苏教版数学高一必修4教案 3.2《二倍角的三角函数》(2)
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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3.2 二倍角的三角函数错误!教学分析“二倍角的三角函数"是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具;通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律,通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想;因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.2.1 二倍角的三角函数》
二倍角的三角函数【学习目标】1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、 恒等证明【学习重点】：二倍角公式的推导;二倍角公式的简单应用【学习难点】：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数【学习过程】一、问题的探究sin 2__________α=；)(2αScos 2____________α=；)(2αCtan 2_____________α=；)(2αT二、问题的应用例1：求下列各式的值： 1 )125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ-+=________________ 22sin 2cos 44αα-=___________________ 3ααtan 11tan 11+-- =____________________ 4θθ2cos cos 212-+=_________________ 例2：已知12sin ,,132πααπ=<<求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值例3：已知)40(135)4sin(πθθπ<<=-， 求)4cos(,2cos θπθ+的值三、当堂练习 1．co 275°＋co 215°＋co 75°co 15°＝________2．错误!＝________3 已知in α=则co 2πα- =________．4 设in 2α＝－in α，α∈错误!，则tan 2α＝5 已知co 错误!＝错误!，则in 2＝____________6 已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为________． 7 已知α∈错误!，in α＝错误!1求in 错误!的值；2求co 错误!的值8 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin β=，求2αβ+。
高中数学苏教版必修四《3.2二倍角的三角函数》课件
解 由 tan α＋tan1 α＝52得，
sin cos
αα＋csoins
αα＝52，则sin22α＝52
∴sin 2α＝45，又 α∈π4，π2
∴2α∈2π，π
∴cos 2α＝－35
∴sin2α＋π4＝sin
2α·cosπ4＋cos
π 2α·sin4
＝45×
22＋－35×
22＝
2 10
.
题型二 化简求值
解 (1)∵f(x)＝sin24π＋x＋cos2 x＋12 ＝1－cos22π＋2x＋1＋c2os 2x＋12 ＝12sin 2x＋12cos 2x＋32 ＝ 22sin2x＋4π＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32， 最小值为－ 22＋32；最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由(1)知要使 f(x)≥32，只需 22sin2x＋4π≥0， 即 sin2x＋4π≥0， 由 2kπ≤2x＋4π≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)， 又 x∈[0，π]， ∴0≤x≤38π或78π≤x≤π.
＝
1－sin 2α＝
17 3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝13×－
317＝－
17 9.
tan 2α＝csoins 22αα＝81717.
法二 ∵sin α＋cos α＝13， 平方得 sin αcos α＝－49， ∴sin α、cos α 可看成方程 x2－13x－49＝0 的两根， 解方程 x2－13x－49＝0，得 x1＝1＋6 17，x2＝1－6 17， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．
苏教版数学高一 必修4学案 3.2 二倍角的三角函数
3.2二倍角的三角函数1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)[基础·初探]教材整理倍角公式阅读教材P119～P120的全部内容，完成下列问题．(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.1．若sin α＝15，则cos 2α＝________.【解析】∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α＝1 5，∴cos 2α＝1－2×125＝23 25.【答案】23 252．若tan α＝3，则tan 2α＝________.【解析】 ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－9＝－34. 【答案】 －343．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________.【解析】 ∵sin 2α＝2sin αcos α，∴2sin αcos α＝－sin α，又sin α≠0，∴cos α＝－12.【答案】 －12[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑：[小组合作型]直接应用二倍角公式求值已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 【精彩点拨】 先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值．【自主解答】 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为sin 2α＝513， cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：06460078】【解】∵sin α＋cos α＝13，∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝19.∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49＜0.∵0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＞0.∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝173.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－173＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.