第二章 连续LTI系统微分方程式的建立
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
e 矩阵指数函数 A t
定义为
e A t I At 1 A2t 2 1 Akt k 1 Akt k
2!
k!
k0 k!
e A 是一个 n x n 的方阵，则 A t 也是一个 n x n 的方阵
e A t 的主要性质有
eAt eAt I
e A t eA t 1
d eAt A eAt eAt A dt
A，A
1 0
1 2
e 求矩阵指数函数 A t
解： 矩阵 A 的特征多项式为
f
detI
A
det
0
1
1
2
1
2
特征根为 1 1, 2 2
因为矩阵 A 为二阶，所以有 根据矩阵 A 的特征根为单根有
e A t c0 I c1 A
e t c0 c1 e2 t c0 2c1
解得
c0 2e t e2 t
解: 由已知条件得
sI
A -1
s 1
1
s
4 1 1
s
1
12
4
s
1 1
4 s 1
建立系统微分方程的一般步骤
建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
2.1 LTI连续系统的响应
例1
例2
▲
■
第 14 页
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t)
将上述关系代入式（1），并整理得
■ 第 16 页
aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t) + 3aδ’(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ” (t) + δ’(t)
比较等式两边冲激项系数，有
a=2
b+3a=1
c+3b+2a=0
解得：a=2，b=-5，c=11，故
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
■
第7页
特解举例
例：给定微分方程式
d2 yt 2 d yt 3yt d f t f t
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
故
y(0+) = y(0-) = 2
■ 第 20 页
对式(1)两端积分有
0
0
0
0
0
y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立
1 (t ) iL (t )
2 ( t ) i L (t ) iC t
R2 1
y (t )
x1 (t )
1 C F 2
3 (t ) vC (t )
x2 (t )
电容Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电容C所在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电感L1所在网孔KVL：
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt
16/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1 2 L1 1H
a
1
L2
1 H 3
； 。
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
3/48
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
则系统的状态方程为：
1 (t ) f1 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
2 (t ) f 2 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
L1
iL1 t
iL3 t L3
L1
iL1 t
iS t
iL2 t
L2
图3
iL2 t
L2
图4
12/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
例：列写如图所示电路的状态方程，若输出信号为电压 y (t ) ，
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
信号与系统（郑君里）第二版讲义第二章
信号与系统（郑君⾥）第⼆版讲义第⼆章第⼆章连续时间系统的时域分析第⼀讲微分⽅程的建⽴与求解⼀、微分⽅程的建⽴与求解对电路系统建⽴微分⽅程，其各⽀路的电流、电压将为两种约束所⽀配： 1.来⾃连接⽅式的约束：KVL 和KIL ，与元件的性质⽆关。
2.来⾃元件伏安关系的约束：与元件的连接⽅式⽆关。
例2-1 如图2-1所⽰电路，激励信号为，求输出信号。
电路起始电压为零。
图2－1解以输出电压为响应变量，列回路电压⽅程：所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代⼊微分⽅程：所以，从⽽求得完全解：由于电路起始电压为零并且输⼊不是冲激信号，所以电容两端电压不会发⽣跳变，，从⽽若，则特解为，将其代⼊微分⽅程，并利⽤起始条件求出系数，从⽽得到：⼆、起始条件的跳变——从到1.系统的状态(起始与初始状态)(1)系统的状态：系统在某⼀时刻的状态是⼀组必须知道的最少量的数据，利⽤这组数据和系统的模型以及该时刻接⼊的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。
由于激励信号的接⼊，系统响应及其各阶导数可能在t=0时刻发⽣跳变，所以以表⽰激励接⼊之前的瞬时，⽽以表⽰激励接⼊以后的瞬时。
(2)起始状态：，它决定了零输⼊响应，在激励接⼊之前的瞬时t=系统的状态，它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接⼊之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能发⽣突变，即是连续的。
时不变：时变：例电路如图2-2所⽰，t=0以前开关位于"1"已进⼊稳态，t=0时刻，开关⾃"1"转⾄"2"。
(1)试从物理概念判断、和、。
(2)写出t>0时间内描述系统的微分⽅程式,求的完全响应。
图2－2解(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。
微分方程式的建立与求解
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
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齐次解的形式
Aet
A1et A2tet Ak t e k 1 t A1eatcosbt A2eatsinbt
7
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
8
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为
9
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
rzs
(t)
2et
1 2
e2t
3 2
,
t 0
r(t)
rzi (t)
rzs (t)
4et
3e2t
2et
1 2
e2t
3 2
零输入响应
2et 5 e2t 3
2
2
零状态响应
暂态响应 稳态响应
自由响应 强迫响应
41
信号与系统
四、全响应
