≥，解得：25m ≥，答：甲种商品按原销售单价至少销售25件．【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，正确找出等量关系及不等关系是解题关键．。
第二十一章《代数方程》复习
7、二元二次方程（组）
二·一型二元二次方程组
代入消元法
x 2y 5 x 2 y 2 13 ( 2) (3) (1) 2 2 2 xy 1 0 x y y x 1
xy 6 x y 5二·二型二元二次方程组
2 2 x y 5 2 2 x 3 xy 2 y 0
3
4
( 3) x x ×
5
(√ 4) 7 x 1
2
二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未 知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那 么这样的方程叫做二项方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是无理方程？
(1)
x3
1
x (2) －1 0 x－ 2 3 －1
x
2
x (3) 3 x 1
4、用换元法解分式方程
平方关系或倒数关系
解方程：
5x x (1) 6 0 x 1 x 1
2
3x x 1 7 (2) 2 x 1 x 2
2
5、无理方程的解法
3 2x 3 x
不是
解无理方程的一般步骤：
开始
去根号
解有理方程
检验
是
舍去
写出原方程的根 具体方法:平方法
1 4 1 2 y－2 4－y
3、“去分母”解分式方程的解法
解分式方程的基本思路是：
通过“去分母”将分式方程转化为整式方程 舍去 解分式方程的一般步骤： 分式方程 同乘以最简公分母
使最简公分母为零
整式方程 写出方程的根
检验
使最简公分母不为零
去分母的关键是确定最简公分母，
在转化过程中要注意不要漏乘，不忘检验。
2022年必考点解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析试题(精选)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若关于x 的不等式组4331523m x x x ->-⎧⎪-+-⎨≤⎪⎩有且仅有3个整数解，且关于y 的分式方程2622my y y y -++--＝﹣2的解是整数，则所有满足条件的整数m 的值之和是（ ）A ．5B ．6C ．9D ．102、某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ）A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x =-+ D ．10801080615x x =++ 3、已知关于x 的分式方程22x m x +-＝3的解是x ＝3，则m 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．﹣1 D ．14、给出下列说法：①直线24y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()1,2；②一次函数y kx b =+，若0k >，0b <，那么它的图象过第一、二、三象限；③函数6y x =-是一次函数，且y 随x 增大而减小；④已知一次函数的图象与直线1y x =-+平行，且过点()8,2，那么此一次函数的解析式为6y x =-+；⑤直线1y kx k =+-必经过点()1,1--．其中正确的有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5、下列方程中：（1）410x +=；（2）0n ax b +=；（3）40x x +=；（4）51x x +=；是二项方程的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46、下列方程是二项方程的是（ ）A ．0n ax b +=B ．2280x +=C ．40x x +=D ．220x =7、在2020年3月底新过师炎疫情在我国得到快速控制，教育部要求低风险区错时、错峰开学，某校在只有初三年级开学时，一段时间用掉120瓶消毒液，在初二、初一年级也错时、错峰开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒液比原来少用5天，若设原来平均每天用掉x 瓶消毒液，则可列方程是（ ）A ．12012054x x -=+ B ．12012054x x -=- C ．12012054x x +=+ D ．12012054x x +=- 8、宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为x 千米，则可列方程为（ ）A ．35357(120%)x x-=+ B ．35357(120%)x x -=+ C ．3535720%x x -= D ．117(120%)x x +=+ 9、张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A．1515112x x-=+B．1515112x x-=+C．1515112x x-=-D．1515112x x-=-10、直线y＝kx＋1与y＝x﹣1平行，则y＝kx＋1的图象经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、根据平面直角坐标系中的函数图象判断方程组0.5 1.512y xy x=-+⎧⎨+=⎩的解为____．2、开学在即，由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍，则第二次购买口罩的单价是 __元．3、已知210a a--=，且4232232324a xaa xa a-+=+-，则x=______．4、一个分数的分子比分母少6，如果分子分母都加1，则这个分数的值等于14，则这个分数为________．5、甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x 个零件，则可列方程______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）化简：()()11y y +--（2（3）解分式方程：13211x x -=-- 2、某工厂生产A ，B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%，清扫2100m 所用的时间，A 型机器人比B 型机器人多用40分钟．