用定积分求面积的两个重要公式
积分学四大公式
积分学四大公式积分学四大公式是数学中非常重要的一部分，它们是求解积分的基础公式，也是数学中的基础知识。
在本文中，我们将详细介绍积分学四大公式的概念、应用和推导过程。
一、定积分的定义定积分是积分学中最基本的概念之一，它是对函数在一定区间内的面积进行求解。
定积分的定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]上f(x)的定积分为：∫a^b f(x)dx其中，dx表示自变量x的微小增量，f(x)表示函数在x处的函数值。
二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是积分学中最重要的公式之一，它将定积分与原函数联系起来，使得我们可以通过求解原函数来求解定积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式如下：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的原函数。
三、换元积分法换元积分法是积分学中常用的一种方法，它通过变量代换的方式将积分式子转化为更容易求解的形式。
换元积分法的公式如下：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u=g(x)。
四、分部积分法分部积分法是积分学中常用的一种方法，它通过将积分式子分解为两个函数的乘积，然后对其中一个函数求导，对另一个函数求积分，最后将两个结果相乘得到原积分式子的解。
分部积分法的公式如下：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是两个可导函数。
以上就是积分学四大公式的概念、应用和推导过程。
这些公式是积分学中最基本的知识，掌握它们对于学习高等数学和物理学等学科都非常重要。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的公式进行求解，以达到最优的效果。
用定积分求面积的两个重要公式
用定积分求面积的两个常用公式求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y ＝f ，直线＝a ，＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为A ＝|()|ba f x dx ⎰．特别地，（1）当f ≥0时如图1，A ＝()ba f x dx ⎰；（2）当f ≤0时如图2，A ＝－()baf x dx ⎰；⑶当f 有正有负时如图3，A ＝()caf x dx ⎰－()bcf x dx ⎰．公式二：由连续曲线y ＝f ，y ＝g ，f ≥g 及直线＝a ，＝b 所围成的图形如图4的面积A 为A ＝[()()]ba f x g x dx -⎰．二、应用举例例1由y ＝3，＝0，＝2，y ＝1图2图3图0围成的图形面积．分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．解：（1）如图1，由公式1，得S ＝230x dx ⎰＝42440111|204444x =⨯-⨯=．评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．例2（1）由曲线y ＝2，y 2＝所围成图形的面积． （2）由y ＝142－1，y ＝12，y ＝34x 在第一象限所围成图形的面积．分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．解：（1）如图2，所求面积为阴影部分． 解方程组22y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点0，0，1，1，由公式2，得S ＝120)x dx ⎰＝331202211()|33333x x -=-=．（2）如图3，解方程组211412y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和211434y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得＝0，＝1＋的舍去，＝4．由公式2，得图形面积S＝1031()42x dx -⎰＋42111[(1)]42x x dx --⎰216-=．3图。
用定积分求平面图形的面积_实用高等数学_[共2页]
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122 ▶实用高等数学
作d F ).
F 的近似值d
F 作积分表达式,在
[a ,b ]上积分,从而得到所求量F ,即.
为微元法,d F 称为微元.下面是微元法思想在实际问题中的广泛
应用定积分求平面图形的面积
直角坐标系中求平面图形的面积
求由两条抛物线y 2=x ,y =x 2
所围成的平面图形的面积.
解 两曲线所围图形如图6-12所示,确定区域所在范围,解方程组y 2
=x ,
y =x
2
,{
得交点(0,0),(1,1).积分变量选择x ,积分区间为[0,1];在积分区间[0,1]上任取一小区间[x ,x +d x ],则d A =(x -x 2)d x .
