北师大版1.5 三角函数的应用 教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计2
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计2一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册第1.5节的内容，本节课主要让学生了解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过学习，学生能够理解正弦、余弦函数在直角坐标系中的图像，以及如何利用三角函数解决实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生感受三角函数在现实世界中的重要性，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对正弦、余弦函数的图像和性质有一定的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，引导他们将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.能够运用三角函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的创新意识，激发学习兴趣。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为三角函数问题，并求解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受三角函数在实际问题中的应用。
2.案例分析法：分析具体实例，让学生学会将实际问题转化为三角函数问题。
3.小组讨论法：培养学生合作学习的能力，提高解决问题的效率。
4.引导发现法：引导学生自主探究，发现三角函数在实际问题中的规律。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例，用于教学引导和分析。
2.准备三角函数图像和性质的复习资料，帮助学生巩固基础知识。
3.准备教学PPT，呈现教学内容和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如电梯上升过程中，电梯内的人所受的加速度，引导学生思考如何利用三角函数解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数图像和性质的复习资料，让学生回顾基础知识。
然后，呈现本节课的教学目标和方法。
3.操练（15分钟）分析具体案例，如过山车问题、跳伞问题等，引导学生将实际问题转化为三角函数问题。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
1.5 三角函数的应用 -九年级下册数学教案教案(北师大版)
1.5 三角函数的应用 -九年级下册数学教案教案（北师大版）一、教学目标1.理解三角函数在实际生活中的应用；2.掌握三角函数在图形中的应用；3.能够解决与三角函数相关的实际问题。
二、教学重点1.了解三角函数的定义及其属性；2.掌握三角函数在图像中的应用。
三、教学难点1.解决与三角函数相关的实际问题；2.运用三角函数在图像中的应用。
四、教学过程1. 引入新知识通过展示一些实际生活中的例子，引导学生思考三角函数在实际中的应用，并让学生从自身经验出发，讨论三角函数的应用。
2. 三角函数的定义及其属性（1）三角函数的定义通过讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义式，引导学生理解三角函数的概念。
同时，还要强调角度的单位是弧度，在计算中要注意进行单位转换。
（2）三角函数的性质•正弦函数的值域是[-1,1]，在单位圆中，正弦函数的值等于角度对应弧长与半径之比。
•余弦函数的值域也是[-1,1]，在单位圆中，余弦函数的值等于角度对应弧长与半径之比。
•正切函数的定义域为全体实数，而值域不含1和-1。
3. 三角函数在图像中的应用（1）图像的绘制通过绘制三角函数的图像展示给学生，让学生观察并总结出三角函数图像的特点。
同时，提醒学生注意角度的变化对图像的影响。
（2）图像的分析让学生观察图像，找出图像的周期、最大值、最小值、零点等，培养学生对图像的分析能力。
（3）图像的应用通过一些例题，引导学生将三角函数的图像与实际问题相联系，运用三角函数的性质解决实际问题。
4. 实际问题的解决通过给出一些实际问题，引导学生运用三角函数解决问题。
在解决问题的过程中，要注重学生的思考和发现，以培养学生的解决问题的能力。
五、教学方法1.情境教学法：通过创设情境，引发学生兴趣，提高学习的积极性。
2.指导性教学法：在引导学生进行自主学习的同时，适时给予指导和帮助。
3.合作学习法：让学生之间相互合作，共同探讨问题，提高学生的学习效果。
六、教学评价根据学生的实际表现，进行课堂表现评价、书面作业评价和实际问题解决评价。
九年级数学下册 1_5 三角函数的应用教案1 (新版)北师大版
1.5 三角函数的应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点) 2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm 和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.你能求出车架档AD的长吗？二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．(1)试说明点B是否在暗礁区域外；(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D 点，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；(2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝12x，CD＝32x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan ∠CAD＝CDAD＝33，∴32x18＋12x＝33.∴x＝18.∵18>16，∴点B是在暗礁区域外；(2)∵CD＝32x＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度(如图)，站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α＝30°，底部B处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB 的高度(结果保留根号)．解析：根据在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BECE，求出BE 的值，再根据在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝AE CE，求出AE 的值，最后根据AB ＝AE ＋BE ，即可求出答案．解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝BD ＝18米．在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18米．在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AE CE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝18×tan30°＝63(米)，∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)．所以，①号楼AB 的高为(18＋63)米． 方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题【类型三】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设A D ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝ABAC，∴AB ＝AC ·tan∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝ABAD，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.所以，AB 的长约为546.7m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE 的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i ＝1∶1(即tan ∠CED ＝1)的斜坡步行15分钟抵达C 处，此时，测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE 的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．解析：作辅助线EF ⊥AC 于点F ，根据速度乘以时间得出CE 的长度，通过坡度得到∠ECF ＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF ＝45°，即可求出AE 的长度．解：作EF ⊥AC 于点F ，根据题意，得CE ＝18×15＝270(米)．∵tan ∠CED ＝1，∴∠CED ＝∠DCE ＝45°.∵∠ECF ＝90°－45°－15°＝30°，∴EF ＝12CE ＝135米．∵∠CEF ＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF ＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE ＝2EF ＝1352≈190.4(米)．所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约为190.4米．方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的概念2．三角函数的实际应用本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
1.5三角函数的应用(教案)(教案)
3.增强学生的直观想象与数据分析能力：通过对三角函数图像的观察与分析，让学生在实际问题中运用三角函数知识，培养他们的直观想象与数据分析素养。
三、教学难点与重点
-理解三角函数图像与性质的关系：学生在理解三角函数图像与性质之间的关系时可能会感到困惑。
-突破方法：利用动态图像、互动软件等教学工具，帮助学生直观地理解函数图像与性质之间的关系。
-建立和求解三角函数模型：学生在建立模型和求解过程中可能会遇到各种问题，如参数的选择、公式的应用等。
-突破方法：通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在尝试解决问题的过程中，逐步掌握建立和求解三角函数模型的方法。
4.教学过程中，我发现有些学生对三角函数的应用仍然局限于课堂上的例子，缺乏将知识拓展到其他领域的能力。为了提高学生的知识迁移能力，我计划在后续的教学中加入更多不同领域的实际问题，让他们学会运用三角函数知识解决问题。
5.总结回顾环节，学生对今天所学内容的掌握程度较高，但仍有个别学生在某些知识点上存在疑惑。在课后，我会及时关注这些学生的疑问，并给予个别辅导，确保他们能够跟上教学进度。
3.三角函数模型的建立：结合实际问题，建立三角函数模型，如气温变化、物体振动等，并运用所学的三角函数知识进行求解。
本节课旨在让学生掌握三角函数在实际问题中的应用，提高他们解决实际问题的能力，同时深化对三角函数图像与性质的理解。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过三角函数在实际问题中的应用，让学生学会从实际问题中抽象出数学模型，提高数学抽象素养。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计1
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计1一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册第一章第五节的内容。
本节主要介绍三角函数在实际问题中的应用，包括正弦、余弦函数在测量、建筑、航海等领域的应用。
通过本节的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的了解。
但是，学生在应用三角函数解决实际问题方面还较为薄弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解三角函数在实际问题中的应用。
2.学会运用三角函数解决简单的实际问题。
3.培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：三角函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生了解三角函数在各个领域中的应用。
2.问题驱动法：提出实际问题，引导学生运用三角函数进行解决。
3.合作学习法：分组讨论，引导学生共同探索三角函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板、粉笔等教学用具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角函数的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师展示准备好的实际问题案例，如测量一座山的高度、计算航海中的航向等，让学生直观地了解三角函数在实际问题中的应用。
3.操练（20分钟）教师引导学生分组讨论，运用三角函数解决实际问题。
学生在讨论过程中，可以互相学习、交流，提高解决问题的能力。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生讨论的结果，进行讲解和点评，巩固学生对三角函数在实际问题中的应用的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展性问题，引导学生深入思考，提高学生的创新能力。
