一元二次方程及解法学案
一元二次不等式及其解法(优秀教案1)

一元二次不等式及其解法(第一课时)一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系;2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法,掌握数形结合地思想;3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力,培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式地解法展开,突出体现数形结合地思想.教学难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法:自主探究法 四、 教学过程(一)导入新课:教材P76页地问题(二)预学案导学1、解一元二次方程250x x -=,并作出25y x x =-地图象2、填表:二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 (完成“四、合作展示”中表格地第一、二行)3、一元一次不等式是如何定义地?其数学表达形式是什么?定义:只含有一个未知数,并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象,并由图象观察,填空:当x=3.5时,y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时,y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时,y______0, 即2x-7_____ 0可知,2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考:一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系?小结:函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根,不等式地解集为函数图象落在X 轴上方(或下方)部分对应地横坐标.(三) 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究:(1) 类比一元一次不等式地定义,你能给出一元二次不等式地定义吗?其数学表达形式是什么?定义:只含有一个未知数,并且未知数地最高次数是2地不等式,称为一元二次不等式.其数学表达形式为(2) ①利用预学案第1题,观察图象填空:当x___________________,y=0,即25x x -_____0当x__________________,y>0,即25x x -_____0当x___________________,y<0,即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究:(1)类比三个“一次”地关系,探究一元二次不等式地解法,并完成下表:小结:一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点,对应方程地根.(2) 当0a <时,如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论:利用不等式地性质,在不等式地两边同时乘以-1,使二次项系数变为正数.(3)如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或,其解集又是什么?(四)应用探究:例:解不等式22320x x -->变式:若不等式改为22320x x --<,则解集为_______________小结:利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤?变式练习:1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理:本节课我们学习了哪些知识?运用了哪些数学思想方法?六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业:教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
学案4一元二次不等式及其解法(1)

学案4—一元二次不等式及其解法[课程标准]1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.[知识梳理]1.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时,解集为.(2)当a<0时,解集为.2.三个“二次”间的关系(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔思考辨析判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为(x1,x2),则必有a>0.()(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()(3)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.()(4)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.() [典例精讲]考点一一元二次不等式的解法(基础型)命题点1不含参的不等式【例1】求下列不等式的解集(1)08822>+-xx (2)03722<+-xx (3)04432>-+-yy(4)2x+1x-5≥-1 (5) | x2-x-2|≤4命题点2含参不等式【例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)【跟踪训练】(1)y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________.(2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪-12<x<-13,则不等式x2-bx-a≥0的解集是________.考点二一元二次不等式恒成立问题(综合型)命题点1在R上的恒成立问题【例3】已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f (x)<0恒成立,求实数m的取值范围.命题点2在给定区间上的恒成立问题【例4】已知函数f (x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f (x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.【若将“f (x)<5-m恒成立”改为“存在x,使 f (x)<5-m成立”,如何求m的取值范围?命题点3给定参数范围的恒成立问题【例5】若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.课时作业41.