定积分求面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求面积
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。
其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。
事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。
用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。
Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。
这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。
定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。
，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。
可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。
这个求和公式称为积分和。
设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。
如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。
之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法：特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下：1.当a=b时，2.当a>b时，3.在整数前可以提到常量。
4.代数和的积分等于积分的代数和。
5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。
6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。
定积分求面积
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
利用定积分求曲线围成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。
解：先求出P点坐标。
y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。
2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。
f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。
解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。
定积分求面积专升本练习题
定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一：计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \)，求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 2]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。
5. 得出结果：面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。
#### 练习题二：计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 3]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。
5. 得出结果：面积为 \(1.25\) 平方单位。
#### 练习题三：计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([-2, 2]\)。
定积分求曲线所围面积
定积分求曲线所围面积
求曲线所围面积是一类常见的高数问题，主要分为定积分法和曲线积分法。
定积分法：
定积分法是一种基于定积分的方法，即把目标曲线与X轴或Y轴之间的闭合图形拆分
成N片矩形，利用定积分累加各片形积，从而计算出闭合图形的总面积。
定积分法求解曲
线面积的具体步骤如下：
（1）设置确定积分区间，把目标曲线与X轴或Y轴之间的闭合图形分割成N片矩形。
（2）求每片矩形的面积，可以根据不同的曲线而采用不同的方法，例如把抛物线的
面积拆分为两个三角形的总面积，把正弦曲线的面积拆分为两个一半三角形的总面积。
（3）叠加所有矩形的面积，计算出曲线所围的面积。
曲线积分法：
曲线积分法也称为极限法，是一种以曲线的方程式为基础的方法，是用来计算曲线在
某个区间内的积分值。
此方法可以用来精确计算曲线围成的面积。
曲线积分法求解曲线面
积的具体步骤如下：
（1）根据曲线的方程式，把曲线切割成N片矩形，利用定积分计算出每片矩形的积
分值。
（2）叠加所有矩形的积分值，计算出曲线所围的面积。
（3）除此之外，还可以根据曲线的特殊形状，将曲线分割成若干个更小的形状，再
用曲线积分法计算每块小形状的积分值，最后叠加所有积分值求得曲线所围的面积。
以上便是定积分法与曲线积分法求曲线所围面积的基本流程，不过具体的数学推导过
程还需要考虑曲线的函数形式以及积分的具体应用，此外，还可以采用数值积分的方法来
解决这一问题。
通过以上两种方法，可以较为精准的求出曲线所围的面积。
定积分求面积体积的推导公式
定积分求面积体积的推导公式定积分这个东西啊，在数学里可真是个厉害的角色！特别是在求面积和体积的时候，那作用可大了。
咱们先来说说定积分求面积的推导公式。
想象一下，有一块不规则的土地，咱们想知道它的面积，可这形状弯弯扭扭的，咋整？这时候定积分就派上用场啦！比如说，有一条曲线 y = f(x) ，它在 x 轴上方，咱们要找从 a 到 b 这段区间里，曲线和 x 轴围成的面积。
咱们把这个区间分成很多很小很小的小段，每一小段的宽度用Δx 表示。
那在每一小段上，咱们可以近似地把这一小部分看成一个矩形。
这个矩形的高度就是 f(x) 在这一点的值，宽度就是Δx 。
然后呢，把这些小矩形的面积都加起来，就越来越接近真正的面积啦。
当Δx 变得越来越小，一直小到趋近于 0 的时候，这些小矩形面积的和就变成了定积分。
我给您举个例子啊，就说咱们有个函数 y = x^2 ，要算从 0 到 2 这段和 x 轴围成的面积。
咱们先把区间 [0, 2] 分成 n 个小段，每个小段的宽度就是 2 / n 。
那第 i 个小段的横坐标就是 2i / n 。
这一小段的面积近似为 (2i / n)^2 × (2 / n) 。
把所有小段的面积加起来，得到一个式子：S ≈ ∑[(2i / n)^2 × (2 / n)] （i 从 1 到 n）然后对这个式子进行化简，当 n 趋向于无穷大的时候，就得到了定积分：∫(0 到 2) x^2 dx = [x^3 / 3] |(0 到 2) = 8 / 3您看，通过这样一步步的推导，就能算出这个不规则图形的面积啦！再来说说定积分求体积。
体积的推导和面积有点类似，但又有一些小差别。
假设咱们有一个旋转体，就像一个花瓶，是由曲线 y = f(x) 绕着 x轴旋转得到的。
咱们还是把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多小段。
在每一小段上，把曲线绕 x 轴旋转一圈，就得到了一个很薄的圆盘。
这个圆盘的体积可以近似看作一个圆柱体的体积，圆柱体的底面半径就是f(x) ，高度就是Δx 。
定积分求面积
定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。
其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。
今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。
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变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
18
故有 0 2 或 2 2 3 ，
进而得 0 或 3 ，
2
2
由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重
复出现在第一、三象限,且图形关于原点对
称，又关于 y x (即 ) 对称，因为
12 3 1 5 3 1
3
0
42 642 2 8
例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：
r r( ) ( ) 所围的面积,并求心脏
线r a(1 cos ), (a 0) 所围图形的面积.
