一元二次方程及解法学案

第二十一章一元二次方程

一、教材内容

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

二、课标要求

1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.

2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.

3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.

三、教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2－4ac>0，b2－4ac=0，b2－4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出、分析问题，建立一元二次方程数学模型，并用解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

四、教学重点与难点

教学重点:

1. 一元二次方程及其它有关的概念.

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.

教学难点:

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．

五、课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

22．1 一元二次方程2课时

22．2 降次──解一元二次方程5课时

22．3 实际问题与一元二次方程3课时

教学活动、习题课、小结3课时

21.1.1一元二次方程（1）学案

学习目标：

1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

学习过程：

一、自主学习：

（一）、根据题意列方程：

（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度.

（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？

（二）、探索新知：

（１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？

①；②；③。

（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。

（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为（a,b,c为常数，）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为，b为，c为。

（三）、注意点：

(1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ；c 。(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：.二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

(3)二次项系数0

a≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？

（四）、自我尝试：

1、下列列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？

（1）2

-=（2

-=（3）

x x

+-=

（4）3

x x

-=（5）230

x xy

+-=

2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 2

351

x x

=-(2) (2)(1)6

x x

+-=(3) 2

470

（五）阅读课本，30页到32页，反思自主学习情况。

二、巩固练习：课本32页练习1、2题

三、课堂检测：

1、下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（）

= B.22

x x x

+=- C.20

ax bx c

++= D.2

3(1)2(1)

x x

+=+

2、方程2(1)4(1)

x x x

-=-的一次项是（）

A. 2x

B. 4x

C. 6-

D. 6x

3、将方程2

(21)(3)(21)6

x x x

-+--=化成一般形式为___________,它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。

4、当a_______时，关于X的方程（a－1）x2+3x－5=0是一元二次方程。

21.1.2 一元二次方程（2）学案

学习目标：

1、会进行简单的一元二次方程的试解；

2、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力；

3、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义。学习过程：一、自主学习：（一）复习引入：

1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)

2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ．根据题意，得___ _____．整理，得_____ _ __．（二）探索新知：

1．下面哪些数是上述方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_____的值。

3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解： (1) 2

360x -= (－7,－6,－5, 5, 6, 7)

(2) 231134902,,1,,0,,1,,22222

x ?

?-=---- ??

4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

(1) 2250x -= (2) 231x = (3) 29160x -= （三）、注意点：

1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解。（四）、自我尝试：

1、下列各未知数的值是方程2320x x +-=的解的是（） A. 1x = B.1x =- C.2x = D. 1

x =

2、根据表格确定方程2

87.5x x -+=0的解的范围____________

3、已知方程2

390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______

（五）阅读课本，32页到33页，反思自主学习情况。

二、巩固练习：课本33页练习1、2题三、课堂检测：

1、把22(1)2x x x x -=++化成一般形式是____________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______。

2、一元二次方程2

x x =的根是__________；方程x （x －1）=2的两根为________

3、写出一个以2x =为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：__________。

4、已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________。

5．若2

22x x -=，则2243x x -+=_____________。

6．方程ax （x －b ）+（b －x ）=0的根是 x 1=______ x 2=___ 7．已知x=－1是方程ax 2+bx+c=0的根（b≠0）

8．如果x 2－81=0，那么x 2－81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________． 9．已知方程5x 2+mx －6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．

10．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，则（a －b ）2+4ab 的值为． 11、若关于X 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，a 的值是几？你能得出这

个方程的其他根吗？

21.2.1 用直接开平方法解一元二次方程学案

学习目标：

1、会用开平方法解形如x 2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；

2、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。学习过程：一、自主学习（一）、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空

（1）x 2－8x+______=（x －______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．

问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s ?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？（二）探索新知： 1、36的平方根是________,

的平方根是____________。 2、若2

4x =，则x =______________；若2

21x =，则x =__________。 3、请根据提示完成下面解题过程：

(1) 由方程 2

(21)5x -=，得 (2) 由方程 2

692x x ++=，得

21x -=_______ (_________)2

=2 即 ∴ ______________=_______ 21x -=____，21x -=_____ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ ∴ 1x =_______, 2x =_____ （三）、归纳概括：

1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。

2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，

那么可得x =

或m x n +=±

3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次．．，转化为两个一元一次方程。（四）、自我尝试解下列方程：

(1)2

5x = (2) 2

390x -= (3) 2(1)4x -= (4) 2

12365x x ++=

（五）阅读课本，35页到36页，反思自主学习情况。

二、巩固练习：课本36页练习三、课堂检测：

1、方程2

3x =的根是（） A.

