2-3 一维连续型随机变量及其概率密度讲解
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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
高等数学2.3 连续型随机变量及其概率密度PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
习题二
P 34 : 7 , 8 , 12(2)(3), 13 , 14 , 22
第29页
1
f
(x)
=
200
,
0 ,
900 x 1100 其它
P{ 950 < R 1050 } = 1050 1 dx = 0.5
950 200
第9页
2、指数分布: (1) 定义2.9:
设连续型随机变量 X 密度函数为
e x ,
f (x) = 0 ,
x0 其它
其中 0 为常数 ,
称 X 服从参数为的指数分布 .
(3) P{ | X 8 |≤1 } =0.9242 (4) P{ | X 9 | < 0.5 }
解
(1)
P
X
9
=
P
X 8 0.5
98 0.5
=
Φ(2)
=
0.97725
.
(2)
P 7.5
X
10 =
P
7.5 8 0.5
X 8 0.5
10 8 0.5
第24页
=
P
1
X 8 0.5
y
=
P
X
y
= P X y = FX ( y )
由于正态分布函数严格单调且处处可导, 所以若
设X 与 Y 的密度函数分别为fX ( x)和 fY ( y) , 则有
第16页
fY
(
y)
=
d dy
FY
(
y)
=
d dy
FX (
y
)
= fX ( y ) =
1
y2
e2
2π
故 Y = X N (0,1) .
P 34 : 7 , 8 , 12(2)(3), 13 , 14 , 22
第29页
1
f
(x)
=
200
,
0 ,
900 x 1100 其它
P{ 950 < R 1050 } = 1050 1 dx = 0.5
950 200
第9页
2、指数分布: (1) 定义2.9:
设连续型随机变量 X 密度函数为
e x ,
f (x) = 0 ,
x0 其它
其中 0 为常数 ,
称 X 服从参数为的指数分布 .
(3) P{ | X 8 |≤1 } =0.9242 (4) P{ | X 9 | < 0.5 }
解
(1)
P
X
9
=
P
X 8 0.5
98 0.5
=
Φ(2)
=
0.97725
.
(2)
P 7.5
X
10 =
P
7.5 8 0.5
X 8 0.5
10 8 0.5
第24页
=
P
1
X 8 0.5
y
=
P
X
y
= P X y = FX ( y )
由于正态分布函数严格单调且处处可导, 所以若
设X 与 Y 的密度函数分别为fX ( x)和 fY ( y) , 则有
第16页
fY
(
y)
=
d dy
FY
(
y)
=
d dy
FX (
y
)
= fX ( y ) =
1
y2
e2
2π
故 Y = X N (0,1) .
2.3一维连续型随机变量及其概率密度
2 解： (1) f ( x ) dx 0 (ax b)dx 2a 2b 1
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
连续型随机变量及其概率密度函数
是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
§2.3连续型随机变量及其概率密度
随机变量 X 的概率密度可以取为
f (x) F(x) 10,
a2 x2 , a x a, 其它.
上页 下页 返回
例3 某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元件
在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
解：设A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
则
PA
PX
150
150
f (x)d x
150
100
100 x2
d
x
检验 5 个元件的使用寿命可以看作
100150 x 100
1 3
是在做一个5重Bernoulli试验．
设B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 }
则
P
B
连续型随机变量 X 可由其密度函数唯一确定． 还可以得出连续型随机变量 X 的分布函数一定连续．
2. 性质 由定义知道，概率密度 f (x) 具有以下性质：
f (x)
10 f ( x) 0.
20
f
( x)dx
1.
1
x
0 上页 下页 返回
10 f ( x) 0.
另外，可以证明:
20
f
( x)dx
(3)由
c
3 8
知
X
的概率密度为
f x
3 8
4 x
2
x2
0 x2
由 F ( x)
x
f
(x)d
x
得
0
其它
0,
x 0 0,
x0
§2.3 连续型随机变量及其分布
（2）指数分布 若随机变量 的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称 服从参数为 的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它 常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电 电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意 这个概率与 无关.
例2.3.7 设随机变量 （1）P(102 117) （2）常数a，使得
服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称 服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标 服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中， 还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车 站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从 均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545
2-3连续型随机变量的概率密度函数
1 dx ba a
b a b
a
b
1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长 度成正比,与该区间的位置无关.
2.指 数 分 布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150
f x dx
b a b
a
b
1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长 度成正比,与该区间的位置无关.
