定积分求面积
定积分求面积
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
积分与定积分的面积计算
积分与定积分的面积计算在数学中，积分和定积分是重要的概念，可用于计算曲线下的面积。
本文将针对积分和定积分的面积计算进行详细阐述，并提供一些实际应用的示例。
一、积分的概念积分是微积分的基本概念之一。
它用于计算函数在一定范围内的累积效果，可以看作是离散求和的极限过程。
积分符号一般表示为∫，表示对函数进行积分。
积分的结果常被称为原函数或不定积分。
二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，用于计算函数在指定区间上的累积效果，也可看做是曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫[a,b]，其中a和b分别表示积分的下限和上限。
三、面积计算的方法通常情况下，我们可以通过定积分来计算曲线下的面积。
以下是计算面积的一般步骤：1. 确定函数：首先需要确定要计算面积的函数。
该函数可以是一个已知的数学函数，也可以是通过数据点进行插值得到的函数。
2. 确定区间：确定要计算面积的区间范围，并将其表示为[a,b]。
3. 求定积分：利用定积分的性质，将函数代入定积分公式，计算出函数在该区间上的定积分值。
这个值即为曲线下的面积。
四、实际应用示例下面是一些实际应用示例，展示了如何利用积分和定积分计算面积：1. 圆的面积计算：对于一个半径为r的圆，可以利用积分计算该圆的面积。
以圆心为原点，确定上半部分圆弧的函数方程为y = sqrt(r^2 -x^2)，则面积计算公式为：S = 2 * ∫[0,r] sqrt(r^2 - x^2) dx。
2. 不规则图形的面积计算：对于一些不规则的图形，也可以通过积分和定积分计算其面积。
首先需要确定函数方程描述该图形，然后再进行定积分计算。
例如，椭圆的面积计算公式为：S = ∫[-a,a] sqrt(1-(x^2/a^2)) dx，其中a为椭圆长轴的一半。
3. 几何体的体积计算：类似地，利用定积分的原理，我们可以计算三维几何体的体积。
例如，圆柱的体积计算公式为：V = ∫[0,h] πr^2 dy，其中r为圆柱底面半径，h为圆柱高度。
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。
定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
定积分的几何意义公式如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。
这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。
举个例子来说明这个公式的应用。
假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上，我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。
根据定积分的计算方法，我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间，然后计算每个小区间上的面积并求和。
这样，我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。
通过这个例子，我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。
同时，这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。
除了图形的面积，定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。
如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上，那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线的长度。
这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。
通过定积分的几何意义公式，我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。
它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度，还可以应用于计算体积、质心等方面。
总结起来，定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念，它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
定积分圆的面积公式
定积分圆的面积公式
定积分圆的面积公式为：
$S = \pi r^2$
其中，$r$ 为圆的半径。
该公式表明了半径为 $r$ 的圆的面积是 $\pi r^2$，其中
$\pi$ 是一个常数，约等于 $3.14$。
该公式也可以用来计算圆的面积分布情况，例如在一个复合形状中只有一部分是圆形的情况下。
拓展：
该公式的来源可以追溯到古希腊的数学家阿基米德（Archimedes），他最早推导了圆的面积公式。
在现代数学中，圆的面积公式是积分学的重要应用之一，可以通过定义积分或曲线积分来证明它。
此外，圆的面积公式也可以推广到高维空间的球面积公式。
定积分求面积
定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。
其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。
今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
定积分求平面图形面积====================定积分是一种数学方法，用于计算曲线下的面积或曲面上的体积。
它可以用来求解平面图形的面积。
本文将讨论定积分求平面图形面积的原理，并通过实例说明它的应用。
一、定积分求平面图形面积的原理----------------------------------------------------------定积分求平面图形面积的原理是：将平面图形分解为若干矩形，利用每个矩形的面积来求得平面图形的面积。
具体来说，首先需要将平面图形的边界抽象为一个函数，然后将这个函数从横坐标的最小值到最大值分割成若干等份，每份称为一个矩形，每个矩形的面积可以用函数的值来计算，最后将所有矩形的面积加起来就可以得到平面图形的面积。
二、实例说明----------------------------------------------------------下面我们用一个实例来说明定积分求平面图形面积的方法。
假设我们要求解的平面图形是一个三角形，其边界可以用函数y=x-1来描述，且横坐标的最小值为0，最大值为2。
首先，我们将横坐标从0到2分割成4份，即0，0.5，1，1.5，2，每份称为一个矩形，然后计算每个矩形的面积。
由于横坐标的最小值为0，所以第一个矩形的面积为0；第二个矩形的面积为0.5*(1-1)=0；第三个矩形的面积为1*(2-1)=1；第四个矩形的面积为1.5*(2-1)=1.5；最后，将4个矩形的面积加起来，即可得到三角形的面积为2.5。
结论----------------------------------------------------------以上就是定积分求平面图形面积的原理及其应用，它可以用来计算各种平面图形的面积，是一种有效的数学方法。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
定积分的计算
定积分的计算定积分是微积分中的一个重要概念，用来计算曲线与x轴之间的面积或曲线的弧长等问题。
本文将介绍定积分的概念、性质和计算方法。
一、定积分的概念定积分是一种数学运算，用来计算曲线与x轴之间的面积。
它的定义是在一个区间上划分出无穷多个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和，然后取极限。
用符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示微元长度。
二、定积分的性质1. 定积分具有可加性，即∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
2. 定积分的区间可加性，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
3. 定积分的值与被积函数的符号无关，即∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
4. 定积分的值与积分区间的长度无关，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[ka,kb]f(x)dx，其中k为任意非零常数。
三、定积分的计算方法计算定积分的方法有很多种，以下是一些常用的方法：1. 几何方法：对于一些简单的几何图形，我们可以利用几何的知识来求解。
例如，对于一个矩形的面积，可以直接计算长度乘以宽度。
2. 切割方法：将区间切割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的面积之和。
当小区间趋近于无穷小时，这个和就是定积分的值。
这种方法也被称为黎曼和的定义。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：若函数G(x)是f(x)的一个原函数，则定积分可以通过G(b) - G(a)来计算，其中a、b是积分区间的端点。
4. 变量代换法：对于一些复杂的函数，可以通过变量代换来简化问题。
例如，对于∫(x^2 + 1)dx，我们可以令u = x^2 + 1，然后计算∫udu，最后再带回原来的变量。
5. 分部积分法：对于一些产品的积分，可以利用分部积分公式来求解。
该公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
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找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。
其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。
事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。
用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。
Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。
这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。
定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。
，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。
可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。
这个求和公式称为积分和。
设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。
如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。
之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法：
特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下：
1.当a=b时，
2.当a>b时，
3.在整数前可以提到常量。
4.代数和的积分等于积分的代数和。
5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。
6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。
7.积分中值定理：如果f(X)在[a，b]上连续，则在[a，b]中至少有一个点ε。