123x x ==

B. 12x x ==

C. 12x x ==

D. 12x ==2、解下列方程：

(1）2

4250t -= (2) 25(3)125x -= (3) 22(1)60x +-=

(4) 2

4410y y ++= (5) 291241x x ++= (6) 2

y y -+

21.2.1 用配方法解一元二次方程学案

学习目标:

1、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程；

2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。学习过程：一、自主学习

（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 2

12x x ++____ = 2(6)x + (2) 24x x -+____ = (x -___)2

(3) 2

8x x ++____ = (x +____)2

（4）2

x －4

x ＋_____＝（x －____）2

由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：（二）探索新知：请阅读教材第37页，解方程2

450x

x +-=，完成下面框图：

2450x x +-=

（三）、归纳总结：

1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

2、配方是为了降次．．

，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。 3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。

4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：

①、移项，把常数项移到方程右边；

②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； ③、利用直接开平方法解之。

（四）、自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）

(1) 261x x += (2) 220x --=3x (3) 2

67x +=2x

（五）阅读课本，38页到39页，自作例题1，反思自主学习情况。

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。三、巩固练习：课本39页练习

四、课堂检测：

1、填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 25____(____x x x ++=+2

) (2) 2

____(____2x x x +

+=+2) (3) 2____(____x x +=-2

) (4) 2____(____b x x x a

++=+2)

2、将方程2

410x ++=x 配方后，原方程变形为（）

A. (23x +=2)

B. (43x +=2)

C. (25x +=-2)

D. (23x +=-2

) 3、解下列方程：

(1) 2

280x +-=x (2) 2

35x +=2x (3) 2

410x -+=2x

21.2.2 公式法学案

学习目标：

1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。

2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。学习过程：一、自主学习： (一)复习提问

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？用配方法解方程：x 2－7x －18=0

2、你能用配方法解方程2

0(0)ax bx c a ++=≠吗？请尝试解

（二）归纳总结： 1、一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的根由方程的_________确定。当__________时，它的

根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。 2、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠：

当2

ac -____时，方程有实数根____________________________；

当___________时，方程有实数根______________________________；

当___________时，方程没有实数根。（三）、注意点：

1、公式法是解一元二次方程的一般方法.

2、公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。

3、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

当2

40b

ac ->时，方程有实数根

12b x a

-+=

22b x a

-=；

当2

40b ac -=时,方程有实数根：122b x x a

==-；当2

40b

ac -<时，方程没有实数根。

（四）、自我尝试： 1、一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的求根公式是_______________。

2、不解方程，判断下列方程实数根的情况： (1)

22340x x --= (2) 2690x x -+= (3) 2340x x ++=

3、用公式法解方程：(1) 2780x x --= (2) 2260x x +-=

二、巩固练习：课本42页练习1、2题三、课堂检测： 1、方程2

10x

x --=的根是（）

112x -+=

212x --=

B. 112x +=

12x -=

112x +=

212

x -= D. 没有实数根

2、下列方程中，没有实数根的是（） A.2

210x

x +-=

B. 220x ++=

C. 210x ++=

D. 220x x -++=

3、用公式法解下列方程： (1)

22980x x -+= (2) 2340x -= (3) 29610x x ++=

(4)

112

x x =+ (5) 23520x x --+=

(6) (1)(1)x x +-=

21.2.3 因式分解法学案

学习目标：

1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。学习过程：一、自主学习

（一）创设情境，提出问题

背景材料：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10M/S 的速度竖直上抛，那么经过xs 物体离地面的高度（单位：m ）为10x －4.9 x 2。

设问1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.001s ）设问2；除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？（二）探索新知：

