《简单的三角恒等变换》导学案1
精品导学案：简单的三角恒等变换(教、学案)
精品导学案：简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。
既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。
高中数学必修四导学案-简单的三角恒等变换
3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.应用：例1、 试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a . 例2、 练习：求证tan 2a =ααααsin cos 1cos 1sin -=+。
例2、证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、 求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。
练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。
（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos 22+=x y （3）x x y 4sin 4cos 3+= 阅读内容： 函数y=asinx+bcosx 的变形与应用（辅助角公式）函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a +++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a b a b b a a ϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab . 例4、 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结 1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A 组1（2） （4）、3、5、题。
简单三角恒等变换 导学案
§3.1两角和与差的余弦1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。
向量的数量积a b ______⋅= ),,11y x （=),22y x （= 则 a b _____⋅=探究一：（1）0000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？（2）能不能不用计算器求0cos15的值 ？要用什么公式？探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
②怎样作出角αβ-的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。
2.向量法：由图可知：==→a OP 1( ) , ==→b 2OP ( )则=⋅_____= b ____→=θ=⋅ cos θ∴=另一方面：故 cos()αβ-= 对于任意的角βα,都成立。
探究三：．两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：[]cos()cos ()αβαβ+=--= ______________________＝______________.例1：求值：0sin 75，0cos(15)-例2：求下列三角函数式的值． (1) cos79cos34sin 79sin 34+(2)cos(α－55°)cos(5°＋α)＋sin(α－55°)sin(5°＋α)变式训练：求值1. 0cos50cos 20sin50sin 20+= =2. 00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++= =例3：教材127页例2变式1：已知锐角α，β，且4cos5α=，16cos()65αβ+=-，求cos β的值．变式2：设1cos()29βα-=-，2sin()23αβ-=，其中(,),(0,)22ππαπβ∈∈，求cos 2αβ+1.教材P1271、2、3、42.不查表求值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ ︒+︒15sin 2315cos 212）（3.sin 2sin3cos2cos3, ()x x x x x =若则的值可是（A ）10π (B)6π (C)5π (D)4π4.在,cos cos sin sin B A B A ABC <∆中，若则ABC ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不确定5.设3(0,),sin ,)254ππααα∈=+=若1．公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(αβ)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：();2()(),()()222αββαααββααβαβαβ+=+-=+--=---等。
导学案简单的三角恒等交换
见高考调研
三、重点、难点
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
四、导学流程
四、课堂小结：
求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元，引辅角。“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效。其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促进转化），两种数学思想（转化思想和方程思想）；三个追求目标（化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项），三种变换方法（切割化弦法，消元降次法，辅助元素法）。
导学案使用日期：5.28
课题名称
《简单的三角恒等变换》
年级
高二年级
学科
数学
课型
复习课
课时
1课时
主编教师
马季红
编号
一、课程标准、考纲要求
灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换
二、学习目标
1、掌握二倍角的正弦、余弦、式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
人教版必修四：3.2简单的三角恒等变换(导学案)
班级：姓名：小组：
学习目标
1.了解半角公式及其推导过程；
2.能用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简和证明.
3.掌握三角恒等变换在研究三角函数图像与性质中的应用.
重点难点
重点：灵活运用三角公式，特别是倍角公式进行三角恒等变换.
难点：公式的综合应用.
学法指导
Байду номын сангаас通过例题与练习，对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐渐形成在解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式 变形，以及变换过程中体现的换元、逆 向使用公式等数学思想方法的认识．
7.求函数 的最小正周期和递减区间．
学后反思
例2.求证： ；
例3.已知 都是锐角， ，求 的值．
例4.化简：
例5.
例6.已知函数
（1）求函数 的最小正周期；（2）求 的最大值及取得最大值时相应的 值；
（3）求函数的单调递增区间.
当堂检测
1. 等于（）
A． B． C． D．
2.化简：
3.已知 ，求 的值．
4.
5.求证：
6.求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值.
课前预习
半角公式：
co s =（ ）
sin =（ ）
=（ ）注意：根号前的 号，由 所在象限决定.
预习评价
用半角公式求sin15 ，cos15 ，tan15 值.
课堂学习研讨、合作交流
（1）应用半角公式求值
例1.已知 ， 是第四象限角，求 .
★变式已知 ，求（1） ；（2） ；（3） .
