常见的一维连续型随机变量
一维连续型随机变量
第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。
教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。
教学方法：课堂教学。
三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。
2.3一维连续型随机变量及其概率密度
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
正态分布
2
2π
1 标准正态分布的分布函数： Φ( x) = ∫∞ 2π e dt x F ( x) = Φ （5）一般正态分布与标准正态分布的关系 σ (t ) t x 1 2σ 有dt = σ dy F ( x) = P { X ≤ x} = ∫ 2πσ e dt 令 y = ∞
a0 a 3
a=3
常见连续型的分布（3）标准正态分布 常见连续型的分布（
错误判析 例：X~N(3,4)，求P ( –4 < X < 10 ) 错解：P ( –4 < X < 10 )= P ( –4 < X ≤ 10 )= F(10) –F(–4) =F(10) –[1– F(4)] =F(10) + F(4) –1 10 3 43 = Φ +Φ 1 4 4 =0.5586 一般正态分布函数不具有F(–x) = 1 –F( x)性质 , 只有标准正态分布函数才具有Φ (–x) = 1 –Φ( x) , 误认为σ = 4，有正态分布定义可知σ 2= 4，即σ =2。 正确解 P ( –4 < X < 10 )= =F(10) –F(–4) 10 3 43 = Φ Φ 2 2 =Φ(3.5)Φ(3.5) =Φ(3.5)[1 Φ(3.5)] =2Φ(3.5)1=0.9996
50 Φ σ
X 300 350 300 P < σ σ
=0.9236
查表得50/σ=1.43，于是σ ≈ 35 故X~(300,352)，又 P{x<X<+x}=
X x x P < = 2Φ 1 ≥ 0.9 σ σ σ x Φ ≥ 0.95，查表得x/σ =1.645， 于是 x≥1.645×35=57.58 即 σ
一维连续型随机变量函数的分布
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
[数学]-3、连续型随机变量
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解
2)如图：把平面分成五个区域， 如图：把平面分成五个区域， Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ
i) 当(x,y)∈III
1 1 F(x, y) = ∫ dv∫ du = ( xy + y arcsiny + 1− y2 −1) 0 arcsinv 2 2
y x
ii) 当(x,y)∈Ⅱ
F ( x, y) = ∫ du ∫
三、连续型随机变量
一、一维连续型随机变量
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫
x
−∞
f (t ) dt
分布函数性质 i) 0≤ F(x)≤ 1 且 F(x)是连续函数 ； 是连续函数； ii) 当 x1≤ x2 时 ， F(x1)≤ F(x2)； (单调性 ） 单调性） ⅲ) F( - ∞ )=0,F(+ ∞ )=1 F(- )=0,F(+∞ 密度函数性质 1) f(x)≥ 0 3) f (x) = [F(x)]′ 2) ∫
其中 G 是由概率括号中的不等式构成的区域。 二维连续型随机变量的概率的计算问题等 价于以概率括号中的不等式构成的区域 G 为 底，联合密度函数为高的曲顶柱体体积的计 算。
例 4 设(X,Y)的联合分布函数为
F ( x, y ) = ( a − be
−e x
)( c − de
−e y
), ( x, y ) ∈ R
二维正态分布的性质： 二维正态分布的性质： 2 2 设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1 ,σ2 , r),则 1) X~N(μ1,σ12), Y~N(μ2,σ22) 2) X 与 Y 独立的充要条件是 r=0 3) 在 Y=y 的条件下，X 的条件分布仍为 的条件下， 正态分布
1/ 2 1
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
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均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
1-2一维随机变量
X ~ Exp( )
指数分布的应用场合 若一个元器件（或一台设备、或一个系 统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击 来到的时间 X（寿命）服从指数分布。 如： 无线电元件的寿命X 动物的寿命Z 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似
随机服务系统中的服务时间 X 设备两次故障的间隔时间 X
电话问题中的通话时间 Y
若 X 的密度函数为
x 1e x , x 0 p ( x ) ( ) 0 , x0
定理 设X ~ N ( , 2) , 则
U X
~ N (0,1)
正态分布相关事件概率的计算
a X b P ( a X b ) P b a ; X a P ( X a ) P a 1 .