则所求图形的面积
A =
ʏ
1
0(x -x 2)d x =(23x 32-13x 3)10=13
.例求由曲线y =x 与直线y =-x 和y =1所围成的平面图形的面积
图6-14
故所求图形的面积。
利用定积分求曲线围成的面积资料
利用定积分求曲线围成的面积12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()b b ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。
⎰b a f (x )dx =⎰c a f (x )dx +⎰b c f (x )dx 。
解：先求出P 点坐标。
解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。
所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。
解：所求面积=11132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：123123()()()()()()()()c c c ba c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
定积分的应用求面积与弧长
定积分的应用求面积与弧长定积分是微积分中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是通过定积分来求解曲线的面积和弧长。
本文将介绍定积分在求解面积和弧长问题中的应用方法。
一、定积分求解曲线下面积在平面直角坐标系中，考虑曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭曲线。
我们希望求解这个封闭曲线所包围的面积。
设x的取值范围为[a, b]。
根据定积分的定义，可以用无穷小的矩形近似曲线下面积。
即将[a, b]区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，并在每个小区间内选择任意一个点xi。
那么第i个小区间的面积即为f(xi)Δx。
将所有小区间的面积累加起来，即可得到近似曲线下面积的总和：S≈Σf(xi)Δx当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线下面积。
所以我们可以得到曲线下面积的定积分表示：S=∫[a, b] f(x) dx其中，f(x)是曲线的函数，而dx表示对x的积分。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线下的面积。
二、定积分求解曲线的弧长另一个常见的问题是求解曲线的弧长。
考虑曲线y=f(x)在[a, b]区间上的一部分弧段。
我们可以将弧段分割成n个小弧段，每个小弧段的长度为Δs。
与求解面积类似，我们可以得到每个小弧段的长度：Δs≈√(Δx)²+(Δy)²其中Δy=f(xi+1)-f(xi)，Δx=xi+1-xi。
将所有小弧段的长度累加起来，即可得到对曲线的弧长的近似值：L≈ΣΔs当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线弧长。
所以我们可以得到曲线的弧长的定积分表示：L=∫[a, b] √(1+(f'(x))²) dx其中，f'(x)是曲线函数的导数。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线的弧长。
综上所述，定积分的应用可以帮助我们求解曲线的面积与弧长问题。
无论是求解面积还是弧长，都可以通过将曲线划分为无穷小的小区间或小弧段，并使用定积分的方法进行累加求和，最终得到准确的结果。
定积分求面积
定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。
其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。
今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。
极坐标定积分面积公式
极坐标定积分面积公式极坐标定积分面积公式是一种计算极坐标下曲线所围成图形面积的公式。
在极坐标系中，曲线可以用极坐标方程$r=f(\theta)$表示，其中$r$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与极轴的夹角。
假设我们要计算曲线上两个角度$\theta_1$和$\theta_2$之间的区域所围成的面积。
首先，我们可以将这个区域分成无数个小的扇形，每个扇形的角度为$\Delta\theta$。
然后，我们可以用每个扇形的面积来近似曲线所围成区域的面积。
每个扇形的面积可以通过计算扇形的弧长与扇形的半径的乘积得到。
扇形的弧长可以通过$r\Delta \theta$计算，其中$r$表示该扇形的半径。
因此，每个扇形的面积可以表示为$r\Delta \theta$。
要计算整个区域的面积，我们可以将所有扇形的面积相加。
当我们将扇形的数量无限接近于无穷大时，扇形的面积之和就会无限接近于区域的面积。
因此，我们可以使用极坐标定积分来计算整个区域的面积。
极坐标定积分面积公式可以表示为：$$A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}r^2 d\theta$$其中，$A$表示曲线所围成区域的面积，$\theta_1$和$\theta_2$表示角度的下界和上界，$r^2$表示曲线在不同角度对应的半径的平方。
这个公式可以将曲线的极坐标方程代入，然后计算定积分来求得曲线所围成区域的面积。
总结起来，极坐标定积分面积公式提供了一种计算极坐标下曲线所围成区域面积的方法。
通过将区域分成无数个小的扇形，并计算每个扇形的面积，我们可以使用极坐标定积分来求解整个区域的面积。
这个公式可以在许多实际应用中非常有用，例如计算圆形、螺旋线等图形的面积。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
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用定积分求面积的两个常用公式
求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．
一、两个常用公式
公式一：由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为
A ＝
|()|b
a
f x dx ⎰
．
特别地，（1）当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()b
a
f x dx ⎰
；
（2）当f (x )≤0时(如图2)，A ＝－
()b
a
f x dx ⎰
；
⑶当f (x )有正有负时(如图3)，A ＝
()c
a
f x dx ⎰
－
()b
c
f x dx ⎰
．
公式二：由连续曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )，f (x )≥g (x )及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的图形(如图4)的面积A 为
A ＝
[()()]b
a
f x
g x dx -⎰．
二、应用举例
例1 由y ＝x 3，x ＝0，x ＝2，y ＝0围成的图形面积．
分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．
解：（1）如图1，由公式1，得
1
图2
图
2 / 2
S ＝
2
30
x dx ⎰
＝
4244
0111|204444
x =⨯-⨯=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．
例2 （1）由曲线y ＝x 2，y 2＝x 所围成图形的面积． （2）由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝3
4
x 在第一象限所围成图形的面积．
分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分． 解：（1） 如图2，所求面积为阴影部分．
解方程组22
y x
y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得 S
＝1
2
0)x dx ⎰＝3312
02211()|33333
x x -=-=．
（2）如图3，解方程组2114
12y x y x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和
2114
34
y x y x ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩， 得x ＝0，x ＝1
＋负的舍去)，x ＝4． 由公式2，得图形面积 S
＝10
31
()42
x dx -⎰
＋4
2111
[(1)]42
x x dx --
⎰
216-=．
3
图。