逆用二倍角公式化简求值化简：2cos 2 α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【精彩点拨】 切化弦→逆用二倍角公式→化简，约分 【自主解答】 原式＝2cos 2 α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2 α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2 α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．[再练一题]2．求下列各式的值： (1)2sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π12cos 5π12.【解】 (1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π6＝12.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. [探究共研型]活用“倍角”关系巧解题探究1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的值，如何求sin 2x 的值？【提示】 可利用sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2π4－x －1求解．探究2 当题设条件中含有“π4±x ”及“2x ”这样的角时，如何快速解题？ 【提示】 可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【精彩点拨】 先由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 即可．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513， 又0＜x ＜π4，∴π4＜x ＋π4＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213.∴cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2413.当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟．cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有： (1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等．[再练一题]3．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．【解】 ∵sin 2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×925＝725.[构建·体系]1．若sin α2＝33，则cos α＝________. 【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×13＝13. 【答案】 13 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.【解析】 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12得，tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝34.【答案】 343．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cosπ6＝32.【答案】 32 4.tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝________. 【导学号：06460079】【解析】 原式＝12·2tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝12×tan 15°＝12×tan(60°－45°) ＝12×3－11＋3＝12×(3－1)2(3＋1)(3－1)＝12×4－232＝2－32.【答案】2－325．已知cos 2θ＝725，π2＜θ＜π， (1)求tan θ；(2)求2cos 2θ2－sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.【解】 (1)由cos 2θ＝725，得1－2sin 2θ＝725，sin 2θ＝925， ∵π2＜θ＜π，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. (2)2cos 2θ2－sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ＋1－sin θsin θ＋cos θ＝2.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十七) 二倍角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 【解析】 ∵75°＋15°＝90°，∴cos 75°＝sin 15°， ∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30° ＝1＋12×12 ＝54 【答案】 542．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________. 【解析】 cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝2×19－1＝－79. 【答案】 －793．已知sin 2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________.【解析】 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α<0， cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－sin 2α＝－34＝－32.【答案】 －324．(2016·南京高一检测)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝________.【解析】 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.【答案】 125．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________．【解析】 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 【答案】36．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan(α＋β)＝________.【导学号：06460080】【解析】 ∵tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α21－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝12－131＋12×13＝17，∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝2×171－149＝724. 【答案】 7247．(2016·苏州高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________. 【解析】 ∵sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ∴sin 2x ＝2×2100－1＝－2425.【答案】 －24258．