2.指 数 分 布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150
f x dx
概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2
x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度
x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}
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0 3
0
3
x2 3 2 x 4
当x
x t t d t (2 ) d t 3 6 2
4时 ,
F ( x) 0dt
0
4 x t t dt 2 dt 0dt 3 4 6 2
1
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) 2 x 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
P{a X b}
b
a
p( x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x )
0
a 0,而概率为0
的事件不一定是不可能事件. 若X是连续性随机变量,则
P{ X a} 0, 显然{X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p( x) 0; p( x)dx 1
是 p ( x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1
设 随 机 变 量X 具 有 概 率 密 度 0 x 3, kx, x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 其 它. 0, ( 2) 求 X 的 分 布 函 数 ;
(1) 确 定 常 数k ;
p( x )
概率密度
函数图形
a o
b
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
均匀分布分布函数图形演示
F ( x)
1
a o
b
x
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
性质 (1) 对任意的 x, p( x ) 0. (2)
x x
p( x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim p(t ) d t p( x) d x.
a
a
(4) 若 p( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ( x ) p( x ).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
a
p( x) d x.
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b}
7 (3) 求 P {1 X }. 2
解
(1) 由 p( x) d x 1,
x 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 0 3 2 1 解之得 k . 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6 x 0 x 3, , 6 x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其 它.
2 2 3
2 P{Y 2} C 20 3
27 .
2 3 2 1 C3 3 3
3
2 1 3
0
2. 指数分布
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 15 1 41 . 2 2 16 12 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, p( x ) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
1
P{x1 X x2 } P X x2 X x1
x2
x1
x2
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a ) p( x ) d x , P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
p ( x) d x p ( x ) d x
S p ( x) d x 1
p( x )
1
0
x
x2
1
(3) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
PX x2 PX x1 F ( x2 ) F ( x1 )
p( x ) d x p( x ) d x x p( x ) d x.
第2.3节
一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
3 4
9 1 k 1, 2 4
由 F ( x) p(t ) d t 得
当x
x
0时 ,
F ( x) 0dt 0
x
当0 当3
x 3 时 , F ( x) p(t )dt 0dt 0
x
0
x
t x2 dt 12 6
x 4 时 ,F ( x) 0dt 0
1 , 2 x 5, p( x ) 3 0, 其它. 设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
因而有
2 Y ~ B 3, . 3
0
3
x2 3 2 x 4
当x
x t t d t (2 ) d t 3 6 2
4时 ,
F ( x) 0dt
0
4 x t t dt 2 dt 0dt 3 4 6 2
1
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) 2 x 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
P{a X b}
b
a
p( x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x )
0
a 0,而概率为0
的事件不一定是不可能事件. 若X是连续性随机变量,则
P{ X a} 0, 显然{X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p( x) 0; p( x)dx 1
是 p ( x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1
设 随 机 变 量X 具 有 概 率 密 度 0 x 3, kx, x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 其 它. 0, ( 2) 求 X 的 分 布 函 数 ;
(1) 确 定 常 数k ;
p( x )
概率密度
函数图形
a o
b
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
均匀分布分布函数图形演示
F ( x)
1
a o
b
x
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
性质 (1) 对任意的 x, p( x ) 0. (2)
x x
p( x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim p(t ) d t p( x) d x.
a
a
(4) 若 p( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ( x ) p( x ).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
a
p( x) d x.
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b}
7 (3) 求 P {1 X }. 2
解
(1) 由 p( x) d x 1,
x 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 0 3 2 1 解之得 k . 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6 x 0 x 3, , 6 x p( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其 它.
2 2 3
2 P{Y 2} C 20 3
27 .
2 3 2 1 C3 3 3
3
2 1 3
0
2. 指数分布
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 15 1 41 . 2 2 16 12 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, p( x ) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
1
P{x1 X x2 } P X x2 X x1
x2
x1
x2
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a ) p( x ) d x , P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
p ( x) d x p ( x ) d x
S p ( x) d x 1
p( x )
1
0
x
x2
1
(3) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
PX x2 PX x1 F ( x2 ) F ( x1 )
p( x ) d x p( x ) d x x p( x ) d x.
第2.3节
一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
3 4
9 1 k 1, 2 4
由 F ( x) p(t ) d t 得
当x
x
0时 ,
F ( x) 0dt 0
x
当0 当3
x 3 时 , F ( x) p(t )dt 0dt 0
x
0
x
t x2 dt 12 6
x 4 时 ,F ( x) 0dt 0
1 , 2 x 5, p( x ) 3 0, 其它. 设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
因而有
2 Y ~ B 3, . 3