第21章 二次根式单元复习(1)
初中-数学-华东师大版-第二十一章 二次根式 单元测试卷(一)
第二十一章二次根式单元测试卷（一）一、选择题1不是同类二次根式的是（）A. B.D.C.2x应满足（）A. x≠1B. x≥1C. x≤1D. x＜13、下列计算正确的是（）A. 5== B. 2C. =D. =4、下列式子不是二次根式的是（）A. B.C. D.5、下列计算错误的是（）A. =B. =C. =D. =6可化简为（）C. D. 67是同类二次根式的是（）A. B.C. D.+⋅=，若b是整数，则a的值可能是（）8、已知(3a bA. B. 3C. 3+D. 29、下列计算，正确的是（）A. =B. 13222 -=-C. =D.112 2-⎛⎫= ⎪⎝⎭10、若|m＋1|0，则2m＋n的值为（）A. －1B. 0C. 1D. 311=a b，用含有a，b，下列表示正确的是（）A. 20.1ab B. 30.1a bC. 20.2ab D. 2ab12）A. 5和6B. 6和7C. 7和8D. 8和9二、填空题13、函数124yx=-的自变量x的取值范围是______.14、当x>2150,0)a b>的结果是______．16是同类二次根式，则a=______．三、解答题1718、先观察下列等式，再回答问题：=1+1=2；②2212+2+()2=2+ 12=2 12； ③2213+2+()3=3+13=313；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．19、化简:（1）00=，22=______，2(2)-=______.，2a =______.； （2）30=0，333=______，33(3)-=______，33a =______；（3）根据以上信息,观察a b 、所在位置,完成化简:()()2323a b a a b +--+20、小明解答“先化简，再求值：21211x x ++-21211x x ++-，其中31x =+．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．21、计算:5-31562;(2)2×(12855-31)2;(4)( 352352).参考答案1、【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义选择即可．【解答】A=A不正确；B不是同类二次根式，故B正确；C=是同类二次根式，故C不正确；D=是同类二次根式，故D不正确；故选：B.2、【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件可得1-x≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：1−x⩾0，解得：x⩽1，故选C.3、【答案】B【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【解答】解：A、与A选项错误；B、原式，所以B选项正确；C、原式，所以C选项错误；D、原式2，所以D选项错误．故选：B.4、【答案】Da≥0）是二次根式，可得答案．【解答】A.是二次根式，故A不符合题意；B.是二次根式，故B不符合题意；C.是二次根式，故C不符合题意；D.被开方数小于零，故D符合题意．答案第1页，共7页故选D.5、【答案】D【分析】根据二次根式的分母有理化对进行判断；根据二次根式的乘法对进行判断；根据二次根式的加减法对、进行判断.【解答】、1333=，故此计算正确；、361832⨯==，故此计算正确；、271233233-=-=，故此计算正确；23.故选：D.6、【答案】A12化简即可.1223=A7、【答案】D【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．【解答】A. 2a a233a=a42a a=aD.2a a故选：D.8、【答案】B【分析】利用平方差公式找出括号中式子的有理化因式即可．【解答】(3535954-=-=则a的值可能是35，故选：B.9、【答案】D【分析】A、先化简二次根式，再合并同类项即可求解；B、根据有理数减法法则计算、再求绝对值即可求解；C、根据二次根式的性质化简即可求解；D、根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解．【解答】A=B、|12-2|=|-32|=32，故选项错误；C，故选项错误；D、112-⎛⎫⎪⎝⎭=2，故选项正确．故选：D.10、【答案】B【分析】先根据非负数的性质列出关于m、n的一元一次方程组，求出m、n的值，把m、n的值代入代数式进行计算即可．【解答】∵|m＋1|∴m＋1＝0；n－2＝0解得m＝－1，n＝2.∴2m＋n＝0.所以本题答案是B. 11、【答案】B330.10.10.1a b a b=⨯=故答案选：B.12、【答案】A【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算，再利用估算无理数的方法得出答案．＝∵5＜6，的运算结果应在5和6两个连续自然数之间．故选：A.答案第3页，共7页13、【答案】1x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可.【解答】由题意可得，x -1≥0且2x -4≠0，解得，1x ≥且2x ≠.故答案为：1x ≥且2x ≠.14、【答案】x －2【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】∵x ＞2=|x -2|=x -2．故答案为：x -2． 15、【答案】3ab 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．(0,0)b a b a >故答案为： 16、【答案】4【分析】,故只需根式中的代数式相等即可确定a 的值.是同类二次根式,可得3a -1=11解得a=4 故答案为：4.17、【答案】【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】原式＝-答案第5页，共7页 18、【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n ++=，证明见解答．【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”=414+=414； （2）根据等式的变化，找出变化规律=n 211n n n ++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立． 【解答】（1=1+1=2=212+=212；③=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144． （2=1+1=2=212+=212=313+=313=414+=414，…，∴= 211n n n n ++=．