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 【解析】 f (x )＝2tan x －－cos x 12sin x＝2sin x cos x ＋2cos x sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 x ＋cos 2 x sin x cos x ＝2sin x cos x ＝42sin x cos x ＝4sin 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 【答案】 8二、解答题9．若3π2<α<2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π. ∴原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2 α ＝12＋12cos α＝1＋cos α2＝cos 2 α2＝－cos α2. 10．已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的值． 【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55.∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得tan x ＝12∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝43＋11－43＝－7.[能力提升]1．(2016·扬州高一检测)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．【解析】 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32， ∴当t ＝12时，函数取得最大值32.【答案】 322．(2016·无锡高一检测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝2×19－1＝－79.【答案】 －793．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.【解析】 由三角函数的定义可知tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35.【答案】 －354．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．【解】 (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1， 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－31010 ＝－1010.。
高中数学 32二倍角的三角函数学案 苏教版必修4 学案
3.2 二倍角的三角函数一、 学习内容、要求及建议二、预习指导 1. 预习目标(1)推导二倍角公式的思想和方法；(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升、降幂公式)的记忆和应用； (3)和差角公式、二倍角公式综合应用. 2. 预习提纲(1)阅读课本P105思考如何推导二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空：sin 2=； cos 2===；tan 2=(所有tan 有意义)注意“倍角”的相对性.(2)阅读课本P107的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如P106例3的解法1)，阅读课本P107的例4，学会公式灵活运用.(3)探究：求sin10sin30sin50sin 70的值. 3. 典型例题 (1) 熟悉公式 例1 已知1312cos -=α，)23,(ππα∈，求α2sin ，α2cos ，α2tan 的值. 分析：先利用同角三角函数的关系求出αsin ，再分别套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的X 围.解：∵1312cos -=α，)23,(ππα∈∴135)1312(1sin 2-=---=α. ∴169120)1312()135(2cos sin 22sin =-⋅-⋅==ααα 1691191)1312(21cos 22cos 22=--=-=αα，1191202cos 2sin 2tan ==ααα (2) 应用二倍角公式进行化简、求值、证明等 例2 已知21)tan(=-βα，71tan -=β，),0(,πβα∈，求βα-2.分析：先求αtan ，再求α2tan ，最后求)2tan(βα-，注意βα-2的X 围.解：∵βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-，∴)71(tan 1)71(tan 21-⋅+--=αα，解得31tan =α ∴43)31(1312tan 1tan 22tan 22=-⋅=-=ααα ∴1)71(431)71(43tan 2tan 1tan 2tan )2tan(=-⋅+--=+-=-βαβαβα ∵),0(,πβα∈，031tan >=α，071tan <-=β，∴),2(),2,0(ππβπα∈∈∴)2,(ππβ--∈- 又∵0432tan >=α∴)2,0(2πα∈，∴)0,(2πβα-∈-∴432πβα-=-.例3 已知xxx x x tan 1sin 22sin ,4745,53)4cos(2-+<<=+求πππ的值．分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“x x sin cos -”的条件，对需要求值的式子先化简，对“切”化成“弦”，对“x 2sin ”用二倍角公式，注意“x x sin cos -”、 “x x sin cos +” 、“x x cos sin 2”这三者的关系. 解：由53)4cos(=+πx 得523sin cos =-x x ，两边平方得：2518cos sin 21=-x x ，∴257cos sin 2=x x ，∵4745ππ<<x ∴2)cos (sin sin cos x x x x +-=+=5242571cos sin 21-=+-=+-x x ∴xx x tan 1sin 22sin 2-+=xx x x x cos sin 1sin 2cos sin 22-+=x x x x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+⋅=523)524(257-⋅=7528-. 例4 求值：(1)178cos 174cos 172cos17cosππππ； (2)sin 6sin 42sin 66sin 78；(3)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+-.分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是4个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系.仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到20与40的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力.