高数下册 第七章 微分方程习题课 (一)(二)

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dy y (3) = dx 2( ln y − x) 提示: 提示 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) + x y − x3 y3 = 0 dx z = y−2 提示: 提示 为贝努里方程 , 令 y dy − x dy 微分倒推公式 (5) xdx + ydy + =0 x2 + y2 提示: 提示 为全微分方程 , 通解
B = −417
原方程通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 原方程通解为 思考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 提示 特解设法有何变化 ?
故 y * = Acos 2x + Bsin 2x + D
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′′ − a y′2 = 0 y P327 题4(2) 求解 y x=0 = 0 , y′ x=0 = −1
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q Q = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
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求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
dp dp = f ( x, p) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 x2 y′′ + px y′ + qy = f (x) d t 令 x = e ,D= dt [D(D −1) + pD+ q] y = f (et ) 练习题: P327 题 2 练习题
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为通解的微分方程 .
提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
(7) y′′ + 2 y′ + 5y = sin2x
特征根: 特征根 齐次方程通解 通解: 齐次方程通解 Y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 令非齐次方程特解为 特解 代入方程可得 A = 117 ,
a dx =− b dy
(
x ( 齐次方程 ) x 2 ) +1 + y y
y=h
定解条件 x
求解过程参考P273例3 ) = 0 . ( 求解过程参考 例
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P327 题6. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ?( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 与原有空气很快混合均匀后 以相同的流量排出 ) 5400 提示: 设每分钟应输入 提示 t 时刻车间空气中含 的改变量为 两端除以 ∆ t , 并令 ∆ t → 0 则在 [ t , t + ∆ t ]内车间内
1 − y3 e = ex + C 3
y3 + x
y3
x , 故为分离变量方程: ⋅ e 故为分离变量方程
通解
5
(2) x y′ = x2 − y2 + y
即为齐次方程 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 化为分 离变量方程. 离变量方程 y 2 y xu′ = 1 − u2 y′ = 1 − ( ) + x x
(2003考研 考研) 考研
= g2( x) + f 2( x) = [g( x) + f ( x)]2 − 2 f ( x)g( x) = (2ex )2 − 2F( x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程 满足的一阶线性非齐次微分方程: 所以
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F′( x) + 2F( x) = 4e2 x
4
例1. 求下列方程的通解
1 ′ + 2 e y + x = 0; (1) y y 1 (3) y′ = 2 ; 2x − y
3
(2) x y′ = x2 − y2 + y ;
6x3 + 3x y2 (4) y′ = − 2 3. 3x y + 2y
提示: (1) 因e 提示
=e − y3 dy = e x dx − y2e
y 2 y x < 0 时，′ = − 1 − ( ) + y x x 1 (3) y′ = 2x − y2
xu′ = − 1 − u2
dx 化为 − 2x = − y2 , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
6
6x3 + 3x y2 (4) y′ = − 2 3x y + 2y3
第七章 习题课 (一) 一阶微分方程的 解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
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一、主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 1.直接积分法 2.可分离变量 2.可分离变量 3.齐次方程 3.齐次方程 4.可化为齐次 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 5.全微分方程 6.线性方程 6.线性方程
可分离变量方程求解
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(4) y2( x − 3 y )dx + (1 − 3 x y2 )dy = 0
2 2 变方程为 y xdx + dy − 3 y ( ydx + xdy) = 0
两边乘积分因子 µ = y−2
xdx + y−2 dy − 3( ydx + xdy) = 0
用凑微分法得通解: 用凑微分法得通解
1 2 x 2
−y
−1
−3 x y = C
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例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) ＝ － 内满足以下条件: 内满足以下条件 f ′( x) = g( x), g′( x) = f ( x), 且 f (0) = 0, f ( x) + g( x) = 2e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出 求出F(x) 的表达式 . 解: (1)Q F′( x) = f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
m3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
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第七章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y • 2 = f ( x) dx
2
逐次积分求解
dy 令 p( x) = 2 d y dy dx • = f ( x, ) dx dx2 dy 令 p( y) = 2 d y dy dx • = f ( y, ) dx dx2
2 du u
x=e
−
∫
∫ [ ∫ − 2e
2 du u
du + C ]
1 = 2 [ ∫ −2u2 du + C ] u 故原方程通解
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二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: 关键问题是正确建立数学模型 要点 利用共性建立微分方程 利用个性确定定解条件. 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 为平行直线 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子 在静水中 的游速大小为 设鸭子(在静水中 的游速大小为b 在静水中)的游速大小为 A (b > a), 且鸭子游动方向始终朝着点 , 且鸭子游动方向始终朝着点O Pa h 求鸭子游动的轨迹方程 . b 提示: 如图所示建立坐标系. 提示 如图所示建立坐标系 则 o x a = (a , 0) 设时刻t 鸭子位于点P 设时刻 鸭子位于点 (x, y) , 则鸭子游速 b 为
(9) ( y − 3x ) dy + x ydx = 0
4 2
提示: 提示 可化为贝努里方程 令 z = x2
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(10) y′ + x = x2 + y
提示: 提示 令 u = x2 + y − x , 即 y = 2 x u + u2 , 则 du du dy = 2u + 2x + 2u dx dx dx 原方程化为
(2) 2 x ln xdy + y( y2 ln x − 1)dx = 0
3x2 + y2 − 6x + 3 (3) y′ = 2x y − 2 y (4) y2( x − 3 y )dx + (1 − 3 x y2 )dy = 0
提示: 提示 (1) 原方程化为 du u 分离变量方程) 分离变量方程 = lnu (分离变量方程 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 3 dy 1 y y=− − 令 z = y− 2 (贝努里方程 贝努里方程) 贝努里方程 d x 2x ln x 2x 8
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F( x) = e ∫
− 2d x
∫ 2d x d x + C ] [ ∫ 4e ⋅e
2x
= e−2x [ ∫ 4e4x d x + C ]
= e2 x + Ce−2x
代入上式， 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式， C = −1 得
于是
F( x) = e2 x − e−2x
0.04 x ∆t − k ⋅ ∆t ∆x = k⋅ 100 5400
得微分方程
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初始条件
解定解问题
dx k k x= + d t 5400 2500