关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是() A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)2.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是() A.(-3,5) B.(-2,4)C.[-1,3] D.[-2,4]3.“不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A .m >14 B .m <14C .m <1D .m >14.若不等式x 2-(a +1)x +a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是( ) A .[-4,1] B .[-4,3] C .[1,3] D .[-1,3]5.若存在实数x ∈[2,4],使x 2-2x +5-m <0成立,则m 的取值范围为( ) A .(13,+∞) B .(5,+∞) C .(4,+∞)D .(-∞,13) 6.(多选)下列四个解不等式,正确的有( ) A .不等式2x 2-x -1>0的解集是{x |x >2或x <1}B .不等式-6x 2-x +2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤-23或x ≥12C .若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x |-7<x <-1},那么a 的值是3D .关于x 的不等式x 2+px -2<0的解集是(q,1),则p +q 的值为-17.(多选)已知关于x 的不等式kx 2-2x +6k <0(k ≠0),则下列说法正确的是( ) A .若不等式的解集为{x |x <-3或x >-2},则k =-25B .若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ,x ≠1k ,则k =66 C .若不等式的解集为R ,则k <-66D .若不等式的解集为∅,则k ≥668.(多选)关于x 的不等式(ax -1)(x +2a -1)>0的解集中恰有3个整数,则a 的值可以为( ) A .-12 B .1 C .-1 D .29..已知关于x 的不等式-x 2+ax +b >0. (1)若该不等式的解集为(-4,2),求a ,b 的值; (2)若b =a +1,求此不等式的解集.学案4-------一元二次不等式及其解法【例2】.解 原不等式变为(ax -1)(x -1)<0,因为a >0,所以⎝⎛⎭⎫x -1a (x -1)<0. 所以当a >1时,解得1a <x <1;当a =1时,解集为∅;当0<a <1时,解得1<x <1a .综上,当0<a <1时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ;当a =1时,不等式的解集为∅;当a >1时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 【跟踪训练】(1)答案 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1-73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1+73,+∞解析 由题意,得3x 2-2x -2>0,令3x 2-2x -2=0,得x 1=1-73,x 2=1+73,∴3x 2-2x -2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1-73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1+73,+∞. (2)答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意,知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的两个根,且a <0,所以⎩⎨⎧-12+⎝⎛⎭⎫-13=ba,-12×⎝⎛⎭⎫-13=-1a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =5.故不等式x 2-bx -a ≥0为x 2-5x +6≥0,解得x ≥3或x ≤2.【例4】.解 要使f (x )<-m +5在x ∈[1,3]上恒成立,即m ⎝⎛⎭⎫x -122+34m -6<0在x ∈[1,3]上恒成立.方法一 令g (x )=m ⎝⎛⎭⎫x -122+34m -6,x ∈[1,3].当m >0时,g (x )在[1,3]上是增函数, 所以g (x )max =g (3),即7m -6<0,所以m <67,所以0<m <67;当m =0时,-6<0恒成立;当m <0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1),即m -6<0,所以m <6,所以m <0.综上所述,m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2-x +1=⎝⎛⎭⎫x -122+34>0, 又因为m (x 2-x +1)-6<0,所以m <6x 2-x +1.因为函数y =6x 2-x +1=6⎝⎛⎭⎫x -122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m <67即可.所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 解 由题意知f (x )<5-m 有解,即m <6x 2-x +1有解,则m <⎝⎛⎭⎫6x 2-x +1max ,又x ∈[1,3],得m <6,即m 的取值范围为(-∞,6).【例5】.解 设g (m )=mx 2-mx -1=(x 2-x )m -1,其图象是直线,当m ∈[1,2]时,图象为一条线段,则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0,g (2)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -1<0,2x 2-2x -1<0,故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1-32,1+32.课时作业41.答案 C 解析 关于x 的不等式ax +b >0的解集是(1,+∞),∴a >0,且-ba =1,∴关于x 的不等式(ax +b )(x -2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x +b a (x -2)<0,即(x -1)(x -2)<0, ∴不等式的解集为{x |1<x <2}.故选C.2.解析 因为关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0可化为(x -1)(x -a )<0, 当a >1时,不等式的解集为{x |1<x <a },当a <1时,不等式的解集为{x |a <x <1},当a =1时,不等式的解集为∅,要使得解集中至多包含1个整数,则a =1或1<a ≤3或-1≤a <1, 所以实数a 的取值范围是a ∈[-1,3],故选C. 3.