对于方程10x －4.9 x 2=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得

=0；于是得或。所以：x 1 = ，x 2≈

设问3：方程的两根都符合问题的实际意义吗？

设问4：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？（三）归纳总结：

1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为________________的形式，再使__________________，从而实现_____________，这种解法叫做__________________。

2、如果0a b ?=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。

（四）、注意点：

1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。

2、因式分解法的根据是：如果0a b ?=，那么0a =或0b =。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次．．的目的。（五）、自我尝试：

1、说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=

2、解下列方程： (1) 2540x x -= (2) 3(3)x x x -=- (3) 2(5)315x x +=+

二、巩固练习：课本45页练习1、2题

三、课堂检测：

1、方程(3)0x x +=的根是（） A.1

0x = 20x = B.13x = 23x = C.10x =23x = D.10x = 23x =-

2、下列方程适合用因式分解法的是（） A.2

10x

x ++= B.22310x x -+= C.2230x x ++= D.2(1)1x x -=-

3、方程2

2(1)1x x +=+的根是________________。

4、用因式分解法解下列方程： (1) (41)(57)0x x -+=

(2) 2x = (3) 3(1)2(1)x x x -=-

(4)

2(1)250x +-=(5) 22(3)9x x -=- (6) 2216(2)9(3)x x -=+

21.2.4 解一元二次方程（习题课）学案

学习目标：选择合适的方法解一元二次方程一、自主学习：解下列方程： 1. 270x x -= 2. 21227x x += 3、X （x －2）+X －2=0

4. 2

24x

x +-= 5、5x 2

－2X －4

1 =x 2

－2X+43

224(2)9(21)x x +=-

二、归纳总结：

1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次

2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

3、一般考虑选择方法的顺序是：

直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法三、课堂检测

1、方程2(4)5(4)x x x -=-的根是（）

52x =

B.4x =

C.152x =-24x =

D. 52

x =- 2、一元二次方程2

4210x x +-=的根是__________________________.

3、当x =____________时，代数式2

1230

x x ++的值等于3.

4、两个数的和为－7，积为12，这两个数是_____________________.

5、解下列方程： (1)

(23)(4)(32)(15)x x x x -+=-- (2)

215

6042

x x +-= (3) 2(21)(63)x x x -=- (4) 2670x x +-=

6、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？

7、已知2+240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值

21.2.5 一元二次方程根与系数的关系

学习目标：

1．理解并掌握根与系数关系：a b

x x -

=+21，a

c x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 一、自主学习

1、(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：

2、探究1：完成下列表格

问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律； ②x 2

+px+q=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。

探究2：完成下列表格

问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；

② ax 2

+bx+c=0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。

3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）

ax 2

+bx+c=0的两根1x = ,2x =

12x x += 12.x x =

4、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：

（1）2

310x x --= （2）2

2350x x +-= （3）2

1203

x x -=

5、已知方程2

290x kx +-=的一个根是-3，求另一根及K 的值。

二、教师点拨：

应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式；② 二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.

四、课堂练习

1．方程2

2310x x --=则12x x += 12.x x =

2．若方程220x px ++= 的一个根2，则它的另一个根为____ p=____ 3．若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q= ____

4.在解方程x 2

+px+q=0时，甲同学看错了p ，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q ，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p= ，q= 。 5．两根均为负数的一元二次方程是（）

A 2

71250x x -+= B 2

61350x x --= C 2

42150x x ++= D 2

1580x x +-=

6．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么（）

A p=q=0

B P=0,q≠0

C p≠0,q=0

D p≠0, q≠0） 7、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）x 2

-5x-10=0（2）2x 2

+7x+1=0（3）3x 2

-1=2x+5（

4）x （x-1）=3x+7

一元二次方程根与系数的关系练习题

A 组

1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )

A ．2k >

B ．2,1k k <≠且

C ．2k <

D ．2,1k k >≠且

2．若12,x x 是方程2

2630x x -+=的两个根，则

1211

x x +的值为( ) A ．2

B ．2-

C ．12

D ．

3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程

22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于(

)

