(word完整版)2017寒假七年级培优练习之动点动角问题
(完整版)初一动点问题答案
线段与角的动点问题1．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）当P运动到线段AB上且P A＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度；（2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？【解答】解：（1）P在线段AB上，由P A＝2PB及AB＝60，可求得P A＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒．若CQ＝OC时，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）；若OQ＝OC，CQ＝60，点Q的运动速度为60÷60＝1（cm/s）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，故经过5秒或70秒两点相距70cm．2．如图，直线l上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为|160﹣5t|cm（用含t的式子表示）②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足P A＝2PB，求点Q的运动速度．（2）若两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值．【解答】解：（1）①依题意得，PQ＝|160﹣5t|；故答案是：|160﹣5t|；②如图1所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得t＝30，则点Q的运动速度为：＝2（cm/s）；如图2所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，则点Q的运动速度为：＝（cm/s）；综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或cm/s；（2）如图3，两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值．OP＝xBQ＝y，则MN＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），所以，＝＝2．3．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点P运动到AB的中点时，所用的时间为90秒．（2）若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P运动到AB的中点时，点P运动的路径为60cm+30cm＝90cm，所以点P运动的时间＝＝90（秒）；故答案为90；（2）当点P和点Q在相遇前，t+30+3t＝60+60+10，解得t＝25（秒），当点P和点Q在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10，解得t＝40（秒），答：经过25秒或40秒时，P、Q两点相距30cm．4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是15；点C表示的数是3；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P表示的数是1；当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或．5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠AOD＝∠BOC，∠AOB+∠DOC＝180°；（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠DOC＝180°．6．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝30°；（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD 的度数．【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠COB＝60°，∴∠COE＝30°，故答案为：30°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴6x＝30或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠COD＝5°或7.5°∴∠BOD＝65°或52.5°．7．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为13或49．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90°∴∠MOB+∠NOB＝90°，∠MOC+∠COD＝90°，∵∠MOB＝∠MOC，∴∠NOB＝∠COD，∵∠NOB＝∠AOD，∴∠COD＝∠AOD，∴直线NO平分∠AOC；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s或49s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；（3）∠AOM﹣∠NOC＝40°，理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝50°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（50°﹣∠AON）＝40°．9．已知∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M，O，N在同一条直线上，OP是∠COD的平分线．（1）如图1，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图2所示，当旋转6s 时，求∠DOP的度数．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，∴∠COD＝180°﹣40°﹣30°＝110°，∵OP是∠COD的平分线，∴∠DOP＝∠COD＝55°，∴∠BOP＝85°，∴∠BOP的余角的度数为5°；（2）∠DOP的度数为49°，旋转6s时，∠MOA＝3×6°＝18°，∠NOB＝5×6°＝30°，∴∠COM＝22°，∠DON＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠COM﹣∠DON＝98°，∵OP是∠COD的平分线，∴∠DOP＝∠COD＝49°．10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为10或40（直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON，∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC．（2）∵∠BOC＝120°∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠COD＝30°，即旋转60°时ON平分∠AOC，由题意得，6t＝60°或240°，∴t＝10或40；（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．即∠AOM＝∠NOC+30°．11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为90°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC 的内部，则∠BON﹣∠COM＝30°；（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O的运动时间为（24n+16）秒，简要说明理由．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．故填：90；（2）如图3，∠AOC：∠BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°，∵∠BON＝90°﹣∠BOM，∠COM＝60°﹣∠BOM，∴∠BON﹣∠COM＝90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM＝30°，故填：30；（3）16秒．理由如下：如图4．∵点O为直线AB上一点，∠AOC：∠BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°．∵OM恰为∠BOC的平分线，∴∠COM′＝30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM′＝240°．∵三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O的运动最短时间为＝16（秒）．∴三角板绕点O的运动时间为（24n+16）（n是整数）秒．故填：（24n+16）．第9页。
7年级数学动角问题
7年级数学动角问题一、基础类动角问题（1 - 10题）题1。
已知∠AOB = 120°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。
解析。
因为OD平分∠AOC，所以∠AOD = ∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC；因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠EOC = \frac{1}{2}∠BOC。
∠DOE=∠DOC + ∠EOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB。
因为∠AOB = 120°，所以∠DOE=\frac{1}{2}×120° = 60°。
题2。
如图，∠AOB=90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。
解析。
1. 先求∠AOC的度数：- 因为∠AOC=∠AOB + ∠BOC，∠AOB = 90°，∠BOC=30°，所以∠AOC = 90°+30° = 120°。
2. 然后求∠MOC和∠NOC的度数：- 因为OM平分∠AOC，所以∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×120° = 60°。
- 因为ON平分∠BOC，所以∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×30° = 15°。
3. 最后求∠MON的度数：- ∠MON = ∠MOC-∠NOC = 60° - 15°=45°。
题3。
已知∠AOB=150°，∠AOC = 30°，射线OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的角平分线，求∠MON的度数。
解析。