解析 ∵不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立,∴Δ=(-1)2-4m <0,解得m >14,又∵m >14,∴Δ=1-4m <0,∴“m >14”是“不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立”的充要条件.故选A.4.解析 原不等式为(x -a )(x -1)≤0,当a <1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a ≥-4即可,即-4≤a <1;当a =1时,不等式的解为x =1,此时符合要求;当a >1时,不等式的解集为[1,a ],此时只要a ≤3即可,即1<a ≤3,综上可得-4≤a ≤3.5.解析 m >x 2-2x +5,设f (x )=x 2-2x +5=(x -1)2+4,x ∈[2,4],当x =2时f (x )min =5,∃x ∈[2,4]使x 2-2x +5-m <0成立,即m >f (x )min ,∴m >5.故选B. 6.解析 对于A ,∵2x 2-x -1=(2x +1)(x -1),∴由2x 2-x -1>0得(2x +1)(x -1)>0,解得x >1或x <-12,∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <-12.故A 错误;对于B ,∵-6x 2-x +2≤0,∴6x 2+x -2≥0, ∴(2x -1)(3x +2)≥0,∴x ≥12或x ≤-23.故B 正确;对于C ,由题意可知-7和-1为方程ax 2+8ax+21=0的两个根.∴-7×(-1)=21a ,∴a =3.故C 正确;对于D ,依题意q,1是方程x 2+px -2=0的两根,q +1=-p ,即p +q =-1,故D 正确.7.解析 对于A ,∵不等式的解集为{x |x <-3或x >-2},∴k <0,且-3与-2是方程kx 2-2x +6k =0的两根,∴(-3)+(-2)=2k ,解得k =-25.故A 正确;对于B ,∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ,x ≠1k , ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ=4-24k 2=0,解得k =-66.故B 错误; 对于C ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ=4-24k 2<0,解得k <-66.故C 正确;对于D ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k >0,Δ=4-24k 2≤0,解得k ≥66.故D 正确.8答案 AC 解析 由题意知a <0,则排除B ,D ;对于A 项,当a =-12时,⎝⎛⎭⎫-12x -1(x -2)>0,即(x +2)(x -2)<0,解得-2<x <2,恰有3个整数,符合题意;对于C 项,当a =-1时,(-x -1)(x -3)>0,即(x +1)(x -3)<0,解得-1<x <3,恰有3个整数,符合题意,故选AC.9.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2-4=a ,2×(-4)=-b ,解得a =-2,b =8.(2)当b =a +1时,-x 2+ax +b >0⇔x 2-ax -(a +1)<0, 即[x -(a +1)](x +1)<0.当a +1=-1,即a =-2时,原不等式的解集为∅; 当a +1<-1,即a <-2时,原不等式的解集为(a +1,-1); 当a +1>-1,即a >-2时,原不等式的解集为(-1,a +1).综上,当a <-2时,不等式的解集为(a +1,-1);当a =-2时,不等式的解集为∅;当a >-2时, 不等式的解集为(-1,a +1)。
一元二次方程的解法教案人教版

- 一元二次方程的定义和解法(直接开方法、因式分解法、求根公式法)
- 一元二次方程的解法检验
- 一元二次方程的应用
在教学过程中,我们通过实例讲解、小组讨论等教学方法,使学生能够更好地理解和掌握一元二次方程的解法。同时,通过实践活动,学生能够运用所学知识解决实际问题。
二、新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是……(详细解释概念)。它是……(解释其重要性或应用)。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例展示了一元二次方程在实际中的应用,以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调直接开方法、因式分解法和求根公式法这三个重点。对于难点部分,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
学生可以通过阅读《数学年鉴》了解一元二次方程的历史背景和发展,对数学有更深的认识。
学生可以通过阅读《数学思维训练》和《一元二次方程的奇妙世界》提高自己的数学思维能力和对一元二次方程的理解。
学生可以观看与一元二次方程相关的视频资源,如数学讲座、教学视频等,从不同角度理解和掌握一元二次方程的解法。
鼓励学生积极参与课后拓展,通过阅读、思考和实践,进一步提高自己的数学素养和解决问题的能力。
针对这些问题和不足,我计划在今后的教学中进行改进。例如,在讲解重点难点部分时,我可以通过更多实例和比较来帮助学生理解,或者通过分组教学,让学生有更多的机会进行实践操作。在实验操作环节,我可以在课堂上安排更多时间,让学生有更多的机会进行实验操作,提高他们对一元二次方程的理解。
课堂小结,当堂检测
1.课堂小结
2.拓展要求
鼓励学生在课后自主学习和拓展,可以结合课堂所学的知识点进行深入阅读和思考。学生在阅读过程中遇到疑问可以随时向老师提问,老师会提供必要的指导和帮助。
16.2一元二次方程的解法--配方法docx

16.2一元二次方程解法---- 配方法 学案
一、学习目标:
理解配方的概念并掌握用配方法解一元二次方程。
二、知识要点:
1、完全平方式:运算形式形如222b ab a +±的二次三项式叫做完全平方式。
试着写出两个完全平方式:___________________,_____________________。
2.填上适当的数,使下列等式成立
x ²+12x+ =(x+6)² x ²-4x+ =(x- )² x ²+8x+ =(x+ )² 我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方,用配方求方程的解的方法称为配方法。
三、自学反馈:(一)基础练习
1、试着将下列式子配方:(1) 142+-x x (2)652++x x
2.用配方法解下列方程:
(1)0762=--x x (2) 0132=++x x (3) 4x²-4x-3=0
(二)提高练习:1.解关于x,y 的方程x 2 -4x +y 2-8y +20=0.
2.用配方法说明,无论x 为何实数, 代数式x 2-4x+4.5的值均大于零.