A ．3-

B ．5

C ．53-或

D ．53-或

4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2

4b ac ?=-和完全平方式

(2)M at b =+的关系是( )

A ．M ?=

B ．M ?>

C ．M ?<

D ．大小关系不能确定

5．若实数a b ≠，且,a b 满足2

850,850a a b b -+=-+=，则代数式11

b a a b --+--的值为( )

A ．20-

B ．2

C ．220-或

D ．220或

6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2

2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程2

2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．

9．设12,x x 是方程2

0x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2

0x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．

10．已知实数,,a b c 满足2

6,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．

11．对于二次三项式2

1036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

12．若0n >，关于x 的方程2

1(2)04x m n x mn --+

=有两个相等的的正实数根，求m

的值．

13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．

(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足

121112

x x +=-，求m 的值．

14．已知关于x 的方程2

1(1)104

x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)

k 的值．

B 组

1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．

(1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．

2．若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；

(2)

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

3．已知关于x 的方程2

30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程

22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．

4．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若

121

x x =，求k 的值．

5．已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根．

(1) 是否存在实数k ，使1212

(2)(2)2

x x x x --=-

成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验，明确研究方向问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案：根据已有的学习一元一次方程和分式方程的经验，我们是按照方程的概念、解法和应用的顺序展开研究，下面应该研究一元二次方程的解法了. 学生预案：分类方法可能有：（1）按等号左边多项式所含的项数分；（2）按系数是否为零分等情况；教师预案：根据学生的分类情况及时回应，如果学生分类范围比较大，追问还能细分么？例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共有9种不同的类型；当a<0时，依据等式的基本性质可将方程变为a>0的情形，因此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案：类别的呈现会出现直接罗列、树状图、列表格等不同的形式。教师预案：用实物投影全班展示,比一比谁的呈现方式更加直观简洁。让学生有意识的根据自己的学习经验，总结代数学中研究方程的一般顺序.自主提出研究的内容和方向. 让学生自己写一元二次方程，是对定义的一次复习，同时也是训练学生的发散思维，提高同学的参与度和研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活动中逐步认识一元二次方程的各种形式，为探究一元二次方程的解法布好局，学生在接下来的学习中探究每个不同形式的方程解法，也就完成了整个单元中解法探索的整合教学.使学生的学习是连贯的、系统的，知识的建构是完整的. “列表格”是数学中常用的分析问题的方法，既有直观简洁的特征，又能体现分类者的思维顺序。这里，通过填表加深学生对一元二次方程各项系数的认识，以及方程不同类型的理解，并为后续研

公式法解一元二次方程教案-人教版

《公式法解一元二次方程》教案教学目标、知识技能掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．、数学思考通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．、解决问题培养学生准确快速的计算能力．、情感态度通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．重难点、关键重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．教学过程一、复习引入【问题】（学生总结，老师点评） .用配方法解下列方程（）－（）－．总结用配方法解一元二次方程的步骤。（）移项；（）化二次项系数为；（）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（）原方程变形为（）的形式；（）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．一、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式（≠），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．【问题】已知（≠）且－4ac≥，试推导它的两个根为2b a -+，2b a - 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把、、?也当成一个具体数字，根据

上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：－二次项系数化为，得 b a － c a 配方，得：b a （2b a ）－c a （2b a ）即（2b a ）2244b ac a - ∵－4ac≥且4a> ∴2244b ac a -≥ 直接开平方，得：2b a 即2b a - ∴2b a -，2b a -- 【说明】这里a ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式【活动方略】鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。【思考】利用公式法解下列方程，从中你能发现什么（）2320;x x -+=（）2222 -=-x x （）24320x x -+= 【活动方略】在教师的引导下，学生回答，教师板书引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42-的值、代入求根公式求解．在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：（）一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定的；

九年级数学上册-解一元二次方程21.2.3因式分解法学案(无答案)(新版)新人教版

21.2.3 因式分解法学习目标： 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。重点、难点 1、重点：应用分解因式法解一元二次方程 2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗？ 3、归纳：（1）对于一元二次方程,先因式分解使方程化为__________ _______的形式,再使 _________________________,从而实现_____ ____________,这种解法叫做 __________________。（2）如果,那么或,这是因式分解法的根据。如：如果,那么或_______,即或________。练习1、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题

活动3：随堂训练 1、用因式分解法解下列方程（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。活动4：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程右边化为（2）将方程左边分解成两个一次因式的（3）令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解【课后巩固】

配方法解一元二次方程导学案[1]

配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋2 3x ＋（）＝（x ＋）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0；（2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？例2、用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2 ⑤、4x 2－6x ＋（）＝4（x －）2＝（2x －）2.

