二次函数与一元二次方程练习题(含答案)
中考数学《二次函数与一元二次方程》专项练习题及答案
中考数学《二次函数与一元二次方程》专项练习题及答案.()=--2y x x my=mA．0个B．1个C．2个D．3个7．二次函数()20y ax bx c a =++≠()1,0-A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个，使得ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（A．1个B．2个C．3个D．4个A．1个B．2个C．3个D．4个四个根的和为4-．其中正确的结论有_____．12．如图，抛物线1C ：223y x x =+-与抛物线2C ：2y ax bx c =++组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线1C 和抛物线2C 与x 轴有着相同的交点A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴的交点分别为C 、D ．如果BD CD =，那么抛物线2C 的表达式是______．13．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示，已知图象经过点()2,0-其对称轴为直线 2.x =下列结论①0abc >；①240b ac -<；①80a c +>；①9315a b c a ++=-；①点()()123,0,C y D y 是抛物线上的两点，则12y y <；①若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，7.正确的有______ (填序号).14．已知y 是关于x 的函数，若该函数的图象经过点(),P t t ，则称点P 为函数图象上的“平衡点”，例如：直线23y x =-+上存在“平衡点”()1,1P ，若函数()2132y m x x m =--+的图象上存在唯一“平衡点”，则m =___________．15．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a c ≠），且0a b c -+=，0a >下列四个结论：①对于任意实数m ，()()2110a m b m -+-≥恒成立；①若0a b +=，则不等式20ax bx c ++<的解集是12x -<<； ①一元二次方程()222a x bx b c --+=+有一个根1x =；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若c a >，则当121x x -<<时，总有12y y <．其中正确的是__________．（填写序号）(1)求点M 的坐标；（用含m 的式子表示）时，请求出ODE 面积(3bx a +≠(1)求该二次函数解析式；，求BCP面积的最大值；所得新函数图象如图轴交于C点，(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；1．B2．B3．B4．D5．A6．D7．C。
初中数学二次函数一元二次方程练习题(附答案)
初中数学二次函数一元二次方程练习题 一、单选题1.如果方程()()23330m x m x --++=是关于x 的一元二次方程，那么m 不能取的值为（ ）A.3±B.3C.3-D.都不对2.下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=;②223(9)(1)1x x --+=;③2150x x++=;④232560x x -+-=;⑤2233(2)x x =-;⑥12100x -=是一元二次方程的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ）A.2-B.1C.2D.04.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A. 31y x =-B. 2y ax bx c =++C. 2221s t t =-+D. 21y x x=+5.已知(2)2m y x m x =+-+是关于x 的二次函数，那么m 的值为( ) A.2- B.2 C.2± D.06.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.7.在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =-与y bx a =+的图象可能是( ) A. B. C. D.8.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.16(12)25x +=B.25(12)16x -=C.216(1)25x +=D.225(1)16x -=9.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0).给出下列结论：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④当13x -<<时，0y >.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、证明题10.如图,四边形ABCD 是平行四边形, E 、F 是对角线BD 上的点, 12∠=∠.1.求证: BE DF =;2.求证: //AF CE . 11.已知抛物线212y x bx c =++经过点3(10),0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1.求该抛物线的函数解析式；2.将抛物线212y x bx c =++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象所对应的函数表达式。
九年级数学：二次函数与一元二次方程练习题(含解析)
九年级数学：二次函数与一元二次方程练习题（含解析）
1.某一抛物线开口向下,且与x 轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个),此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
2.若抛物线y =x 2－(2k +1)x +k 2+2,与x 轴有两个交点,则整数k 的最小值是______.
3.等腰梯形的周长为60 cm,底角为60°,当梯形腰x =______时,梯形面积最大,等于______.
4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题,其中是假命题的个数是（ ） ①当c =0时,函数的图象经过原点; ②当b =0时,函数的图象关于y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是a
b a
c 442
;④当c >0且函数的图象开口向下时,方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.抛物线y =kx 2
－7x －7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是( )
A.k >－47;
B.k ≥－47且k ≠0;
C.k ≥－47;
D.k >－47且k ≠0 6.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根.
(1)4x 2-8x +1=0; (2)x 2-2x -5=0;
(3)2x 2-6x +3=0; (4)x 2-x -1=0.