3. 已知x 是实数,求y =x 2-4x+5的最小值
四、反思小结:总结用配方法解一元二次方程的一般步骤:。
九年级数学上一元二次方程的解法教案(优秀5篇)

九年级数学上一元二次方程的解法教案(优秀5篇)数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念;2、知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点:重点:一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议:1、教材分析:1)知识结构:本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念,介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义:是一元二次方程的重要组成部分。
方程,只有当时,才叫做一元二次方程。
如果且,它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况:(1)一元二次方程的条件是确定的,如方程( ),把它化成一般形式为,由于,所以,符合一元二次方程的定义。
(2)条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的,那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”,这时题中隐含了的条件,这在解题中是不能忽略的。
(3)方程中含有字母系数的项,且出现“关于的方程”这样的语句,就要对方程中的字母系数进行讨论。
如:“关于的方程”,这就有两种可能,当时,它是一元一次方程;当时,它是一元二次方程,解题时就会有不同的结果。
初三上册数学教学工作计划篇二【学习目标】1、了解整式方程和一元二次方程的概念。
2、知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。
【重点、难点】重点:一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定【学习过程】一、知识回顾1、什么是整式方程?_什么是-元二次方程呢?现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程。
(好)第22章_一元二次方程_全章学案

第二十二章一元二次方程一、教材内容一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题.二、课标要求1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.三、教学目标1.知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法(1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,•导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它.(6)提出、分析问题,建立一元二次方程数学模型,并用解决实际问题.3.情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.四、教学重点与难点教学重点:1. 一元二次方程及其它有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程.3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点:1.一元二次方程配方法解题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.五、课时划分本单元教学时间约需13课时,具体分配如下:22.1 一元二次方程2课时22.2 降次──解一元二次方程5课时22.3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结3课时22.1.1 《一元二次方程(1)》学案学习目标:1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型;2、正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
一元二次方程的教案(必备3篇)

一元二次方程的教案(必备3篇)1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能(1)理解一元二次方程的意义。
(2)能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数,一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程,使学生积极参与数学学习活动,增进对方程的认识,发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析:教学重点难点重点:经历建立一元二次方程模型的过程,掌握一元二次方程的一般形式。
难点:准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案(1)预学检测3x-5=0是什么方程?一元一次方程的定义是怎样的?其一般形式是怎样的?五、教学过程(一)创设情境、导入新(1)自学本P2—P3并完成书本(2)请学生分别回答书本内容再(二)主体探究、合作交流(1)观察下列方程:(35-2x)2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点?它们分别含有几个未知数?它们的左边分别是未知数的几次几项式?(2)一元二次方程的概念与一般形式?如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数a≠0),其中,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项,如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1:根据一元二次方程定义,判断下列方程是否为一元二次方程?为什么?x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解:去括号得3x2-3x=5x+10移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.学生练习:书本P4练习(四)总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的?2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
一元二次方程的解法公式法学案

一元二次方程的解法(3)
——
一、课前2分钟:
1、用配方法解方程2x²-12x+10=0
2、你能用配方法解下列方程吗?请你和同桌讨论一下.
ax 2+bx +c =0(a ≠0)
二、探究新知:
用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).
精讲点拨
一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 当2
40b ac -≥时,求根公式是:
利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.
例 用公式法解下列方程.
(1)x 2-4x -7=0 (2)2x 2 +1=22x (3)x 2+17=8x
练习一:用公式法解下列方程:
(1) 2 x2+x-6=0;(2) x2 —x =—2;
(3) 21
0 4
x--=;(4) x (x+4) = 8 x +12
拓展探究:
1. 解关于x一元二次的方程.
(1)2(3)40
x m x m
--+-=(2)(m-1)x2-(2m-1)x+2=0 (1
m≠)
2. 已知关于x的方程2(3)40
x m x m
--+-=. 若方程有一个根大于4且小于8,求m 的取值范围.
检测练习:
1、应用公式法解方程:
(1) x2 + x—6=0;(2) 4x2-6x=0;(3)3x2-6x-2=0;(4) x(2x-4) =5—8x.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二十一章一元二次方程一、教材内容一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题.二、课标要求1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.三、教学目标1.知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法(1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,•导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它.(6)提出、分析问题,建立一元二次方程数学模型,并用解决实际问题.3.情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.四、教学重点与难点教学重点:1. 一元二次方程及其它有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程.3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点:1.一元二次方程配方法解题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.五、课时划分本单元教学时间约需13课时,具体分配如下:22.1 一元二次方程2课时22.2 降次──解一元二次方程5课时22.3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结3课时21.1.1一元二次方程(1)学案学习目标:1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型;2、正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
