第22章量子力学基础教案
量子力学授课教案
量子力学授课教案第一章：绪论教学目的：了解经典物理在解释微观世界运动规律时遇到的主要困难以及为克服这些困难所提出的一些新的假设。
教学重点：普朗克假设的基本思想；德布罗意假设的基本思想和数学表述。
教学难点：物质波概念。
教学时数：6课时教学方法：讲述法为主，辅以浏览部分历史人物图片以提高学习兴趣。
量子力学课程介绍一、量子力学研究内容量子力学是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子）运动规律的理论，是在上世纪二十年代总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。
二、量子力学在物理学上地位1、量子力学是物理学三大基本理论之一。
物理学基本理论分三大块：经典物理学---研究低速、宏观物体；相对论---------研究高速运动物体；量子力学------研究微观粒子。
2、相对论、量子力学是近代物理的二大支柱。
3、量子力学与现代科学技术是紧密相连，凡涉及原子分子层次的现代科技都离不开量子力学，如半导体技术、纳米材料、激光、量子通讯、量子计算机等。
现代医学、生物基因工程也与量子力学紧密相关，许多疾病、有关生命现象只有在原子分子层次上才能加以解释。
三、量子力学特点1、抽象独立于经典物理，自成一套系统，脱离人们的日常生活经验，难以理解，如波粒二象性、微观粒子没有运动轨道等。
理论本身一些内容不能直接用实验验证，如薛定谔方程、E=hν等，原因是微观粒子太小，目前实验无法直接观察。
2、理论形式本身不是唯一的。
量子力学目前主要有二种理论形式：薛定谔波动力学；海森堡矩阵力学；另外还有路径积分理论（比较少用）。
其原因是量子力学理论基本上结合实验假设、猜测出来的，主观成份较多。
3、量子力学参考书很多，较适中的有：量子力学教程周世勋量子力学惠和兴量子力学导论曾谨言量子力学曾谨言量子力学基础关洪还有各高校的量子力学教材等。
四、本章概述：本章作为讲述量子力学的绪论，主要介绍在十九世纪末、二十世纪初物理学的研究领域拓展到微观世界时人们发现的经典物理理论在解释微观现象时出现的困难。
大学物理：第 22 章 量子力学基础
海森堡（W. Heisenberg）在1927年发表了著名的位 置—动量不确定关系
x px ~ h
以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射 “中央亮纹”半角宽度满足：
x
如果把单缝看成对电 子坐标的测量仪器， x— 相当于对电子坐 标测量的不确定度。 单缝存在使电子在x方向的动量分量出现不确定性
的概率为：
对N 个粒子， N Ψ
给出粒子数的分布密度。
* ( r , t )dV r , t r , t dV * dN NΨ r , t Ψ r , t dV
对N 粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为
[例22-2] 用几率波说明弱电子流单缝衍射 让入射电子几乎一个一个地通过单缝 底片上出现一个一个的点子，开始时 点子无规则分布 —— 说明电子具有 “粒子性”，但不满足经典的决定论。 随着电子数增大，逐渐形成衍射图 样——衍射图样来源于“单个电子” 所具有的波动性——统计规律。 一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果。 德布洛意波（物质波）也称为概率波。
Einstein-Bohr 争论（1927-1955） 在1927年Solvey会议上： Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前 一个电子落在何处有关，这是不可能的。 Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。
Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以 设计更精确的实验仪器解决。
说明：
1. Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。
有意义的是
2 * r , t r , t r , t r , t
2
对单个粒子， Ψ
高中物理教案探索量子力学的基本原理
高中物理教案探索量子力学的基本原理高中物理教案：探索量子力学的基本原理引言：量子力学是现代物理学的一项重要理论，研究微观领域的物质行为。
本教案旨在通过一系列有趣的实验和探究活动，引导学生探索量子力学的基本原理，激发学生对于物理学的兴趣，并培养学生的实验设计和数据分析能力。
实验一：光的波粒性目标：通过干涉实验观察光的波粒二象性。
实验步骤：1. 准备一个狭缝装置：将一块密集排列的细孔纸固定在一个开口可调的支架上。
2. 将激光指向细孔纸，使光通过细孔形成一个狭缝。
3. 在狭缝后方放置一个屏幕，观察屏幕上的干涉条纹。
4. 将狭缝的宽度逐渐减小，观察干涉条纹的变化。
实验结果及分析：当狭缝较宽时，光通过后在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹。
当狭缝越窄，形成的干涉条纹越宽。
这说明光具有波动性。
然而，当狭缝至极窄，光通过后在屏幕上形成一系列亮点。
这表明光也具有粒子性。
实验二：电子的波粒二象性目标：通过双缝干涉实验观察电子的波粒二象性。