1. 当OC在∠AOB内部时：- 因为OM平分∠AOB，所以∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×150° = 75°。
(完整版)初一动点问题答案
线段与角的动点问题1．如图，射线 OM 上有三点 A 、B 、C ，满足 OA ＝20cm ，AB ＝60cm ，BC ＝ 10cm （如图所 示），点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动，点 Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O 匀速运动（点 Q 运动到点 O 时停止运动） ，两点同时出发．（1）当 P 运动到线段 AB 上且 PA ＝ 2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段 OC 的三等分点， 求点 Q 的运动速度；（2）若点 Q 运动速度为 3cm/秒，经过多长时间 P 、Q 两点相距 70cm ？解答】 解：（ 1）P 在线段 AB 上，由 PA ＝2PB 及 AB ＝60，可求得 PA ＝40，OP ＝60，故点P 运动时间为 60 秒．60÷ 60＝1（cm/s ）．2）设运动时间为 t 秒，则 t+3t ＝90±70，解得 t ＝5或 40，∵点 Q 运动到 O 点时停止运动，∴点 Q 最多运动 30 秒，当点 Q 运动 30 秒到点 O 时 PQ ＝ OP ＝ 30cm ，之后点 P 继续运动 40 秒，则PQ ＝OP ＝ 70cm ，此时 t ＝70 秒， 故经过 5 秒或 70 秒两点相距 70cm ．2．如图，直线 l 上依次有三个点 O ，A ，B ，OA ＝40cm ，OB ＝ 160cm ．（1）若点 P 从点 O 出发，沿 OA 方向以 4cm/s 的速度匀速运动，点 Q 从点 B 出发，沿 BO 方向匀速运动，两点同时出发① 若点 Q 运动速度为 1cm/ s ，则经过 t 秒后 P ，Q 两点之间的距离为 |160﹣5t| cm （用含 t 的式子表示）② 若点 Q 运动到恰好是线段 AB 的中点位置时，点 P 恰好满足 PA ＝ 2PB ，求点 Q 的运动速 度．（2）若两点 P ，Q 分别在线段 OA ，AB 上，分别取 OQ 和 BP 的中点 M ，N ，求 的值．解答】 解：（ 1） ① 依题意得， PQ ＝|160﹣5t|；若 CQ ＝ OC 时， CQ ＝30，点 Q 的运动速度为 30÷ 60＝ （ cm/s ）；若 OQ ＝CQ ＝60，点 Q 的运动速度为故答案是：|160﹣5t|；② 如图 1 所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得t＝30，则点Q 的运动速度为：如图 2 所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，则点Q 的运动速度为：＝（cm/ s）；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或cm/s；（2）如图3，两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M，N，求的值．160﹣y)+x x+y），3．如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90 秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q 两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P运动到AB的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm＝90cm，所以点P 运动的时间＝＝90（秒）；故答案为90；（2）当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3t＝60+60+10 ，解得t＝25（秒），当点P 和点Q 在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10，解得t＝40（秒），答：经过25 秒或40 秒时，P、Q 两点相距30cm．4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点 B 在点 A 的右侧，且到点A的距离是18；点 C 在点A与点 B 之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点 B 表示的数是15 ；点 C 表示的数是 3 ；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点 B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点Q 之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点Q 与点 B 之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点 B 表示的数是﹣3+18 ＝15；点 C 表示的数是﹣3+18× ＝3．故答案为：15，3；（2）点P与点Q 相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P 与点Q 相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P 在点 C 左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴ 6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P 表示的数是 1 ；当点P 在点 C 右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴ 4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P 表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC +QB＝4，此时点P 表示的数为 1 或．5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O ．（2）如图① ，你发现∠ AOD与∠ BOC的大小有何关系？∠ AOB与∠DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图② ，当△ AOC与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠ AOD ＝∠ BOC ＝155°﹣90°＝65°，∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠ AOD＝∠ BOC，∠AOB+∠DOC＝180°；（3）∠ AOB+∠ COD +∠ AOC+∠ BOD ＝360°，∵∠ AOC＝∠ BOD ＝90°，∴∠ AOB+∠DOC ＝180°．6．以直线AB 上点O 为端点作射线OC，使∠ BOC ＝60°，将直角△ DOE 的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，若直角△ DOE 的边OD 放在射线OB 上，则∠ COE ＝30° ；（2）如图2，将直角△ DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠ AOC ，说明OD 所在射线是∠ BOC 的平分线；（3）如图3，将直角△ DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得∠ COD＝∠AOE．求∠ BOD 的度数．又∵∠ COB＝60°，∴∠ COE ＝30°，故答案为：30°；（2）∵ OE 平分∠ AOC ，∴∠ COE＝∠ AOE＝COA，∵∠ EOD＝90°，∴∠ AOE+∠DOB ＝90°，∠ COE+∠COD＝90°，∴∠ COD＝∠ DOB，∴OD 所在射线是∠ BOC 的平分线；（3）设∠ COD ＝x°，则∠ AOE＝5x°，∵∠ DOE＝90°，∠ BOC＝60°，∴6x＝30 或5x+90﹣x＝120∴x＝ 5 或7.5，即∠ COD＝5°或7.5°∴∠ BOD＝65°或52.5°．7．如图1，点O为直线AB上一点，过点O 作射线OC，使∠BOC＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠ BOC，问：此时直线ON 是否平分∠ AOC？请直接写出结论：直线ON 平分（平分或不平分）∠ AOC ．（2）将图 1 中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠ AOC，则t的值为13或49 ．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，∵∠ MON ＝90°∴∠ MOD ＝90°∴∠ MOB+∠NOB＝90°，∠MOC +∠COD＝90°，∵∠ MOB＝∠ MOC，∴∠ NOB＝∠ COD，∵∠ NOB＝∠ AOD，∴∠ COD＝∠ AOD，∴直线NO 平分∠ AOC ；（2）分两种情况：① 如图2，∵∠ BOC ＝130°∴∠ AOC ＝50°，当直线ON 恰好平分锐角∠ AOC 时，∠ AOD＝∠ COD ＝25°，∴∠ BON＝25°，∠ BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；② 如图3，当NO 平分∠ AOC 时，∠ NOA ＝25°，∴∠ AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s或49s时，直线ON 恰好平分锐角∠ AOC；3)∠ AOM ﹣∠ NOC ＝ 40理由：∵∠ AOM ＝90°﹣∠ AON ∠NOC ＝50°﹣∠ AON ，∴∠ AOM ﹣∠ NOC＝( 90°﹣∠ AON ) 9．已知∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点 O 进行旋转，点 M ，O ，N 在同一条直线上， OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图 1，当点 A 与点 M 重合，点 B 与点 N 重合，且射线 OC 和射线 OD 在直线 MN 的同侧时，求∠ BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠ BOD 从ON 处开始绕点 O 逆时针方向旋转，转速为 5°/s ，同 时∠ AOC 从OM 处开始绕点 O 逆时针方向旋转，转速为 3°/s ，如图 2所示，当旋转 6s 时，求∠ DOP 的度数．【解答】 解：（1）∵∠ AOC ＝ 40°，∠ BOD ＝30°，∴∠ COD ＝ 180°﹣ 40°﹣ 30°＝ 110°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠ DOP ＝ ∠COD ＝55°，∴∠ BOP ＝85°，∴∠BOP 的余角的度数为 5°；（2）∠DOP 的度数为 49°，旋转 6s 时，∠MOA ＝3×6°＝18°，∠NOB ＝5×6°＝30°， ∴∠ COM ＝ 22°，∠ DON ＝ 60°，∴∠ COD ＝180°﹣∠ COM ﹣∠ DON ＝ 98°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠ DOP ＝ ∠COD ＝49°．