方程思想解决面积问题 教案
人教版九年级数学上册《一元二次方程的应用——面积问题》教学设计
一元二次方程的应用—面积问题知识与技能1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.4.提高分析问题，解决问题的能力。
过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。
重点：二次函数的模型的刻画难点：二次函数的性质的应用教学过程创设情境引入新课.。
[创设情境引入新课]1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。
2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。
同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。
3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..2.小组讨论学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。
启发探究建立模型启发探究，建立模型如图，在一个长为20m,宽为15m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为266m2，那么小道的宽度应为多少米？。
1. 学生观察、相互讨论得出等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；（2）大矩形的面积—四个小矩形的面积之和=两条小路的面积。
2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式的知识.一元二次方程应用教学反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。
一元二次方程图形面积问题(2)区公开课
x
x
整理得：x2-40x+375=0 A 解得：X1=15或 X2=25
80-2x
B
当X=15时，80-2×15=50m（超过45m，不合题意舍去）
当X=25时，80-2×25=30m
∴ AD长为25m
例1：如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m）， 用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
例1：如图，利用一面墙（墙的长度不超过 45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴垂直于墙的篱笆AD长度是多少时，才能 使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?
解：（1）、设AD长为Xm，
墙
则AB=（80-2x）m
D
C
依据题意有： X（80-2X）=750
A
;1-2x
变式应用2
如图，要建造一个面积为130平方米的小仓 库，仓库的一边靠墙且墙长16米，并在与墙 平行的一边开一道1米宽的门。现有能围成 32米的木板，求仓库的长和宽。
A
D
x
x
32+1-2x
B
C
课堂小结
我学会了… …
解：（2）不能，理由如下
墙
由题意可得：
D
C
X（80-2X）=810
整理得：
A
B
∴-2 x2+80x-810=0
=640-4x（-2）x(-810)<0
∴此方程无实数解， ∴ 矩形场地的面积不能为810m2 。
变式应用1:
如图,一农户要建一个矩形院落,院落的一边 利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建 筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的 一边留一个1m宽的门,所围矩形院落的长、宽 分别为多少时,院落面积为80m2?
列一元二次方程解面积类应用题教案
成共识6、（CAI动态演示）各图形中路的平行移动过程，师概括点明做此类题目的方法并板书过程。
7、观察图形⑸，能否用上述方法，又如何理解呢？同学们讨论得出将图⑹的路平行向四周移动可得图⑸（CAI动态演示）。
8、学生独立完成此题。
（CAI课件展示）例2、要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.1、讨论：此题与上题的图⑸有什么不同？又如何解答？2、师讲解：如何由封面及正中的长宽比例相同为9:7，得出上、下边衬宽与左、右边衬宽的比也是9：7.。
3、学生讨论得出直接设中央的长与宽的比9X:7X，从而列方程求解。
4、一人演板。
5、集体订正，强调结果验证。
1、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？论形成的结果，易记熟且能灵活运用。
设疑，激发学生积极思考用题目之间的联系培养学生灵活处理问题的能力。
此方法不易理解，但可以借助图⑸，拓宽了学生的知识面。
设元的灵活性。
触类旁通，你有哪些心得体会。
拓展延伸总结反思2、有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？归纳小结：系统地总结此类应用题的解法。
布置作业：（略）板书设计：12.6 一元二次方程的应用（二）例1．略例2．略解：设………解：………………………………课后反思，本节课的收获，还有没有需要老师帮助解决的问题。
18米2米。
一元二次方程应用--面积------教案
一元二次方程的应用复习教学目标【知识技能】能根据几何图形找出问题中的等量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性。
【过程与方法】经历读题、审题和解题，让学生进一步体会“问题情境--建立模型--求解--解释与应用”的过程。
【情感、态度与价值观】获得运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好的体会数学的价值观。
教学重点、难点重点：将实际问题转化为一元二次方程的数学模型，并根据实际问题检验解的合理性。
难点：建立数学模型解决实际问题，借助方程验证方案的可行性。
突破方法：引导学生用不同图形的面积公式列出方程。
教法与学法教学方法：启发引导，创设情境，利用多媒体课件激发学生学习兴趣；引导学生分析设计方案，借助方程验证方案的可行性。