求A 型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？3、对于任意两个非零实数a ，b ，定义运算⊗如下：()()00a a a b b a b a ⎧>⎪⊗=⎨⎪+<⎩． 如：2233⊗=，()23231-⊗=-+=． 根据上述定义，解决下列问题：（1=，(= ；（2）如果()()2211x x x +⊗-=，那么x ＝ ； （3）如果()()232x x x -⊗=-⊗，求x 的值．4、如图，函数y ＝2x 和y ＝－23x ＋4的图象相交于点A .(1)求点A 的坐标；(2)根据图象，直接写出不等式2x≥－23x＋4的解集．5、随着元旦的到来，某超市准备在元旦期间推出甲、乙两种商品，甲型的售价是乙型的34．（1）元旦第一周该商家两种商品的总销售额为3600元，乙商品的销售额是甲商品的2倍，销售量比甲商品多40件，求甲商品销售了多少件？（2）为增加销量，该商家第二周决定将乙商品的售价下调12a％，甲商品的售价保持不变，结果与第一周相比，乙商品的销量增加了2a％，甲商品的销量增加了a％，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了1615a％，求a的值．-参考答案-一、单选题1、A【分析】先解不等式组，根据不等式组有3个整数解可以确定m的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是整数在取值范围内找到符合条件整数m，再根据增根排除掉使分母为0的根，从而可得答案．【详解】解：4331523m xx x->-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩①②解不等式①得34mx+ <，解不等式②得1x≥-,∵不等式组仅有三个整数解，∴3124m+<≤，即15m<≤，所以，m的整数值为2、3、4、5解2622my y y y-++--＝﹣2， 方程两边乘以2y -得：2624my y y ---=-+ 移项合并同类项得121y m =+， ∵方程的解是整数， ∴整数2m =或3m =或5m =，∵20y -=时方程有增根，∴5m ≠，∴2m =或3m =，满足条件的整数m 的值之和是5．故选：A ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解集，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．2、C【分析】设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书(x 15+)本，所用A 型包装箱的数量=所用B 型包装箱的数量-6，列分式方程10801080615x x=-+即可． 【详解】解：设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书(x 15+)本， 根据题意，得：10801080615x x =-+， 故选：C ．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出等量关系．3、B【分析】将x＝3代入分式方程中进行求解即可．【详解】解：把x＝3代入关于x的分式方程22x mx+-＝3得：23332m⨯+=-，解得：m＝﹣3，故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，一般直接将解代入分式方程进行求解．4、B【分析】联立241y xy x=-+⎧⎨=+⎩，求出交点坐标即可判断①；根据一次函数图像与系数的关系即可判断②③；可设一次函数的解析式为y x b=-+，然后求出解析式即可判断④；根据一次函数解析式可化为()11y k x=+-，即可判断⑤．【详解】解：联立241y xy x=-+⎧⎨=+⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，∴直线24y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()1,2，故①正确；∵一次函数y kx b =+，若0k >，0b <，∴它的图象过第一、三、四象限，故②错误；∵函数6y x =-是一次函数，且y 随x 增大而减小，∴③正确；∵一次函数的图象与直线1y x =-+平行，∴可设一次函数的解析式为y x b =-+，∵一次函数经过点()8,2，∴28b =-+，∴10b =，∴一次函数解析式为10y x =-+，故④错误；∵直线的解析式为1y kx k =+-，即()11y k x =+-∴直线1y kx k =+-必经过点()1,1--，故⑤正确；故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数图像，求两直线的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、A【分析】根据两项方程的定义直接判断得结论．【详解】解：（1）410x+=，符合二项方程的定义；（2）0n+=，当a=0时，不符合二项方程的定义；ax b（3）40+=，两项都含有未知数，不符合二项方程的定义；x x（4）51x x+=，有三项，不具备二项方程的定义，综上，只有（1）符合二项方程的条件，共1个．故选：A．【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下几个基本条件：（1）整式方程，（2）方程共两项，（3）两项中一项含有未知数，一项是常数项．6、B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A. 0n+=，当a=0时，不是二项方程，不合题意；ax bB. 2x+=，是二项方程，符合题意；280C. 40+=，不含常数项，不是二项方程，不合题意；x xD. 2x=，不含常数项，不是二项方程，不合题意．20故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．7、A【分析】根据天数比原来少用5天建立等量关系．【详解】设原来平均每天用x瓶消毒液，则原来能用120x天现在每天用x+4瓶消毒液，则现在能用1204x+天，再根据少用5天得到等量关系：12012054 x x-=+故选A．