实验步骤：1. 准备一个双缝装置：在一块金属薄膜上钻两个极其接近，并且宽度较小的细缝。
2. 将一个电子束瞄准双缝，使电子通过细缝形成一个电子波。
3. 在电子波后方放置一个屏幕，观察屏幕上的干涉条纹。
4. 关闭一个缝隙，观察干涉条纹的变化。
实验结果及分析：当两个缝隙都打开时，电子波通过后在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹，说明电子具有波动性。
当只打开一个缝隙或关闭一个缝隙时，干涉条纹消失，电子表现出粒子性。
这些实验结果验证了电子也具有波粒二象性。
实验三：量子隧穿效应目标：观察并探究粒子在势垒中的隧穿现象。
实验步骤：1. 准备一个势垒装置：在透明材料上涂敷一层金属箔，并使其形成一个狭缝。
2. 将一个电子束瞄准势垒，使电子射向狭缝，并观察后方屏幕上的电子分布图案。
3. 改变势垒的高度和宽度，观察电子分布图案的变化。
实验结果及分析：当势垒高度较高或宽度较宽时，电子很难通过势垒，因此在后方屏幕上观察不到电子的分布图案。
物理学中的量子力学高中一年级物理科目教案
物理学中的量子力学高中一年级物理科目教案一、教案简介本教案是为高中一年级学生编写的物理科目教案，主要内容涉及物理学中的量子力学。
量子力学是物理学中的一个分支，研究微观尺度下物质的性质和运动规律，对于理解原子、分子等微观世界的行为有着重要的影响。
通过本教案的学习，学生将能够初步认识量子力学的基本概念和主要原理，为今后的学习打下坚实的基础。
二、教学目标1. 知识目标：- 理解量子力学的基本概念，如波粒二象性、不确定性原理等；- 了解量子力学的主要实验现象，如光电效应、康普顿效应等；- 了解量子力学的基本数学工具，如波函数、算符等。
2. 能力目标：- 能够运用波粒二象性理论解释物质的性质和运动规律；- 能够分析和解决与量子力学相关的实际问题；- 能够进行一些简单的实验观测和数据分析。
3. 情感目标：- 培养学生对物理学科的兴趣，激发学习的主动性和探究精神； - 培养学生的观察、思考和解决问题的能力；- 培养学生严谨的科学态度和实验精神。
三、教学内容1. 波粒二象性- 波动理论和粒子理论的发展历程- 德布罗意假设和波动性粒子的表现形式- 波长、频率和能量的关系2. 光电效应- 实验现象和结论- 光子概念的引入- 光电效应公式的推导和应用3. 康普顿散射- 实验现象和结论- 康普顿散射公式的推导和应用- 康普顿波长与物质的性质和运动速度的关系4. 波函数与概率解释- 波函数的定义与性质- 波函数的归一化和概率解释- 测量与量子态的坍缩5. 不确定性原理- 不确定性原理的提出和基本内容- 位置-动量不确定性关系的推导和理解- 能量-时间不确定性关系的推导和理解四、教学过程1. 导入环节- 引入量子力学的历史背景和研究对象，激发学生的学习兴趣和思考；- 提问："你认为光是波动还是粒子？为什么？"2. 知识讲授- 以小组讨论和课堂展示的方式介绍波粒二象性的历史发展；- 结合具体实例，讲解波动理论和粒子理论的实验基础；- 运用图表和动态模拟，解释波粒二象性的概念和相关原理。
第22章量子力学基础教案
第二十二章量子力学基础知识1924 年德布罗意提出物质波概念。
1926 年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。
1927 年海森堡提出著名的不确定关系。
海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。
---------------------------------------------------------------------------教学要求：*了解实物粒子的波动性及实验 , 理解物质波的统计意义；*能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；*了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；*理解不确定关系并作简单的计算；*了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程*了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。
教学内容：§22-1 波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。
作业22-01) 、 22-03) 、22-05) 、22-07) 、22-09) 、 22-11) 、22-13) 、22-15) 、22-17) 、22-18) 、-------------------------------------------------------------------§22-1波粒二象性1924 年，法国德布罗意在博士论文中提出 : “整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。
量子力学教案
§1.1 经典物理学的困难宏观物理的机械运动：牛顿力学电磁现象：麦克斯韦方程光现象：光的波动理论热现象热力学与统计物理学多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实验精度和研究理论的应用。
19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。
