山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题

烟台2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断

高三数学

注意事项：

1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区

书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合題目要求的。

1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=

A.{x|-l≤x≤2}

B. {x|0≤x≤2}

C. {x|x≥-l}

D. {x|x≥0}

2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是

A.x∈R, X2-X+1≤0

B. x∈R, x2-x+1<0

C. x∈R, x2-x+l<0

D. x∈R, x2-x+l≤0

3.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为

A. 2x±3y=0

B. 3x±2y=0

C. x±2y=0

D. 2x±y=0

4.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的大小关系为

A.a

B. a

C. b

D. b

5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设

“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”

不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为

A. 216

B. 480

C. 504

D. 624

6.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是

7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最小值，则sinα=

A. B. C. D.

8.函数,若方程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

A. (-∞,4)

B. (-∞,4]

C. (-2,4)

D. (-2,4]

二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

題目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生

和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到

如图所示的列联表.经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出

A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意

C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

10.已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则

A.函数f(x+)为奇函数

B.函数f(x)在[，]上单调递増

C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2的最小值为

D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x的图象

11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则

A.直线BD1丄平面A1C1D

B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值

C.异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°,90°]

D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点

P(x1,y1),G(x2,y2)，点P在l上的射影为P1，则

A.若X1+X2=6.则|PQ|=8

B.以PQ为直径的圆与准线l相切满意不满意

男30 20

女40 10 P(k2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635

C.设M（O,1）,则|PM|+|PP1|≥

D.过点M（0,1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分。

13.己知向量a,b满足|a|=l,|b|=,a⊥（a+b）,则a与b夹角为.

14.已知随机变量X N（1,2）,P（-1

15.设点P是曲线y=e x+x2上任一点，则点P到直线x-y-1=O的最小距离为.

16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA丄平面ABC，PA=6,AB=2,AC=2,BC=4，

则：（1）球O的表面积为；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是。（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。

17.（10分）

在条件①(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,②asinB=bcos(A+),③bsin=asinB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, b+c=6,a=, ________________ ,

求ΔABC的面积.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

已知数列{a n}的前n项和S n満足2S n=(n+1)a n（n∈N）且a1=2.

（1）求数列｛a n｝的通项公式;

（2）设b n=（a n-1）2an.求数列{b n}的前n项和T n.

19.(12 分)

20.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面SCD丄平面ABCD.

4,E为BS上

ΔSCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=

一点，且BE=2ES.

(1)证明：直线SD∥平面ACE；

(2)求二面角S-AC-E的余弦值。

21.(12 分)

已知椭圆的的离心率为，F是其右焦点，直线y=kx与椭圆交于A,B 两点，

|AF|+|BF|=8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设Q(3,0),若∠AQB为锐角,求实数k的取值范围.

22.(12 分)

某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.

(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.

已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造

利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用哪个？

(实际获利=生产线创造利润一维修工人工资)

23.(12分)

已知函数,其中O

(1)求函数f(x)的单调区冋；

(2)讨论函数f(x)零点的个数；

(3)若f(x)存在两个不同的零点x1,x2,求证：x1x2

2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断

高三数学参考答案

一、单项选择题

1.C

2.D

3.C

4.A

5.C

6. D

7.B

8.A 二、多项选择题

9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC 三、填空题 13.

34

14.0.115. 216. 52，4

四、解答题

17.解：若选①：

由正弦定理得　()()

()a b a b c b c ，　………………………………2分

即2

2

2

b c

a

bc ，　

所以2

2

2

1cos 222

b c

a

bc A

bc

bc

，　……………………………………4分因为(0,)A ，所以3A .

…………………………………………

6分　

又2

2

2

2

()3a

b

c

bc

b c bc ，　

26a

，6b c ，所以4bc ， …………………………………………

8

分　所以11sin 4sin

32

23

ABC S bc A

.

……………………………10分　

若选 ②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B

B A

.