解：(1)原式=17sin 2178cos 174cos 172cos17cos17sin244ππππππ=17sin16178cos174cos 172cos 172sin 23πππππ =17sin 16178cos 174cos 174sin 22ππππ=17sin 16178cos 178sin 2πππ=16sin1171616sin17ππ= (2)原式=sin 6cos 48cos 24cos12=442cos 6sin 6cos12cos 24cos 482cos 6=32sin12cos12cos 24cos 4816cos 6=sin 9616cos 6=sin 84116sin 8416= (3)原式=tan 70(cos103sin10)2cos 40+-=cos 202sin 402cos 40sin 20⋅-=cos 204sin 20cos 202cos 40sin 20⋅-=224cos 202(2cos 201)2--=(3) 升幂、降幂公式的应用降幂公式22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=特点：降幂同时扩角，当遇到αα22cos ,sin 且不需要“平方”时，常考虑该公式.升幂公式αα2sin 22cos 1=-，αα2cos 22cos 1=+特点：升幂同时缩角，当遇到αcos 1±时，常考虑该公式.例5 化简：θθθθθcos 22)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，(0,)∈分析：分母显然用升幂公式，分子中的“1”可与θsin 结合换成12cos 2sin22=+θθ同时对θsin 用二倍角公式；也可把“1”与θcos 结合用升幂公式同时对θsin 也用二倍角公式，公式选择的主要依据依然是“同角”.解：原式=2cos 4)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin2(22θθθθθθ-+=2cos )2cos 2(sin 2cos 22θθθθ-=2coscos 2cos θθθ⋅-∵),0(πθ∈∴)2,0(2πθ∈∴02cos >θ∴原式=θcos - 例6 (1)已知21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求2cos 2βα-的值；(2)求函数1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y 的最大值．分析：(1)∵2)cos(12cos 2βαβα-+=-∴只要求)cos(βα-，将已知两等式平方相加即可；(2)∵12π不是特殊角∴应先降幂扩角，再用和差角公式展开.解：(1)将21sin sin =+βα，31cos cos =+βα分别平方并相加得： 3613)cos cos sin (sin 22=++βαβα，即7259)cos(-=-βα. ∴144132725912)cos(12cos 2=-=-+=-βαβα.(2)1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y =12)62cos(12)62cos(1--+++-ππx x=)2sin 212cos 232sin 212cos 23(21x x x x +-+=x 2sin 21∴21max =y 4. 自我检测 (1)已知sin:sin8:52=，则cos 的值为______________．(2)等腰三角形的一个底角的正弦为53，则这个三角形的顶角的正切为_________． (3)不查表求值：=-125sin 1211sin 22ππ． (4)计算：13sin 50+=．(5)化简：sin 2sincos 2cos 1+++=__________．(6)求值：(1)24coscoscos 777πππ⋅⋅；(2))10tan 31(40cos+.(7)求证：函数222()cos cos ()cos ()33f x x x x =+++-是常数函数．三、 课后巩固练习A 组1．已知sin 26cos 5x x =，则cos2x 的值等于___________． 2．已知1sin 2x =，则sin 2()4x π-=．3．已知02x π-<<，4cos 5x =，则tan 2x 等于_________． 4．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________．5．已知的值等于则x x 2sin ,135)4sin(-=-π__________． 6．求值：(1)224cos 1533-+︒； (2) 44sin 67.5cos 67.5- ； (3) 111tan151tan15-+-.7．已知sin()sin()44ππαα-+=，且α为锐角，求sin 2α的值．8．已知sin cos 3αα+=，0απ<<，求cos 2α的值． 9. 若1tan 4tan θθ+=,则sin 2θ=.10. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=.11(1sin cos )(sincos )αααα++-2παπ<<)．B 组121sin 20--为___________． 13．已知 ααα则角,532cos ,542sin-==是第____象限角. 14. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．15. 已知1cos 21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-=．16．求值：（1）=080cos 40cos 20cos ； （2）=+++167sin 165sin 163sin 4sin4444ππππ． 17．已知sin14cos14a=+，2142b =-2c =，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为．18．函数sin cos 1sin cos 1x x y x x +=-的值域是____________________．19．函数1sin cos sin 22x x x +-的值域为．20．函数11()cos 22cos 22f x x x =-+在区间2[,]3πθ-上的最大值为1，则θ的最小值是．21．已知函数()2sin()cos f x x x π=-. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒(2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒(3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒(4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 23．设函数2()cos(2)sin 3f x x x =++.(1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期； (2) 设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，1()24c f =-，且C 为锐角，求sin A .24. 已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.25. 已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅． （1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求cos 2(2)4πθ-的值． C 组26．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．27．已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在[,]63ππ-上的值域； （2）在△ABC 中，若()2,2sin cos()cos()f C B A C A C ==--+，求tan A 的值. 28．设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． (1)求()f x 的最小正周期；(2)若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．