《中位数与众数》说课稿
人教版数学八年级下册《20.1.2第1课时《中位数和众数》说课稿
人教版数学八年级下册《20.1.2第1课时《中位数和众数》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册第20.1.2节中位数和众数是初中数学中的重要内容，属于统计学的范畴。
中位数和众数是描述数据集中趋势的重要指标，对于学生来说，掌握中位数和众数的概念、性质和求法，有助于提高他们的数据分析能力，为后续学习概率统计打下基础。
本节内容主要包括中位数和众数的定义、求法以及应用。
通过学习，学生能够理解中位数和众数的概念，掌握求解中位数和众数的方法，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平均数、方差等统计量，对数据分析有一定的认识。
但是，对于中位数和众数的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出中位数和众数的概念，并通过实例讲解它们的性质和求法。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解中位数和众数的概念，掌握求解中位数和众数的方法，并能应用于实际问题中。
2.过程与方法：学生通过观察、分析和归纳，培养抽象思维和数据分析的能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学与生活的密切联系，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.重点：中位数和众数的定义、求法以及应用。
2.难点：中位数和众数的性质和求法，以及如何从实际问题中抽象出中位数和众数的概念。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例教学、合作学习等教学方法，引导学生主动探究、归纳和总结。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等教学手段，辅助学生理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何描述数据集中的趋势，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解中位数和众数的定义、性质和求法，通过例题展示求解过程。
3.实践：学生分组讨论，选取实例进行中位数和众数的求解，并总结求解方法。
4.巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识，并提供解答指导。
5.拓展：引导学生思考中位数和众数在实际生活中的应用，提出问题让学生思考和讨论。
中位数和众数说课稿（精选多篇）
中位数和众数说课稿（精选多篇）第一篇：中位数和众数说课稿《中位数和众数》的说课稿1、教材分析教材的地位和作用本节课是北师大版五年级数学上册第七章《统计》中，第三节的内容。
主要让学生认识数据统计中三个基本统计量，是一堂概念课，也是学生学会分析数据，作出决策的基础。
本节内容是继平均数学习之后的后续内容，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系现实生活培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材。
2．教学目标知识目标：（1）理解平均数、中位数和众数的含义（2）掌握平均数、中位数和众数的计算方法能力目标：会计算一组数据的平均数，会确定一组较简单数据的中位数和众数，培养学生独立思考，勇于创新，小组协作能力情感目标：通过各中真实、贴近生活的素材和问题情景，激发学生学习数学的热情和兴趣，体验事物的多面性和学会全面分析事物的必要性。
在合作学习中，学会交流，相互评价，提高合作意识能力。
教学重点和难点重点：掌握中位数、众数的数据代表的概念难点：选择恰当的数据代表对数据作出判断教学方法本节课采用多媒体教学平台，在概念教学中，以生活实例为背景，从具体事实上抽象出三个统计量的概念，通过对三个统计量的计算和确定帮助学生完善新知的建构，在教学过程中以问题方式启发学生，以生动的实例吸引和鼓励学生，在整个教学中采取情景教学法学法指导根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，引导学生采取自主探索与互相交流相结合的方法，尽量让每一位学生参与研究，最终学会学习。
教学设计一、创设情景，提出问题（多媒体课件演示）以故事“骗人的平均数”为切入点。
1、课件出示第一幅情境图师：同学们，你们都是热心助人的好孩子，现在我的朋友阿冲遇到了一个难题，你们愿意帮他解决吗？刚毕业的阿冲还没有找到工作，有一天阿冲路过某超市时看到一份招聘启示上写着：本超市要招聘工作人员，月平均工资是1000元，阿冲觉得条件不错，就去应聘。
2.课件出示第二幅情境图师：可是过了一周后，阿冲发现大部分工作人员的工资都在1000元以下。
人教版数学八年级下册说课稿20.1.2《中位数和众数》