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册 1.5《三角函数的应用》这一节主要让学生了解正弦、余弦函数在实际生活中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦、余弦函数在直角三角形中的应用，进一步理解三角函数的概念，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了锐角三角函数的概念，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但是，对于如何将这些知识应用到实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握正弦、余弦函数在直角三角形中的应用，能够解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在直角三角形中的应用。
2.难点：如何将三角函数知识应用于解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法等，以学生为主体，教师为主导，引导学生主动探究、积极思考。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、三角板、实际问题案例等。
2.学生准备：课本、练习本、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示正弦、余弦函数在直角三角形中的应用，让学生直观地了解三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用所学的三角函数知识进行解答。
例如，测量一座塔的高度，或者计算一个物体的水平距离等。
学生分组讨论，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师针对学生解答实际问题的情况，进行点评和讲解，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）教师引导学生思考：除了直角三角形，还有哪些场景可以使用三角函数？让学生举例说明，进一步拓展学生的知识视野。
北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用教学设计
北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用教学设计1.5三角函数的应用教学目标（一）知识目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.（二）能力目标能够把实际问题抽象成数学问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力.（三）情感目标1.在弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的兴趣. 教学重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用.2.提高学生数学应用意识和解决问题的能力. 教学难点根据题意，了解有关术语、准确地画出示意图, 将（二）指导尝试，自主探究【师】我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？【生】应该是“上北下南，左西右东”.【师】请同学们根据题意在练习本上画示意图，然后说明你是怎样画出来的，【生】首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处，示意图如下：【师】货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？【生】根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D 为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较.【师】这位学生分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求，根据题意，有哪些已知条件呢？【生】已知BC=20海里，∠BAC＝55°，∠CAD=25°【师】在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD 和Rt△ACD，你能在哪个三角形中示求出AD呢？【生】在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求出AD.【生】在Rt△ABD中知道∠BAD＝550，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.【师】那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？【生】我发现了这两个三角形有联系，AD是它们公共直角边，而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.【师】有何联系呢？【生】在Rt△ABD中，tan550＝BD，BD＝AD·tan550，AD在Rt△ACD中，tan250＝CD，CD＝AD•tan250.AD【生】利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan550－ADtan250=20.【师】太棒了！没想到方程在这个地方帮了我们的忙，其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生共析】解：过A作BC的垂线，交BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD,从而BD=AD tan550,CD=AD tan250,由BD-CD=BC,又BC=20海里，得AD·tan550–AD·tan250=20 AD·(tan550–tan250)=20 AD≈20.79海里这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.(三)变式训练，形成能力【师】接下来，我们再来研究一个问题，还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰塔顶，测得仰角为300，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）【师】我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，300仰角、600的仰角分别指哪两个角？【生】当从低处观测高处的目标时，视线与水平所成的锐角称为仰角，300的仰角指∠DAC, 600的仰角指∠DBC.【师】很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.（教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导）【生】首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan300＝CD,即BC＝30tan CD,在RtAC△BDC中，tan600＝CDBC即BC＝CD,又∵AB＝AC－BC＝50m,得60tanCD－60tan CD＝50解得CD≈43(m)tan30即塔CD的高度约为43m.