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，找到等量关系是本题的解题关键．8、B【分析】设原计划每天铺设管道的长度为x千米，要铺设一条长35千米的管道除以原计划每天铺设管道的长度x千米-要铺设一条长35千米的管道除以实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%=7，列分式方程求解即可．【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为35357(120%)x x-=+．故选择B．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．9、B【分析】根据关键描述语是：“比李老师早到半小时”；等量关系为：李老师所用时间﹣张老师所用时间＝12．即可列出方程．【详解】解：李老师所用时间为：15x ，张老师所用的时间为：151x+．所列方程为：1515112x x-=+．故选：B．【点睛】此题主要考查列分式方程，由题意可知未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．10、A【分析】根据两直线平行得到k＝1，然后根据一次函数图象与系数的关系判断y＝k x＋1的图象经过的象限．【详解】解：∵直线y＝kx＋1与y＝x−1平行，∴k＝1，即直线y＝kx＋1的解析式为y＝x＋1，∴y＝kx＋1的图象经过第一、二、三象限．故选：A．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．同时考查了一次函数图象与系数的关系．二、填空题1、11 xy=⎧⎨=⎩【分析】根据图象得出函数y＝−0.5x＋1.5与y＝2x−1的图象的交点坐标为（1，1），从而求得方程组的解．【详解】解：∵根据图象可知交点为（1，1），所以，方程组0.5 1.512y xy x=-+⎧⎨+=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，故答案为：11xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．2、109【分析】设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.5x元，根据两次购买口罩的费用相同，两次购进口罩6000个，列出方程求解即可．【详解】解：8000÷2＝4000（元）．设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.5x元，依题意得：40001.5x+4000x＝6000，解得：x＝109，经检验，x ＝109是原方程的解，且符合题意． 故答案为：109． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找出等量关系列方程． 3、76【分析】先根据a 2-a -1=0，得出a 2，a 3，a 4的值，然后将方程左边分式化简，再解方程求解即可．【详解】解：由题意可得a 2−a −1=0，∴a 2=a +1，∴a 4=(a 2)2=(a +1)2=a 2+2a +1=a +1+2a +1=3a +2，a 3=a ⋅a 2=a (a +1)=a 2+a =a +1+a =2a +1， ∵4232232324a xa a xa a -+=+-， ∴22643232124a a a a x x a +-+=++-， ()()()613131214a a a x x a +-+∴=+++， ()()()()16331124a a x x +-∴=++（a +1≠0）， ()()633124x x -∴=+， 去分母得()()463312x x -=+ ，∴1821x = ，76x ∴=， 检验：76x =，()4120x +≠， ∴76x =是原方程的根， 故答案为： 76．【点睛】本题主要考查了分式化简，解分式方程，通知所学知识对a 2，a 3，a 4进行变形是解题的关键． 4、17【分析】设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据“分子分母都加1，则这个分数的值等于14，”可列出方程，解出即可．【详解】解：设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据题意得：11614x x +=++ ， 解得：1x = ，经检验：1x =是原方程的解，且符合题意， ∴这个分数为116167x x ==++ ． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5、360480140x x=- 【分析】设甲每天做x 个零件，则乙每天做()140x - 个零件，根据“甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，”列出方程，即可求解．【详解】解：设甲每天做x 个零件，则乙每天做()140x - 个零件，根据题意得：360480140x x=- ． 故答案为：360480140x x=- 【点睛】 本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．三、解答题1、（1）-y 2-2y -1；（2）（3）x =3 【分析】（1）变形后根据完全平方公式计算；（2）先逐项化简，再合并同类二次根式；（3）两边都乘以x -1，化为整式方程求解，再检验．【详解】解：（1）()()11y y +-- =-()()1+1y y +=-()21y+=-y2-2y-1；（2==（3）13211x x-=--两边都乘以x-1，得1-2(x-1)=-3，1-2x+2=-3，解得x=3，检验：当x=3时，x-1≠0，∴x=3是分式方程的解．【点睛】本题考查了全平方公式，二次根式的加减混合运算，以及解分式方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．2、A型号扫地机器人每小时清扫面积250m．【分析】设A型号扫地机器人每小时清扫面积2xm，则B型号扫地机器人每小时清扫面积21.5xm，根据题意列出方程求解即可得，注意对分式方程的解进行检验．【详解】解：设A型号扫地机器人每小时清扫面积2xm，则B型号扫地机器人每小时清扫面积21.5xm，40分钟23=小时，根据题意可得： 10010021.53x x -=， 解得：50x =，检验：当50x =时，1.50x ≠，∴50x =为分式方程的解，∴A 型号扫地机器人每小时清扫面积250m ．