10．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC ，将一直角三角形的直角顶点放在50°﹣∠ AON)点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．1）将图 1中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠BOC 的内部，且恰好平 分∠ BOC ，问：直线 ON 是否平分∠ AOC ？请说明理由；2）若∠ BOC ＝ 120°．将图 1 中的三角板绕点 O 按每秒 6°的速度沿逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中， 第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角∠ AOC ，则 t 的值为 10 或 40 （直 接写出结果） ；3）在（ 2）的条件下，将图 1中的三角板绕点 O 顺时针旋转至图 3，使 ON 在∠AOC 的 内部，请探究：∠ AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．解答】 解：（1）直线 ON 平分∠ AOC ．理由如下：∴∠ AOC ＝ 60°，∴∠ BON ＝∠ COD ＝ 30°， 即旋转 60°时 ON 平分∠ AOC ，由题意得， 6t ＝ 60°或 240°，∴ t ＝ 10 或 40；(3)∵∠ MON ＝90°，∠ AOC ＝60°，∴∠ AOM ＝90°﹣∠ AON 、∠NOC ＝60°﹣∠AON ，∴∠ AOM ﹣∠ NOC ＝( 90°﹣∠ AON )﹣(60°﹣∠ AON )＝ 30°．即∠ AOM ＝∠ NOC +30°．11．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC ，使∠ AOC ：∠ BOC ＝2： 1，将一 直 角 三 角 板 的 直 角 顶 点 放 在 点 O 处 ， 一 边 ON在设 ON 的反向延长线为 OD ， ∵OM 平分∠ BOC ， ∴∠MOC ＝∠ MOB ， 又∵ OM ⊥ON ， ∴∠ MOD ＝∠ MON ＝ 90°， ∴∠ COD ＝∠ BON ， 又∵∠ AOD ＝∠ BON ， ∴∠ COD ＝∠ AOD ， ∴OD 平分∠ AOC ， 即直线 ON 平分∠ AOC ． (2)∵∠ BOC ＝120°射线OA 上，（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM 落在射线OA 上，此时ON 旋转的角度为90 °；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得OM 在∠ BOC 的内部，则∠ BON﹣∠ COM ＝30 °；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15° 的速度旋转，当OM 恰为∠ BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为（24n+16）秒，简要说明理由．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠ MON ，且∠ MON ＝90°．故填：90；（2）如图3，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠ AOC＝120°，∠ BOC ＝60°，∵∠ BON＝90°﹣∠ BOM，∠ COM ＝60°﹣∠ BOM，∴∠ BON﹣∠ COM ＝90°﹣∠ BOM﹣60°+∠BOM＝30°，故填：30；（3）16 秒．理由如下：如图4．∵点O 为直线AB 上一点，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠ AOC＝120°，∠ BOC ＝60°．∵OM 恰为∠ BOC 的平分线，∴∠ COM′＝30°．∴∠ AOM+∠AOC+∠COM′＝240°．∵三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O 的运动最短时间为＝16（秒）．∴三角板绕点O 的运动时间为（24n+16）（n 是整数）秒．故填：（24n+16）．。
(完整word版)初一动点问题
线段与角的动点专项1．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动),两点同时出发．（1）当P运动到线段AB上且PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点,求点Q的运动速度；（2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？2．如图，直线l上依次有三个点O，A，B,OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动,两点同时出发①若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为cm（用含t的式子表示）②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA＝2PB，求点Q的运动速度．（2）若两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M,N，求的值．3．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1)当点P运动到AB的中点时，所用的时间为秒．（2）若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动,速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm？4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18;点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是;（2）若点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒,在运动过程中,当t为何值时，点P与点Q 之间的距离为6？(3）在(2)的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在,请说明理由．5．将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．（2)如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系?∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，(2)中你发现的结论是否还仍然成立,请说明理由．6．以直线AB上点O为端点作射线OC,使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．（1)如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝;（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC,说明OD所在射线是∠BOC的平分线;（3)如图3,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．7．如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC，使∠BOC＝130°,将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC,问：此时直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON(平分或不平分)∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中,第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为．(直接写出结果）（3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究:当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值；若变化，请举例说明．9．已知∠AOC＝40°,∠BOD＝30°,∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M,O，N在同一条直线上,OP 是∠COD的平分线．(1）如图1，当点A与点M重合,点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转,转速为5°/s，同时∠AOC从OM 处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s,如图2所示，当旋转6s时，求∠DOP的度数．10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）；（3）在(2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部，请探究:∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC的内部，则∠BON ﹣∠COM＝°;(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转,当OM 恰为∠BOC的平分线时,此时,三角板绕点O的运动时间为秒,简要说明理由．。
部编数学七年级上册培优专题12角中的动点问题解析版含答案