参考答案
1.y=－x2+x－1 最大
2. 2
3. 15 cm
4.B
5.B
6.解：(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.4,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6。
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题
初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题1. 解一元二次方程：2x^2 - 5x - 3 = 0解答：首先，我们可以使用求根公式来解一元二次方程。
假设方程为ax^2 + bx + c = 0，求根公式可以表示为： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
对于这个方程，系数为 a = 2, b = -5, c = -3。
代入求根公式，我们可以计算出两个解：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)= (5 ± √(25 + 24)) / 4= (5 ± √49) / 4所以，方程的解为 x = (5 + 7) / 4 或 x = (5 - 7) / 4，即 x = 3 或 x = -1/2。
2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴：y = 3x^2 + 6x + 2解答：二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c。
其中，顶点坐标可以使用公式 (-b/2a, c - b^2/4a) 求得。
对称轴为 x = -b/2a。
对于给定的函数 y = 3x^2 + 6x + 2，我们可以计算出顶点坐标和对称轴：顶点坐标：x = -6 / (2*3) = -1y = 3*(-1)^2 + 6*(-1) + 2 = -1所以，该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。
对称轴：x = -6 / (2*3) = -1所以，该二次函数的对称轴为 x = -1。
3. 求二次函数的图像与 x 轴的交点：y = x^2 - 4x + 3解答：要求二次函数的图像与 x 轴的交点，我们需要解方程 y = 0。
对于给定的函数 y = x^2 - 4x + 3，我们有：x^2 - 4x + 3 = 0这里我们可以使用因式分解或求根公式来解方程。
通过因式分解，我们可以将方程化简为 (x - 3)(x - 1) = 0。
初二数学一元二次方程与二次函数试卷(含答案)
一元二次方程与二次函数试卷班级： 姓名 总分：一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）.2222221A.0 B.0C.421 D.3250x ax bx c x x x x xy y +=++=-=--= 2．用配方法解方程 2210x x --=，变形后的结果正确的是（ ）.2.(1)0x A += 2.(1)0x B -= 2C.(1)2x += 2D.(1)2x -=3．抛物线 2(2)2y x =-+ 的顶点坐标是（ ）.A.(2,2)-B.(2,2)-C.(2,2)D.(2,2)--4．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）.2A.0x x += 2B.5410x x --= 2C.3410x x -+= 2D.4520x x -+=5．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是 2680x x -+= 的根，则这个三角形的周长是（ ）.A.11B.13C.1113D.1215 或 或6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）.A.100(1)121x +=B.100(1)121x -=2C.100(1)121x += 2D.100(1)121x -=7．要得到抛物线 22(4)1y x =-- ，可以将抛物线 22y x = （ ）.A. 向左平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度B. 向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度C. 向左平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度D. 向右平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米²，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）.2A.10080100807644B.(100)(80)7644C.(100)(80)7644D.100807644x x x x x x x x x ⨯--=--+=--=+=9．如图，2210y ax a y ax x a a =+=-+≠函数和（是常数,且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）.10．二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图像大致如图，关于该二次函数，下列说法错误．．的是（ ）.A.1B.21C.2D.120x x y x x y =<-<<>函数有最小值对称轴是直线当，随的增大而减小当时，第10题图 第16题图二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11.写出解为3x =的一个一元二次方程： .12.已知1x =是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，则代数式a b c ++= .13.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中，平均一个人传染的人数为x ，可列方程为： .14.二次函数226y x x =-+的最小值是： .15.正方形的边长是3，若边长增加x ，则面积y 与x 之间的关系是： . 16.抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则 当0y >时，x 的取值范围是 .三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17.解方程：2320x x -+=18.已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根.19.已知抛物线的顶点为（1，-4），且经过点（3,0），求这条抛物线的解析式.四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）20. 惠州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？21.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．22.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始，沿边AB向点B 以2mm/s•的速度移动，动点Q从点B开始，沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果•P、Q 都从A,B点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出S关于t的函数解析式及t的取值范围.五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）23. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同.（1）求每月盈利的平均增长率.（2）按照这个平均增长率，预计5月份家商店的盈利将达到多少元？24. 石坝特产专卖店销售莲子，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种莲子想要平均每天获利2240元，请回答： ⑴每千克莲子应降价多少元？⑵在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？25.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用y=-41x 2+4表示. （1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？答案 一. 选择题1-----5 C.D.C.D.B 6----10 C.B.C.B.D 二. 填空题 11. 29x （ 答案不唯一） 12.013. 21(1)121(1)121x x x x +++=+=或 14.5 15. 2(3)y x =+ 16. 1<<3x - 三.解答题12(2)(1)020102,1x x x x x x --=-=-===17.解：因式分解得：于是得或 22222221262104641(21)3684=055621062510690(3)03x x x m b ac m m m m x x m x x x x x x x -+-=∴∆=-=-⨯⨯-=-+∴==-+-=-+⨯-=-+=-=∴==18.解：关于的方程有两个相等的实数根把代入得2222()11,4(1)4(3,0)0(31)41(1)4y a x h k h k y a x a a y x =-+∴==-∴=--=--∴=∴=--19.解：设抛物线的解析式为顶点（，-4） 把代入得抛物线的解析式为121=282=8=78x x x x x --20.解：设应邀请支球队参加比赛,依题意得（） 解得：，（不合题意，舍去）答：应邀请支球队参加比赛.1223221.,232()120212,2020>162012xBC x xx x x x BC --===∴=解：设的长为米则AB 的长为（）米，得 解得： （不合题意，舍去）答：该矩形草坪边的长米.29012 mm 24 mm (12-2t) mm 4t mm11=(12-2t)4t22244(0<<6)B BP S PB BP B S t t t ∠=︒==∴==∴∆∙∙=-22.解:，AB ，BC ，BQ Q Q=化简得21,2400(1)34500.2 2.253450(120%)=4147.220%54147.2x x x x +===-⨯+２23.解：（1）设每月盈利的平均增长率依题意得解得，（不合题意，舍去）（2）月份家商店的盈利：（元）答：每月盈利的平均增长率，月份家商店的盈利将达到元212(6040)(10020)22402102404,6(2)66065454100%90%6046x xx x x x x x --+⨯=-+===∴=∴-=∴⨯=24.解：(1)设每千克莲子应降价元，依题意得化简得：解得：尽可能让利于顾客售价为：即：九折答：每千克莲子应降价元或元；该店应按原售价的九折出售.22111,(1)4 3.75,43.752>412,(2)43,432>4x y x y =±=-⨯±+=+∴=±=-⨯±+=+∴25.解：（）建立相应的直角坐标系，当货车在正中央时，即对应的货车能通过该隧道.（2)当隧道内设双行道时，就意味着货车只能走一边，即对应的货车能通过该隧道.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