每天从北京站下火车的人数 Y ；
昆虫的产卵数 Z ； 每天进入某超市的顾客数 ; 购买商品的件 数; 顾客排队等候付款的时间 等等.
(2)、在有些试验中，试验结果看起来与数值 无关，但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果. 也就是说，把试验结果数值化. 例如：检测一件产品可能出现的两个结果 , 可以用一个离散变量来描述
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-1
1
2
3
0.4
常用计算公式—只对 N(0,1) 适用
0.3 0.2 0.1
(0) 0.5
(u ) 1 (u)
P(| U | c) 2(c) 1
-3 -2
-3 -2 -1
1
2
3
0.4 0.3 0.2 0.1
-u
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F
x
1
0 e
x
x0 x0
2020年4月12日星期日
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3.2 常用连续型随机变量
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
f x
1
x 2
e 2 2
2
x
其中 ， 0为参数，
则称随机变量 X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
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25 1 dx
20 30 上页
1
3
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3.2 常用连续型随机变量
2．指 数 分 布
引例： 根据历史资料分析，某地连续两次强地 震之间相隔的时间X（单位：年）是一个随机变 量，它的分布函数为
1 e0.1x , x 0; F(x)
0, x 0.
现在该地刚发生了一次强地震。试求 (1)今后3年内再次发生强地震的概率； (2)今后3年至5年内再次发生强地震的概率。
则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
a
1 ba
dx
1．
由此可知，f
x
b
1
a
a xb
确是密度函数．
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0
其它
2
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3.2 常用连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机 变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上 取值的概率与该子区
间的长度成正比，而与 该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变 量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
cl
P{c X c l} c f (x)dx
X
X
cl
1 dx
l
.
c ba ba
a
0
l
l
bx
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3.2 常用连续型随机变量
均匀分布的分布函数
e 2 2 dx
2
1
u2
e 2 du 1
2
x2 y2
e 2 dx e 2 dy
x2 y2
e 2 e 2 dxdy
x2 y2
e 2 dxdy
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15
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
作极坐标变换：x r cos ， y r sin ， 则有
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
1
a a
xa a xb
bx
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4
F (x) 1
a0 b
x
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例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站 一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达 到此站．如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30 之间的均匀分布．求他等待时间不超过5分钟的概率．
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2020年4月1录
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
为此，我们只需证明：
e
x2 2
2
dx
2
e
x2 2
dx
密度函数的验证
设X ~ N ， 2 ，f x是其密度函数，则有：
f x
1
e
x 2
2 2
0
2
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
3.2 常用连续型随机变量
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]
2020年4月12日星期日
1
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证
设X ~ 区间a， b上的均匀分布， f x是其密度函数，
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
0
⑵． f xdx f xdx f xdx
由此可知，
0
exdx
ex
1．
0
0
f
x
e
x
x0
0 x0
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9
确是一密度函数．
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3.2 常用连续型随机变量
指数分布的分布函数
若随机变量X 服从参数 指数分布，
则 X 的分布函数为
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3.2 常用连续型随机变量
解：（1）所求概率为
P( X 3) F (3) 1 e0.13 0.26;
（2）所求概率为
P(3 X 5) F (5) F (3) (1 e0.15 ) (1 e0.13 ) 0.13
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f (x)
X ~ N，2
2020年4月12日星期日
11
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x 返回
3.2 常用连续型随机变量
标准正态分布
若 0， 1，我们称 N0， 1为标准正态分布．
标准正态分布的密度函数为
x
1
x2
e2
2
x
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3.2 常用连续型随机变量
e
x2 2
dx
2
2
d
r2
e2
rdr
00
2
r2
e2
2
0
因此，
x2
e 2 dx 2
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16
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3.2 常用连续型随机变量
密度函数的验证(续)
下面验证：
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
作变换：u x ， 则 du dx
则有
1
x 2
解：设X表示乘客到达该车站的时间，则 X : U 0,30
f
(
x)
1 30
,
0 x 30,
0, 其它.
乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15
之间或在7:25到7:30之间到达车站．因此所求概率为
P10 X 15 P20 X 25
2020年4月12日星期日
5
15 1 dx 10 30
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3.2 常用连续型随机变量
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
2020年4月12日星期日
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3.2 常用连续型随机变量
指数分布密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布， f x是其密度函数，则有：