学习过程:一、自主学习:(一)、根据题意列方程:(1)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?(2)我校为丰富校园文化氛围,要设计一座2米高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与全部高度的乘积,等于下部(腰以下)高度的平方,求雕像下部的高度.(3)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,依据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,请问全校有多少个队参赛?(二)、探索新知:(1)、问题:上述4个方程是不是一元一次方程?有何共同点?①;②;③。
(2)一元二次方程的概念:像这样的等号两边都是_____,只含有___个未知数,并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。
(3)任何一个关于x的一元二次方程都可以化为(a,b,c为常数,)的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。
a为,b为,c为。
(三)、注意点:(1)一元二次方程必须满足三个条件:a ;b ;c 。
(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式:.二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
(3)二次项系数0a≠是一个重要条件,不能漏掉,为什么?(四)、自我尝试:1、下列列方程中,哪些是关于x的一元二次方程?(1)250x-=(22x-=(3)21230x x+-=(4)330x x-=(5)230x xy+-=2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:(1) 2351x x=-(2) (2)(1)6x x+-=(3) 2470x-=(五)阅读课本,30页到32页,反思自主学习情况。
二、巩固练习:课本32页练习1、2题三、课堂检测:1、下列方程中,是关于X的一元二次方程的是()3= B.2221x x x+=- C.20ax bx c++= D.23(1)2(1)x x+=+2、方程2(1)4(1)x x x-=-的一次项是()A. 2xB. 4xC. 6-D. 6x-3、将方程2(21)(3)(21)6x x x-+--=化成一般形式为___________,它的二次项系数为_____,一次项系数为_____,常数项为______。
4、当a_______时,关于X的方程(a-1)x2+3x-5=0是一元二次方程。
21.1.2 一元二次方程(2)学案学习目标:1、会进行简单的一元二次方程的试解;2、理解方程的解的概念,发展有条理的思考与表达能力;3、会在简单的实际问题中估算方程的解,理解方程解的实际意义。
学习过程: 一、自主学习: (一)复习引入:1、解方程,并说出方程解的定义:3x=2(x+5)2一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m ,苗圃的长和宽各是多少? 设苗圃的宽为xm ,则长为_______m . 根据题意,得___ _____. 整理,得_____ _ __. (二)探索新知:1.下面哪些数是上述方程的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____,即使一元二次方程等号左右两边相等的_____的值。
3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解: (1) 2360x -= (-7,-6,-5, 5, 6, 7) (2) 231134902,,1,,0,,1,,22222x ⎛⎫-=---- ⎪⎝⎭4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?(1) 2250x -= (2) 231x = (3) 29160x -= (三)、注意点:1、使一元二次方程成立的未知数的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
2、由实际问题列出方程并得出解后,还要考虑这些解是否是实际问题的解。
(四)、自我尝试:1、下列各未知数的值是方程2320x x +-=的解的是( ) A. 1x = B.1x =- C.2x = D. 13x =2、根据表格确定方程287.5x x -+=0的解的范围____________3、已知方程2390x x m -+=的一个根是1,则m 的值是______(五)阅读课本,32页到33页,反思自主学习情况。
二、巩固练习:课本33页练习1、2题 三、课堂检测:1、把22(1)2x x x x -=++化成一般形式是____________,二次项是____一次项系数是_______,常数项是_______。
2、一元二次方程2x x =的根是__________;方程x (x -1)=2的两根为________3、写出一个以2x =为根的一元二次方程,且使一元二次方程的二次项系数为1:__________。
4、已知m 是方程260x x --=的一个根,则代数式2m m -=________。
5.若222x x -=,则2243x x -+=_____________。
6.方程ax (x -b )+(b -x )=0的根是 x 1=______ x 2=___ 7.已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根(b≠0)8.如果x 2-81=0,那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________,x 2=__________. 9.已知方程5x 2+mx -6=0的一个根是x=3,则m 的值为________.10.如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根,则(a -b )2+4ab 的值为 . 11、若关于X 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0,a 的值是几?你能得出这个方程的其他根吗?21.2.1 用直接开平方法解一元二次方程 学案学习目标:1、会用开平方法解形如x 2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程;2、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。
学习过程: 一、自主学习 (一)、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题 问题1.填空(1)x 2-8x+______=(x -______)2;(2)9x 2+12x+_____=(3x+_____)2; (3)x 2+px+_____=(x+______)2.问题2.如图,在△ABC 中,∠B=90°,点P 从点B 开始,沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动,点Q 从点B 开始,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,如果AB=6cm ,BC=12cm ,•P 、Q 都从B 点同时出发,几秒后△PBQ 的 面积等于8cm 2? (二)探索新知: 1、36的平方根是________,49的平方根是____________。
2、若24x =,则x =______________;若221x =,则x =__________。
3、请根据提示完成下面解题过程:(1) 由方程 2(21)5x -=, 得 (2) 由方程 2692x x ++=, 得21x -=_______ (_________)2=2 即 ∴ ______________=_______ 21x -=____,21x -=_____ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ ∴ 1x =_______, 2x =_____ (三)、归纳概括:1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解,这种解方程的方法叫做直接开平方法。
2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式,那么可得x =或mx n +=。
3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次..,转化为两个一元一次方程。