习题2-6（2）
分析过程
ut :
表示0 到0 相对单位跳变函数
29
信号与系统d r(t) 3r(t) 3 (t)
dt
数学描述
方程右端含 (t) 项，它一定属于 d r(t)
dt
设
d r(t) a (t) b (t) cu(t)
dt
则
r(t) a (t) bu(t)
信号与系统
§2.1 引言
一、系统数学模型的时域表示法
输入输出描述： 一 元 N 阶微分方程 状态变量描述： N 元 一 阶微分方程
1
信号与系统
二、系统分析过程
列方程 解方程
经典法： 全解=齐次解+特解
双零法
零输入： 可用经典法 零状态：卷积积分法 (新方法)
变换域法： FT, LT
2
信号与系统§2.2 微分方程的建立与求解
4
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.2 如下图机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧
m
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为 f ，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度 v(t)间的关系。
解：
d2 vt
m dt2
f
d v t
dt
kv t
d
r(0 t n1
)
0 状态，初始条件，也称导出的起始状态
r
(
n)
(0
)
r
(0
),
d
r(0 dt
)
,
d
2r d
(0 t2
)
,L
d
n1
d
r(0 t n1
)
22
信号与系统
一、起始点的跳变
说明：
1.对于电路，系统 0_ 状态就是系统中储能元件的储能情况; 2.一般情况下换路期间满足换路定则：
（二）特解 rp(t)
由微分方程右端 e(t) 形式 设具有系数的特解 r(t) 代入原方程 比较系数定出特解。
激励函数e(t)
响应函数 r(t) 的特解
E
B
tp
B1t p B2t p1 L Bpt Bp1
e t
Be t
α 不等于特征根
Bte t
α等于特征单根
10
)
e -t
4
所以特解为
yp (t)
1 4
tet
全解为
y(t)
yh (t)
yp (t)
A1e5t
A2et
1 tet 4
代入初始条件 y(0) y’(0) 0 求得
A1
1 16
,
A2
1 16
所以有
y(t) 1 e5t 1 et 1 tet t 0
y(0) 0 , y '(0) 0
12
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
d 2 y(t) 6 d y(t) 5y(t) et
dt 2
dt
解: 齐次方程为
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t)
0
特征方程：
2 6 5 0
特征根：
1 5，2 1
16
16
4
14
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
15
信号与系统
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
列结点电压方程
(1)
16
信号与系统
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程
特征根 齐次解 特解
方程右端自由项为
要求系统的完全响应为
17
代入式(1)
信号与系统 (3)
换路前
18
信号与系统
a
(t)
Байду номын сангаас
b
(t)
cu(t)
d d t
r(t)
a
(t
)
bu (t )
r(t) au(t)
代入微分方程
(0 t 0 )
a (t) b (t) cu(t) 7a (t) bu(t)10au(t)
2 (t) 12 (t) 8u(t)
代入方程 得出
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) 3bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 即 b 9
c 9
所以得 r(0 ) r(0 ) b 9 即 r(0 ) r(0 ) 9
42
信号与系统
四、全响应
例 2.4.3：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t)
零输入响应：外加激励e(t) =0，只由起始状态 x(0-) 产生的响应。
是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由 r(0+)=r(0-) 求出齐次解rzi(t)的待定系数。
零状态响应：起始状态r(0-) =0，只由外加激励e(t)≠0产生的响应。 将e(t)代入方程求齐次解加特解，由冲激函数 匹配法求r(0+), 再求全解rzs(t)的待定系数。
一、微分方程的建立 根据元件特性约束和网络拓扑约束。
3
信号与系统
一、微分方程的建立
例2.2.1：求并联电路的端电压 v(t) 与激励 is (t) 间关系。
is (t)
iR C
R iC
L
iL v(t)
解：
C
d2 v(t) dt2
1 R
d v(t) dt
1 L
v(t)
d
iS d
(t) t
当有冲激电流作 用于电容时0-到 0+有跳变。
24
信号与系统 例2.3.1
当有阶跃电压作用 于电容时，0-到 0+有跳变。
25
信号与系统
(二)电感电流的跳变
如果 为有限值，
26
当有冲激电压作 用于电感时，0-
到0+有跳变。
信号与系统 例2.3.2
27
i (t) L
Is(t)
L
VL(t)
当有阶跃电流作用 于电感时，0-到
d FS t
dt
5
信号与系统
二、 n 阶LTI系统微分方程的一般形式
一个 n 阶LTI系统，e(t)与r(t)的关系可以用 下面一般形式的n 阶线性常微分方程描述。
dn r(t) dn1 r(t)
d r(t)
C0 d t n C1 d t n1 Cn1 d t Cnr(t)
33
r(0 )
r(0 )
2
4 5
2
14 5
d
d t
r(0
)
d dt
r(0
)
2
2
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
习题2-5
34
信号与系统
§2.4 零输入响应和 零状态响应
35
信号与系统 一、系统响应的划分
全响应
36
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input + Zero-state)
30
信号与系统
二、冲激函数匹配法确定初始条件
例2.3.4：描述LTIS的微分方程为
d2 dt2
r(t)
7
d dt
r(t)
10r (t )
d2 dt2
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
输入
e(t) 如图，已知r(0 )
4 5
d dt
r(0
)
0,
d
et
用冲激函数匹配法求r(0 ) d t r(0 )
37
信号与系统 一、系统响应的划分
自由响应： 由系统本身特性决定。对应于齐次解。 强迫响应： 形式取决于e(t)。对应于特解。
暂态响应： t ∞时，响应趋于零的部分。 稳态响应： t ∞时，响应留下的部分。
38
信号与系统
二、零输入响应
例2.4.1： 求系统的零输入响应
d2
d
d
dt2 r(t) 3 dt r(t) 2r(t) dt e(t) 3e(t), r(0 ) 1, r '(0 ) 2