【生】我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.【师】这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为 1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？【生】示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CD≈43m，则CD＝43+1.6=44.6m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6m.【师】同学们的表现太棒了，现在我手里有一个楼梯改造问题，想请同学们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由400减至350，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.001）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题.（先独立完成同，然后相互交流，讨论各自的想法）【生】在这个问题中，要注意调整前后的楼梯高度是一个不变量，根据题意可画出示意图（如右图），其中AB表示楼梯的高度，AC是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度，DB是调整后楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后楼梯的倾角，转化为数学问题即为：如图，AB⊥DB,∠ACB＝400，∠ADB＝350，AC＝4m，求AD－AC及DC的长度.【师】这位同学把这个楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式，我相信同学们一定能用计算器很快地解决它，开始吧！【生】解：由条件可知，在Rt △ABC 中，sin400=ACAB,即AB ＝4sin400m.原楼梯占地长BC ＝4cos400.调整后，在RT △ABD 中，sin350=AD AB 则AD ＝35sin AB ＝35sin 40sin 4ｍ, 楼梯占地长DB ＝35tan 40sin 4m ∴调整后楼梯加长AD －AC ＝35sin 40sin 4－4≈0.48(m). 楼梯比原来多占DC ＝DB －BC ＝3540sin 4tin －4cos400≈0.61(m)(四)反馈矫正，拓展思维 1． 如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成400夹角，且DB ＝5m ，现再在C 点上方2m 处加固中另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少？解：在Rt △CBD 中，∠CDB ＝400，DB ＝5m ， sin400＝DB BC，BC ＝DBsin400=5sin400(m) 在Rt △EDB 中DB ＝5m BE ＝BC+EC ＝2+5sin400(m)根据勾股定理，得DE ＝7.96(m)所以钢缆ED 的长为7.96m2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m，坡底BC＝30m，∠ADC＝1350⑴求∠ABC的大小；⑵如果坝长100m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01m2）解：过A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,E.F为垂足.⑴在梯形ABCD中，∠ADB＝1350∴∠FDC＝450，EF＝AD＝6m，在Rt△FDC中，DC＝8m，DF＝FC＝CDsin450=42(m).∴BE＝BC－CF＝30－42－6＝24－42(m) 在Rt△AEB中，AE＝DF＝42（m）,tan∠ABC=AE=242424--262-≈0.308.∴∠ABC≈BE1708/21″(2)楼梯ABCD的面积S＝1（AD+BC）•AE＝212（6+30）·42＝722（m2）坝长为100m，那么建筑这个大坝共需土石料100〤722≈10182.34(m3)综上所述，∠ABC＝1708/21″建筑大坝共需10182.34m3土石料.(五)讨论归纳，形成知识【生1】本节课我们学到了：运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析问题和解决实际问题的能力.【生2】我们还知到：解决与直角三角形有关的实际问题的关键是构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题.然后列方程求解，并合理解释答案.【生3】通过“读一读”的学习，了解“三角学”的发展历史，使我们对“三角学”更感兴趣.(六)课后作业习题1.6第1，2，3题.(七)活动与探究（2019年贵阳）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必需立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A处向北偏西600方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受影响.（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：2≈1.4 3≈1.7）提示：这是一道需借肋三角知识的应用题，需抓住问题的本质特征，在转化、抽象成数学问题上下功夫〕解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D，依题意，得∠BAC＝300，在Rt△ABD中，BD＝21AB＝21⨯2019⨯＝160<200,∴B处会受到台风影响.⑵以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E、F，由勾股定理可求得DE＝120，AD＝1603AE＝AD－DE＝1603－120∴401203160-＝3.8（小时）因此，该船应在3.8小时内卸完货物.附：板书设计§1.5三角函数的应用一．船有触礁有危险吗1．根据题意，画出示意图，将实际问题转化为数学问题.2．用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.3．解释最后的结果.二．测量塔高三．改造楼梯教学反思⑴本节课容量较大，有五个实际应用问题，学生对每个问题逐个探究解答，时间难以把握，换句话说，本节课很难完成设计的教学内容.若时间感觉比较紧，又该怎样来解决这个问题呢？⑵本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题，对优生来说，他们学习还较容易，讨论也热烈；从作辅肋线构建直角三角形，再利用方程解答题目，直至描述答案都显得轻松自如.