证明：等式左边==n 211n n n ++==右边．=n 211n n n ++=成立． 19、【答案】（1）2、2、|a|；（2）3、-3、a ；（3）-3a ．【分析】（1）根据算术平方根的计算方法可以解答本题；（2）根据立方根的计算方法可以解答本题；（3）根据数轴可以判断a 、b 的大小与正负，从而可以化简题目中的式子．【解答】解：（1=2=2.；故答案为：2、2、|a|；（2=3-3a ；故答案为：3、-3、a ；（3）由图可得，a ＜0＜b ，|a|＜|b|，=-a+b -a -（a+b ）=-a+b -a -a -b=-3a ．20、【答案】步骤①、②有误 【分析】异分母分式的的加减应通分，而不是去分母，据此可找出小明错误的步骤；然后按照异分母分式的运算法则计算即可. 【解答】步骤①、②有误.原式：1211(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x -+=+==+-+-+--.当1x =时，原式3==.21、【答案】(1)-1；(2)2；4【分析】根据二次根式的混合运算法则先去括号，再进行乘除后加减依次进行计算即可.【解答】解:(1)1=-1.(2)2×(1=2- =2.-1)2=32-2-)2-=9-5--1=(9-5-3-+))]2-2=3-(7-4.答案第7页，共7页。
人教九年级上第21章《二次根式》复习课(1)学案
二次根式复习课（1）
课型: 上课时间：课时：
学习目标：
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
学习重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
学习过程
一、自主学习
（一）复习
1．二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
（1）（2）（3）
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
乘法法则： . 除法法则：
反过来: .
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、复习练习课本知识
重点题目：习题21.1、 1、2、7.
习题21.2、 1、2、3、6、7、10.
习题21.3、 1、3、4、5、8.
复习题：1、2、3、5、6、9、11.。
21章 二次根式复习要点
第21章 二次根式1.二次根式概念理解：一个数可以进行平方运算，3的平方=9；反过来可以进行开平方运算,9开平方得±3，我们用式子表示为39±=±，它表示9的平方根是±3，这里我们引用了一个符号根号。
a 这个式子我们称为二次根式，a 叫被开方数。
因为只有非负数才有平方根，即非负数才能开方，所以0≥a 。
注意：被开方数既可以是单项式，也可以是多项式．．．。
a 表示非负数的算术平方根，则有0≥a若3)3(2-=-a a ，则a 的取值范围是3-a ≥0，解得a ≥3 2.二次根式的性质（用来对式子进行化简）：①一个非负数．．．先开方，再平方得本身()a a =2 ②一个数．先平方，再开方取绝对值a a =2 3.二次根式的乘法：①根号不变，被开方数相乘，再化简．．．。
不能被平方数整除，则不能化简。
如：22能分成2×11 但2和11都不是平方数。
6。
32分成16×2，不能分成4×8平方数的开方： 981416,39,24==== 非平方数的开方：5220,2318,3212===，被开方数能分成4的多少倍，结果2倍根号多少。
以此类推，如45，45分成9的5倍，得534.二次根式的除法:如5315315==，也可以5335315=⨯=（1）分母是平方数，分子分母分别开方，再化简。
3294=，5112511=，22422168== （2）分母不是平方数，先约分，再把分母变成最小平方数．．．．．。
分子分母分别开方。
642666767=⨯⨯=，410282585=⨯⨯=，2747814== ③分母中有根号的化简：先约分．．．，把分母根号里的数变成最小平方数．．．．．，再开方。
335333535=⨯⨯=，10625023503=⨯⨯=, 363332322416=⨯⨯== ()()()()()2532532525253253+=+=+-+=-6.二次根式的加减。
第二十一章__二次根式_复习提纲
清水中学九年级数学人教版 第二十一章 二次根式 复习提纲一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是( ) (A)x≥1(B)x≤1(C)x>1(D)x<12．(06眉山) 若 2-x 有意义，则X 的取值范围（ ） A 、x > 2 B 、x ≥ 2 C、x < 2 D 、x ≤ 23．（05x 的取值范围是（ ） A 、2x ≠ B 、2x ≥ C 、2x > D 、2x ≤ 4．（05福州）如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ ） A 、0≥x B 、1≠x C 、0>x D 、10≠≥x x 且5．（05 Ａ、a<1 Ｂ、a ≤1 Ｃ、a ≥1 Ｄ、a>16．（04x 必须满足的条件是 A ．x ≥1 B ．x ＞－1 C ．x ≥－1 D ．x ＞1 7．（05荆门）如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 8．（02哈尔滨）如果式子x341-在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 。
第21章二次根式单元复习PPT课件
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
第11页/共46页
8（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
第12页/共46页
1
6 . 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
第9页/共46页
7、能使二次根式 ( x 2)2 有意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
第10页/共46页
梳理二．二次根式的性质
×× √
××
2
x2 y,
ab,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
第18页/共46页
梳理六 .同类二次根式的定义。 几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
第19页/共46页
19.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
第2页/共46页
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（2）. a可以是数,也可以是式.