学习方法：小组合作探究，组内讨论交流教学准备教师准备:多媒体课件学生准备：完成导学案教学过程一、前置诊断1.在长a米，宽b米的一块草坪上修了一条1米宽的笔直小路，则余下的草坪面积可表示为米2，为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1米的弯曲小路，则剩余草坪的面积可表示为米2。
2.幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周的宽度是多少。
3.如图，学校准备在校园里利用围墙的一段，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25米），现有50米的栅栏，请设计一种围法，使矩形花园的面积为300米2。
【设计说明】：本环节的目的是发挥教材的引领作用。
把教材、学生和教师三个方面有机地结合起来，帮助学生回顾应用一元二次方程解决应用题的一般步骤，解决图形公式型应用题的基本方法，纠正学生解答过程中出现的问题。
【学生活动】：独立思考和交流合作相结合，完成学案中的问题。
【题后反思】列方程解应用题的基本步骤：【拓展应用】幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设两块地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，若地毯面积是教室矩形地面面积的32，求四周的宽度是多少。
初中数学九年级上册第二十一章 一元二次方程实际问题与一元二次方程-面积问题的教学设计说明
实际问题与一元二次方程－面积问题的教学设计说明一、教材分析：生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识，在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，所以本节课对学生来说并不陌生。
本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的两类实际问题：面积问题。
通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础。
因此，它具有承上启下的作用。
二、学情分析：我校是一所农村镇级中学，学生大多是出生在农村，长在农村。
所以他们对数学与现实生活的联系知之甚少。
更不要说理论联系实际。
但是就这个年龄段的小孩都有一颗好奇的心理。
我们可以充分利用这一契机。
为了能够提高学生学习数学的能力，也为同学们对知识的学以致用思想打下基础。
知识掌握方面:学生对列方程解应用题的一般步骤已经熟悉，适合由特殊到一般的探究方式。
学生年龄特点：九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。
容易开发他们的主观能动性，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。
三、本课例需要解决的几个问题：1.如何审题，以及从繁琐的题目文字当中提炼出有用的信息。
2.如何把实际生活问题转化为数学问题，用数学思想去解决实际问题。
3.如何发挥学生自学、合作、探究三大学习方式。
4.如何渗透信息技术与学科深度融合。
四、教学过程：1.教学设计的指导思想及依据教学设计的指导思想及依据课程标准和新课程的理念，关注了学生的学习过程，创设了一个有利于学生自主探究、合作交流的课堂氛围。
教师真正成为教学的组织者、引导者和合作者。
本课的教学力求遵循知识的发展规律和学生的认知规律，充分调动学生学习的主动性。
教学中重视“学生的亲身感受”。
2.教学目标：知识和技能目标：能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并求解检验。
过程和方法目标：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述。
初中数学八年级下册(五·四学制) 一元二次方程的应用——面积问题(市一等奖)
一元二次方程的应用罗村中学刘志鑫一、教学目标：1.使学生能利用一元二次方程解决简单的实际问题，进一步渗透方程的模型思想。
2.培养学生解决具体问题的实践能力和应用能力。
二、教学重难点：重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题。
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．三、教具准备：多媒体课件四、教学过程：（一）知识回顾列方程解应用题的一般步骤有哪些（设计意图：让学生回顾之前学过的用方程解应用题的步骤，为新课学习做准备。
）（二）情境导入：在一块长16米、宽12米的矩形土地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为矩形土地面积的一半。
你能给出设计方案吗先自主设计，再小组交流，最后小组派代表展示。
（设计意图：培养学生通过自主思考、动手实践、合作交流等方式，将文字语言转化为数学直观。
）（三）问题探究：小明的设计方案如右图所示，其中花园四周小路的宽度都相等。
他说，通过解方程得到的小路宽为2米或12米。
你认为小明的结果对吗为什么（设计意图：使学生对小明的结果产生质疑，从而激发学生用方程来解决这个问题，进一步向学生渗透方程的模型思想。
）（四）实践应用：1.在一幅长90㎝，宽40㎝的风景画的四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求风景画的面积是整个挂画面积的72％，那么金色纸边的宽是多少2.在长为32米、宽为20米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540平方米，道路的宽应为多少（设计意图：使学生能够学以致用，利用一元二次方程解决简单的实际问题，培养学生解决具体问题的实践能力和应用能力。
）（五）课堂小结：分享一下这节课的收获。
（六）作业布置：1.（必做）习题第2题。
2.（选做）配套练习知识巩固第二题。
五、板书设计：。
实际问题与一元二次方程(面积问题)教案
实际问题与一元二次方程-------面积问题七中刘英【教学目标】1.知识与技能掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2.过程与方法经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度和价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点与难点】⒈重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。
