一维连续型随机变量函数的分布
一维连续型随机变量
第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。
教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。
教学方法：课堂教学。
三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。
[数学]-3、连续型随机变量
![[数学]-3、连续型随机变量](https://img.taocdn.com/s3/m/3ad8350df78a6529647d532c.png)
解
2)如图：把平面分成五个区域， 如图：把平面分成五个区域， Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ
i) 当(x,y)∈III
1 1 F(x, y) = ∫ dv∫ du = ( xy + y arcsiny + 1− y2 −1) 0 arcsinv 2 2
y x
ii) 当(x,y)∈Ⅱ
F ( x, y) = ∫ du ∫
三、连续型随机变量
一、一维连续型随机变量
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫
x
−∞
f (t ) dt
分布函数性质 i) 0≤ F(x)≤ 1 且 F(x)是连续函数 ； 是连续函数； ii) 当 x1≤ x2 时 ， F(x1)≤ F(x2)； (单调性 ） 单调性） ⅲ) F( - ∞ )=0,F(+ ∞ )=1 F(- )=0,F(+∞ 密度函数性质 1) f(x)≥ 0 3) f (x) = [F(x)]′ 2) ∫
其中 G 是由概率括号中的不等式构成的区域。 二维连续型随机变量的概率的计算问题等 价于以概率括号中的不等式构成的区域 G 为 底，联合密度函数为高的曲顶柱体体积的计 算。
例 4 设(X,Y)的联合分布函数为
F ( x, y ) = ( a − be
−e x
)( c − de
−e y
), ( x, y ) ∈ R
二维正态分布的性质： 二维正态分布的性质： 2 2 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1 ,σ2 , r),则 1) X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22) 2) X 与 Y 独立的充要条件是 r=0 3) 在 Y=y 的条件下，X 的条件分布仍为 的条件下， 正态分布
1/ 2 1
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
正态分布的计算、一维连续型函数的分布
正态分布的概率密度函数
定义
正态分布的概率密度函数（PDF）是描述随机变量分布形态的函数，其公式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值，$sigma^2$是方差。
性质
正态分布的PDF具有对称性，即关于均值$mu$对称，且随着距离均值$mu$的增大，概率密度值逐渐 减小。
利用一维连续型函数解决实际问题
连续型随机变量的模拟
一维连续型函数可以用来模拟连续型随机变 量的分布，例如人的身高、体重等。
实际问题应用
通过一维连续型函数，可以解决许多实际问 题，例如预测产品的寿命、评估投资风险等
。
正态分布和一维连续型函数在数据分析中的应用
要点一
数据分布分析
要点二
数据可视化
正态分布和一维连续型函数是数据分析中常用的工具，可 以帮助我们了解数据的分布特征。
标准正态分布的性质
标准正态分布的均值为0，标准差为1。其概率密度函数为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{x^2}{2}}$。标准正态分布在概率和统计中具有重要地位，
许多统计量和概率函数都与标准正态分布有关。
03
一维连续型函数的分布
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
布的假设。
一维连续型函数为数据提供 了更精确的描述，使我们能 够更好地理解数据的分布特 征和规律，从而做出更准确 的推断和预测。
05
实例分析
利用正态分布计算概率
概率密度函数
正态分布的概率密度函数描述了随机变量取值在各个 区间的可能性，其形状由均值和标准差决定。
概率计算
关于一维连续型随机变量分布函数的讨论
关于一维连续型随机变量分布函数的讨论作者：俞霜来源：《新教育时代·教师版》2018年第45期摘要：在《概率论与数理统计》这门课程中，讲授到第二章一维连续性随机变量及其分布这一部分的时候，我个人觉得分布函数这一内容比较的重要，在后续知识点解决问题时，多有应用，得此总结分布函数相关的方法，以便于教学。
关键词：分布函数连续型随机变量连续型随机变量函数的分布分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法。
在教学过程中，利用分布函数的定义可以很快的求出概率，特别是连续型随机变量函数中分布函数法用的更为广泛。
一、分布函数的定义及性质定义：设X是随机变量，x为任意实数，称函数F（x）=P{X≤ x}（- ∞说明：分布函数的定义和性质，不论X是离散型还是连续型随机变量都适用。
二、连续型随机变量中分布函数的应用定义：随机变量函数的分布函数为F（x），如果存在非负函数f（x），对于任意实数x，有， F（x）=f（t）dt则称X为连续型随机变量。
其中f（x）为X的概率密度函数。
此定义中分布函数的求法，只适用于连续型随机变量。
用例子说明：连续型随机变量分布函数的求法，及利用分布函数求概率。
在运用此方法的时候，要注意的是，会用到高等数学里面的变限求导的知识点，教学的时候要特别练习。
运用此方法要求学生对分布函数的定义非常的熟悉和有深层次理解，老师在教学的时候也是要将分布函数法反复强调，不能只是代公式计算。
实际教学情况表明，无论是上面介绍的那种方法，对学生来说都有记忆上的困难，如果不能很好的理解分布函数的定义的内容，单纯对结论死记硬背，效果肯定不佳，因此，掌握好分布函数的内容是十分有必要的。
参考文献[1]孟新焕，邰淑彩等.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2017：34-37，42-44[2]金大永，徐勇.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011：63-65，87-93[3]张继昌.概率论与数理统计[M].杭州：浙江大学出版社2003：65-67，96-100作者简介俞霜（1980.10—）女，汉族，湖北黄冈人，讲师，硕士，研究方向：概率论与数理统计。
一维随机变量函数及其分布
z
1
v2
e22(
1
u2
e2du)dv
22
2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
第三步 计算Z的密度函数
fZ(z) FZ(z)
1
z2
e 22
2 2
结论：
X ~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ N ( 0 , 1 ) ,X ,Y 独 立
计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布
Z 概率
z1 z2 … p1 p2 …
方法： 列出（X，Y）的所有取值点 计算这些点对应的Z值 （如：Z=X+Y） 利用联合分布律确定相应的概率
将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并
概率
p11 p12 … p21 p22 … pi1 pi2 …
（X,Y） （x1,y1）（x1,y2) … (x2,y1) (x2,y2) … (xi,y1) (xi,y2) …
z
(
1
(x2(vx)2)
e 2 dv)dx
2
1 z
x2(vx)2
(
e 2 dx)dv
2
FZ (z)
z
1
(
2xv )2 2
v2
(
e 2 e22dx)dv
2
令 u 2x v
2
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
231一维随机变量的函数的分布省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2. 连续型随机变量旳函数旳分布
措施1 FY ( y) P{Y y} P{ f ( X ) y}
f ( x) y pX ( x)dx ( x )
FY ( y)关于y求导得到Y的密度函数.