（3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
第21章二次根式复习
第21章 小结与复习
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最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
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数学是一种理性的精神，使人类 的思维得以运用到最完善的程度。
——克莱因
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两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
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二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式
子叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）被开方数 a 0
（２）根指数是２
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二次根式的加减
1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如
果被开方数相同，这几个二次根就叫做同类二 次根式。 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
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3、二次根式的乘法类似与多项式的乘法，
a
{a,a0 a,a0
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最简二次根式
抢答:判断下列二次根式是否 是最简二次根式,并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
第21章《二次根式》复习课用1.PPT课件
(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（ ）
A. a ab B. a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
知识点5：最简二根式： 符合下面2个条件的二次根式叫最简二次根式 1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
二次根式复习课
凤台四中 牛井梅
a 0a 0 ( a)2 a(a 0)
形如 a (a 0) 叫做二次根式
定义
最简二 次根式
性质
a 2 | a |
运算
二次根式 的乘除
二次根式 的加减
二次根式
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
(4)( 2 1)2
方法：类似于整式的混合运算
在二次根式的运算或化简中常见错误：
例1：化简
72 98 3 8
化简不彻底，结果不是最简二次根式
正确答案为 72 36 2 6 2
例2：化简：
2 32 32
正确答案为
2
32 32 2 3
例3； 对于题目“化简并求值2a a2 6a 9,其中a 3
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号；
（2）被开方数必须保证大于或等于0。
2、x取什么实数时，下列式子有意义？
1 2 x2 x2 23 x 1
第21章 二次根式单元复习(1)
四种运算 加 、减、乘、除
二次根式的概念二次根式的概念
１．二次根式的定义：１．二次根式的定义：形如 形如 （（aa 00））的式子的式子
叫做二次根式叫做二次根式
1
、
两个性质
二
2
次 、
ห้องสมุดไป่ตู้
根
1、
式 两个公式
２．二次根式的识别：２．二次根式的识别：（１）．被开方数（１）．被开方数
（２）．根指数是２（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？例．下列各式中那些是二次根式？
那些不是？为什么？那些不是？为什么？
①① ②② ③③
人教新版九年级上
第 21 章 二 次 根 式
单元复习（1）
知识结构
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
④④ ⑤⑤ ⑥⑥
⑦⑦ ⑧⑧
３．二次根式的性质３．二次根式的性质
（（11）．）．
（（22）．）．
（（33）．）．
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8．计算 （１） ( 5) 2 ( 5) 2 （２） ( 10)2 (3 3)2
9．在实数范围内分解因式 2
（１）
x 2
2
（２）
（３）
x 2 3x 3
x 9x
5
（４）
a 3a 2
4 2
10.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm， 宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B B 点最短路程是多少？
2.(2005.青岛)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
1 x 5 3 x
解： ：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
解：
60 15 25 15 A 60 60 B 25 15 A 15 25 25
60
AB 60 80
2
2
10000
100
必做题：
复习题21
第
题
③
x 100
④
2
⑤
⑥
144
⑦
a 2a 1
⑧ 3
5
３．二次根式的性质
（1）．
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
a a {
2
a ,a 0 a ,a 0
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 _____时， x ≤3 有意义。 x 3 __ a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4 .
例2：把下列各式化成最简二次根式
1 (1) 4 1 2 ( 2) x
2
y x
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
人教新版九年级上 第 21 章 二 次 根 式
单元复习（1）
知识结构
三个概念
最简二次根式
同类二次根式 有理化因式 1、 ab a b a 0, b 0 --不要求，只需了解
二 次 根 式
两个性质
a 2、 b
1、
a b
2
(a 0, b 0)
两个公式
2、
a
a a 0
2 2 2
2 2
2
5．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
6．若
x 1
求
y 1 0
2
x y
2
2
的值
2
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
2
（２） (3) （４）
（３） ( x 1)
( x 1)
2
a2 a
aa 0
aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
二次根式的概念
１．二次根式的定义： 形如 a（a 0）的式子 叫做二次根式
２．二次根式的识别： （１）．被开方数
a0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
(1) 50
(2) a bc
2 2
2
(3) x y
2
1 (4) 0.75 (5) (a b)(a b ) (6) 6 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54 (2) 4a 2 16a 2
（４）若
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
( x 7) 1 x7
2
，
3．若１＜Ｘ＜４，则化简 ( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a)
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1 （１） （３） （５）
3 x
1 x x
（２） （４）
2x 5
x 3 8 x
2
x 2 2 x （６） x 2x 1
2．（１）
( 3) ____
2
2
（２）当 x 1 时， (1 x) ____ （３） ( x 2) 2 x 2 ， 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( x 1 D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。