2．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．。
【教学方法】引导学习法【教具准备】PPT课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、列方程解应用题的基本步骤：①审（审题）；读题目，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
②设（设元）；包括设直接未知数或间接未知数，同时用含有未知数的式子表示其他的相关量.③列（列方程）；以一二步骤为基础，用题中的等量关系列方程④解（解方程）；⑤验（检验）；检验根的准确性及是否符合实际意义和题目中的要求⑥答（总结）；写出答语作总结二例题讲解例1.例1. 如图，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建如下图所示的同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为864平方米，求小路的宽度？分析：这类问题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条数、宽度有关，而与位置无关。
为了研究问题方便，可分别把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）解：设道路的宽为x米，则草坪长（40-2x）米，宽（26-x）米（40-2x）（26-x）=864化简得：x2-46x+88=0解得：x=2，x=44∵40-2x>0 26-x>0∴0<x<20当x=44时，道路的宽就超过了矩形场地的长和宽，因此不合题意舍去．答：道路的宽为2米．变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为x，用x表示草坪面积，并指出x的取值范围。
《一元二次方程的应用--面积问题》教学设计
布置作业
1.活动二中其他设计能否用本节课的方法思考解决。
2.探索活动三中鸡舍面积的最大值。---配方法、二次函数。
选择另外的设法解决问题，并对比分析。
课题
8.6一元二次方程的应用--面积问题
教时
课型
第一课时
新授课
执教
日期
1、教学目标
1.会列一元二次方程解决实际问题，并能理解方程解的实际意义。
2.经历花园中小路的设计，体会数学问题的生活化，初步发展学生的运算能力、思维能力，并体验一元二次方程的建模思想。
3.在探索交流、合作学习过程中，培养学生主动探究、深度思考的学习品质，学会智慧生活。
学情分析：
应用题的学习是体现数学与生活密不可分的重要内容之一，学生在六年级已经学习了一元一次方程、七年级学习了二元一次方程及方程组、八年级上学习了分式方程的解法及应用。从大部分学生的整体感知情况看，列方程解应用题是学习中的一个难点。难点主要反映在两个方面：其一是分析题意找等量关系，其二是因生活经验不足，导致学生数学问题和生活问题间不能有机地勾连。所以，教学中我们要从学生已有的经验出发，让学生经历“问题情境引入--找等量关系--建立方程模型--解决实际问题”这一程序化的过程，培养学生审题能力，找等量关系的方法，以及方法辨析选择的灵活性和思维能力的培养。活动二通过让学生设计花园中小路，打通数学与生活的链接，让学生在丰富多样的设计发散思维，通过方法的多样性呈现渗透思考问题的多重角度，经过归纳提炼生成用平移的方法打通找到小路与矩形花园的边之间的关联，实现一般图形向特殊图形的转化。通过对学生呈现的方案的有机处理，让学生体会变不规则为规则的有效路径。这样，自然实现化零为整、化繁为简、化难为易、化曲为直的合理转化，在体验动态生成的过程中体悟数学学习的灵活性和成就感。第三个活动，让学生通过精准的计算，让学生感知方程根的不同情况与面积大小变化的影响，从而再次体悟验根的必要性和合理性，同时也产生探求面积最大值的欲望，激发学生后续学习的愿望和理想。在这个环节的推进过程中，通过不同问题的过程对照，不断提升学生深度研究问题的意识和敢于迎接挑战的信心，达到努力发现数学本质的顶层目标，初步培养起学生认真、严谨、执着、深思考的学习品质和数学核心素养的养成。
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课题：用方程思想解决多边形的面积复习课
教学内容：
人教课标版教材五年级上册第八单元多边形的面积及练习二十五的相应内容
教学目标：
1、知识与技能:使学生进一步熟练掌握已学图形各面积公式,能灵活地应用多种方法解决生活中简单的有关图形面积的实际问题。
2、过程与方法:通过操作、讨论、合作等解决问题的数学活动,探索灵活应用转化等各种数学思想方法的技巧。
培养学生探索的能力和创新的精神。
3、情感态度与价值观:使学生感受数学方法和思想的重要性及其应用的广泛性。
体会数学的价值,培养对数学学习的热爱。
教学重点：使学生进一步熟练掌握已学图形各面积公式,能灵活地应用多种方法解决生活中简单的有关图形面积的实际问题。
难点：引导学生整理多边形面积的推导过程，熟练运用方程思想解决多边形面积问题，掌握转化的数学思想方法，建构知识网络。
教学准备：课前复习表格，三角板，小黑板
教学过程
一、创设情境，导入复习
师：同学们，加上从前学习过的长方形和正方形，今年咱们又学习了哪些图形的面积呢？课前老师发给大家的表格都填完了，你回忆起来了吗？谁来给大家说说你填的内容？师：这节课我们就来重点整理和运用有关这些多边形的面积的知识。
（板书课题——多边形的面积）
二、回顾整理，建构知识网络
师：这些多边形面积公式的推导有怎样的联系呢？
根据学生的汇报情况，教师积极引导、质疑、激发、补充，不断完善让学生形成较为稳固的知识系统。
三、旧知运用，完善课题
那我们就一起来用用这些公式吧
（小黑板出示例1）做一块面积为450平方厘米的三角形丝巾，底为45厘米，高是多少？分析题意，独立完成，个别汇报，集体优化
那这个问题我们可以有列式计算和列方程两种方法，请同学们看看下面这个问题
（小黑板出示例2）
独立完成，同桌交流，个别展示，集体完善
今天我们都在用方程的思想解决有关面积的问题，同学们觉得用这种方法简单么？这就是我们今天要掌握的，用方程的思想解决面积问题（完善课题）
五、课堂练习
如图，一块梯形花圃中已经种了24平方米的牡丹，其余部分要种芍药。
种芍药的面积是多少？
12米
24平方米
4米。