2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程：（1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2．（6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。（3）已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

2020-2021学年九年级数学(学案)一元二次方程的解

2020-2021学年一元二次方程的解数学课题一元二次方程的解学习目标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：探索一元二次方程的解或近似解难点：培养学生的估算意识和能力【学习过程】一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 (1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0 问题探究：探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x 2 ―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗？（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2 +72 =102 ，也就是x 2 +12x ―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x 的整数部分是_____？十分位是_______？ x x 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11 备注（教师复备栏及学生笔记）

x2+12x-15 所以 ___

解一元二次方程(公式法)

应用拓展某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13．布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

公式法解一元二次方程及答案详细解析

公式法解一元二次方程及答案详细解析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

21.2.2公式法一．选择题（共5小题） 1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（） A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣ 4x2+3=5x，下列叙述正确的是（） A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3 C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣3 3．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（） A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥0 4．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2 二．填空题（共3小题） 6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=． 7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得 △，此方程式的根为． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．

三．解答题（共12小题） 9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积． 10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值． 11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值． 12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0． 13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1． 14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1． 15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0；（2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x． 16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）． 17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0． 18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5 （2）解关于x的一元二次方程：． 20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程一、教学目标（1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学的重、难点及教学设计（1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。（2）教学的难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。（3）教学设计要点 1.情境设计上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理（1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。（2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。（3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

因式分解法解一元二次方程导学案(教师版)

24、2因式分解法解一元二次方程导学案学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程（1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学）解方程：x2=3x

闪亮登场 1、试一试（群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（）化为两个一次式的乘积等于（）的形式，再使这两个一次式分别等于（），从而实现（），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤（学生总结）（投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬（对学）有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。二、重难点：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。四、教学过程：（一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。（1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0）（3）x2= 25 （二）探索问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程，整理，得

对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？（老师）解出完整的过程。小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。练习：解方程下列方程。（1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程（1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程（1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习六、课外作业：P16复习巩固第1题

一元二次方程解法-公式法

第6课时 22.2.3 公式法教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入 1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）（学生活动）用配方法解方程 2x2+3=7x （老师点评）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．二、探索新知用配方法解方程（1）ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式a x2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=

公式法解一元二次方程(教案)

21.2.2公式法教案设计（张荣权）教学内容：用公式法解一元二次方程教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。教学目标：知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。教学重点、难点及突破重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。教学突破本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。教学设想通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。教学准备教师准备：课件精选例题学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简教学过程：

3.4用因式分解法解一元二次方程导学案

3.4用因式分解法解一元二次方程导学案学习目标掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．学习过程一、课前预习：（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．二、课内探究 1、自主学习：思考下面各题．（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流：先自己完成，后小组对照答案，改正错误例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式解：（1）（2）移项，得

九年级数学导学案：22.2.5解一元二次方程

22.2.5解一元二次方程学习目标： 1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、选择合适的方法解一元二次方程重点、难点 1、重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 2、难点：选择合适的方法解一元二次方程【课前预习】一、梳理知识 1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义 2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥ 配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程 3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法二、用适当的方法解下列方程： 1. 270x x -= 2. 2 1227x x += 3、X （x-2）+X-2=0 4. 2 24x x +-= 5、5x 2 -2X-4 1 =x 2 -2X+43 6. 2 24(2) 9(21)x x +=-

【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题 1．用直接开方法解方程： ⑴ 01362=-x ⑵8142=x ⑶ ()1652 =+x ⑷4122=+-x x 2．用因式分解法解方程： ⑴02=+x x ⑵012142 =-x ⑶()()012123=---x x x ⑷ ()()02542 2=---x x 3．用配方法解方程： ⑴016102 =++x x ⑵04 32 =--x x ⑶ 05632=-+x x ⑷0942 =--x x