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解题关键．3、（10；（2）1-；（3）1x =±．【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解；（2）根据210x +＞得到221=1x x x +-，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到()2x -⊗=-2+x ，对23x -分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解．【详解】解：（10，0，=(=0=，，0；（2）∵210x +＞，∴()()221x x x +⊗-=221=1x x x+-， ∴ 22+1=x x x -，解得1x =-，经检验，1x =-是方程221=1x x x+-的解， 故答案为：-1；（3）∵-2＜0，∴()2x -⊗=-2+x ．①当230x ->时，232x x x-=-+， 解得：32x =， 经检验32x =是原方程的解，但不符合230x ->， ∴32x =舍去． ②当230x -<时，232x x x -+=-+，解得：1x =±．经检验1x =±是原方程的解，且符合230x -<．∴1x =±．【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论．4、 (1) (32，3)；(2) x ≥32. 【分析】（1）联立两直线解析式，解方程组即可得到点A 的坐标；（2）根据图形，找出点A 右边的部分的x 的取值范围即可．【详解】(1)由题意得2,24,3y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得3,23.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴点A 的坐标为(32，3)； (2)由图象得不等式2x ≥－23x ＋4的解集为x ≥32. 【点睛】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，以及利用函数图象解一元一次不等式，求不等式解集的关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．5、（1）80件；（2）40【分析】（1）先求得第一周甲乙商品的销售额，设甲商品销售了x 件，则乙商品销售了()40x +件，根据题意列方程求解即可；（2）先求得第一周甲乙商品的销售单价，根据题意列方程求解即可．【详解】解：（1）第一周甲商品的销售额为()3600121200÷+=（元），第一周乙商品的销售额为120022400⨯=（元）．设甲商品销售了x 件，则乙商品销售了()40x +件， 依题意，得：120032400440x x =⨯+，解得：80x =， 经检验，80x =是原方程的解，且符合题意．答：甲商品销售了80件．（2）第一周甲商品的销售单价为12008015÷=（元），第一周乙商品的销售单价为()2400804020÷+=（元）． 依题意，得：()()()1201804012158012a a a ⎛⎫-⨯+++⨯+ ⎪⎝⎭％％％ 163600115a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭％ 整理，得：20.249.60a a -=，解得：140a =，20a =（不合题意，舍去）．答：a 的值为40．【点睛】本题考查分式方程及一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．。
代数方程复习(教师版讲义)
基本内容 代数方程复习知识精要一、基本概念：一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。
其一般式为Ax^n+b=0(其中a ≠0, b ≠0,n 为正整数).双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a ≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.二、整式方程的解法1. 一元一次方程和一元二次方程的解法2. 含字母系数的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n的解法二项方程的定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n可变形为ab x n-= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x 的双二次方程的一般形式是)0(024≠=++a c bx ax 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如)0,0,0(024≠≠≠=++c b a c bx ax 的双二次方程。
就是用y 代替方程中的x 2，同时用y 2代替x 4，将方程转化为关于y 的一元二次方程ay 2+by +c =0。
第二十一章代数方程复习
4.检验 把解得的无理方程的根代入原方程检验，既 要看每一个根式是否有意义，同时还要看方程的 左右两边是否相等，只有同时满足以上两点的根 才是原方程的根，否则是增根。
1.解方程
(1) x
x2 2 2x 1 0 x 2 3x 5
(2) x 5
两边平方法
(3) x 2 3 x 1 x2 (5) x 1 9 (6) 1 x
此方程两边 分子中的X 能约去吗？
2x x 解： 2x 1 x 2 2 1 2x 1 x 2
2 x x 2 x 2 x 1
2x 4x 2x x 解得x 0 是原方程的根
2x 4 2x 1
∴此方程无解
说明：解方程时若等式两边含有未知数的
分类讨论
3.一元二次方程及其解法 (1)一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0). (2)一元二次方程的四种解法： ①直接开平方法：形如 x2=k(k≥0)的形式均可用此法求 .
②配方法：要先化二次项系数为 1 ，然后方程两边同加 上一次项系数的一半的平方，配成左边是完全平方，右 边是常数的形式，然后用直接开平方法求解.