二次函数与一元二次方程_练习题
二次函数与一元二次方程 练习题附参考答案1、抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为． 答案：0 92-< 没有实数根．2、函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ、0个Ｂ、1个Ｃ、2个Ｄ、1个或2个 答案：Ｃ3、关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）Ａ、1个Ｂ、2个Ｃ、3个Ｄ、4个 答案：Ｃ4、关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =． 答案：一 45、抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位． 答案：4或96、关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）Ａ、116m <-Ｂ、116m -≥且0m ≠ Ｃ、116m =-Ｄ、116m >-且0m ≠ 答案：Ｂ7、 已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是43，求h 和k 的值．答案：21()3y x h k =--+，顶点()h k ，在2y x =上，2h k ∴=，22221122()3333y x h h x hx h ∴=--+=-++．22∆求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．8、已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．答案：（1）222()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>， 此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点．（2）2244(2)5444ac b m m a ---==-，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为21y x x =--或231y x x =-+．9、下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点．（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠= ，60ACB ∠=，求这个二次函数的函数表达式．答案：（1）抛物线开口向上，0a >；图像的对称轴在y 轴左侧，02ba-<，又0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<．0a ∴>，0b >，0c <．（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠= ，60ACB ∠=，3tan OAOB ABC==∠，3tan 60OAOC ==，(30)B ∴-，，(30)C ，．设二次函数式为(3)(3)y a x x =+-，ＡＣＯ Ｂ xy把(03)-，代入上式，得33a =， ∴所求函数式为233(3)(3)(31)333y x x x x =+-=+--． 10、已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x 轴交于A ，B 两点．（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．答案：（1）抛物线不过原点，0m ≠，令2202m x m x -+=，2221()402m m m ∆=--⨯=-<，222m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴抛物线2234y x mx m =+-经过A ，B 两点．（2）设1(0)A x ，，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程22304x mx m +-=的两根12x x m +=-，21234x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．123OB OA 1-= ．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，22334m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-．11、已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点； Ａ ＢＯ xy数表达式．答案：（1）22222(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．0m ≠ ，280m ∴>，∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．（2）设1(0)A x ，，212(0)()B x x x >，，则1x ，2x 是方程22240x mx m -+=两根，122x x m +=，2122m x x =，222221212112()()4422AB x x x x x x x x m m m =-=-=+-=-=， C 点纵坐标22224816442c ac b m m y m a --===-⨯，∴△ABC 中AB 边上的高22h m m =-=．21124222ABC S AB h m m === ，2m =，2m =±， 2284y x x ∴=++或2284y x x =-+．12、如图所示，函数2(2)7(5)y k x x k =--+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =． 答案：7-13、已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． Ｏy x答案：（1）由122(1)x x m +=-，2127x x m =-，22222121212()24(1)2(7)10x x x x x x m m +=+-=---=，得2m =，11x ∴=-，23x =，(10)A -，，(30)B ，． （2） 抛物线过A ，B 两点，其对称轴为1x =，顶点纵坐标为4-，∴抛物线为2(1)4y a x =--．把1x =-，0y =代入得1a =，∴抛物线函数式为223y x x =--，其中(03)C -，． （3）存在着P 点．(10)A - ，，(03)C -，，(14)M -，，(30)B ，，∴9ACMB S =四形，18ABP S = ， 即1182P y AB =．4AB = ，9P y ∴=．把9y =代入抛物线方程得1113x =-，2113x =+，(1139)P ∴-，或(1139)P +，．14、二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ． 答案：（3，0） 15、二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点． 答案：0 16、对于二次函数2135y x x =++，当12x =时，y = ． 答案：1132017、如图是二次函数2246y x x =--的图像，那么方程22460x x --=的两根之和 0．答案：>18、求下列函数的图像与x 轴的交点坐标，并作草图验证． （1）25166y x x =-+； （2）2336y x x =+-．答案：（1）（13，0），（12，0），图略 （2）（1，0），（2-，0），图略19、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，求点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标． 答案：（1，8-） ＣＢＯ Ａ xy20、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ、a c + Ｂ、a c - Ｃ、c - Ｄ、c 答案：Ｄ21、下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） 答案：Ｄ Ａ、2y x =Ｂ、24y x =+ Ｃ、2325y x x =-+Ｄ、2351y x x =+-22、二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ） 答案：AＡ、（2，0）（3，0） Ｂ、（2-，0）（3-，0） Ｃ、（0，2）（0，3） Ｄ、（0，2-）（0，3-） 23、试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数244y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．答案：一元二次方程2441x x -+=的根是二次函数244y x x =-+与直线1y =的交点的横坐标，图略．24、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．210x x +-=答案：1 1.6x ≈-，20.6x ≈25、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．24834x x --=-答案：1 1.9x ≈，20.1x ≈26、函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）Ａ、有两个不相等的实数根 Ｂ、有两个异号的实数根 Ｃ、有两个相等的实数根 Ｄ、没有实数根答案：Ｃ27、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值．2530x x --=3Ｏxy28、抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（） 答案：Ａ Ａ、没有交点 Ｂ、只有一个交点 Ｃ、有且只有两个交点 Ｄ、有且只有三个交点29、 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为 答案：215322y x x =---30、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图４所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．答案： 3.3-1-2-3- 4- 12y。
