无穷大无穷小,两个重要极限
函数与极限数列极限函数极限无穷大与无穷小的性质两个重要
1.函数与极限：数列极限、函数极限；无穷大与无穷小的性质；两个重要极限；函数的连续性与间断点；闭区间上连续函数的性质。
2.导数与微分：导数概念；函数的求导法则、二阶导数；函数的微分；洛比达法则；函数的单调性与极值。
3.不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念；第一换元积分法与第二换元积分法；分部积分法；微积分基本公式、牛顿-莱布尼茨公式；定积分性质与计算；反常积分的计算。
4.微分方程：微分方程的基本概念、变量分离方程、齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、常数变易法。
5.多元函数微分：多元函数的概念、二元函数的极限和连续性；偏导数的概念、偏导数计算；全微分概念、全微分的计算；多元函数的极值及其求法。
6.二重积分：二重积分的计算；重积分的应用。
7.无穷级数：常数项级数的概念和性质、收敛法则；幂级数的概念及收敛半径、收敛域；函数展开成幂级数的方法；掌握判别无穷级数、正项级数和交错级数的敛散性的方法；理解绝对收敛与条件收敛的关系。
无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限
第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。
无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。
若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。
且若函数是无穷大，则函数必无极限。
但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。
如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。
显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。
将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。
共有21种无穷大的定义。
例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。
❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。
1.5极限的运算法则、两个重要极限
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限 无穷小比较
课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ， （2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ， 所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证 由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义 数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证 只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1． （8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解 令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1） 在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2） 在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解 令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解 令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节 无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义 设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ） （x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证 因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解 因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解 当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===， 所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
第四次课 两个重要极限 无穷小与无穷大
思考题
若 f ( x ) 0 ， 且 lim
x
f (x) A，
问：能否保证有 A 0的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
例 f (x)
lim
1 x
x 0,
1 x A 0.
有 f (x)
1 x
0
x
f ( x ) lim
x
但 y ( x k ) 2 k sin 2 k 0 M .
不是无穷大．
例
证明 lim
1 x 1
x1
.
y 1 x 1
定义 : 如果 lim
x x0
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
性质：
x
x 0
1 2x
1.6 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
1.无穷小量定义
定义1。 若
定义2。 若
n
(极限为零的变量)
lim x n 0 , 则 称 { x n } 为 无 穷 小 量
lim f ( x ) 0 , 则 称 f ( x ) 在 x a 的 过 程 中 为 无 穷 小 量
(3)lim x
2
x 0
0 , 故 当 x 0时 , 3 x 2 是 比 x高 阶 的 无 穷 小 量 ,
2
x 2
x2
1, 故 当 x 2 时 , x 2 与 x 2 是 等 价 无 穷 小 .
即 x x 2, ( x 2 ).
性质(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
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1
x 0
1
0
练 习 题
x
3、 lim 1 t t
t 0 1 t 0
e
2t 2 1
4、 lim 1 2 t t lim 1 2 t
t 0
e
2
5、 lim
sin 3 x x
x 0
lim
解：
lim
2 3
n
n
4 1
n
2 lim 4
n
n n
3 4 1
n
1
4
00 1 0 0
n
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例7
求 lim
x 2
x2 x 1 1
常 见 例 题 解 析
解：原式 lim2 x
lim
x 2
x 1 1
x 1 1
1
x
1 3
练 习 题
C、 lim
x
x