用微元法先推导—
亦即
b
b
a f ( x)dx a dF ( x)
3
第二个问题：用定积分解决问题的关键 ——在找出整体量的微元：d F( x).
微元法解决问题的步骤
1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式：
d F( x) f ( x)dx (通常f ( x) F( x))
2. 用定积分求出整体改变量：
10
例 2 再求由
y 1x和 2
y2 8 x
所围图形的 面积.(如图)
2 (8, 0) 4
11
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y2 ) 2 y]dy
A 2 [8 y2 2 y]dy 4
那 种
8 y 1 y3 y2 2
用定积分解决实际问题，应先明确 两个问题：
第一，定积分能解决哪类问题？(共性) 第二，用定积分解决这类问题方法的关
键是什么？
1
一、微元法
第一个问题：用定积分所解决问题的共性： 1. 都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量，
如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等；
2. 这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有
d
极坐标系下求面积
d
的表达式
dA
r( )
r r( )
o
r
dA 1 (弧长) (半径) 1 [r( )d ] r( )
2
2
A dA 1 r 2( )d
2
解 心脏线的对称 性是明显的，因
此
2
1
y 2(1 cos )
例5 求双纽线： 2 4sin2 所围封闭
图形的面积。
17
解 (当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过
分析求出面积？)
分析
使用公式：A
1
dA
r 2( )d
2
解这个问题的难点在确定积分限。注意到
4sin2 2 0, 又是周期函数,对于X 2 ,
4
19
s in 2(
)
sin(
2
)
cos 2
,
4
2
因此只要在0 至 上积分,就得到 1 面积，
4
4
全面积
A 4
4
1 2d
02
2 4 4sin2 d 0
4cos 2
4 0
4
见图
20
所围图形的
面积.(如图)
dA1
4
dA2
思考:求面积前需要做那些准备工作?
6
解 从图中可以明显看出所求面积分为两部
分: R1和R2 ,两块面积的微元分别为：
dA1
f
(
x)
g(
x)dx
[1 2
x
(
8 x )]dx
dA2 f ( x) g( x)dx [ 8 x ( 8 x )]dx
b
b
F (b) F (a) a dF( x) a f ( x)dx.
4
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area）
用微元法求面积
d A f (x) g( x)dx
b
A a d A
b
a
f
(
x)
g(
x)dx
5
例 1 求由 y 1x和
2 y2 8 x 8
方 法
3
4
好
16 8 4 32 64 16
3
3
36
？
12
1
例3
求星形线所围面积，
x y
cos3 sin3
t t
0.5
它的参数方程为：
y
x cos3 t
y
sin3
t
-1
(0 t 2 )
-0.5
dx 0.5
-0.5
1
7
A
41 [ x
8 x ]dx
8
2
8 xdx
8 2
4
1 4
x2
2 (8 3
3
x)2
4
8
2
2 (8 3
3
x)2
8 4
4 16 16 128 4 0 8 36
3
3 3
8
用微元法求面积
1
2
3
4
-1
-2
16
A 2 1 r 2( )d a2 (1 cos )2d
20
0
a2 (2cos2 )2d 令t / 2
0
2
4a2 2 / 2 cos 4td t 8a2 3 1 3 a2
0
42 2 2
2
子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：
n
记作 n
[ xk1 , xk ]F ( x)
kF(x)
k 1
k 1
因 k F ( x) F ( x)xk o(xk )
f ( x)dx d F( x) 设F(x)可微
2
2
直角坐标方程 ( x 3 y 3 1)
-1
13
解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。
dA ydx sin3 t d(cos 3 t)
A 4
1 0
ydx
4
0
sin3
t
d
cos3
t
2
4
0
sin3
t
3cos2
t
( sint)d t
12
2
2 sin4 t(1 sin2 t)d t
d A f ( y) g( y)dy
d
dA
A c d A
d
c
f
(
y)
g(
y)dy
求面积前需要做的准备工作有:
9
(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元; (3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线
交点的坐标. (如图)