定积分求面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求面积
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。
其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。
事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。
用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。
Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。
这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。
定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。
，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。
可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。
这个求和公式称为积分和。
设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。
如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。
之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法：特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下：1.当a=b时，2.当a>b时，3.在整数前可以提到常量。
4.代数和的积分等于积分的代数和。
5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。
6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
利用定积分求平面图形面积的一些讨论在数学中，定积分是一个非常重要的概念。
它可以用来求曲线下面的面积、体积等。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用定积分来求解平面图形的面积，并对其中的一些需要注意的问题进行讨论。
一、定积分求平面图形的面积通常情况下，我们使用定积分求解平面图形的面积主要分为以下两种情况：1. 若平面图形位于第一象限内，我们可以通过将其关于x轴或y轴进行对称，得到其关于某条轴的镜像图形。
然后，我们可以通过积分的方法求得该镜像图形的面积，再将其乘以2即可得到原图形的面积。
2. 若平面图形位于第三象限内，我们可以采用类似的方法，将其关于x轴和y轴进行对称，再将其平移至第一象限内，最后采用积分的方法求解面积。
二、需要注意的问题在使用定积分求解平面图形的面积时，我们还需要注意以下几个问题：1. 积分区间的确定在求解平面图形面积时，我们需要确定积分的区间。
通常情况下，这个区间并不是在平面直角坐标系中所表示的图形区域，而应该是其在积分方程中的区间。
因此，在进行计算之前，我们需要先画出该图形和其在积分方程中的区间，并根据图形和区间的特点确定积分的上下限。
2. 导数、微积分的运用在计算过程中，我们经常需要使用导数和微积分知识。
对于不熟悉这些知识的人来说，可能会产生一定的困难。
因此，在进行平面图形面积的计算时，我们需要对相关的导数和微积分知识有一定的了解，才能更好地进行计算。
3. 曲线積分的處理如果题目本身是一个曲线的方程或者是一个参数方程问题，我们还需要先将其转化为参数方程或者直接采用曲线积分的方法来求解。
另外，对于一些复杂的曲线问题，我们可能需要结合掌握一定的计算技巧和方法来进行计算。
三、总结定积分是求解平面图形面积的一个非常好的工具。
在进行计算时，我们需要注意导数、微积分等方面的知识，并结合所求图形的特点来确定积分区间、上下限等参数。
只有在掌握了这些知识和技巧之后，我们才能更好地求解平面图形的面积问题。
定积分求面积
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
圆的面积公式推导过程定积分
圆的面积公式推导过程定积分圆的面积公式推导过程（定积分法）一、建立坐标系。
我们以圆的圆心为原点建立平面直角坐标系。
设圆的半径为r，则圆的方程为x^2+y^2=r^2，即y = ±√(r^2)-x^{2}。
由于圆关于x轴对称，我们只需要计算上半圆的面积，然后乘以2就可以得到整个圆的面积。
上半圆的方程为y=√(r^2)-x^{2}。
二、利用定积分计算面积。
1. 确定积分区间。
对于圆来说，x的取值范围是从-r到r。
2. 计算定积分。
根据定积分的几何意义，函数y = √(r^2)-x^{2}在区间[-r,r]上与x轴所围成的图形的面积S为：S=2∫_0^r√(r^2)-x^{2}dx令x = rsinθ，则dx = rcosθ dθ。
当x = 0时，θ= 0；当x = r时，θ=(π)/(2)。
将x = rsinθ和dx = rcosθ dθ代入积分式可得：S=2∫_0^(π)/(2)√(r^2)-r^{2sin^2θ}· rcosθ dθ =2∫_0^(π)/(2)r√(1 - sin^2)θ· rcosθ dθ=2r^2∫_0^(π)/(2)cos^2θ dθ根据三角函数的二倍角公式cos^2θ=(1 + cos2θ)/(2)，则：S=2r^2∫_0^(π)/(2)(1+cos2θ)/(2)dθ =r^2∫_0^(π)/(2)(1 + cos2θ)dθ =r^2<=ft[θ+(1)/(2)sin2θ]_0^(π)/(2) =r^2<=ft((π)/(2)+ 0-(0 + 0)) =π r^2所以，圆的面积公式为S = π r^2。
定积分求面积
定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。
其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。
今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。
定积分的应用：平面图形面积
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 y e 2 4、 ； 5、 ； 6、 . e 2 3 7 2 a 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 ； 2 6 5 3 2 2 3 a 4、 ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
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3 8 2 4
128 4 16 4 16 0 8 36 3 3 3
9
用微元法求面积
d A f ( y) g( y)dy
dA
A c d A
d
f ( y ) g( y )dy c
d
求面积前需要做的准备工作有:
10
(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元;
(3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线
交点的坐标. (如图)
11
例 2 再求由
1 y x和 2 2 y 8 x
2
4
(8, 0)
所围图形的 面积.(如图)
12
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y ) 2 y]dy
亦即
设F(x)可微
b
a
f ( x )dx dF( x )
a
4
b
第二个问题：用定积分解决问题的关键 ——在找出整体量的微元： d F ( x ).