培优专题12 角中的动态问题类型一：运动的三角尺问题1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；（2）分别计算出角的度数可得结论；（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，（2）有，理由如下：射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°∴15t ＝180，解得t ＝12．综上，t ＝2，3，4，9，12．【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB ）的顶点，与60°角（∠COD ）的顶点互相重合，且边OA ，OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB 第一次落在射线OF 上时停止，是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①④(2)存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由见解析【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；（2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时，当OA 在∠DOE 外部时，利用角之间的关系求解即可．（1）解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°，∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能画出25°，35°，65°，故答案为：①④；（2）解：存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由如下：由题意得：=5AOE t °∠，=45AOB а，60COD Ð=°，∴=180=1355BOC AOE AOB t °--°-°∠∠∠，=180=120DOE COD °-°∠∠，分两种情况：当OA 在∠DOE 内时，如图2-1所示，∴1205AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135531205t t °-°=°-°，解得22.5t =，∵22.55120´°<°，∴22.5t =符合题意；当OA 在∠DOE 外部时，如图2-2所示∴5120AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135535120t t °-°=°-°，解得24.75t =，∵24.755120´°>°，∴24.75t =符合题意；∴当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠．【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B ＝∠AOB ＝45°，∠A ＝90°和∠D ＝30°，∠COD ＝60°，∠C ＝90°）按如图所示摆放使得B 、O 、D 三点共线．将三角尺ABO 绕点O 以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO 与OD 重合时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．(1)当t＝10时，∠AOD＝°．(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．(3)存在，理由是：在旋转过程中，当OB在OC右侧时，∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°∴∠AOD=23×15°=10°，综上：t的值为21秒或27【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．．（福建三明七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t （秒）（1）当5t=秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;（2）t=秒时，边PB平分CPDÐ;（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1o的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分CPDÐ;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得:3:2BPD APC ÐÐ=.若存在，请求出t 的值;若不存在，请说明理由.综上所述：18t =秒或25.2秒时，:3:2BPD APC ÐÐ=．【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．类型二：角的动线问题5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线PQ 上依次有A 、O 、B 三点，若射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图②，设旋转时间为t 秒（045££t ）．（1）POA Ð=__________度，QOB Ð=__________度．（用含t 的代数式表示）（2）在运动过程中，当AOB Ð等于60°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð (AOQ Ð，AOP Ð均为小于180°的角)？如果存在，直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2POA t Ð=度，4QOB t Ð=度；（2）当AOB Ð等于60°时，t=20或40；（3）射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð时，t=18或36.【分析】（1）∠POA 的度数等于OA 旋转速度乘以旋转时间，∠QOB 的度数等于OB 旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，和OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，两种情况，列出关于t 的等式，解出即可；（3）分OB 平分∠AOQ 和OB 平分∠AOP 两种情况，列出关于t 的等式，解出即可.【详解】（1）22POA t t Ð=´=度，44QOB t t Ð=´=度；（2）①OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，2604180t t ++=6120t =20t =；②OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，2460180t t +-=6240t =40t=，综上，当AOBÐ等于60°时，t=20或40；（3）①OB平分∠AOQ时，∠AOQ=2∠BOQ，-=´t t180224-=-t10180t=；18②OB平分∠AOP时，∠AOP=2∠BOP，()=´-t t221804t t=-23608t=10360t=，36综上，射线OB平分AOQÐ时，t=18或36.Ð或AOP【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时间为t，(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示∠BOC，则∠BOC=________(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．【答案】(1)60° ；30+5t(2)22秒(3)4秒，16秒，28秒【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；（2）根据∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，构建方程即可解决问题；（3）分三种情形讨论，分别构建方程即可解决问题；（1）当t=2秒时，∠AOC=20°，∠BOD=10°，∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，故答案为60°，（30+5t）°；（2）甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，∴∠AOC=5t，则∠BOD=10t，∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°∴5t+10t+30=360，解得：t=22．所以，当时间为22秒时，点C与点D相遇．（3）分三种情况讨论：①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t=90，解得：t=4；②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；综上，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒符合题意．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝1∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的2伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝12∠AOD，称射线OD是射∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝12线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC 的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA 重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t （秒），使得∠COD 的度数是20°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．②当t 为多少秒时，射线OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．Q 同理，若∠AOB 的度数是11BON AOB a \Ð=Ð=故答案为：40,6a°OC是OA的伴随线时，则OC是OD的伴随线时，OD是OC的伴随线时，OD 是OA 的伴随线时，则的上方．MON 为直角三角板，O 为直角顶点，30M Ð=°，ON 在射线OC 上．将三角板MON 绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC 绕点O 以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，所有运动都停止．设运动的时间为t 秒，（1）旋转开始前，∠MOC ＝°，∠BOM ＝ °；（2）运动t 秒时，OM 转动了°，t 为 秒时，OC 与OM 重合；（3）t 为何值时，∠MOC =35°？请说明理由．【答案】（1）90°，60°；（2）108°，18；（3）11秒或25秒.【分析】（1）根据30AOC Ð=°，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上，即可得出答案；（2）根据MON 为直角三角板，得90MON Ð=°，构建方程求出t 即可解决问题；（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.【详解】（1）旋转前，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上\90MOC MON Ð=Ð=°Q 30AOC Ð=°\30AON Ð=°，\18060BOM MON AON Ð=°-Ð-Ð=°；故答案为：90°；60°.（2）Q 90MON Ð=°由题意得：90611t t °+=，18t =，故OM 转动：186108´°=°；故答案为：108°；18.（3）35MOC Ð=°Q ，由题意：()1206301135t t °+-°+=°或()3011120635t t °+-°+=°，解得：11t =或25，\11t s =或25s 时，35MOC Ð=°.【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。