行程问题:
1、基本数量关系：速度× 时间＝路程 2、相遇问题：速度和× 时间＝相遇路程 3、追及问题：速度差× 时间＝追及路程 4、顺逆流问题：顺速＝静速﹢ 水速 逆速＝静速 - 水速
工程问题:
工作效率× 工作时间 ＝工作总量
增长率问题：
初值×（1+增长率）
增长次数
＝终值
握手问题
握手人数×（握手人数-1)×(1/2)=握手次数
例4： 在抗击“非典”的过程中，某厂甲、乙
两名工人按上级指示同时做一批等数量的防护 服，开始时，乙比甲每天少做3件，到甲乙两 人都剩下90件时，乙比甲多做了1天，这时甲 的工作效率不变，乙的比原来每天多做了6件， 这样甲乙两人刚好用相同的时间完成了任务， 求甲乙两人原来每天各做多少件防护服？
第二十一章 代数方程(综合能力提升卷)(原卷版)
【高效培优】2021—2022学年沪教版八年级数学下册轻松冲刺学神考霸必刷卷【单元测试】第二十一章 代数方程（综合能力提升卷）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满分100分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·福建福州·九年级期末）关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥0B ．a ＜2C ．a ≥0且a ≠1D ．a ≤2且a ≠12．（2022·黑龙江道里·九年级期末）方程13151x x =+-的解为（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝43．（2022·四川凉山·八年级期末）已知关于x 的分式方程2-2124x mxx x -=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或－8 C ．－8 D ．0或－8或－44．（2022·河南·郑州市第三中学八年级期末）已知函数3y ax =-和y kx = 的图象交于点P （-2，-1），则关于x ，y 的二元一次方程组3y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解是（ ）A ．21x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =-⎧⎨=-⎩C ．21x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩5．（2021·山东·日照港中学八年级期末）已知关于x 的分式方程3111m x x+=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >B ．2m ≥C ．2m ≥且3m ≠D ．2m >且3m ≠6．（2021·上海市第四中学八年级期中）下列方程中，无理方程是（ ）A 0x =B ．20x =C ．20D 0=7．（2021·上海闵行·八年级期末）如果关于x x =有实数根1x =，那么m 的值是（ ）A ．1-B ．13C ．0D ．28．（2022·上海闵行·八年级期末）下列方程中，判断中错误的是（ ）A ．方程20316x xx +-=+是分式方程 B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程9．（2022·山东广饶·期末）某企业车间生产一种零件，3位工人同时生产，1位工人恰好能完成组装，若车间共有工人60人，如何分配工人才能使生产的零件及时组装好．设分配x 名工人生产，由题意列方程，下列选项错误的是（ ）A ．x+3x=60B ．1603x x -= C ．6013x x -= D ．x=3（60-x ）10．（2022·陕西省汉阴县初级中学八年级期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A —B —C 横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC 路段，其中通过BC 路段的速度是通过AB 路段速度的1.2倍，则小敏通过AB 路段时的速度是（ ）A ．0.5米/秒B ．1米/秒C ．1.5米/秒D ．2米/秒二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
第二十一章《代数方程》复习教学提纲
（3）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独 修建比乙工程队单独修建多用10天，甲工程 队每天比乙工程队少修建6米，求甲、乙两个 工程队每天各修建多少米？
（4）有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合做，要 12个月完成；若甲队先做5个月，余下部分再由甲、 乙两队合做，还要9个月才能完成，求甲、乙两工程 队单独完成此项工程各需要多少个月？
13(2)
y x1
xx22yy252xy1(3)0xxyy6 5
二·二型二元二次方程组 因式分解法（降次）
x2 y2 5 x2 3xy 2y2 0
x2 9y2 0
x2
2xy
y2
4
8、列方程（组）解应用题
找等量 审题 设元 关系 列方程
解方程
①检验是否是所列方程的解 ②检验是否符合实际意义
(√1) 2x3 16 0 (√2) x 4 16
(×3) x 5 x
(√4) 7 x2 1
解方程： (1) 2(1x)3 540