微元法解决问题的步骤
1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式：
d F ( x ) f ( x )dx (通常f ( x ) F ( x ))
2. 用定积分求出整体改变量：
F (b) F (a ) dF( x ) f ( x )dx.
a a
5
b
b
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area）
用微元法求面积
d A f ( x ) g( x )dx A dA
a b
f ( x ) g( x )dx
1.5 1 0.5
作业
0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5 -0.5 -1 -1.5
P.216-习题3.4
(A)-N.1( 单数除去 (7) )
22
dA2 f ( x ) g( x )dx [ 8 x ( 8 x )]dx
8
8 1 A [ x 8 x ]dx 2 8 x dx 8 2 4
4
1 2 2 4 x 3 (8 x )
3 2
2 2 (8 x ) 8 3
a
2
2
0
( 2 cos
/2
0
2
2
4
) d
2
令t / 2
2
4a 2
31 3 cos t d t 8a a2 4 2 2 2
2
例5 求双纽线： 4 sin2 所围封闭 图形的面积。
18
解 (当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过
分析求出面积？)
b a
6
例 1 求由 1 y x和 2 2 y 8 x 所围图形的
面积.(如图)
8
4
dA2
dA1
思考:求面积前需要做那些准备工作?
7
解 从图中可以明显看出所求面积分为两部 分: R1和R2 ,两块面积的微元分别为：
1 dA1 f ( x ) g( x )dx [ x ( 8 x )]dx 2
o
r
1 1 dA (弧 长) (半 径) [r ( )d ] r ( ) 2 2 1 2 A dA r ( )d 2
解
心脏线的对称
2 1
y 2(1 cos )
1 2 3 4
性是明显的，因 此
-1 -2
17
1 2 2 2 A 2 r ( )d a (1 cos ) d 0 2 0
2
A [8 y 2 2 y]dy
4
2
2 1 3 2 8y y y 3 4
那 种 方 法 好
8 64 Байду номын сангаас 16 4 32 16 36 3 3
？
13
例3
x cos t 3 求星形线所围面积， y sin t
20
si n2(
1 因此只要在 0 至 上积分 ,就得到 面积， 4 4 1 2 4 全面积 A 4 d 0 2
2 4 4 sin 2 d 4 cos 2
0
) sin( 2 ) cos 2 , 2 4
4
0
4
见图
21
2 4 sin2
分析 使用公式：A
2
解这个问题的难点在确定积分限。注意到
1 2 dA r ( )d 2
4 sin2 0, 又是周期函数 , 对于X 2 ,
变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
19
故有 0 2 或 2 2 3 ， 3 进而得 0 或 ， 2 2 由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重 复出现在第一、三象限,且图形关于原点对 又 关 于 y x (即 ) 对 称 ， 因 为 称， 4
4 2
2
例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：
r r ( ) ( ) 所围的面积,并求心脏
线r a(1 cos ), (a 0) 所围图形的面积.
用微元法先推导—
d
dA
d
r ( )
极坐标系下求面积 的表达式
r r ( )
3 3
A 4 ydx 4 sin t d cos t
3 3
1
0
0
4 sin t 3cos t ( sin t )d t
3 2
0
2
12
2 0
3 31 5 31 sin t (1 sin t ) d t 12 8 4 2 6 4 2 2
§4 定积分的应用
The Application
of Definite Integrals
一.微元法
二.几何应用
1
用定积分解决实际问题，应先明确
两个问题：
第一，定积分能解决哪类问题？(共性)
第二，用定积分解决这类问题方法的关
键是什么？
2
一、微元法
第一个问题：用定积分所解决问题的共性： 1. 都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量， 如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等； 2. 这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有
3
子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：
b a
f ( x )dx F (b) F (a )
[ xk 1 , xk ] F ( x )
k 1
n
记作 n
k 1
k
F ( x)
因 k F ( x) F ( x)xk o(xk )
f ( x )dx d F ( x )
3
1
0.5
它的参数方程为：
x cos 3 t 3 y sin t (0 t 2 )
2 3 2 3
-1 -0.5
y
dx
-0.5
0.5
1
直角坐标方程 ( x y 1)
-1
14
解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。
dA ydx sin t d (cos t )