”：（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公式，在高频部分趋无穷。
（2）“以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。
历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。
预示物理学正面临新的挑战。
黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热光的波粒二象性玻尔原子结构理论（半经典）微观粒子的波粒二象性量子力学一．黑体辐射问题黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。
热辐射：任何物体都有热辐射。
当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设→维恩公式长波部分不一致经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二．光电效应光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。
光电效应的规律：（1）存在临界频率；（2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。
光强越大，光电子数目越多。
(３)时，光一照上，几乎立刻（）观测到光电子。
这些现象无法用经典理论解释。
三．原子的线状光谱及原子的稳定性氢原子谱线频率的巴耳末公式： ,叫波数。
原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。
§1.2 早期的量子论一．普朗克的能量子假设1．普朗克公式普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。
h叫普朗克常数焦尔.秒。
2．普朗克的能量子假设对一定频率的电磁波，物体只能以为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。
第22章量子力学基础
实物粒子的波动性（1）光的波粒二象性光的干涉和衍射现象表明了光具有波动性，光电效应和康普顿散射表明了光具有粒子性。
频率为ν、波长为λ的光波对应的光子的能量为h εν=，动量为hp λ=，光子的质量为h m c c εν==22。
（2）德布罗意物质波假设法国物理学家德布罗意从对称思想出发，大胆地设想：不仅光具有粒子和波动两种性质，而且实物粒子也具有这两种性质。
并且假设描述粒子性质的能量E 和动量p 与描述波动性质的频率和波长λ之间的关系与光子一样，具有E mc h ν==2， p m λ=hv =式中m 、v 分别是实物粒子的动质量和速度，上两式都称为德布罗意公式，和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，其波长称为德布罗意波长。
（3）实物粒子的波粒二象性在经典力学中，所谓“粒子”是指该客体既具有一定的质量和电荷等属性(即物质的“颗粒性”或“原子性”)，又具有一定的位置和一条确切的运动轨迹(即客体在每一时刻有一定的位置和速度或动量)；而所谓“波动”是指某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相干叠加性的现象。
显然，在经典概念下，粒子性和波动性是很难统一到一个客体上去的，经典物理中没有波粒二象性。
然而，大量实验表明，不但是电磁波，就是象电子、中子、质子和原子这样的物质粒子，都具有粒子性和波动性这两个方面的性质（衍射图样可证实波动性）。
1． 波函数及其统计解释（1）波函数 1925年，薛定锷提出了描述物质波的波函数。
能量为E 、动量为p 的自由粒子沿x 方向运动时，对应的物质波是单色平面波，波函数为：()()ψ,i Et px x t e ψ--=0 (22-1)如果粒子做三维自由运动，则波函数可表示为：ψ(r ,t)= ψo exp[()i Et p r h π--⋅2] = ψ()exp(Et hi π2-) (22-2) （2）波函数的统计解释 1926年德国物理学家玻恩提出，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数并不象经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波)，从而赋予了量子概念下的粒子性和波动性以统一明确的含义。
【学习课件】第22章量子力学基础
动量)去描述微观粒子。
x
但波动性使微观粒子的坐 标和动量(或时间和能量) 不能 同时取确定值。
b ph
y
o
如：电子经过缝时
位置不确定 xb
电子的单缝衍射实验
x 经过缝后 2021/7/9
方向动量也不确定
px psin
9
海森伯于 1927 年提出不确定原理 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的
满足不确定性关系式：
xpx h
这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故。
2021/7/9
14
22-2 波函数
一、对物质波的理解----概率波的概念 怎样理解物质波（德布罗意波）?