lim sin x 0 ;D、 lim 1 x x e ;
x
x
三、计算题 1、 lim
1 co s 2 x x
2 x 0
；
2、 lim
tan 2 x sin 3 x
x
x 0
3、 lim 1 2 x ；
x 0
1 cos x
解：原式
x 2 sin 2 sin 2 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x t
2
x
2
2
x
应 用 举 例
1 2
sin lim
x 0
2
x 2
2
x 2
x sin 1 2 lim 2 x 0 x 2
第一章
极限与连续
第三节 无穷大与无穷小 第四节 两个重要极限
重 点 难 点
• 知道什么是无穷大什么是无穷小（除 了0以外，两个都是变量） • 理解无穷小的三个性质（此三个性质 是无穷大没有的） • 掌握利用无穷大与无穷小的关系求函 数极限的方法。 • 熟悉求几种不同类型的函数的极限的 方法。 • 掌握两个重要极限的形式，变形形式 • 能熟练的利用两个重要极限的结论求 给的函数的极限
b0 x b1 x
m
常 见 例 题 解 析
求解方法：分子分母同除以x的最高次幂 一般的有如下结论：
lim a 0 x a1 x
n n 1 m 1
a2 x b2 x
n2 m2
... a n 1 x a n ... b n 1 x b n
n m n m n m
x1
0 5
0
由无穷小与无穷大关系知： lim
x1
倒数法，适用范围分母极限为0，分子极限 不为0
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例 2：求 lim
x 2
x x2
2
x 4
2
常 见 例 题 解 析
解： lim
x x2
2
x 2
x 4
2
lim
( x 2 )( x 1) ( x 2 )( x 2 )
1
1
3
x 2x
是无穷大量； x 1 当
时， x
2
x 1
是无穷大量；当 x 2
是无
穷大量。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
• 注意 • 1、除了0以外，无穷大与无穷小都是变量 • 2、无穷小，不是指数值越来越小，而是 指数值越来越趋近于0 • 3、无穷大有两种情形，一是正的无限增 大，一是负的无限增大 • 4、任何一个常数，无论多大都不是无穷 大，除了0以外，任何一个常数，无论多 小，都不是无穷小 • 5、指出一个变量是无穷大或者无穷小的 同时，要指出变化趋势。 • 6、0是唯一的一个无穷小常数。
1
12 1
1
1 lim 1 x 2x 1
1
2 1 2 lim 1 x 2x 1 t
1 lim 1 e t t
t
e2
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一、填空题 1、 lim 2、 lim
x 1 x2
x 2
lim
x 2
3 4
通分法：适用范围，分子分母极限同时 为0的有理分式
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例 3：求 lim
x
a0 x a1 x
n
n 1 m 1
a2 x b2 x
n2 m2
... an1 x an ... bn1 x bn
2
1 2
1
2
1 2
lim
x 0
sin t t
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例 5： 求 lim 1 x x
x 0
1
解：原式 lim 1 x x x 0
1
应 用 举 例
1
lim 1 x x 0
x
1
x lim 1 x x 0 t 1 1 x lim 1 x x 0
x 0
sin x x
1
x 0 ,t
lim t sin
t
1 t
1
二、 两 个 重 要 极 限
1
2、 1 x x e lim
x 0
1
1
倒数
1 lim 1 e t t
t
令t
1 x
x 0 ,t
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x 1 1
x 2
x 1 1 2
同理，若分子出现根式，方法一样—根式 有理化
lim x 1 1 x2
lim
lim
x 1 1
x 1 1
x 2
x 2
x 2
1 x 1 1
x 1 1
1 2
x 2
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令t
1 x
1、 lim
sin 3 x
x 0
3
3
3x
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二、选择题 5、下列关于极限运算正确的是（ A ） A、 lim
sin x x sin x x lim 1 x
x 0
1 ;B、 lim
x 2
2
x
3x 4x
2
lim x 2
2
lim 3 x 4 x
2 x
x x 0
1
2 4、 lim ln 1 x x
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计算极限
解： x 1 x 1
x 1 lim x x 1
x 1 2 x 1
x
1
x
2 x 1
x 1 2 2 1
思 考 题
2 lim 1 2 原 式 lim 1 x x 1 x x 1
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例 1：求 lim
x 0
tan x x
应 用 举 例
解： lim x 0
tan x x
lim
sin x x sin x x
x 0
1 co s x 1 co s x
lim
x 0
lim
x 0
11 1
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例 2：求 lim
x 0
sin Rx x
lim f ( x ) A 的充要条件是 f ( x ) A a ,其中 a 是
该变化趋势下的无穷小。
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一 、 无 穷 大 与 无 穷 小
4、无穷小的三个性质
⑴ 有限个无穷小量的代数和是无穷小。 ⑵ 有限个无穷小量的乘积是无穷小。 ⑶ 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。
关于两个重要极限的几点说明：
二、 两 个 重 要 极 限
其中 t 可以是自变量也可以是中间变量。
使用这两个公式时一定要注意公式的形式特 征和变量的变化趋势。对于 lim
t 0
sin t t
1 ，要
使 t 0 且分子、分母为同一变量 t 。防止 出现 lim
sin 2 x x
x 0
1 这样的错误。
m
5、 若 m 2, 则 lim 若 m 4, 则 lim 若 m 3, 则 lim 2x
3x 2
3
x m
x 2x 3x 2
3
0
x
x 2x 2x
m
3x 2
3
x
x 2x
2
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例 5 求 lim
n
1 2 3 ... n 3n 4
x 0
应 用 举 例
解：原式
3x lim x 0 sin 2 x
3 2
lim lim
2x sin 3 x
2 x
3x sin 2 x 2x
t
x 0
3x sin 2 x 2x
lim
t 0
sin t t
x 0
u
lim
u 0
3 2
sin u u
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例 4： 求 lim
x
b0 x