多属性决策基本理论与方法

多属性决策基本理论与方法主讲人：***多属性决策基本理论与方法1. 多属性决策基本理论1.1 多属性决策思想根据决策空间的不同，经典的多准则决策（Multiple Criteria Decision Making —MCDM ）可以划分为两个重要的领域：决策空间是离散的（备选方案的个数是有限的）称为多属性决策（Multiple Attribute Decision Making —MADM ），决策空间是连续的（备选方案的个数是无限的）称为多目标决策（Multiple Objective Decision Making —MODM ）。

一般认为前者是研究已知方案的评价选择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。

经典的多属性决策（Multiple Attribute Decision Making —MADM ）问题可以描述为：给定一组可能的备选方案，对于每个方案，都需要从若干个属性（每个属性有不同的评价标准）去对其进行综合评价。

决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者感到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。

多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于社会、经济、管理和军事等诸多领域，如投资决策、项目评估、工厂选址、投标招标、人员考评、武器系统性能评定、经济效益综合排序等。

1.2 多属性问题描述设在一个多属性决策问题中，备选方案集合为}g ,,g ,{g m 21 =G ，考虑的评价属性集合为},,,{21n u u u U =，则初始多属性决策问题的决策矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn x m x m x n x x x n x x x X 212221211211 其中，ij x 表示第i 个方案的第j 个属性的初始决策指标值，其值可以是确定值，也可以是模糊值，既可以是定量的也可以是定性的。

多属性决策问题主要包括三个部分：建立属性评价体系、确定属性权重及运用具体评价方法对备选方案进行综合评价。

2. 属性值规范化方法2.1 属性值规范化概述常见的属性有效益型、成本性、区间型三种。

效益型属性也称正属性，是指属性值越大隶属度越大的属性，也就是说属性值越大越好。

成本型属性也称负属性，是指属性值越小隶属度越大的属性，也就是说属性值越小越好。

区间型属性也称适度型属性，是指属性值越接近某个常数隶属度越大的属性。

属性之间一般存在着不可共度量性，即不同属性有不同的度量标准。

具体来说，各属性的度量单位不同、量纲不同、数量级不同。

我们不能直接利用初始属性指标进行各方案的综合评价和排序，而是需要先消除各属性的量纲、数量级和属性类型的影响后，再对方案进行综合评价和排序。

消除各属性的量纲、数量级和属性类型的差异的过程，这就是我们常说的决策指标的规范化处理（或称为决策指标的标准化处理）。

对于多属性决策问题，其实质就是利用一定的数学变换，把属性的量纲、类型、差异消除，从而，将其转化成可以进行比较和综合处理的、统一的“无量纲化”指标。

对于多属性决策问题，一般习惯上是把各属性的指标值都统一转换到[0,1]区间上。

即决策指标规化以后，对每个属性来讲，最差的属性指标值为0，最好的属性指标值为1。

2.2 确定型属性值规范化方法(1) 线性变换法对于效益型属性：max jx ij x ij y = （2.1） 对于成本型属性：ij x jx ij y min = （2.2） 其中，},,2,1max{max mj x j x j x j x =，},,2,1min{min mj x j x j x jx =。

式2.1、式2.2也可以分别表示为：)min (1ij x jx ij y -= （2.3） )max (1j x ij x ij y -= （2.4）线性变换法只适用于效益型属性和成本性属性，且指标值均为正值的情况。

其规范化后的指标值分别落在]1),/[(max min j j x x 、]1),/[(max min jj x x 区间上。

其中，式2.3、式2.4并不是线性的变换，只是习惯上也称其为线性变换法。

(2) 极差变换法极差变换法的基本思想是将最好的属性值规范化后为1，将最差的属性值规范化后为0，其余的属性值均用线性插值法得到规范化属性值。

对于效益型属性：min max min jx j x j x ij x ij y --= （2.5） 对于成本型属性：min max max jx j x ij x j x ij y --= （2.6） 对于区间型属性：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉-----=]12,11[1]12,11[)}12max (),min 11max{()}12(),11max{(1q q ij x q q ij x q j x j x q q ij x ij x q ij y （2.7） 其中，},,2,1max{max mj x j x j x j x =，},,2,1min{min mj x j x j x jx =。

(3) 向量变换法对于效益型属性：∑==m i ij x ijx ij y 12 （2.8）对于成本型属性：∑==m i ij x ij x ij y 12)/1()/1( （2.9）我们注意到，向量规范化方法并不改变初始属性的正、负符号，且规范化后各分量的模等于1，即112)(,,2,1=∑==m i ij x mj x j x j x ）（这种规范化方法适用于任何类型的属性，但是其不能保证属性的最好值规范化后的值为1、最差值为0，也不能保证属性值规范化后的值落在[0,1]区间上。