观察一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
7个电子 100个电子
2021/7/9
3000
20000 70000
底片上出现一个 个的点子电子 具有粒子性。随 着电子增多，逐 渐形成衍射图样 来源于电子所 具有的波动性，
2 m 2 2 2(x x)U (x)E (x) 一维定态薛定谔方程
2021/7/9
24
§22.6 薛定谔方程的应用
一、一维无限深势阱中的粒子 1. 粒子的波函数
2m 2 22xUE
粒子处在U的力场中作一维运动。
0 (0xa)
U
( x0及 xa)
粒子只能在宽为 a 的两个无 限高势壁间运动。
2021/7/9
21
一、寻找粒子满足的微分方程的思路：
1.一维自由粒子 由一维自由粒子的波函数
在非相对论情况下，有：
i2(Etpx)
(x,t) 0e h
t
i2
h
E
i
p2 2m
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第二十二章量子力学基础知识1924年德布罗意提出物质波概念。
1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程----------薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。
1927年海森堡提出著名的不确定关系。
海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------教学要求：* 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义；* 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；* 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；* 理解不确定关系并作简单的计算；* 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程* 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。
教学内容：§22-1波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。
作业22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、22-17)、22-18)、-----------------------------------------------------------------------§22-1 波粒二象性1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。
一 德布罗意假设一切实物粒子都具有波粒二象性（德布罗意按对称性及类比推论提出）。
* 物质波或德布罗意波：其波频率和波长分别为：⎭⎬⎫==p h h E //λν(22-1) 式中：E ——实物粒子的能量 P ——实物粒子的动量 ————德布罗意关系式讨论1）实物粒子波与光的波粒二象性[(21-4)、(21-6)式]完全一致，宏观物体质量大，物质波长极短，难以观测，微观粒子(如电子)，其质量小，物质波长可观测到。
2) (22-1) 式左边为描写“波”的物理量，右边为描写“粒子”的物理量。
3）经电势差U 加速后的电子(初速度忽略不计, 静质量e m )，将获得eU E k =动能，由相对论动量与能量关系：022*********)(E E E E E E E E p c k k k +=-+=-=可得电子动量为：22022121eUm U e c E E E c p e k k +=+=由德布罗意关系式得波长：2222ceUm U e hc p h e +==λ(22-2)4）如果经电势差U 加速后电子的速率c v <<，可忽略相对论效应，直接由动量eU m E m p e k e 22==得到： nm 225.12U eU m h p h e ===λ (22-3)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例22．1 计算电子经过 (1)V 100.16⨯=U ，(2) V 150=U 电压加速后的德布罗意波长。
解 (1) 电子经电场加速后的德布罗意波长可由(22-2)式计算：97.01(2.12222U c eUm U e hc e +=+=λ 代入V 100.16⨯=U ，可得：nm 1071.84-⨯=λ（极短）（电子显微镜加速电子获得波长极短电子波，提高显微镜分辨率）(2) 加速电压为150V 时（忽略相对论效应），采用非相对论波长公式(22-3)得：nm 10.0225.1==U λ可知：由加速电压为150V 得动能eV 150=k E 电子的德布罗意波长与X 射线波长同数量级，因此观察电子衍射可采用与X 射线衍射相同方法，例如用晶体作天然光栅实现衍射。
例22.2 计算质量kg 01.0=m ，速率m/s 500=V 的子弹的德布罗意波长。
解： 根据(22-1)式得：m 1033.150001.010626.63434--⨯=⨯⨯===mV h p h λ可见：宏观物体的德布罗意波长小到实验上难以观测，仅表现出粒子性。
二 物质波的实验验证1、电子衍射实验（戴维逊和革末，1927年）热阴极K发出电子，过狭缝D成很细电子射线束，以掠射角φ投射镍单晶M上，集电器B收集反射电子，电流计G测电子流强度I。
