第三章三角恒等变换学案
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
三角恒等变换学案
三角恒等变换学案(1)两角和与差的余弦预学案：1.利用书P90T22提供的情景和所学知识探究如何用sin ,cos ,sin ,cos ααββ来表示cos αβ±（）2.阅读书P103-104,理解记忆公式公式：cos()αβ-= cos()αβ-= 注意抓住公式的结构特点，记住公式。
预习检测：1. 求值：0cos75，0cos15,tan15 2. 已知：233sin ,(,),cos ,(,)3252πααπββππ=∈=-∈，求cos()αβ+的值。
注：做本题一定要注意符号的选择。
做完后要和书本上的步骤对照，发现并完善自己的书写。
3. 0000cos50cos 20sin50sin 20+=4. cos +cos()sin()sin()αβαβαβαβ-++-（）=5.cos(15)cos15sin(165)sin(15)αα--+-= ； （对公式不但会正用，还要学会逆用） 固学案： 1. 已知4cos ,(,0),52παα=∈-求cos()3πα-的值2. （=1）3.已知锐角,αβ且416cos ,cos(),565ααβ=+=-求cos β的值 （513） （注意：角的变换）巩固练习：1.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，5cos 13β=，则cos()αβ+= . 2．使得等式1cos cos sin sin 2αβαβ-=成立的一组α，β的值是 ．3．已知1cos()cos 32παα-=，且02απ<<，则α= ．4．化简（1）cos )cos(60)x x x +++=；（2）sin()cos sin()sin 36ππαααα-++= ． 5．在ABC ∆中，若cos()2cos cos A B A B -=，则ABC ∆的形状是 . 6.若12cos()313πα-=，32ππα<<，求cos α． 7.函数()cos 2sin 2f x x x =-的最小值是 ．习题课一、练习： 1．已知2sin 3α=，3cos 4β=-，α，β都是第二象限角，则cos()αβ-= . 2．不查表求值：sin 402cos 70sin 50+= .3．若sin α=sin β=，α，β为锐角，则αβ+= ．4．已知α与β均为锐角，sin α=tan 3β=.则αβ-= . 5．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cosC = ． 二．合作探究：例1.若sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=，求cos()αβ-的值.变式1：若cos cos cos 0αβγ++=，sin sin sin 0αβγ++=，求cos()αβ-．变式2：已知4cos()5αβ+=，2cos()5αβ-=，求tan tan αβ.例2.已知5cos()1213x π+=-，x 是第三象限角，求cos()6x π-的值．变式1：已知α、β为锐角，且4cos 5α=，16cos()65αβ+=，则cos β= .变式2：已知：12cos()13αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈， 求cos2α、cos 2β及角β的值.例3．函数1()cos 2sin 222f x x x =+的最小正周期是 ．变式：函数()cos f x x x =的单调增区间是 ．三角恒等变换学案(2)两角和与差的正弦预习案：1.探究:如何由cos αβ±（）得到sin()αβ±的公式2.阅读书本P107-109，记住公式：sin()αβ+=sin()αβ-= 预习检测：1. 求值0sin 75,sin15,sin105 2. 已知.233sin ,(,),cos ,(,)3252πααπββππ=∈=-∈,求sin()αβ+的值3. 已知54cos(),cos ,,135αββαβ+==均为锐角，求sin α的值4. 求函数1sin cos 22y x x =-的最大值固学案:1. 求值:0sin105,cos1652．计算22sin 22.5cos 22.5-= . 3．求sincos1212ππ的值.4.001sin15cos1522-=5. cos x x -=6.已知1sin(),(,),432ππθθπ+=∈求sin θ7.化简:0cos10(tan10sin 50g8. 化简2222sin()sin()tan sin cos tan αβαββαβα+-+；9.化简sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++10.若35sin()413πα+=，3cos()45πβ-=，且3044ππαβ<<<<，求cos()αβ+的值.正弦的习题课1．sin()cos()63y x x ππ=+++的最大值为 .2. 在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆是 三角形. 变式:在ABC ∆中,若1sin sin cos cos ,A B A B -=则ABC ∆一定为 三角形.3．已知(cos()sin()),(cos(),sin())a b αβαβαβαβ=++=--r r ,，且43(,)55a b +=r r ，则tan α= .4.求002cos10sin 20cos 20-的值5.求值：000cos102cos 40tan 20.6．已知0()22ππαβπ∈∈（，），，，且1cos ,sin 7αβ==βα-的值.7．化简22sin sin cos sin cos sin cos tan 1x x xx x x x x +-----.8．已知3,(,)4παβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求cos()4πα+的值.9.已知tan()2tan ,αββ+=求证:3sin sin(2)ααβ=+10.已知21sin(),sin()35αβαβ+=-=-,求tan tan αβ的值完成书P112的习题。
第三章 三角恒等变换复习-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)
第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。
2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。
三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。
2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。
3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。
2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。
五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。
2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。
3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cos 2α－sin 2α； tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos2α？答案 cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1； 或cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α，sin αcos α＝12sin2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos4α＝cos 22α－sin 22α.( √ ) 3．对任意角α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝π4及α＝π2，上式均无意义.类型一 给角求值 例1 (1)计算：cos2π12－sin 2π12； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 解 原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan75°；考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan75°＝2·1－tan 275°2tan75°＝2·1tan150°＝－2 3.(3)计算：cos20°cos40°cos80°. 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( )A.14B ．－14C.18D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝2sin π7cos π7cos 2π7cos4π72sinπ7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos4π74sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)12－cos 2π8＝________； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 －24解析 原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24.