29．已知sin sin 1+=，cos cos 0+=，试求cos 2cos 2+的值．30．已知2244x y +=，求22441t x xy y =+-+的最大值和最小值．四、 学习心得五、 拓展视野课本112111=P 向我们介绍了正弦函数与余弦函数的叠加函数x B x A x f cos sin )(+=(A ，B 不全为0)，并指出该函数可以改写成)sin()(22θ++=x B A x f ，其中22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ，一般地，我们把公式xB x A cos sin +)sin(22θ++=x B A (22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ)称为辅助角公式.下面我们来看它的两个应用：例1 求函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值.解：23)20cos(521)20sin(5)20sin(300⋅++⋅+++=x x x y =)20cos(235)20sin(21100+++x x =)20sin()235()211(022θ+++x =)20sin(70θ++x (其中1411cos =θ，1435sin =θ)∴7max =y 例2 求函数xxy cos 2sin 3+=的值域.解：将xxy cos 2sin 3+=变形为y x y x 2cos sin 3=-，∴y x y 2)sin(32=++θ(其中233cos y+=θ，23sin yy +-=θ)即232)sin(yy x +=+θ，∵1sin(≤+θx ∴1322≤+yy ，解得11≤≤-y∴函数xxy cos 2sin 3+=的值域为[-1，1].。
3.2.2两倍角的三角函数(2)
第三章 三角恒等变换第七课时 二倍角的三角函数（2）教学目的： 1、理解倍角公式的升幂、降幂作用。
2、能灵活地运用倍角公式化简、求值、证明。
教学重点、难点：灵活地运用倍角公式化简、求值、证明。
教学过程：一、问题情境回顾二倍角公式及其结构特征。
如何灵活地运用倍角公式进行化简、求值、证明？二、学生活动试证明：ααα3sin 4sin 33sin -=试写出二倍角公式的一些变形公式。
三、数学建构变形1： αααcos sin 22sin = 变形2： 2)cos (sin 2sin 1ααα±=±变形3： ααα22sin 211cos 22cos -=-= （升幂 ）变形4：22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+= （降幂） 四、数学应用 例1、化简（1）απαπα222sin )6(sin )6(sin -++-（2）︒︒⋅︒︒144cos 72cos 36cos 18cos解题回顾：（1）降幂 （2）“1”技巧：乘上“︒⨯18sin 218sin 21”例2、已知21)4tan(=+απ，求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值.解题回顾：弦化切例3、求证：1)10tan 31(50sin =︒+︒解题回顾：切化弦例4、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？五、课堂练习：P122 练习六、课堂小结：巩固练习七班级 学号 姓名A1.=52cos5cos ππ A2.=+=θθθ44cos sin ,532cos 则 A3. 化简: ︒⋅︒⋅︒70sin 50sin 10sinA4化简: ︒︒⋅︒80cos 40cos 20cosB5 若2tan =θ，求θθ2cos 21sin 412+的值。
B6 若θθcos 2sin -=，求θθ2cos 22sin +的值。
B7 若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos 的值B8．化简：x x x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++B9（选做）．求证： θθθθθθθθθsin 2cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-=+---+--+-。
苏教版高中数学必修四二倍角的正弦、余弦、正切教案(2)
3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到α角的三角函数与2α的三角函数的内在联系，α，β角的三角函数与αβ±角的三角函数之间的内在联系；四、教学过程： （一）复习： 1．二倍角公式sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-22tan tan 21tan ααα=- 【练习1】化简：（1）cos 20cos 40cos60cos80oooo；（2）sin10sin30sin50sin 70oooo． （（1）（2）两题答案：116）． 总结：一般地，11sin(2)cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++⋅⋅⋅=．2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：21cos sin 22αα-=，21cos cos 22αα+=，21cos tan 21cos ααα-=+． （二）新课讲解：1．半角公式：sin2α=cos 2α=，tan 2α= 说明：（1）只要知道2α角终边所在象限，就可以确定符号；（2）公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切； （3）还有一个有用的公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （下面给出证明）。
2．例题分析： 例1：求证：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan． 证法一：sinsin2cossin 222tan 21cos cos cos 2cos 222ααααααααα⋅===+⋅ ． 证法二：221cos (1cos )(1cos )sin tan ()21cos (1cos )(1cos )1cos ααααααααα--+===++++∴sin |sin ||tan|||21cos 1cos ααααα==++． 又由2sin 2sin cos2tancos2222ααααα==知sin α与tan 2α同号，且1cos 0α+≥， ∴sin tan21cos ααα=+， 同理1cos tan 2sin ααα-=．【练习2】已知3sin 25θ=，且022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+的值。
苏教版高中数学必修四《二倍角的三角函数》教案2