…………………………

2分

因为0

B

，所以sin 0B

，sin cos()6

A A

，

化简得31sin cos sin 22

A A

A ，　………………………………………4分即3tan 3A =，因为0

A ，所以6

A . …………………………

6分　

又因为2

2

2

2cos

6

a b

c

bc ，

所以2

2

2

2

()6

(26)=

23

2

3

b c a bc ，即24123bc

，　……………8分　

所以111sin (24123)6332

2

2

ABC S bc A

.

………………10分　

若选 ③：

由正弦定理得　sin sin sin sin 2

B C B A B +=，　……………………………

2分

因为0B

，所以sin 0B ，

所以sin

sin 2

B C A +=，又因为B C

A ，

所以cos 2sin

cos 2

2

2

A A A =，　………………………………………………4分

因为0A

，02

2

A ，所以cos

02

A ，

∴1

sin 22A

=，

26A

，所以3

A

.

……………………………6分　

又2

222()

3a

b c bc b c bc ，　

26a

，6b c

，所以4bc ， ………………………………………8分　

所以11

sin 4sin 3223

ABC S bc A .…………………………10分　

18.解：（1）因为2(1)n n S n a =+，*n N ，

所以112(2)n n S n a ++=+，*

n

N .

两式相减得1

1

2(2)(1)n

n

n a n

a n a ，　

整理得　1(1)n n na n a +=+，．………………………………………………

2分

即

11n n a a n n +=

+，*

n

N ，所以{

}n a n

为常数列．

所以

1

21

n

a a n ， ………………………………………

4分　所以　2n a n =.

…………………………………………………

5分　（2）(1)2=(21)4n a

n

n

n b a n . ……………………………………………

6分　

所以　1

2

3

14+34+54+

+(21)4

n n T n 2

3

1

414+34+

+(23)4(21)4

n

n n

T n n . ……7分

两式相减得：

2

31

34+2

(4+4++4)(21)4n n n

T n ，　

…………………9分2

+1

1

4

4

34+2

(21)4

14

n n n

T n ，　…………………11分　

化简得1

20(65)4

+

9

9

n n

n T . ……………………………………

12分　

19.解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF . 因为//AD BC ，所以AFD 与BCF 相似.

所以2BF BC FD AD

. ………………………………………………1分

又

=2BE BF ES

FD

，所以//EF SD.

……………………………………2分

因为EF

平面ACE ，SD 平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE.

…………………………………

…4分

（2）平面SCD 平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD CD ，BC 平面ABCD ，

BC CD ，所以BC 平面SCD. …………………………………

5分

z y

x

F

C D

S

A B

E 以C 为坐标原点，,CD CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与

,CD CB 均垂直

的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C

xyz . (6)

分

则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224

(,,)333E ，

(0,2,2)CA ，(1,1,0)CS ，224

(,,)333

CE . ………7分

设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00

CA CS

m m ，即

00

y z x

y

,

不妨令1z ，得1x ，1y

，于是(1,1,1)m . …………………9分

设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z n ，则00

CA CE

n n ，即

020

y z x

y

z

,

不妨令1z ，得1x ，1y

，于是(1,1,1)m

. …………………11分

设二面角S AC E 的平面角的大小为，则1

cos

3

m n m n

. 所以二面角S AC E 的余弦值为13

. ……………………………………

1

2分

20.解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接

1F B ，由椭圆的对称性可知，

1AF

F B ，

所以1

28AF

BF

BF BF

a

，所以4a =，…………………2分又32c e a

=

=

，2

2

2

a b c =+，解得

2b

，23c

. ………………4分

所以椭圆的标准方程为

2

2

116

4

x

y

+

=. ……………………………………

5分

（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ，则

11(3,)QA x y ，22(3,)QB x y ，……6分

联立2

2

116

4

x

y

k x y ，得22(41)160k x ，

所以12

0x x ，12

2

16

41

x x k ，……………………………………8分因为AQB 为锐角，所以0QA QB

. ……………………………………

9分

所以

12

12

(3)(3)QA QB

x x y y 1212

12

93()x x x x y y 2

121293()

(1)x x k x x ……………………………

10分

2

2

16(1)

9

041k k

，

解得3510k >或3510

k

. ……………………………………

12分

21．解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为

X ，

则1

(3,)3

X

B . ……………………………………………………

2分因此11

2

3

1

2

124

(1)()()=33279

P X

C . ……………………………………

4分

（2）①当1n 时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元.