类型二 给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，即sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825C ．1D.1625考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A ．－429B ．－229C.229D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利有二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. (2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案2425解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35>0， 所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425. 类型三 利用二倍角公式化简证明 例3 (1)化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 解 方法一 原式＝－cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋sin θ＝tan θ.方法二 原式＝θ＋cos θ2－2θ－sin 2θθ＋cos θ2＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θθ＋cos θ－θ－sin θθ＋cos θθ＋cos θ＋θ－sin θ＝2sin θ2cos θ＝tan θ.(2)求证：4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边． 反思与感悟 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． 跟踪训练3 α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 0解析∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )A ．－14B.14C ．－18D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的余弦值 答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．sin15°sin75°的值是( ) A.12B.32C.14D.34考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 C解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 B 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4.3tanπ81－tan2π8＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值 答案 32解析 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝32tan π4＝32. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos2α2.一、选择题1．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于( )A ．－1213B.1213C ．－120169D.120169考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 D解析 由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D.2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α等于( )A ．－79B ．－29C.29D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.3．已知α为锐角，且满足cos2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 因为cos2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12， 所以α＝30°.故选D.4．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724B ．－724C.247D ．－247考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 D解析 由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34， 所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D. 5.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2D ．－3cos2考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22＝－3cos2. 6．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5.7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－1－49＝－53，故选A. 二、填空题8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 116解析 原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° ＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 9．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝________. 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 －247解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210， 得22(sin θ－cos θ)＝210，即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247.10．若1＋tan α1－tan α＝2018，则1cos2α＋tan2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 2018解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2018.11．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2 ＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 三、解答题12．(2017·山东青岛城阳一中期中考试)已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.又α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )， 所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°， 所以cos α2<0，所以原式＝cos α. 四、探究与拓展14．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角， 即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π(k ∈Z )， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6·sin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