(完整版)初一动点问题答案
.线段与角的动点问题1. 如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当P 运动到线段AB 上且PA＝2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点Q 的运动速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距70cm？【解答】解：（1）P 在线段AB 上，由PA＝2PB 及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P 运动时间为60 秒．若CQ＝OC 时，CQ＝30，点Q 的运动速度为30÷60＝（cm/s）；若OQ＝OC，CQ ＝60，点Q 的运动速度为60÷60＝1（cm/s）．（2）设运动时间为t 秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5 或40，∵点Q 运动到O 点时停止运动，∴点Q 最多运动30 秒，当点Q 运动30 秒到点O 时PQ＝OP＝30cm，之后点P 继续运动40 秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70 秒，故经过 5 秒或70 秒两点相距70cm．2. 如图，直线l 上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm．（1）若点P 从点O 出发，沿OA 方向以4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点Q 运动速度为1cm/ s，则经过t 秒后P，Q 两点之间的距离为|160﹣5t| cm（用含t 的式子表示）②若点Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝2PB，求点Q 的运动速度．（2）若两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．【解答】解：（1）① 依题意得，PQ＝|160﹣5t|；故答案是：|160﹣5t|；②如图1 所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得t＝30，则点Q 的运动速度为：＝2（cm/s）；如图 2 所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，则点Q 的运动速度为：＝（cm/ s）；综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s 或cm/ s；（2）如图3，两点P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取OQ 和BP 的中点M ，N，求的值．OP＝xBQ＝y，则MN ＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），所以，＝＝2．3．如图，射线OM 上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点P 运动到AB 的中点时，所用的时间为90 秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q 两点相距30cm？【解答】解：（1）当点P 运动到AB 的中点时，点P 运动的路径为60cm+30cm＝90cm，所以点P 运动的时间＝＝90（秒）；故答案为90；（2）当点P 和点Q 在相遇前，t+30+3 t＝60+60+10 ，解得t＝25（秒），当点P 和点Q 在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10 ，解得t＝40（秒），答：经过25 秒或40 秒时，P、Q 两点相距30cm．4. 如图，在数轴上点 A 表示的数是﹣3，点B 在点A 的右侧，且到点 A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是15 ；点 C 表示的数是 3 ；（2）若点P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点Q 之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点Q 与点 B 之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点 B 表示的数是﹣3+18＝15；点 C 表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P 与点Q 相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P 与点Q 相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P 在点C 左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴ 6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P 表示的数是1；当点P 在点C 右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC +QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P 表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC +QB＝4，此时点P 表示的数为 1 或．5. 将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图① ，若∠ AOB＝155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠AOD 与∠BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图② ，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．【解答】解：（1）∠AOD ＝∠BOC ＝155°﹣90°＝65°，∠DOC ＝∠BOD ﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∠AOD ＝∠BOC，∠AOB +∠DOC ＝180°；（3）∠AOB+∠COD +∠AOC+∠BOD＝360°，∵∠AOC＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB+∠DOC ＝180°．6. 以直线AB 上点O 为端点作射线OC，使∠BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点O 处．（1）如图1，若直角△DOE 的边OD 放在射线OB 上，则∠COE ＝30°；（2）如图2，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠AOC，说明OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）如图3，将直角△DOE 绕点O 按逆时针方向转动，使得∠COD ＝∠AOE．求∠BOD 的度数．【解答】解：（1）∵∠ BOE＝∠COE +∠COB ＝90°，又∵∠ COB＝60°，∴∠COE ＝30°，故答案为：30°；（2）∵ OE 平分∠ AOC，∴∠C OE ＝∠AOE＝COA ，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB ＝90°，∠ COE+∠COD ＝90°，∴∠COD ＝∠DOB ，∴OD 所在射线是∠BOC 的平分线；（3）设∠ COD ＝x°，则∠ AOE＝5x°，∵∠DOE ＝90°，∠ BOC＝60°，∴6x＝30 或5x+90﹣x＝120∴x＝5或7.5，即∠ COD ＝5°或7.5°∴∠ BOD＝65°或52.5°．7. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON 是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1 中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为13 或49 ．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解答】解：（1）平分，理由：延长NO 到 D ，∵∠MON ＝90°∴∠ MOD ＝90°∴∠MOB +∠NOB＝90°，∠MOC +∠COD ＝90°，∵∠MOB ＝∠MOC ，∴∠NOB ＝∠COD ，∵∠NOB ＝∠AOD ，∴∠COD ＝∠AOD ，∴直线NO 平分∠ AOC；（2）分两种情况：① 如图2，∵∠ BOC ＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON 恰好平分锐角∠AOC 时，∠AOD＝∠COD ＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，5t＝65°解得t＝13（s）；② 如图3，当NO 平分∠ AOC 时，∠ NOA ＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65 °＝245°，由题意得，5t＝245°，解得t＝49（s），综上所述，t＝13s 或49s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；（3）∠AOM ﹣∠NOC ＝40°，理由：∵∠ AOM＝90°﹣∠AON∠NOC ＝50°﹣∠AON ，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠ AON ）﹣（50°﹣∠ AON）＝40°．9. 已知∠ AOC ＝40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M，O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图1，当点 A 与点M 重合，点 B 与点N 重合，且射线OC 和射线OD 在直线MN 的同侧时，求∠ BOP 的余角的度数；（2）在（1）的基础上，若∠ BOD 从ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠ AOC 从OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．【解答】解：（1）∵∠ AOC＝40°，∠ BOD ＝30°，∴∠COD ＝180°﹣40°﹣30°＝110°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝55°，∴∠BOP＝85°，∴∠ BOP 的余角的度数为5°；（2）∠DOP 的度数为49°，旋转6s 时，∠MOA ＝3×6°＝18°，∠NOB ＝5×6°＝30°，∴∠COM ＝22°，∠ DON ＝60°，∴∠COD ＝180°﹣∠COM ﹣∠DON ＝98°，∵OP 是∠ COD 的平分线，∴∠DOP ＝∠COD ＝49°．10. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON 是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC＝120°．将图 1 中的三角板绕点O 按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则t 的值为10 或40 （直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）直线ON 平分∠ AOC ．理由如下：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠ BOC，∴∠ MOC ＝∠MOB ，又∵ OM⊥ON，∴∠MOD ＝∠ MON＝90°，∴∠ COD ＝∠ BON，又∵∠ AOD＝∠BON，∴∠COD ＝∠AOD ，∴OD 平分∠ AOC，即直线ON 平分∠ AOC．（2）∵∠BOC ＝120°∴∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠COD ＝30°，即旋转60°时ON 平分∠ AOC，由题意得，6t＝60°或240°，∴t＝10 或40；（3）∵∠MON ＝90°，∠ AOC＝60°，∴∠ AOM ＝90°﹣∠ AON、∠NOC ＝60°﹣∠AON，∴∠ AOM ﹣∠NOC ＝（90°﹣∠ AON ）﹣（60°﹣∠AON ）＝30°．即∠ AOM ＝∠NOC+30°．11. 如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 在直线AB 的下方．（1）将图1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得OM 落在射线OA 上，此时ON 旋转的角度为90 °；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得OM 在∠BOC 的内部，则∠BON﹣∠COM ＝30 °；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM 恰为∠BOC 的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为（24n+16）秒，简要说明理由．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON ，且∠MON ＝90°．故填：90；（2）如图3，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°，∵∠BON＝90°﹣∠ BOM，∠COM ＝60°﹣∠ BOM，∴∠ BON﹣∠COM ＝90°﹣∠BOM ﹣60°+∠BOM ＝30°，故填：30；（3）16 秒．理由如下：如图4．∵点O 为直线AB 上一点，∠ AOC：∠ BOC＝2：1，∴∠AOC＝120°，∠BOC ＝60°．∵OM 恰为∠ BOC 的平分线，∴∠COM ′＝30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM ′＝240°．∵三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O 的运动最短时间为＝16（秒）．∴三角板绕点O 的运动时间为（24n+16 ）（n 是整数）秒．故填：（24n+16 ）．第9页。
七年级数学动点问题和动角问题培优训练
七年级动点问题和动角问题培优训练一．动点问题1．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；（2）若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．2．定义：当点P在线段AB上，AP＝mAB时，我们称m为点P在线段AB上的“分值”，记作k P﹣AB＝m．理解：如点P是AB的中点时，即，则AP＝AB，则k P﹣AB＝；反过来，当k P﹣AB＝时，则有AP＝AB．因此我们可以这样理解：”k P﹣AB＝m”与”AP＝mAB”具有相同的含义．应用：（1）如图1，点P在线段AB上．若k P﹣AB＝，则AP＝AB；若AP＝4BP，则k P﹣AB＝．（2）已知线段AB＝27cm，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B 时，P，Q都停止运动，设运动时间为ts．①若点P，Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示k P﹣AB和k Q﹣AB，并判断它们的数量关系；②若点P和点Q的运动速度分别为3cm/s和5cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回B，t为何值时，k P﹣AB+k Q﹣AB＝．拓展：（3）如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，点P，Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动至点B．点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B，且点P，Q同时到达点B，设k P﹣AB＝m．当点Q运动到线段CB上时，请用含m的式子图2表示k Q﹣CB．3．【探索新知】如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC＝3，求AB的值（用含π的代数式表示）；（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），求AC与DB的数量关系．【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度；（4）在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．点P追上点Q时，停止运动，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出t的值．4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为．如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别为﹣8，2，20．（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒个单位长度、点C每秒个单位长度；（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；1．t为何值时PC＝12；2．t为何值时PC＝4．5．已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，且AB＝20．（1）点B表示的数为；（2）如图1，若点B在点A的右侧，点P以每秒4个单位的速度从点A出发向右匀速运动．①若点Q同时以每秒2个单位的速度从点B出发向左匀速运动，经过多少秒后，点P与点Q相距1个单位？②若点Q同时以每秒2个单位的速度从点B出发向右匀速运动，经过多少秒后，在点P、B、Q三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点？6．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC 的值．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB＝10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．8．已知a、b满足（a﹣2）2+|ab+6|＝0，c＝2a+3b，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C．（1）则a＝，b＝，c＝．（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；（3）若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动．请问：是否存在一个常数m使得m•AB﹣2BC不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．9．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M点N的距离相等，则x＝．（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．10．如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为﹣9和7．（1）AB＝．（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．11．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．12．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t＝3分钟时，甲追上乙．请解答下面问题：（1）B、C两点之间的距离是米．（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？（3）若前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为与乙相同，求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？（4）在（3）的条件下，若6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）．二．动角问题13．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB （其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE 之间数量关系为；（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．14．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．15．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OM，满足：4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，试确定∠AOM与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．16．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN 上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．17．如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上．