若0X ，则11231

35Y ；

若1X ，则1122+811

31Y ；

若2X ，则1121+81+01119Y ；若3X ，则1

120+81+0217Y ；……………………6分

又00

3

3

1

2

8

(0)

()()3327

P X

C ，22

1

3

1

2

6(2)

()()

33

27

P X

C ，

330

3121(3)()()3327

P X C ，

………………8分

此时，实际获利1Y 的均值

181261773

3531197=2727272727

EY ………………9分

②当2n 时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元. 若0X ，则2123234Y ；

若1X ，则2122+812

30Y ；若2X ，则2121+82226Y ；

若3X

，则2

120+82+012

14Y ；………………………11分

2

8

12

6180234

30

26

14

=272727

2727

EY 因为1

2EY EY .

于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n 与2n 之中选其一，

应选用2n . ………………………………………………12分

22. 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x

.

2

1

13'()ln ()

22

2

f x

x a x

x ax a

x x

， ………………1分

()(ln 1)x

a x 令()0f x ，得x a 或e x

.

…………………………………………　2分

因为0e a

，当0x a 或e x

时，'0f x

，()f x 单调递增；当e a

x

时，

'0f x

，()f x 单调递减.所以f x 的增区间为

0,a ，e,

，减区间为

e ,a .

…………………………………………………………………

4分

（2）取

=min{1,2}a ，则当(0,)x 时，102

x a ，ln 0x ，3204

a

x ，

13()

()ln (2)

024f x x x

a x

x a

x ；

又因为

0e a

，

由（1）可知f x 在(0,)a 上单增，因此,当(0,]x a ，恒()0f x

，

即()f x 在(0,]a 上无零点. …………………………

5分

下面讨论x a 的情况：①当e 0

4

a 时，因为()f x 在(,e)a 单减，(e,

)单增，且()0f a ，

e (e)e()04

f a

，2

4

1(e )=

e

04

f ，

根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点.

……………………

6分

②当e

=

4

a 时，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)单增，且(e)0f ，

此时()f x 有唯一零点e .

……………………………………

7分

③若

e

e 4

a

，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)单增，e ()

(e)e()04

f x f a

，

此时()f x 无零点.

……………………………………………

8分

综上，若

e

04a

，()f x 有两个不同的零点；若e

=4

a ，()f x 有唯一零点e ；若

e e 4

a

，()f x 无零点.

（3）证明：由（2）知，e 0

4a

，且1

2e

a

x x .

构造函数2

e

()()

(

)F x f x f x

，(,e)x a . ………………………………

9分

则()

F x 423

2

e

e

()(ln 1)()(ln 1)

x a x a

x x x 4

3

243e e

(ln 1)

x

ax

ax

x x .

……………………………………

10分

令4

3

2

4

()e e g x x

ax

ax

，(,e)x a . 因为当(,e)x a 时，22

e

0x ax

,2

2

e

0x ，

所以4

3

2

4

2

2

2

2

()e e =(e )(e )<0

g x x

ax

ax

x

ax x 又ln

1lne

10x ，所以()

0F x 恒成立，即()F x 在(,)a e 单增.

于是当e a x

时，()

(e)

0F x F ，即

2

e

()(

)f x f x

. ………………11分

因为1

(,e)x a ，所2

11

e ()

()f x f x ，又12()

()f x f x ，所以2

21

e ()

()f x f x ，因为2

e x ，

2

2

1e e e e

x ，且()f x 在(e,

)单增，

所以由

2

21e

()

()f x f x ，可得2

2

1

e

x x ，即2

12e x x .

………………………12分