九年级数学二次函数与一元二次方程的关系练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程的关系一、选择题1、［2021河西区·期末］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3［思路分析］将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项①进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为30﹣m，这只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y＝0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．［答案详解］解：一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m化为一般形式得：x2﹣11x+30﹣m ＝0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4（30﹣m）＝4m+1＞0，解得：m＞﹣，故选项①正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝11，x1x2＝30﹣m，而选项②中x1＝5，x2＝6，只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m，＝x2﹣11x+（30﹣m）+m＝x2﹣11x+30＝（x﹣5）（x﹣6），令y＝0，可得（x﹣5）（x﹣6）＝0，解得：x＝5或6．∴抛物线与x轴的交点为（5，0）或（6，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：①③．故选：C．［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．2、［2021南关区·期末］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（）A．﹣4B．4C．﹣5D．5［思路分析］根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．［答案详解］解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1，x2＝5，∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5，故选：C．［经验总结］考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．3、［2021肥东县·期末］二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（）A．a＜3B．a＜3且a≠0C．a＞3D．a≥3［思路分析］根据二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴有两个公共点可知Δ＞0且a≠0，据此可知a的取值范围．［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，∴Δ＞0且a≠0，即36﹣4a×3＞0，解得a＜3且a≠0．故选：B．［经验总结］本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．4、［2021房县·期末］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（）A．一个交点B．两个交点C．三个交点D．无交点［思路分析］根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点个数．［答案详解］解：当x＝0时，y＝1，当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4•（﹣1）•1＝8＞0．∴与x轴有两个交点∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．故选：C．［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、［2021旬邑县·期末］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（）A．abc＜0B．3a+c＝0C．4a+2b+c＞0D．2a+b＞0［思路分析］根据二次函数图像和性质依次判断即可．［答案详解］解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0．∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0．∴abc＞0．∴A不合题意．∵抛物线过点A（1，0）．∴a+b+c＝0．∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴B符合题意．由图知：当x＝2时，y＜0．∴4a+2b+c＜0．∴C不合题意．∵b＝2a，∴2a﹣b＝0．∴D不合题意．故选：B．［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．6、［2021准格尔旗·期末］如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个［思路分析］根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．［答案详解］解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，∴x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确，符合题意．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，故②正确，符合题意．∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正确，符合题意．∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，故④正确，符合题意．故选：D．［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．二、填空题7、［2021汕尾·期末］已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为．［思路分析］根据抛物线与x轴的交点坐标可以直接写出抛物线交点式方程，然后利用二次函数与一元二次方程的关系求得答案．［答案详解］解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．∴x+2＝0或x+4＝0，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．8、［2021庆阳·期末］若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），则该抛物线的对称轴是．［思路分析］由抛物线与x轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1．［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键．9、［2021姜堰区·期末］已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是．［思路分析］根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．［答案详解］解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），故答案为：（﹣6，0）．［经验总结］此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．10、［2021密山市·八五七农场学校期末］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．［思路分析］利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＞0的解集．［答案详解］解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，∴﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．［经验总结］此题主要考查了利用二次函数的图象解一元二次方程的根，解决本题的关键是利用数形结合．11、［2021娄星区·期末］已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为．［思路分析］由题意求出m2﹣m的值，代入代数式m2﹣m+2021进行计算即可得出答案．［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．故答案为：2022．［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．