将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒9°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转（如图2）．设旋转时间为t（0≤t≤40，单位秒）．（1）当t＝8时，∠AOB＝°；（2）在旋转过程中，当∠AOB＝36°时，求t的值．（3）在旋转过程中，当ON、OA、OB三条射线中的一条恰好平分另外两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）时，请求出t的值．18．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．（1）图中∠BOE的补角是；（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．19．【阅读新知】如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．【理解运用】（1）∠AOB的角平分线这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）（2）若∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是．【拓展提升】如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP 与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．（3）求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？（4）若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°．当三角板ABP 停止旋转时，三角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明理由．20．已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．21．如图∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°，射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC与OD 同时旋转，设旋转时间为t分钟（t不超过15）．（1）当t＝时，射线OD与OC重合；（2）试探索：在射线OC与OD同时旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC平分∠BOD？若存在，请求出所有满足题意的t的值，若不存在，请说明理由；（3）t为何值时，射线OC与OD垂直．22．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB．在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，∠DOE＝30°，先将△ODE一边OE与OC重合（如图1），然后将△ODE绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．（1）当∠AOD＝80°时，则旋转角∠COE的大小为；（2）当OD在OC与OB之间时，求∠AOD﹣∠COE的值；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝4∠COD时，求旋转角∠COE的大小．23．如图①，已知线段AB＝20cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．（1）若AC＝4cm，则EF＝cm．（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何关系，请直接写出．24．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为°；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是．。
初一动点动角问题解决策略
初一动点动角问题解决策略【问题】对应动点动角问题，很多同学都是很惧怕的，搞不清楚，那我们今天来解决下这个问题。
那么大家认真阅读，并动手实践，初一的动点问题就可以解决了。
那么，如何解决？【解决思路】一、初一数轴动点问题练习题要掌握数轴上的动点问题，我们首先要明确两块问题：（1）数轴上两点之间的距离；（2）线段的和差关系；接下来，我们详细的来说明一下。
（1）数轴上两点之间的距离： ①如果是两个定点之间的距离：这个大家比较熟悉，比如下图，1和7之间的距离是6，就可以表示为61-7=，用数轴上右边的数减去左边的数（即大-小=大小之间的距离）。
②如果是一个定点和一个动点之间的距离：如下图所示，P 和B 之间的距离是动点P 运动的路程，用P 的路程=速度⨯时间，得出BP 的长度，一般而言，速度告诉我们的，这里举例速度为2，时间为t ，BP=2t ，进而得到AP 的长度=AB - BP ，即AP=6-2t 。
③如果是两个动点之间的距离：如下图所示，BP AQ AB PQ --=，AQ 的长度和上面②中所提到的BP 的长度得到的方法一致，这样我们就可以得到PQ 的长度，这里就不详细的表述了。
再把有关动点的长度表示出来后，接下来我们再看下面。
（2）线段的和差关系：7 17 1 P AB 7 1 P A B Q数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
比如AQ 的长度就可以表示为，AQ=AB -BQ ，BP 的长度可以表示为，BP=AB -AP ，然后再由参数t 表示出AQ , BP 。
下面结合这样一个滨江区的一道期末考试题，第23题为例，跟大家一起分享一下成果。
【例 1】（滨江区期末考试第23题） 已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB=12．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒．（1）写出数轴上点B ，P 所表示的数（可以用含t 的代数式表示）；（2）若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与Q 相距2个单位长度？（3）若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点．当点P 在线段AB 上运动过程中，探索线段MN 与线段PQ 的数量关系．分 析：（1）由数轴上两点之间的距离： “点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB=12”，由此得到B 点所表示的数是 -4；P 所表示的数则是由距离反推点所表示的数，具体的是，P 的路程为速度3*时间t ，即为3t ，A 是8，所以P 所表示的数8-3t ；（2）PQ 的长度=2，首先思考可能的情况要考虑清楚，认真审题后会发现PQ 相遇前后都会出现PQ=2的情况，一是相遇前，如下图，再根据线段的和差关系 ，BQ AP AB PQ --=；二是相遇后，如下图所示，同样根据线段的和差关系 ，AB BQ AP PQ -+=；（3）先根据题目的要求，“探索线段MN 与线段PQ 的数量关系”，那么这块我们首先要注意在第二问时已经“提供了梯子”，也就是PQ 的表示，那么接下来就是MN 的表示，看起来复杂，实际上还是线段的和差关系 你可以找出BN BM MN -=或AM AN MN -=，这样接下来就可以用t 表示出线段MN ，t MN 25=，t PQ 512-=，这样我们就能得到MN PQ 212-=； 当相遇后，方法同样如此，结论为2MN ﹣PQ=12 ；练习：如图，已知线段AB=a ，点C 在直线AB 上，AC=3AB ．（1）用尺规作图画出点C；（2）若点P在线段BC上，且BP：PC=2：3，D为线段PC的中点，求BD的长（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若AD=3cm，求a的值．2、如图，已知线段AB的长为a，延长线段AB至点C，使BC=．（1）求线段AC的长（用含a的代数式表示）；（2）取线段AC的中点D，若DB=3，求a的值．【分析】解：（1）∵AB=a，BC=AB，∴BC=a，∵AC=AB+BC，∴AC=a+a=a．（2）∵AD=DC=AC，AC=a，∴DC=a，∵DB=3，BC=a，∵DB=DC﹣BC，∴3=a ﹣a ，∴a=12．3、如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_____________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式3=-PCAP BD ，若存在，求线段PD 的长；若不存在，请说明理由．二、初一动角问题的解决思路要掌握动角问题，实际上要简单些，没有点的在数轴上的表示，那我们注意以下两点即可：（1）角旋转后的度数=角的旋转速度× 时间t，得到的；（2）注意位置所产生的多解问题；（3）角度的和差关系。
完整版)初一动点问题答案
完整版)初一动点问题答案线段与角的动点问题题目描述：如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发。
问题一：当P运动到线段AB上且PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度。
解答：当P在线段AB上时，由PA＝2PB及AB＝60可求得PA ＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒。
若CQ＝OC时，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝0.5（cm/s）；若OQ＝OC，CQ＝60，点Q的运动速度为60÷60＝1（cm/s）。
问题二：若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？解答：设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5或40.由于点Q运动到O点时停止运动，所以点Q最多运动30秒。
当点Q运动30秒到点O时，PQ＝OP＝30cm。
之后点P继续运动40秒，则PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒。
综上所述，经过5秒或70秒两点相距70cm。
如图，直线l上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm。
问题一：若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发。
①若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为|160-5t|cm（用含t的式子表示）。
②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA＝2PB，求点Q的运动速度。
解答：①依题意得，PQ＝|160-5t|。
②如图所示：4t-40＝2（160-4t），解得t＝30，则点Q的运动速度为2（cm/s）；如图所示：4t-40＝2（4t-160），解得t＝7，则点Q的运动速度为5（cm/s）。