保持掠射角φ不变，改变加速电压U大小测量出不I~曲线如图所示。
同电流强度I，绘制U实验表明：随加速电压U增加，当电压取某些特定值时，电流呈现峰值，显示规律性（与X射线在晶体上衍射规律极为相似）。
理论计算：按德布罗意波长公式：nm 225.1Up h ==λ （忽略相对论效应）及电子波λ，φ及晶格常数d 的布拉格公式：λφk d =sin 2 （ k = 1,2,3,……. ）有：U k d /225.1sin 2=φ得电流峰值处对应的电压为：φsin 2/225.1d k U ⨯=实验结果与理论预期值符合相当好。
实验还测量电子波长与德布罗意关系式计算一致2、 电子衍射实验（汤姆逊，1927年，英国），高能电子束穿过多晶薄膜，照相底片上得到电子衍射环状图样。
3、电子的单缝、双缝和多缝衍射实验（约恩逊，1961年）图为电子双缝衍射实验明暗衍射条纹，直接表现电子的波动性。
* 对质子、中子及原子、分子等的有关实验：证实波动性，其波长也都和德布罗意关系相符合。
三、物质波的统计诠释——概率波粒子概念和波动概念代表仅有的两种可能的能量输送方式。
经典波动代表某物理量在时空中周期性地变化，波是扩展的，弥漫在空间某一区域，波还是兼容的，同一区域中，几列波可互相叠加，产生干涉、衍射现象。
而粒子表现为颗粒性，其空间广延性却等于零，并具有排它性，可在确定轨道上运行。
性质如此迥异的两概念如何互相联系统一到同一个客体上？1、概率波概念（波恩）（电子的双缝衍射实验说明这种波动性的意义）两种实验方法：1）射向双缝电子流强度很大，屏上出现衍射图样（图f）--------电子波动性；2）控制电子流，电子一个个发射到屏，一个个感光点（图a、b）----电子粒子性；实验发现：1)当到达屏电子数少，感光点分布无规则，随机性大。
但电子数目不断增多，落点位置分布逐渐显出一定规律性，数目越多，规律性明显，（图c~f）。
2）电子分布最集中地方正好是衍射明纹中心的位置，电子分布几乎为零的地方正好是衍射暗纹中心的位置。
3)在实验条件相同下，不管开始时电子落点分布多么不规则，最终大量电子落点形成衍射图样都一样。
（大量电子不规则落点的群体行为遵从统计规律）2、波恩统计观点解释：衍射明纹地方，到达电子多，电子在这些地方出现概率大；衍射暗纹地方，到达电子少，电子在这些地方出现概率小，衍射条纹明暗分布与到达该处电子数目成正比，实物粒子的波动性是一种统计行为，实物粒子波是概率波。
（波恩统计解释不仅对电子波适用，其它微观粒子波动性也如此）* 讨论：1）物质波不是指微观粒子以波形式在空间运动，而是指粒子在空间各处出现的概率分布服从波的规律。
2）物质波是概率波的统计解释，不意味必须有大量粒子存在时才具有波动性，容易误解为波动性是粒子间相互作用的结果。
3）单个电子具有波动性，电子自身与自身干涉形成衍射图样。
波动性是微观粒子自身具有的特性。
4）在量子力学的概念中实物粒子波与经典波有明显区别。
实物粒子波不代表描述粒子某一物理量在时空中周期性变化，5）粒子在空间各处出现的概念分布呈现的波动表现——概率波，保留波具有迭加性，不是经典波，是量子波。
6）实物粒子不是经典粒子，经典粒子在运动过程中有确定的轨道，实物粒子具有波动性，同一时刻，它出现在空间不同的位置具有不同的概率----你不可能确切地知道它到底出现在哪里，你只知道它出现在那里的概率，它没有轨道概念，只是一颗量子粒子。
量子粒子的统计行为遵循一种可以预言的波动图样，量子粒子与量子波是统一的。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§22-2 波函数实物粒子具有波动性，其运动状态由概率波描述* 波函数：概率波的数学表达式称为波函数。
波函数通常以ψ表示（一般是空间和时间的函数）：ψψ,)t(r不同的粒子，在不同的作用条件下，波函数的具体形式不同1、粒子一维自由运动的波函数： 设：自由粒子沿x 轴正方向运动，能量E 和动量p 恒定。
按照德布罗意关系，与自由粒子运动相联系的：德布罗意波长 p h =λ德布罗意频率 h E =ν （保持不变）在波动理论中频率和波长恒定的波为单色平面波（一无限长的波列），有：)(2cos λνπxt A y -=也可表示成复指数函数形式：)(2λνπx t i Ae y --=将波长和频率代入上式，并以ψ表示波函数，0ψ表示波函数振幅，可得：)(0)(20)(20xp Et i xp Et h i h xp t h E i e ee------===ηψψψψππ（在一般情况下，表示实物粒子运动的波函数用复函数形式）2、实物粒子波的强度：用波函数描述概率波，波函数应能体现粒子在空间各处出现概率大小。
（以电子双缝衍射为例理解两理论解释间关系）由此可知粒子(电子)在某处出现概率大小正比于该处粒子(电子)波强度 可将实物粒子波的强度表示为：*2ψψψ⋅=（波函数模的平方，*ψ为波函数ψ的复共轭函数）3、概率密度函数：考虑空间某点(x ，y ，z )附近的一个小体积元dV ，若粒子出现在dV 内的概率用ρd 表示，ρd 正比于该处粒子波的强度， 即正比于波函数模的平方：dV d 2ψ∝ρ（如果将比例常数包含在波函数ψ中）则概率密度——粒子出现在单位体积中概率为：*2ψψψ⋅===dVd ρρ (22-4)—— 概率密度函数 （波函数模平方等于波函数描述粒子在t 时刻出现在空间(x ，y ，z )处的概率密度） 注意：1）波函数意义：波函数在经典物理中没有相对应力学量，也不具可观察测量的直接物理意义，波函数意义体现在波函数模的平方上，给出了粒子出现的概率密度，并以概率的形式提供有关粒子运动的全部信息，所以波函数又称为概率幅，其平方等于概率密度。