12、［2021雄县·期末］如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为．［思路分析］根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行计算即可．［答案详解］解：过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如右图所示：则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B （0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，由图可知，阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．故答案为：2．［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是由平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．13、［2021临海市·期末］如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有（填序号）．［思路分析］根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c＝3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，故答案为：①②④．［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．三、解答题14、［2021密山市·八五七农场学校期末］如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若抛物线上有一点B，且S△OAB＝1，求点B的坐标．［思路分析］（1）利用交点式求抛物线解析式；解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标；（2）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|＝1，则t2﹣2t＝1或t2﹣2t＝﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．［答案详解］解：（1）抛物线解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）设B（t，t2﹣2t），因为S△OAB＝1，所以×2×|t2﹣2t|＝1，所以t2﹣2t＝1或t2﹣2t＝﹣1，解方程t2﹣2t＝1得t1＝1+，t2＝1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t＝﹣1得t1＝t2＝1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．15、［2022金川区·期末］已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：（1）点A、B、C的坐标；（2）△ABC的面积．［思路分析］（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标；（2）根据A，B，C的坐标求出AB，CO长，即可求出S△ABC的值．［答案详解］解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．［经验总结］此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出图象与坐标轴交点是解题关键．16、［2021定远县·育才学校期末］在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接AC，P A，PC，若S△P AC＝，求点P的坐标．［思路分析］（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），由此即可解决问题．（2）根据S△P AC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣4．（2）如图，连接OP，设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；∵S△P AC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；整理得：m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），∴P（3，﹣）．［经验总结］本题考查了三角形的面积，二次函数的解析式的求法，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．17、若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．［思路分析］（1）利用二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据新定义，把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p值可得到p的值；（2）利用配方法得到抛物线y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标为（2，11），再利用待定系数法确定一次函数解析式为y＝3x+5，接着利用解析式求出一次函数图形与坐标轴的交点坐标，然后计算直线y＝kx+t与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）先解方程x2+2x+n＝0得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，则﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，解方程得到n＝﹣3，再利用配方法得到抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），然后把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3中可求出m的值．［答案详解］解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，解得p＝﹣4；（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线的顶点坐标为（2，11），把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝3x+5，当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，∴n＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1，∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．18、已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．［思路分析］（1）把C点坐标代入y＝x2+2ax+3a中求出a得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最小值﹣4，由于当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，所以n＝﹣4，则m＝5，计算y＝5所对应的自变量的值，从而得到k的值．［答案详解］解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图，当x＝1时，y有最小值﹣4，∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，∴n＝﹣4，而m+n＝1，∴m＝5，当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴k＝4．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BOC的面积．［思路分析］（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C的坐标，然后再根据点B的坐标，即可得到OC和OB的长，再根据三角形面积公式，即可求得△BOC的面积．［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△BOC的面积是＝＝．［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．20、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）二次函数图象的开口方向，顶点坐标是，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；（2）画函数图象；（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是．［思路分析］（1）先把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质可判断抛物线的开口方向，顶点坐标；然后解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算自变量为0所对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；（2）利用描点法画出二次函数的图象；（3）结合函数图象和二次函数的性质求解．［答案详解］解：（1）∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；故答案为：向上；（2，﹣1）；（1，0），（3，0）；（0，3）；（2）如图，（3）当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝3，所以当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质与图象．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。