人教版数学初中七年级上期末几何培优提升训练(线与角动点问题)
人教版数学七年级上期末几何培优提升训练(线与角动点问题)一、线段动点1. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则 A ，B 两点之间的距离AB=|a -b |，线段AB 的中点表示的数为2a b 【问题情境】如图，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．【综合运用】（1）填空：①A 、B 两点间的距离AB= ________，线段AB 的中点表示的数为________ ； ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ________；点Q 表示的数为________．（2）求当t 为何值时，P 、Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t 为何值时，PQ=12AB ； （4）若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．2. 操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-3的点与表示_______的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示数________的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．3.已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26，-10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数：________ ；用含t的代数式表示点P和点C的距离：PC=________（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，①点P、Q同时运动的过程中有________ 处相遇，相遇时t=________ 秒．②在点Q开始运动后，请用t的代数式表示P、Q两点间的距离．（友情提醒：注意考虑P、Q的位置）4.如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A与点B的距离是2，记作AB=2，以下类同，BC=3，设点A，B，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点，则点A所对应的数为_______，点C所对应的数为_______，p的值为_______；若以C为原点，则p的值为_______ ；（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p的值；在此基础上，将原点O 向右移动a（a＞0）个单位，则p的值为_______；（用含a的式子表示）（3）若原点O在点B与C之间，且CO=2，则p=_______；若原点O从点C出发沿着数轴向左运动，当p=5.5时，求CO的值．二、角度运动1.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若∠BOC=120°．将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________.（直接写出结果）；（3）在（2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．2.如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD 同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB 与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；（2）若AC=6cm，求DE的长；（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．4. 已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF=28°，则∠BOE=________°；（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．（3）在图3中，若∠COF=65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD+∠AOF= 12（∠BOE-∠BOD）？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
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P O N M B A 2017寒假七年级培优练习之动点动角问题
22、如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起
(1) 若∠DCE ＝25°，∠ACB= ；若∠ACB ＝150°，则∠DCE= __ (2) 猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系，并说明理由； (3) 如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A 重合在一起，
则∠DAB 与∠CAE 的大小又有何关系，请说明理由 23、已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，A 、B 之间的距离记作，
定义︰|AB|＝|a －b |，且|a ＋2|＋(b －5)2
＝0 (1) 求线段AB 的长|AB|
(2) 设点P 在数轴上对应的数为x ，当|PA|＋|PB|时，求x 的值
(3) 如图，M 、N 两点分别从O 、B 出发以v 1、v 2的速度同时沿数轴负方向运动（M
在线段AO 上，N 在线段BO 上），P 是线段AN 的中点，若M 、N 运动到任一时刻时，总有|PM|为定值，下列结论：①的值不变；②的值不变． 其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
1、已知：如图，OB 、OC 分别为定角∠AOD 内的两条动射线
⑴当OB 、OC 运动到如图的位置时，∠AOC +∠BOD =110°，∠AOB +∠COD =50°，求∠AOD 的度数；
O
D
C
B
A
A B C D
⑵在⑴的条件下，射线OM 、ON 分别为∠AOB 、∠COD 的平分线，当∠COB 绕着点O 旋转时，下列结论：①∠AOM －∠DON 的值不变；②∠MON 的度数不变.可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.
2、已知线段AB =m ，CD =n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 左侧，C 在D 左侧），若
2)6(2n n m --=-.⑴求线段AB 、CD 的长；
⑵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，若BC =4，求MN ；
⑶当CD 运动到某一时刻时，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，下列两个结论:①PC PB PA -是定值；②PC
PB
PA +是定值，请选择正确的一个并加以证明.
22．（10分）如图，直线EF ∥GH ，点B 、A 分别在直线EF 、GH 上，连接AB ，在AB 左侧作
三角形ABC ，其中∥ACB = 90°，且∥DAB =∥BAC ，直线BD 平分∥FBC 交直线GH 于D ． （1）若点C 恰在EF 上，如图1，则∥DBA =________．（2分）
（2）将A 点向左移动，其它条件不变，如图2，则（1）中的结论还成立吗？若成立，证明
你的结论；若不成立，说明你的理由．（6分）
（3）若将题目条件“∥ACB = 90°”，改为：“∥ACB = 120°”，其它条件不变，那么
∥DBA = _________．(直接写出结果，不必证明) （2分） 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足
，
过C 作CB ∥x 轴于B ．
2(2)20
a b ++-=C
A
B
D
F
H
E
G
C
B
F
E
G
A
D
H
图1 图2
图③
（1）求三角形ABC 的面积．（4分）
（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∥CAB ，∥ODB ，如图2，求∥AED 的度
数．（4分）
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P
点坐标；若不存在，请说明理由．（6分）
24.（本题满分10分） 如图24-1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°)的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方.
（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图24-2，经过t 秒后，OM 恰好平分∠BOC ．①求t 的值；②此时ON 是否平分∠AOC ？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒６°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图24-3，那么经过多长时间OC 平分∠MON ？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画图并说明理由； y
A
C
x
O
B
y
A
C
x
O B
E
D
y
A C
x
O B
图1
图2
备用图
A B
C
N
M
O 24-1
M
N
A
B
C O 24-2
C A
B
M
N
O 24-3
C
N 60
AB
25-1
25．（本题满分12分）如图25-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ， AB=60，点A 对应的数是40．
（1）若 ，求点C 到原点的距离； （2）如图25-2,在（1）的条件下，动点P 、Q 两点同时从C 、A 出发向右运动，同时动点R 从点A 向左运动，已知点P 的速度是点R 的速度的3倍，点Q 的速度是点R 的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 之间的距离相等，求动点Q 的速度；
（3）如图25-3,在（1）的条件下，O 表示原点，动点P 、T 分别从C 、O 两点同时出发向左运动，同时动点R 从点A 出发向右运动，点P 、T 、R 的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M 为线段PT 的中点，点N
为线段OR 的中点，证明 的值不变．若其它条件不变，将R 的速度改为3个单
位长度/秒，10秒后，的值为_________．
AB
AC 2=25-2
25-3
MN
OT PR +。