人教版数学八年级下册说课稿 20.1.2《中位数和众数》一. 教材分析《中位数和众数》是人教版数学八年级下册第20.1.2节的内容。
本节课主要介绍了中位数和众数的概念及其求法，旨在让学生理解这两种统计量在数据集中的作用，并能灵活运用解决实际问题。
教材通过具体的例子和练习，使学生掌握中位数和众数的求法，并能够判断一组数据的中位数和众数。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了平均数、方差等统计量，对统计学的基本概念有一定的了解。
但中位数和众数作为新的统计量，学生可能存在一定的陌生感。
因此，在教学过程中，需要教师通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握中位数和众数的概念及求法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解中位数和众数的概念，掌握求中位数和众数的方法，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和创新意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：中位数和众数的概念及其求法。
2.教学难点：理解中位数和众数在实际问题中的应用，能够灵活运用解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何找到一组数据的中间值，从而引出中位数的概念。
2.概念讲解：讲解中位数和众数的概念，并通过具体的例子让学生理解这两种统计量的含义。
3.方法讲解：讲解求中位数和众数的方法，并通过示例演示如何求一组数据的中位数和众数。
4.练习与拓展：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用解决实际问题。
5.总结与反思：让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的优点和不足，并提出问题。
中位数与众数说课稿
《中位数与众数》说课稿一、背景分析：（1）学习任务分析：《中位数与众数》是北师大版八年级上册第8章第2节内容。
平均数，中位数，众数是描述一组数据的集中趋势的３个数据代表，是协助学生学会用数据说话的基本概念，从而发展学生的数据分析观点，掌握简单的数据处理技能。
为统计学的后续学习打好基础。
在此之前，学生已经学习了第1节《平均数》，本节内容是继《平均数》学习之后的后续内容，既是对前面所学知识的深化与拓展，着力于平均数、中位数、众数三者的比较与合理应用，又是联系现实生活，培养学生应用数学意识和创新水平的良好素材。
所以本节课的教学重点是掌握中位数与众数的概念，及两概念的简单使用。
（2）学生情况分析：学生在小学五年级时已经初步理解了中位数和众数，但在现有的认知结构中，仍然多是单一地用算术平均数刻画一组数据的平均水平，在此基础上，通过一个有争议的话题，引起学生对“平均水平”的认知冲突，从而引入中位数众数的概念，让学生多角度地理解平均。
使学生能够准确掌握平均数、中位数和众数三者的差别，并能在具体情境中选择恰当的数据代表，对数据做出自己的评判。
二、教学目标设计：《初中课程标准》指出，学生的学习应该更多地让学生说、动脑想、自主探究、合作交流，初步形成用数据推断的思考方式。
所以，根据本节课的学习任务和学生学习情况分析，考虑到学生已有的认知结构特征，我制定如下教学目标：（1）掌握中位数和众数的概念，会求一组数据的中位数和众数；（2）通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判水平，进一步发展学生的数学应用意识；（3）培养学生的数据分析水平及处理水平；（4）通过数据分析与处理，体会数学和现实生活的联系。
三、课堂结构设计：基于本节课的内容特点以及学生的认知基础，在学法上我将引导学生采用自主探索和相互交流相协作的方式实行教学，尽量使每一个学生都能参与到课堂进程中，并且得到发展。
所以本节课的教学我将设计如下的教学结构：（一）创设情境，提出问题——（二）合作交流，探索问题——（三）比较分析，总结概括——（四）综合应用，巩固提升——（五）归纳小结，反思提升——（六）作业布置，即时反馈——在创设情境中，给出某公司员工工资表，假设你是应聘者，如何得知该公司员工的工资水平？目的在于引导学生使用平均数求解判断。
§8.2中位数和众数说课稿
§8.2中位数和众数说课稿八年级上册§8.2中位数和众数说课稿执教者：一、教材、教法分析本节课我充分运用了多种教学设备：教学平台、实物投影、黑板、课外随堂练习采用了多种教学辅导手段：教师讲练结合、小品、辩论赛、小组讨论、课外综合实践活动等。
把现代手段的教学平台与传统的黑板相结合，既发挥现代手段的优势让一些抽象的事物具体化，又能用黑板表示概念让学生把该记的东西牢牢记住；把课外补充练习与书本题目相结合达到互相补充；把课外综合实践和课内小组相结合。
把课堂的每一分钟都牢牢抓住学生的神经，让学生自我表演，把课堂充分还给学生，最终达到有效课堂的目的。
二、教学目标、教学重点、教学难点教学目标：1.掌握中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表。