(2) 81(x2)40 2
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是无理方程？
(1) x3 1
(3) x 3 x 1
(2) x－ x2 2 3x－1－10
(4) 1 2 3x
1
(1)
20 无 5x2
(2)
3x2 27无
(3) x1 2x0 无
(4) x3 2x1无 (5) x －x 有
(6) x2312无 (7) x3 2x 无
1、字母系数方程的讨论
解方b程 2x1： 1x2 (b1)
2、特殊高次方程的解法
一般地,二项方程 a x n b 0 ( a 0 ,b 0 ,n 是 正 整 数 ) 可转化为 x n b ,转化为求一个数的n次方根
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第二十一章《代数方程》
复 习
一元方程 整式方程
字母方程 二项方程
代 数 方 程
有理方程
二元二次方程组
分式方程 无理方程 列方程（组）解应用题
化归思想
分式化整式； 化整式的方法：去分母，换元 无理化有理；
化有理方程的方法：两边平方法
二元化一元： 代入消元 ，因式分解
下列方程中，哪些是二项方程？
3y 2 √ ( 4) 2 x x 2
x5 y (5) × 3x y 1
不解方程，判断下列方程有没有实数解？
(1)
(3)
1 20 5x 2
无
(2)
无 无
3 x 2 7无
2Байду номын сангаас
x 1 2 x 0
(4)
x 3 2 x 1
结束
无理方程有理化
体现的数学思想：化归思想
6、有关增根的问题
增根产生的原因：
在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或 有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根
如何检验是否增根
将解分式方程转化成整式方程的根代入最简公分母，若使 最简公分母为零的根为原方程的增根，否则为原方程的根 将解无理方程转化成有理方程的根代入原方程的左右两边， 若使方程左右两边的值不相等的根为增根，否则为方程的根
（2）已知某工程由甲、乙两队合作12天可以完成， 乙队单独完成这项工程所需的时间是甲队单独完 成这项工程所需时间的2倍少10天，求甲、乙两 队单独完成这项工程分别需要多少天？
（3）修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独
修建比乙工程队单独修建多用10天，甲工程
队每天比乙工程队少修建6米，求甲、乙两个 工程队每天各修建多少米？
2) x 16 ( 1) 2 x 16 0 ( √ √
3
4
( 3) x x ×
5
(√ 4) 7 x 1
2
3
解方程：
(1) 2(1 x) 54 0
1 4 (2) 8 ( x 2) 0 2
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是无理方程？
(1)
x3
1
x (2) －1 0 x－ 2 3 －1
n
1 4 1 2 y－2 4－y
3、分式方程的解法
解分式方程的基本思路是：
通过“去分母”将分式方程转化为整式方程 舍去 解分式方程的一般步骤： 分式方程 同乘以最简公分母
使最简公分母为零
整式方程 写出方程的根
检验
使最简公分母不为零
去分母的关键是确定最简公分母，
在转化过程中要注意不要漏乘，不忘检验。
4、用换元法解分式方程
平方关系或倒数关系
解方程：
5x x (1) 6 0 x 1 x 1
2
3x x 1 7 (2) 2 x 1 x 2
2
5、无理方程的解法
解无理方程的一般步骤：
x 5－ 2x－ 7 2
检验
是
不是
开始
去根号
解有理方程
舍去
写出原方程的根 具体方法:平方法
x
2
x ( 4 ) (3) 3 x 1
分式方程： （ 2）
1 2 3 x
无理方程： （3）、（4）
下列方程组中哪些属于二元二次方程组？
x 1 (1) 2 √ y 4
2
×
2 3 y 5y (2) x y 1
×
1 2 x 20 (3) y xy y 18
(5)
x －x 有
无
3 ( 6) 2 2 无 (7 ) x 1
x 3 2 x
1、字母系数方程的讨论
解方程：bx 1 1 x
2
2
(b 1)
2、特殊高次方程的解法
一般地,二项方程 ax b 0(a 0, b 0, n是正整数)
n
b ,转化为求一个数的n次方根 可转化为 x a
（4）有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合做，要 12个月完成；若甲队先做5个月，余下部分再由甲、 乙两队合做，还要9个月才能完成，求甲、乙两工程 队单独完成此项工程各需要多少个月？
因式分解法（降次）
2 2 x 9 y 0 2 2 x 2 xy y 4
8、列方程（组）解应用题
审题 设元
找等量 列方程 关系
解方程
检验 作答
①检验是否是所列方程的解
②检验是否符合实际意义
增长率问题，工程问题，行程问题……
（1）有两张正方形纸片，较大的纸片的面积比较 小的纸片面积大28平方厘米，较大纸片的边长 比较小纸片的边长大2厘米，试求这两张纸片 的面积。
7、二元二次方程（组）
xy 6 x 2 y 5 x y 13 (3) (2) 2 (1) 2 x y 5 y x 1 x y 2 xy 1 0
2 2
二·一型二元二次方程组
代入消元法
二·二型二元二次方程组
2 2 x y 5 2 2 x 3 xy 2 y 0