但对另外还有相当一部分学生来说，他们基础较差，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理构造直角三角形，也不能列出合理的方程进行解答，又该怎样体现面向全体学生的原则，达到共同进步的目的.在课堂教学过程中，怎样安排培优与转差的过程等等，却值得我们深思.点评：本节课的教学结合具体的教学内容，采用了“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式.让学生亲身经历知识形成与应用过程，从而更好地理解教学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展了学生运用数学意识和能力，增强了学生学好数学的愿望和信心.具体有一下几个特点：第一，教学素材来源于现实生活实际，如：船有触礁的危险吗、小明测楼高、怎样改造楼梯、货船会受台风影响吗等问题的设计，都是学生关注和感兴趣的实例作知识背景，激发学生求知欲，使学生感受到数学知识就在身边，与现实世界密切联系，把以上的几个问题用适当的方式呈现给学生，从而激发了学生学习的热情和主动探究的精神，并激励学生与同伴合作交流自己的想法. 第二，内容设计有一定的层次性并富有弹性，在教学过程中，教师把一个知识对象用多样化的载体予以呈现，体现了知识发展的阶梯，符合学生认知规律和逻辑思维习惯，层层递进，但总有一个重要的数学思想即转化思想贯穿始终，在解决实际问题中，必须建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，同时，在问题2中，又富有弹性，问题的条件设计成开放性的，便于学生发散思维，也容易激发学生的学习兴趣，对问题进行变式、探究与创新. 第三，关注数学学习过程.从教师对教学过程设计上看，学生数学学习的过程，是建立在经验基础上的一个主动建构过程，学习过程中对各个问题的解决都充满了观察、猜想、推理和交流等丰富多彩的数学活动，学生不仅获得了计算能力，而更重要的是获得自己去探究数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得对客观事实尊重的理性精神和对科学执着追求的态度，让学生亲眼目睹数学过程的形象而行动的性质，亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习.。
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第一章直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
一、知识点
1.用三角函数解决实际问题.
2.借助于计算器进行有关三角函数的计算.
二、教学目标
知识与技能：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
过程与方法：
1.从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想.
2.进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法），力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸
情感态度与价值观：
1.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
2.能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）.
3.让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
三、重点与难点
重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.
四、回顾与思考（出示幻灯片2）
1.直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？
2.互余两角之间的三角函数关系？
3.同角之间的三角函数关系？
4.30°、45°、60°角的三角函数值是多少？
五、创设情境，导入新知
问题情景：请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》（出示幻灯片3）
问题1：大家看到了什么？
问题2：有什么感受？
引导学生交流，并提出本节课要探究的课题. 学生回答老师提出的问题.
活动目的：从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性.
六、探究新知
（一）探究一：船是否有触礁（出示幻灯片4）
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
1.在绝大部分学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用.
2.教师对学生解答过程中闪光点给予肯定和表扬----比如在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形，供其他学生们学习.
3.鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解.
（出示幻灯片5）
活动目的：同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑.
（二）探究二：塔有多高（出示幻灯片6、7）
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
2.学生把自己的解决方案记录在纸上，为黑板上展示自己的解答过程做好准备.
3.学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）（出示幻灯片8）
交流合作，将问题转化为数学问题，画出示意图.
（三）探究三：楼梯加长了多少（出示幻灯片9）
深圳东门某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)
让学生在规定时间内完成并展示（投影）成果（出示幻灯片10、11）. 教师巡回指导，对学生画出的示意图中出现的问题予以纠正，及时提醒学生应注意的问题.
1.引导学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程，也可以利用投影仪展示出来，以备各组相互评价.
2.询问部分学生的解答思路.指导部分学生：如果缺少数据，可以巧设未知数，起到解答的辅助作用.
活动目的：通过这个实例，进一步进行有关三角函数的计算，发展数学应用意识和解决问题的能力.
七、解决问题，共同提升
（一）问题一：钢缆问题（出示幻灯片12）
一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m) .
要求学生独立完成，把解答过程写到课堂练习本上．挑选三名同学到讲台前说出答案并讲述自己的思路.
（二）问题二：大坝问题（出示幻灯片14）
如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3
（出示幻灯片15、16）
1.引导学生展开合作，交流.
2.选择具有代表性的解答方法投影展示.
八、课堂小结（出示幻灯片17）
九、布置作业
1.必做题：习题1.6第1题、第2题.
2.选做题：习题1.6第3题、第4题.。