2.结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据代表对数据做出自己的判断。
教学重点：掌握中位数、众数等数据代表的概念。
教学难点：选择恰当的数据代表对数据做出判断。
三、教学过程（一）创设情景，引出课题。
复习平均数的概念，同时也说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入其他数据代表奠定基础。
另外，新课伊始，力求创设一种引人入胜的教学情景，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生的课堂投入，很符合学生的心理特征和认识规律。
课件显示：问题1：数据误导：小马过河——河边上的牌子写着“平均深度为1.1m”,问一匹身高才1.4m的小马,能涉水过河而不出危险吗?（二）用现实生活的例子引入新课内容为了把枯燥的数学内容融入到生活中，用小品的形式呈现李华应聘的真实场景，提出一个真实的问题，揭示学生认识上的矛盾，产生新的疑点，引起学生对“平均水平”的认知冲突，通过现实情景，引发学生的认知冲突。
请两位同学和老师用平常的语音和动作给“李华应聘”的情景表演一场对话，目的是让学生融入生活和课堂教学当中。
课件显示：为了使学生感受到可以用另一种统计量来表示这组数据的集中趋势。
华师大版八下数学20.2.1《中位数和众数》说课稿
华师大版八下数学20.2.1《中位数和众数》说课稿一. 教材分析华师大版八下数学20.2.1《中位数和众数》这一节的内容，主要介绍了中位数和众数的概念及其计算方法。
中位数是将一组数据从小到大排序后，位于中间位置的数，能够反映数据的集中趋势；而众数则是一组数据中出现次数最多的数，能够反映数据的最常出现的数值。
这一节内容在数学教学中具有重要意义，为学生提供了数据处理的另一种方法，帮助他们更好地理解和分析数据。
二. 学情分析在八年级下学期的学生已经具备了一定的数学基础，对于数据的处理和分析已经有了一定的了解。
但是，他们对于中位数和众数的概念以及计算方法可能还比较陌生，需要通过具体的数据分析来理解和掌握。
此外，学生可能对于如何应用中位数和众数解决实际问题还存在一定的困惑，需要通过实例来引导他们理解和运用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能够理解中位数和众数的概念，掌握计算中位数和众数的方法，并能够运用中位数和众数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过数据分析，学生能够体验到中位数和众数在数据处理中的作用，培养学生的数据分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：通过解决实际问题，学生能够感受到数学与生活的紧密联系，增强学生对数学学习的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：中位数和众数的概念及其计算方法。
2.教学难点：如何引导学生理解中位数和众数在数据处理中的应用，如何解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、案例分析法和小组合作法相结合的教学方法。
通过讲解中位数和众数的概念，分析具体案例，引导学生理解中位数和众数的作用；通过小组合作，让学生共同探讨如何应用中位数和众数解决实际问题。
同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解中位数和众数的计算方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的数据案例，引导学生思考如何找到这组数据的代表值，激发学生的学习兴趣。
苏科版数学九年级上册3.2中位数与众数说课稿1
苏科版数学九年级上册3.2 中位数与众数说课稿1一. 教材分析苏科版数学九年级上册3.2中位数与众数，是学生在学习了平均数、方差等统计量之后，进一步研究数据的其它特征的章节。
中位数与众数是描述数据集中趋势和分布特征的重要统计量。
通过本节课的学习，学生能够理解中位数与众数的意义，掌握求解中位数与众数的方法，并能运用中位数与众数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的统计学基础，对平均数、方差等统计量有了一定的了解。
但是，对于中位数与众数，他们可能是初次接触，需要通过实例来理解其意义，并掌握求解方法。
在思维方式上，学生可能更习惯于从具体实例中去发现问题、解决问题，因此需要通过大量的练习来培养他们的抽象思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解中位数与众数的意义，掌握求解中位数与众数的方法。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的抽象思维能力，学会从数据中提取有价值的信息。