二倍角的三角函数教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ当α＝β时，tan2α＝2tanα1－tan2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠π2 ＋kπ及α≠π4 ＋k π2 (k ∈Z )时才成立，否则不成立(因为当α＝π2 ＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在；当α＝π4 ＋k π2 ，k ∈Z 时tan2α的值不存在).当α＝π2 ＋kπ(k ∈Z )时,虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2(π2 ＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin π3 ＝32≠2sin π6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 α2 的2倍，将 α2 作为 α4 的2倍，将3α作为 3α2的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－（513 ）2 ＝－1213∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513 ×(－1213 )＝－120169 ，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(513 )2＝119169 ，tan2α＝sin2αcos2α ＝－120169 ×169119 ＝－120119 .练习题：1.已知cos α＝m ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵cos α＝m ，α在第二象限.∴sin α＝1－cos 2α ＝1－m 2∴sin2α＝2sin αcos α＝21－m 2 ·m ＝2m 1－m 2cos2α＝2cos 2α－1＝2m 2－1tan2α＝sin2αcos2α ＝2m 1－m 2 2m 2－1或由tan α＝sin αcos α ＝1－m 2 mtan2α＝2tan α1－tan 2α ＝2m 1－m 2 2m 2－12.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ＝1＋cos[2(θ＋15°)]2 ＋1＋cos[2(θ－15°)]2 －32cos2θ＝1＋12 ［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－32cos2θ＝1＋12 ［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－32cos2θ＝1＋12 ×2cos2θcos30°－32cos2θ ＝1＋32cos2θ－32cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：sin 2α＝1－cos2α2 ，cos 2α＝1＋cos2α2 ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.［例2］若270°＜α＜360°，化简：12 ＋12 12 ＋12 cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1，cos α＝2cos 2α2 －1 ∴12 ＋12 12 ＋12 cos2α＝12 ＋12 12 ＋12 （2cos 2α－1） ＝12 ＋12 cos 2α 又∵270°＜α＜360° 135°＜α2 ＜180°∴原式＝12 ＋12 cos α ＝12 ＋12 （2cos 2α2 －1） ＝cos 2α2 ＝－cos α2［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°∴原式＝12 cos80°cos40°cos20°＝12 ×cos80°cos40°cos20°sin20°sin20° ＝12 ×cos80°cos40°sin40°×12 sin20°＝12 ×cos80°sin80°×12 ×12 sin20° ＝12 ×sin160°×12 ×12 ×12 sin20° ＝116［例4］求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8(cos 2θ)2＝8(1＋cos2θ2 )2＝2(cos 22θ＋2cos2θ＋1) ＝2(1＋cos4θ2)＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 Ⅲ.课堂练习课本1、2、3、4.Ⅳ.课时小结理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业课本习题 1、2、3、4。
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3.2 二倍角的三角函数 (2)
一、教学目标
1．运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；
2．能运用公式解决一些简单的实际问题；
3．培养学生观察、推理的思维能力．
二、教学重难点
教学重点 二倍角公式的简单应用。
教学难点 二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。
三、教学方法
建构主义认为：教学应当用情节、背景真实的问题引导出所学的内容，通过营造解决问题的环境，启发学生积极思考和自主探究。
基于本节课的特点：二倍角三角函数公式是和角公式的特例，着重采用的教学方法是引导发现法．即：通过创设生动逼真和符合数学教学内容的问题情境，激发学生对数学问题的兴趣，帮助他们形成学习动机；提示新旧数学知识之间的联系线索，帮助学生建构当前所学数学知识的意义．
四、教学过程
一、复习引入
二倍角公式：
sin22sin cos ααα=； 22cos 2cos sin ααα=-；
22tan tan 21tan α
αα=-； 2cos 22cos 1αα=-；
2cos 212sin αα=-．
（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，
它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．
（2）二倍角公式为仅限于2α是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的
（3）熟悉“倍角”与“二次”的关系（括角—降次，缩角—升次）．
（4）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
221cos 21cos 2cos ,sin 22
αααα+-== 这两个形式今后常用． 二、数学运用
1. 例题.
例1 化简222sin ()sin ()sin 66
ππααα-++-。
法一: 由倍角公式2cos 212sin αα=-,得21cos 2sin 2αα-=
, 对原式进行降幂化简,角由单角变为倍角． 这里用到了21cos 2sin 2αα-=
,它和21cos 2cos 2αα+=，21cos2tan 1cos2ααα
-=+统称为降幂公式．
法二: 两角和差的正弦展开．
例2 求证: sin 50(13tan10)1+=
例3 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值,并写出该函
数在[]0,π上的单调递增区间．
注:解决三角函数问题,首先用公式进行化简,再按要求进行求解．
例4 已知11tan(),tan ,,(0,),2.27
αββαβπαβ-==-∈-求的值 这是一个由函数值求角的问题,这就需要求出这个角的某个三角函数值,并需要判断这个角所在的范围．
2. 练习．
（1）证明
①B A B A A 2cos 2cos )(sin B (cos 22=--+）
②θθθ2cos )tan 1(cos 22=-
（2）求函数y=的最小值x x x x cos sin 2sin cos 22+-
（3）11tan ,tan ,273
αβαβαβ==+已知且，都是锐角，求的值. （4）扇形AOB 的半径为1，中心角为
60，PQRS 是扇形内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求这个最大值．
三、课堂小结
1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．
2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．。