公式法解一元二次方程导学案

公式法解一元二次方程导学案主备人：组长：包科领导：学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程学习重点：求根公式的推导，公式的正确使用学习难点：求根公式的推导预习案 1、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得：即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个的实根。（3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取

任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程实数根。探究案一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。（2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根。当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有的实数根；当b 2-4ac=0时，一元二次方程有的实数根；当b 2-4ac ＜0，一元二次方程实数根。（4）一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写）（1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：

解一元二次方程练习题公式法

解一元二次方程练习题——公式法一．填空题。（每小题5分，共25分） 1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________． 4．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________． 5．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为________．二．选择题。（每小题5分，共25分） 6．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（） A．．． D． 7．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A、k>-1 B、k>1 C、k≠0 D、k>-1且k≠0 9.下列方程中有两个相等的实数根的是（） A、3x2－x－1=0; B、x2－2x－1=0; C、9x2=4（3x－1）; D、x2＋7x＋15=0. 10．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）． A． 4或-2 B． -4或2 C． 4 D．-2 11．（20分）用公式法解方程 (1)x2+15x=-3x; (2)x2+x-6=0; (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0

23用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）横山县第三中学柳金帛一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。第一环节；回忆巩固活动内容： ①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+- x x 即: 016 25)47(2=--x 1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x 4547±= x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21

用配方法解一元二次方程(1)导学案

3.2用配方法解一元二次方程（1）导学案一、学习目标知识与技能： 1、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程； 2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。 4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。过程与方法：在具体问题中感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义。感情态度与价值观：在共同探究问题中学会学习，树立自信心。二、学习重点掌握直接开平方法，渗透转化思想。三、学习难点是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。四、学习过程（一）复习练习： 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。（1）（2）（3） 2、要求学生复述平方根的意义。（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于，这个数叫的平方根。（2）用式子表示：若，则叫做的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3） 4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。（二）学习过程

活动一：自主探究，合作交流试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 活动二：探索新知概括对于第（1）个方程，有这样的解法：方程x2＝4，意味着x是4的平方根，所以 , 即x= 2. 这种方法叫做直接开平方法. 对于第（2）个方程，有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x－1）（x＋1）＝0，必有x－1＝0，或x＋1＝0, 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 这种方法叫做因式分解法. 思考（1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？活动三：运用新知解决问题做一做：试用两种方法解方程x2－900＝0. 活动四、挑战自我解下列方程：（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0 ; （3）x2＝169；（4）45－x2＝0；（5）12y2－25＝0；（6）4x2+16＝0 五、归纳总结，形成知识网络通过这节课的学习你有哪些收获？六、作业布置课本81页练习题1、2

解一元二次方程公式法学案(修改版)

解一元二次方程公式法学案（修改版）班级姓名学号学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。导学流程复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程3x 2-6x-8=0; 3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0). 推导公式用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0). 因为a ≠0，方程两边都除以a ，得 _____________________＝0. 移项，得 x 2＋ a b x ＝________，配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－a c , 即 (____________) 2＝___________ 因为 a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得 _____________________________.

所以 x ＝_______________________ 即 x ＝_________________________ 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：精讲点拨利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 合作交流 b 2－4 a c 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。 ① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ② 当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x 1＝x 2＝＿＿＿＿＿＿＿＿ ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 巩固练习 1、做一做： (1)方程2x 2-3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（） (2)方程(2x-1)2=-4中，a=（）,b=（）,c=（）. (3)方程3x 2-2x+4=0中，ac b 42-=（）,则该一元二次方程（）实数根。

一元二次方程的解法(公式法)

一元二次方程的解法(公式法)教案 ——小店一中潘卫生教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-7 6 x=- 1 6 配方，得：x2-7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 - = 1 6 （2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根 x 1=2b a -+x 2=2b a -- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：a x 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a = 即x=2b a -± ∴x 1=2b a -，x 2=2b a - 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时， ?将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．