措施2
pY
(
y)
pX
[
f 1( 0,
y)][
f
1(
y)]
, y
其它.
,
注意条件.
( y 0)
y0 y0
[FX ( y )]'[FX ( y )]' f X ( y ) ( y )' f X ( y ) ( y )'
请同学们思索
设 f ( x) 是连续函数,若 X 是离散型随机变量 , 则Y f ( X )也是离散型随机变量吗 ?若 X 是连续 型的又怎样 ?
答 若 X 是离散型随机变量 ,它的取值是有限个 或可列无限多个 , 因此 Y 的取值也是有限个或可 列无限多个,因此 Y 是离散型随机变量 .若 X 是连 续型随机变量,那末 Y 不一定是连续型随机变 量.
当 y 1 时, FY ( y) P{Y y} 1; 当 0 y 1时, FY ( y) P{Y y} P{ f ( X ) y}
y
p( x)d x
y1dx y.
02
2
故 Y 的分布函数为
0,
FY
(
y)
y 2
,
1,
y 0, 0 y 1, y 1.
因为 FY ( y) 在 y 1 处间断,故 Y f ( X ) 不是连续型 随机变量 ,又因为 FY ( y) 不是阶梯函数,故 Y f ( X ) 也不是离散型随机变量 .
即 f 1 y ' 0,则
概率统计13 一维连续型随机变量函数的分布 教学设计
《概率统计II 》教学设计 一维连续型随机变量函数的分布1 一维连续型随机变量函数的分布教学设计【教学题目】§2.7 一维连续型随机变量函数的分布【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并能熟练求解一维连续型随机变量函数的分布。
【教学思想】1、一维连续型随机变量函数依然是一维随机变量，通过分布函数法，建立了两者之间的联系，体现辩证统一的数学思想。
2、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题的引入、问题驱动的分析和求解，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法，达到教会学生求解连续型随机变量函数的分布的目的，体现“授人以渔”。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容（1）引入和引例；（2）分布函数法及其应用。
2、重难点分析求随机变量X 的函数Y 的分布的思路主要是将与函数Y 有关的随机事件转化成与随机变量X 有关的随机事件，通过求等价事件的概率求出Y 的分布函数；然后利用分布函数与密度函数的关系，求出Y 的密度函数。
因此如何转化既是求解的重点，也是求解的难点。
【教学方法和策略】黑板板书结合PP T 演示，采用实际问题驱动、提出科学问题；探索具体问题的解决思路和方法，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法——分布函数法。
在讲解时，采用启发式、提问式的教学方式，由表及里、层层递进、步步设问，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。
【教学安排】引入（3分钟）在工程的建造问题中，人们通过测量园轴截面直径D 的分布，而求其面积241D S π=的分布；在统计物理中，已知分子的运动速度V 的分布，求其动能221mV E =的分布。
还有许多诸如此类的实际问题，都需要研究在连续型随机变量X 的分布已知时其函数的分布问题，这就是我们今天要研究的主题。
（板书标题）引例 在PPT 上引入问题：设),(~2σμN X ，求σμ-=X Y 的密度函数)(y f Y ？分析：求Y 的分布密度等价于求其分布函数（概率），利用等概率事件的转化，建立随机变量X 与它的函数Y 的分布函数（概率）之间的关系，进而求出随机变量函数Y 的分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
则
X ~ N ( , 2) , X Y ~ N (0,1)
例2.5.5 X ~ E (2), Y = – 3X + 2 , 求Y的分布密度.
fY ( y )
1 y b fX ( ) a a
例2：X ~ N ( , 2 )， aX b(a 0)， Y的概率密度fY ( y). 设 Y 求 解：y g ( x) ax b， g '( x) a 0， y b x h( y ) a [ y ( a b )]2 1 y b 1 2 a2 2 fY ( y ) fX ( ) e a a 2 a
y
其它
其中 min{ g (), g ()},
max{ g (), g ()}
证明：不妨设g '( x) 0, 则g x 为单调增函数,
且：h '( y) 0
显然， 当 y 时，F Y ( y) 0; 当 y 时, FY ( y) 1
y
y
y=g(x)
h(y),y
当 y 时，
P( X h( y))
h( y )
0
x
FY ( y ) P(Y y ) P( g ( X ) y)
f X (t )dt
fY ( y ) f X (h( y ))h '( y) f X (h( y)) h '( y)