3.情感态度价值观：培养学生对数据的敏感性，增强他们的数据分析能力，提高他们运用数学解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.重点：中位数与众数的意义，求解中位数与众数的方法。
2.难点：对中位数与众数概念的理解，以及在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生从实例中发现问题、解决问题，培养他们的抽象思维能力。
2.教学手段：利用多媒体教学，展示实例，引导学生进行讨论，提高他们的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入中位数与众数的概念。
2.讲解：讲解中位数与众数的意义，演示求解中位数与众数的方法。
3.练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4.应用：学生分组讨论，运用中位数与众数解决实际问题。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调中位数与众数在实际中的应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够帮助学生理解和记忆。
可以设计如下板书：中位数与众数1.中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数。
初中数学《中位数与众数》说课稿
初中数学《中位数与众数》说课稿初中数学《中位数与众数》说课稿1一、教材分析(一)教材的地位和作用本节课是华师大版七年级数学下册第十章《统计初步认识》中，第三节的内容。
主要让学生认识数据统计中三个基本统计量，是一堂概念课，也是学生学会分析数据，作出决策的基础。
本节课的内容与学生生活密切相关，能直接指导学生的生活实践。
(二)教学的目标和要求知识目标：理解平均数、众数与中位数的含义，掌握平均数、中位数与众数计算方法，明确平均数、中位数肯定有，众数却不一定有的事实;能力目标：会计算一组数据的平均数，会确定一组较简单的数据的众数与中位数，培养独立思考，勇于创新，小组协作的能力;情感目标：体验事物的多面性与学会全面分析问题的必要性，渗透诚实、上进道德观念，培养吃苦创新精神。
(三)教学的重点和难点教学重点：三个基本统计量的概念以及其计算和确定方法;教学难点：平均数的计算，中位数众数的确定。
二、教法与学法本节课使用多媒体教学平台;概念教学中，主要以生活实例为背景，从具体的事实上抽象出三个统计量的概念，通过三个统计量的计算与确定的练习帮助学生理解并巩固概念;在教学活动中主要是以问题的方式启发学生，以生动有趣的实例吸引与激励学生;在整个过程中采用情境教学法。
同时，注重培养学生阅读理解能力与自学协作能力，在教学过程中主要以学生“探究自学”“小组讨论”“相互学习”的学习方式而进行。
三、教学过程的分析(一)创设情境，激发兴趣(3分钟) 引入采用“故事法”引入——《从四十名到第十名》。
通过这个生动有趣的故事使学生充分体验到全面了解并分析数据的必要性。
如何能对数据全面了解分析?今天我们将学习从三个不同侧面反映一组数据的三个统计量——平均数、中位数与众数。
通过生动的故事，也是集中学生注意力的一种有效方式。
(二)自学辅导，建构新知(11分钟)提出概念：(3分钟) 在学生还沉浸在有趣的故事情节的中时，对故事的情节设问：主人公的成绩在哪一档次?中等成绩约是多少?哪一档分数的人最多?学生一一作答。
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《中位数与众数》说课稿
各位专家、领导、老师，大家好！今天我说课的内容是五年级下册《中位
数与众数》。
首先，我对本节教材进行一些分析：
一、教材结构与内容简析
《中位数与众数》是北师大版义务教育课程标准实验教科书小学数学第十
册第七单元第三节的内容。
在此之前，学生已学习了简单的数据统计、认识了
简单的条形统计图、折线统计图、扇形统计图，会求平均数,这为本节的学习起
着重要的铺垫作用。
《中位数和众数》一课是《数学课程村准》对小学数学教
学内容的一个新的要求，本节课主要是让学生在实际情境中认识并会找一组数
据的中位数和众数，能解释其实际意义。
这是一节概念课，同时也是学生学会
分析数据，作出决策的基础课。
既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系
现实生活培养学生应用数学意识和创新能力的非常好的素材。
二、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：
1在实际情境中，认识并会求一组数据的中位数、众数，并解释其实际意义。
2根据具体的问题，能选择恰当的统计量表示数据的不同特征。
3感受统计在生活中的应用，增强统计意识，发展统计观念。
三、教学重点、难点
依据课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点。
重点：认识并会求一组数据的中位数、众数，并解释其实际意义。
难点：根据具体的问题，能选择恰当的统计量表示数据的不同特征。
四、说教学、学法
本节课，结合概念教学的特点以及小学生的学情，教学中以具体情境为背景，通过直观图示、视频等方式，让学生充分感知。