2019-2020年高中数学 第三章《三角恒等变换》教学设计 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学第三章《三角恒等变换》教学设计新人教A版必修4【教学目标】进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：新授课阶段1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，==tan （450+300）等.例1 知),2(,61)4sin()4sin(ππ∈α=α-πα+π，求sin4α的值． 解：∵61)4sin()4sin(=α-πα+π ∴31)4cos()4sin(2=α+πα+π∴ ∴cos2α = 又∵ ∴2α∈ (π, 2π)∴sin2α = 322)31(12cos 122-=--=α-- ∴sin4α = 2sin2αcos2α =例2 已知θ是三角形中的一个最小的内角，且12sin 2cos 2sin 2cos 2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围． 解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos 2222+=θ-θ-θ-θa a即，显然 （若，则 0 = 2） ∴ 又∵，∴ 即： 解之得：例3 求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值． 证：)3cos(cos )]23cos(1[21)2cos 1(21α+πα+α-π--α-=原式)sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π=211(cos cos 2sin sin 2cos 2)cos sin 23322ππαααααα=+-+-1111cos 22cos 2(1cos 2)24244ααααα=+-++-= ∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关 例4 已知331cos 2sin 2cos(), , 45221tan πππααααα-++=≤<-求的值．解：由得解方程组223sin 225sin cos 1αααα-=⎪⎨⎪+=⎩得sin 10cos 10αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 310cos 0 22cos 10αππααα⎧=-⎪⎪≤<∴≤∴⎨⎪=-⎪⎩ 21cos 2sin22sin 2sin cos 1tan 1tan ααααααα-++∴=--22(2(281010101775⨯+⨯==--例5 求值：02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-．解：原式=0020*******sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅- 16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0000002000200000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-=例6 ．已知函数1)4()cos x f x xπ-=. （Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值． 解：（Ⅰ）由 得，故在定义域为（Ⅱ）因为，且是第四象限的角, 所以故1)4()cos f πααα-=12(sin 22)22cos ααα--=.例7 已知sin （－x ）=，0＜x ＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x ）+（+x ）=及－2x =2（－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（－x ）+（+x ）=，∴cos（+x ）=sin （－x ）.又cos2x =sin （－2x ）=sin2（－x ）=2sin （－x ）cos （－x ）， ∴=2cos（－x ）=2×=.例8 求证:(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22x x x x x x +--+=解：原式=22(sin 12sin 1)(sin 12sin 1)22sin 2x xx x x+---++ =22(2sin cos 2sin )(2sin cos 2sin )2222224sin cos cos 22x x x x x x x xx-+ =(cos sin )(cos sin )sin 22222cos cos 2x x x x x x x-+⋅ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=x x x x cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan.例9 已知，，都是锐角，求 的值. 解：由得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β.由得sin2β=sin2α.∴cos（α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·sin2α=0.∵α、β∈（0，），∴α+2β∈（0，）. ∴α+2β=. 课堂小结三角恒等式的证明方法有：从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简. 等式两边同时变形成同一个式子.将式子变形后再证明. 作业 见同步练习 拓展提升 1．若，则等于 （A ） （B ） （C ） （D ）2．函数y=sin2x+sinx,x 的值域是( ) (A)［-,］ (B) ［］ (C) ［-,］ (D)［］3．已知x ∈（－，0），cos x =，则tan2x 等于 （ ） A.B.－C.D.－4．已知tan=,则的值为（ ） A ．B ．-C ．D ．-5．．，则 ． 6．已知，若，则． 若 , 则．7．若,则的值为_______．8．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 求 的值．9． ()41,cos ,tan , cos .53αβααββ=-=-已知、为锐角求的值10．设函数()cos 2cos ()f x x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ． （1） 求M ，T ；（2） 若有10个互不相等的正数满足M ，且（i=1,2,…10）， 求…的值.参考答案 1．C2．B 提示：用二倍角公式及两角和与差的正弦或余弦公式3．D 4．A 提示：222sin 2sin cos1cos sin 222tan 1cos sin 22cos 2sin cos 222θθθθθθθθθθθ+-+==+++ 5．． 提示：由已知得，22sin 2cos 22sin cos cos sin αααααα+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 7sin cos tan 15ααααααααα+-+-===-++ 6． 提示：2(sin cos )12sin cos θθθθ-=-= 当0,sin cos 4πθθθ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭时，当,sin cos 42ππθθθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭时, 7． 提示：去分母后两边平方可得 8 解：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 9 解：43,cos , sin .55ααα=∴=是锐角.,22 π<β-α<π-∴βα为锐角、又 ()可求出,31tan -=-βα ()(),1010sin ,10103cos -=-=-βαβα()cos cos βααβ∴=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-10 解：（1）()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+（2）：，22,62i x k k Z πππ+=+∈故即 ，又是互不相等的正数且（i=1,2,…10）， 故 0，1，…9．所以…。
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第三章三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
一、教学目标
1、能用两角和与差的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦公式进行简单的三角
y a x b x的化简方法.
恒等变换，记住sin cos
y A x的三角函数性质进行讨论，能灵活运用公2、能正确的对形如sin()
式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.
3、能运用三角公式解决一些实际问题.
4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想.
二、教学重难点
教学重点：
引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如
y A x的三角函数性质进行讨论
sin()
教学难点：
认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不
y A x三角函数的应断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()
用.
三、教学过程 [来源:学。
科。
网Z。
X。
X。
K]
y A x函数性质的探究
探究一：形如sin()
问题1.求函数2sin(2)()
y x x R的周期，最大值.
6
问题2.求函数sin 3cos ()y x x x R 的周期，最大值.
问题3.函数sin 3cos y x x 如何化简为sin()y A x 的形式呢？问题4.刚才所化简的函数是形如
sin cos y a x b x 的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x 的函数化简为sin()y
A x 的形式呢？辅助角公式：
例题1：函数3sin 3cos ()22x
x
y x R 的周期为 .
y A x函数的实际应用
探究二：形如sin()
问题5：如图，半径为R的半圆内有一内接长方形，圆心为O,且
,则当取何值时，内接长方形面
AOB,(0,)
2
积最大？。