所以这种方法的应用范围仅仅局限于基于空间距离方法的多属性决策方法，如理想点法、TOPSIS 法、投影法、夹角度量法等。

(4) 三角函数变换法对于效益型属性：)]2min max (min max sin[2121j x j x ij x jx j x ij y +--+=π （2.10） 对于成本型属性： )]2min max (min max sin[2121j x j x ij x jx j x ij y +---=π （2.11） 2.3 模糊型属性值规范化方法对于定性刻画的控制变量，考虑到信息的不完全性及风险诊断专家知识的局限等，往往很难用精确数表示其原始信息，而模糊语言有时候更利于风险诊断专家表达自己的偏好。

模糊语言的表示主要有区间数、三角模糊数、梯形模糊数、直觉模糊数、语言标度、二元语义等。

在决策过程中，虽然选择不同的模糊语言表示及集结方法将会得到不同的结果，但就各种模糊语言表示本身而言并没有优劣之分。

定义1记],[ˆU L a a a=为闭区间数，应用C-OWA 算子，则转化的计算公式为： UL U L a a a a f λλρ+-=)1(]),([ 定义2 记),,(~U M L a a a a=为三角模糊数，应用C-OWA 算子，则转化的计算公式为： 3/)2)1(()),,((U M L U M L a a a a a a f λλρ++-=定义3 记),,,(~U N M L b b b b b =为梯形模糊数，应用C-OWA 算子，则转化的计算公式为：3/))2()2)(1(()),,,((UN M L U N M L a a a a b b b b f +++-=λλρ 定义4记｝｛Z ψψ∈-∈=L L L a a ];,[为模糊语言标度集，a ψ表示模糊语言变量。

L -ψ和L ψ分别表示模糊语言标度集的下限标度和上限标度。

若],[βαψψγ=，ψψψβα∈,且βα<，称γ为模糊语言区间数。

当βα=时，γ退化为模糊语言变量。

集合ψ中元素数量可根据实际评估需要设置。

若取4=L ，则集合ψ包括9个元素。

在刻画供应链风险时，给定模糊语言变量与风险诊断专家表达的模糊偏好信息存在如下对应关系：VL =4-ψ(很低)，L =3-ψ(低)，ML =2-ψ(较低)，FL =1-ψ(稍低)，IG =0ψ(一般)，FH =1ψ(稍高)，MH =2ψ(较高)，H =3ψ(高)，VH =4ψ(很高)。

由于模糊语言区间数不能直接计算，因此需要通过转换公式将之转化后方可进行。

通过定义5可实现模糊语言区间数与精确数之间的转化。

定义5 记],[βαψψγ=为模糊语言区间数，Θ为精确数，其中],[L L -∈βα，，10≤≤Θ。

存在下列对应法则使得映射关系Θψψβα→]},{[:f 成立。

121121)1(+++⋅++++⋅-=L L L L βλαλΘ （2）其中，λ表示风险诊断专家对风险程度的偏好。

若0=λ，说明风险诊断专家对风险持乐观态度；若1=λ时，说明风险诊断专家对风险持悲观态度。

Θ可理解为风险系数，Θ越小，说明风险程度越低。

3. 建立属性评价体系4. 属性权重计算方法4.1 判断矩阵法见5.3层次分析法4.2 灰色关联系数法灰色关联度评价是一种多因素统计分析方法，它是以各因素(属性)的样本数据为依据用灰色关联度来描述方案之间关系的强弱、大小和次序。

如果样本数据间变化态势基本一致，则关联度较大；反之较小。

灰色关联度评价法的核心是计算关联系数，而关联系数的计算实质就是一种利用理想样本(方案)进行确定型定量指标的规范化方法。

首先，确定所研究问题的评价指标和被评价方案，形成如下样本初始决策矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯mn m m n n nm ij x x x x x x x x x x X 212222111211)(， 将指标进行无量纲化处理，并确定参考样本(理想方案)，得到规范化决策矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯mn m m n n n nm ij y y y y y y y y y y y y y Y21222211121100201)(， 其中，},,,max{210mj j j j y y y y =，n j ,,2,1 =。

第i 个方案的第j 个指标与参考样本(理想方案)的关联系数为j ij j i j ij jij ji j ij j i ij y y y y y y y y r 0000max max max max min min -+--+-=ρρ，其中，ρ是分辨系数，在[0,1]内取值，一般取0.5，其取较小值可以提高关联系数间差异的显著性，从而提高评价结果的区分能力，这也正是灰色关联度评价法的一个显著特点。

若指标的权重向量为),,,(21n ωωωω =，则被评价方案与参考样本(理想方案)的关联度为∑==nj ij j i r R 1ω，m i ,,2,1 =按照关联度大小排序各被评价方案。

对被评价方案与参考样本的关联度从大到小排序，关联度越大，说明被评价方案与参考样本越接近，因而被评价方案也就越优。