采用启发式、小组合作与尝试练习相结合的教学方法，突出体现以学生为主体的探索性学习活动。
以调动学生学习的自觉性、积极性。
并依据学生的认知规律，对例题进行加工、调整。
在探求规律时
适当给予启发、引导学生逐步学会通过比较、归纳，最后概括出一类事物的本质属性的学习方法。
从而达到感知新知，概括新知，应用新知，巩固和深化新知的目的。
五、教学过程
（一）、创设情景，提出问题
我运用跳绳比赛这样一个问题情境，播放跳绳比赛视频，随之提出问题，问学生哪组同学跳绳的中等水平好一些？让学生进行大胆的猜测。
然后教师出示这两同学比赛的平均成绩，让学生进行比较。
最后再完整地出示小组成员中每人的跳绳成绩。
引导学生比较，观察，
引导学生感知，平均数130不能很好地代表这组同学跳绳的中等水平，只要找到能代表这组同学跳绳中等水平的数字，才能做出比较。
这个环节我采用了创设问题情境的教学方法，引发学生的认知冲突，体会学习中位数的必要性。
学生在自主观察思考的过程中初步体会中位数的意义，为解决本课的重点打下伏笔。
（二）、合作探讨、探究新知
1、探究中位数。
出示第一小组跳绳成绩表，请学生找出哪个数能够很好地代表这一小组同学跳绳的中等水平，先独立思考，然后小组交流，全班汇报，说明选哪个数。
（设计意图：问题的引入让学生在思考中初步感知求中位数的方法。
通过讨论交流，培养了学生的自主探索、合作交流的意识与能力。
）
根据学生的回答，教师说明，我们应该选择中间的数117来代表第一小组同学跳绳的中等水平。
像这样能代表一组数据中等水平的数字在数学上我们称它为这组数据的中位数。
板书：中位数
这时教师紧跟着提问：还有补充吗？如果没有补充就加以引导：将李苹和员李扬跳绳成绩换下位置。
引导学生说出：必须将一组数据从大到小或从小到大排列好，中间的数才是中位数。
板书：大小排列中间的数
然后练说什么是中位数，解释中位数117实际意义。
师强调找中位数的方法：先排序，再找中位数
（设计意图：这个环节我采用了建立模型的教学方法让学生进行观察思考，引导学生一步步准确、完整地说出中位数的意义，从而突破重点。
）
（2）、探究数据个数是奇数时中位数的求法。
师课件出示第二小组同学跳绳成绩，请学生求出这组数据的中位数，解释实际
意义。
小结：从中位数来比较，第二组跳绳中等水平高于第一小组。
所以第二小组跳绳的中等水平好一些。
（设计意图：此环节的设计，及时的巩固找中位数的方法，并通过情景的选择，加深理解学习中位数的必要性。
）
（3）、探究数据个数是偶数时中位数的求法。
教师继续延续刚才的情境，比赛规则发生改变，由原来的七人变成了八人
出示这时成绩统计表，问：现在中位数是多少？先自己试做，然后小组交流。
得出中间是两个数时中位数的求法，
（设计意图：本环节通过变换情境的方法继续引导学生进行探究思考，解决重难点，让学生在情境中应用知识，在情境中解决问题，。
）
（4）、总结中位数的求法。
大屏幕出示刚才的数据，比较这两组数据中位数的求法发现其中的规律。
引导学生回答：当数据的个数是奇数时，中位数是中间的数；当数据的个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数。
（设计意图：通过对之前‚求中位数方法‛的学习，引导学生进行解题方法的归纳，加深对中位数求法的掌握。
）
（5）及时练习：出示某超高员工工资表，师问：哪个数能代表超高员工工资的中等水平？学生独立完成
2、探究众数。
（1）、认识众数。
教师再次利用刚才的情境，比赛规则变成十人参加。
出示这时的统计表，请学生找出现在哪个数能代表这一小组多数人的跳绳水平。
得出众数的意义板书：众数解释实际意义
（设计意图：本环节引导学生主体观察，建立众数模型，从而让学生掌握另一重点---众数。
）
（2）、认识众数的不唯一性。
教师修改数据：由于同学勤加苦练，，同学们的跳绳成绩都有所提高，出示统计表。
请学生找出众数，得出众数的不唯一性。
板书：不唯一解释实际意义。
小结，师板书课题。
师进一步强调：众数只和数据的个数和位置有关
接着是通过对学生体重和鞋号的统计数据进行分析，练习中位数和众数。
（设计意图：及时巩固、归纳、总结本节课的内容，有助于学生对新知的学习得到进一步提高，达到强化理解新知的目的。
）
之后是用三道选择题对学生的学习情况进行检测。
（当堂检测是我校近期实施的‚构建高效课堂方案‛的策略之一，这种检测形式具有及时性，实效性，有助于教师及时掌握学生对新知的理解程度，并有效提高课堂效果。
这道题就是检测学生是否理解本课知识，能否将概念应用于生活实际之中，具有较强的实效性。
）
最后是课堂总结，让学生谈谈自己的收获。
我在本节课的教学设计中紧紧围绕课程标准中指出的，‚要让学生感受知识
的产生和应用的过程，形成‘问题情境——建立模型——解释与应用’的基本
模式‛这一宗旨。
在情境中引发学生的认知冲突，体会学习中位数的必要性；
在情境中理解中位数和众数的意义，学会求法；在情境中应用知识，解决生活
中的实际问题。
体现了数学来源于生活，又高于生活，并运用于生活，为生活
服务的教学理念。
五、板书设计：
中位数和众数
中位数大小排列中间的数
众数出现次数最多的数不唯一
我说课的内容到此结束。
谢谢！。