（2）三角变换
《简单的三角恒等变换》教案与导学案
《简单的三角恒等变换》教案与导学案导学案（简单的三角恒等变换）一、知识导入1.请同学们回忆一下三角函数的定义及其在单位圆中的几何意义。
2.提问：在任意角A上可以建立正弦、余弦、正切的函数关系。
那么这些函数关系是否有规律可循呢？二、概念引入1.引入三角恒等变换的概念，即正弦、余弦、正切之间存在一些特定关系，这些关系称为三角恒等变换。
三、常见的三角恒等变换公式1.正弦函数的恒等变换：(1) 正弦函数的余角关系：sin(π/2 - A) = cosA(2) 正弦函数的余弦关系：sinA = cos(π/2 - A)(3) 正弦函数的补角关系：sin(π - A) = sinA(4) 正弦函数的周期性关系：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数2.余弦函数的恒等变换：(1) 余弦函数的余角关系：cos(π/2 - A) = sinA(2) 余弦函数的正弦关系：cosA = sin(π/2 - A)(3) 余弦函数的补角关系：cos(π - A) = -cosA(4) 余弦函数的周期性关系：cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数3.正切函数的恒等变换：(1) 正切函数的余角关系：tan(π/2 - A) = 1/tanA(2) 正切函数的倒数关系：tanA = 1/tan(π/2 - A)(3) 正切函数的补角关系：tan(π - A) = -tanA(4) 正切函数的周期性关系：tan(A + πn) = tanA，其中n为整数四、常见的三角恒等变换推导1.根据角和差公式，推导正弦、余弦函数的恒等变换公式。
2.根据正切函数的定义，推导正切函数的恒等变换公式。
五、例题解析1. 求证：sinA + cosA = 1解析：根据余弦函数的余角关系cos(π/2 - A) = sinA，原式可写为sinA + cos(π/2 - A) = 1、因此，根据三角恒等变换公式，原式成立。
2. 求证：1 + tan^2A = sec^2A解析：根据正切函数的余角关系tan(π/2 - A) = 1/tanA，原式可写为 1/tan^2A + 1 = 1/cos^2A。
人教A版高中数学选修简单的三角恒等变换导学案新课程新课标
3．2 简单的三角恒等变换1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。
2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。
3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
（预习教材P139—P142）复习：Cos(α+β)=Cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=tan(α+β)=tan(α-β)=sin2α=tan2α=cos2α=二、新课导学※探索新知探究一：半角公式的推导请同学们阅看p139例1..思考1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。
.思考2、半角公式中的符号如何确定？思考3、二倍角公式和半角公式有什么联系？.思考4、代数变换与三角变换有什么不同？变式训练1：求证sin tan 21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=探究二：积化和差、和差化积公式的推导.请同学们阅看p140例2。
.思考 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？.思考2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？.思考3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式．变式训练2：课本p142 2（2）、3（3）探究三：三角函数式的变换。
请同学们阅看p140例3。
.思考1、例3的过程中应用了哪些公式？.思考2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．变式3：已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1）求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合※ 典型例题例1．已知135sin =α，且α在第二象限，求2tan α的值。
简单的三角恒等变换(公开课学案)
《简单的三角恒等变换》学案
一、学习目标：
1、理解并掌握和(差) 公式和倍角公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想和方法，发展学生的数学运算素养；
2、能熟练利用公式进行简单的恒等变形,初步体会三角恒等变换在数学中的应用，发展学生的逻辑推理素养. 二、学习过程
（一）回顾：大家已经学过的三角公式主要有哪些？
（二）典例讲解
（三）变式训练
（四）总结整理
通过这节课的学习你有什么收获和感悟？你能否从知识、方法、思想等层面分别概括总结一下？三、目标检测。
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4-52 3．2《简单的三角恒等变换》导学案1
【学习目标】： 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差公式与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。
【重点难点】： 辅助角公式在三角恒等变换中的应用及三角恒等变换的相关综合问题。
【学法指导】： 自主探究与老师引导相结合。
【知识链接】： （1）半角公式
sin 2
α
=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos 2
α
=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ tan
2
α
=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）积化和差公式
sin cos αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：
cos sin αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ sin sin αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（3）和差化积公式
sin sin θϕ+=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：
sin sin θϕ-=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos θϕ+=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos θϕ-=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（4）辅助角公式
sin cos a x b x +=＿＿＿＿sin()x θ+（其中tan θ=＿＿＿＿＿）
【学习过程】：
有了和（差）角公式，倍角公式以后，我们就有了三角变换的新工具，请同学们利用现有知识，试着证明下面的半角公式。
例1：求证：sin 2
α=cos
2
α=tan
2
α=。
上述公式可用于求半角的三角函数值。
试一试：若0sin 76m =，试用含m 的式子表示0cos 7。
例2：求证：（1）1sin cos [sin()sin()]2
αβαβαβ=++-
（2）sin sin 2sin cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=
对照预习导引，请同学们探究并证明其它几组和差化积公式与积化和差公式。
并利用它们解决如下练习。
试一试：计算2020000cos 5cos 102cos 5cos10cos15+-=
【归纳小结】： 1．半角公式
2．积化和差公式与和差化积公式 3．辅助角公式 【当堂检测】： 1．已知4cos 5
α=
，且322π
απ<<，则sin
2
α
=＿＿＿＿＿。
2．有下列关系式：①sin 5sin 32sin 8cos 2θθθθ+=；②c
o s 3c o s 52s i n 4s i n θθθθ-=-；
③1sin 3sin 5cos 4cos 2
θθθθ-=-； ④sin 5cos 32sin 4cos θθθθ+=；
⑤1sin sin [cos()()]2
x y x y cos x y +=
--+。
其中正确等式的个数是 （ ）
A ．0
B 。
1
C 。
2
D 。
3
3．已知2sin 1cos θθ=+，则tan 2
θ
的值为 （ ）
A ．2
B 。
12
C 。
12
或0 D 。
0
4．若3sin cos 0αα+=,则2
1
cos sin 2αα+的值为( )（A ）
103
（B ）
53
（C ）23
(D) 2-
5．设A B C ∆的三个内角,,A B C ，向量,sin )A B =m ， (cos )B A =n ，若1cos()m n A B ∙=++，则C =（ ）A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
23
π D ．
56
π
6．化简：
020
123
sin 12(4cos 122)
--=＿＿＿＿＿。
7．00
00
sin 63sin 2784sin 66-+=＿＿＿＿＿。