考研数学-定积分的应用
考研数学定积分的应用
考研数学定积分的应用一、引言数学定积分是高等数学中的重要概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从几个具体的应用案例入手，探讨考研数学定积分的应用。
二、面积计算数学定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，在工程测量中，我们经常需要计算某个区域的面积，如果该区域的边界曲线可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
通过将曲线分割成无穷多个微小的矩形，计算每个矩形的面积并进行累加，最终得到所需的面积。
三、物体体积计算除了计算面积，数学定积分还可以用于计算物体的体积。
在工程设计中，经常需要计算复杂形状物体的体积，例如水库的容量、建筑物的体积等。
如果物体的截面可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
同样地，将截面分割成无穷多个微小的面元，计算每个面元的体积并进行累加，最终得到所需的体积。
四、质心计算质心是物体在空间中的重心，对于复杂形状的物体，质心的计算可以通过数学定积分来实现。
首先，将物体分割成无穷多个微小的体积元，计算每个体积元的质量并与其质心坐标乘积，然后进行累加，最后将总质量除以总体积，即可得到质心的坐标。
五、弯曲杆件的弯矩计算在工程力学中，常常需要计算弯曲杆件的弯矩分布，以确定结构的稳定性和安全性。
通过数学定积分，可以将杆件分割成无穷多个微小的弯曲段，计算每个弯曲段的弯矩，并进行累加，最终得到整个杆件的弯矩分布。
六、概率密度函数计算概率密度函数是概率论与数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的概率分布。
数学定积分可以用于计算概率密度函数的各种性质，例如求解期望值、方差以及其他统计指标。
通过对概率密度函数进行定积分，可以得到具体的数值，从而进行概率分析和决策。
七、总结本文简要介绍了考研数学定积分的几个应用，包括面积计算、物体体积计算、质心计算、弯曲杆件的弯矩计算以及概率密度函数的计算。
这些应用充分展示了数学定积分在实际生活和工程领域中的重要性和广泛应用。
通过学习和掌握数学定积分的应用技巧，可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决能力。
考研数学第六讲定积分的应用
第六讲 定积分的应用一、基础知识几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。
()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。
由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。
()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21= ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为 []dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为 []dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+= 弧长为 []⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有 ⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 曲率圆二、例题1．平面图形的面积与旋转体的体积例 1. 已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =例2.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何)(x f0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 例5.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:522161518755V π=⋅= 例6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 例7.（15-2） 设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π例8.(09-3-10 分)设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >，已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。
考研数学二(定积分及应用)模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学二（定积分及应用）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2所围成的区域面积可表示为( )．A．2cos2θdθB．4cos2θdθC．D．(cos2θ)2dθ正确答案：A解析：双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2的极坐标形式为r2＝cos2θ，再根据对称性，有A＝4×r2dθ＝2cos2θdθ，选A．知识模块：定积分及应用2．设f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且g(χ)＜f(χ)＜m，则由曲线y ＝g(χ)，y＝f(χ)及直线χ＝a，χ＝b所围成的平面区域绕直线y＝m旋转一周所得旋转体体积为( )．A．π∫ab[2m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχB．π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχC．π∫ab[m－f(χ)＋g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχD．π∫ab[m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ正确答案：B解析：由元素法的思想，对[χ，χ＋dχ][a，b]，dV＝{π[m－g(χ)]2－π[m－f(χ)]2}dχ＝π[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，则V＝π∫ab[2m－f(χ)－g(χ)][f(χ)－g(χ)]dχ，选B．知识模块：定积分及应用填空题3．＝_______．正确答案：解析：因为对[－a，a]上连续的函数f(χ)有∫-aaf(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]dχ，所以知识模块：定积分及应用4．＝_______．正确答案：解析：因为＝1且＜1，所以广义积分收敛．知识模块：定积分及应用5．＝_______．正确答案：解析：知识模块：定积分及应用6．设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＝＋∫01χf(χ)dχ，则f(χ)＝_______．正确答案：解析：令∫01χf(χ)dχ＝k，f(χ)＝＋k两边乘χ，得χf(χ)＝＋kχ，两边积分得∫01χf(χ)dχ＝＋∫01kχdχ，即k＝，所以k＝2(－1)，从而f(χ)＝．知识模块：定积分及应用7．设f(χ)∈C[1，＋∞)，广义积分∫1＋∞f(χ)dχ收敛，且满足f(χ)＝f(χ)dχ，则f(χ)＝_______．正确答案：解析：令∫1＋∞f(χ)dχ＝A，则由f(χ)＝f(χ)dχ，得A＝，解得A＝，所以f(χ)＝．知识模块：定积分及应用8．设f(χ)＝，则＝_______．正确答案：e-1－1解析：知识模块：定积分及应用9．设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝1，f(2)＝3，f′(2)＝5，则∫01χf〞(2χ)dχ＝_______．正确答案：2解析：知识模块：定积分及应用10．设f(χ)＝则∫-15f(χ－1)dχ＝_______．正确答案：＋ln3解析：知识模块：定积分及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学高数公式：定积分
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！考研数学高数公式：定积分第五章：定积分学习要求:1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理2.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。
3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
4.了解广义积分的概念，并会计算广义积分。
5.掌握反常积分运算。
定积分的基本公式和定理1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。
加油！。
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
考研数学二(定积分及应用)模拟试卷2
考研数学二（定积分及应用）模拟试卷2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )．（分数：2.00）A.ρg∫ 0h ahdh √B.ρg∫ 0a ahdhC.ρg∫ 0h ahdhD.2ρg∫ 0h ahdh解析：解析：取[χ，χ＋dχ，h]，dF＝ρg×χ×a×dχ＝ρgaχdχ，则F＝ρg∫ 0h aχdχ＝ρ∫ 0h ahdh，选A．3.在曲线y＝(χ－1) 2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕χ轴旋转一周所成的几何体的体积为( )．（分数：2.00）√解析：解析：过曲线y＝(χ－1) 2上点(2，1)的法线方程为y＝－χ＋2，该法线与χ轴的交点为(4，0)，则由该法线、χ轴及该曲线所围成的区域D绕χ轴旋转一周所得的几何体的体积为故选D．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）7.设f(χ)连续，则0χχf(χ－t)dt＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：∫ 0χ f(u)du＋χf(χ)）解析：解析：∫ 0χχf(χ－t)dt＝－χ∫ 0χf(χ－t)d(χ－t)＝－χ∫ χ0f(u)du＝χ∫ χ0f(u)du，则χf(χ－t)dt＝[χ∫ 0χ f(u)du]＝∫ 0χ f(u)du＋χf(χ)．8.曲线y＝χ4χ≥0)与χ轴围成的区域面积为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.∫ 01 arctanχdχ＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【11.20补充专题讲义】2020考研数学-定积分及微分方程在物理中的应用-武忠祥
dT k(T 20) dt
(k 0)
解该方程得 T (t) 20 Cekt
又 T (0) 120, 则 C 100, T (t) 20 100ekt
T (30) 30, 则 ek30 1 , k ln10 .
10
30
代入 T (t0 ) 21, 得 t0 60,
的距离为 a . 已知引力系数为 k ，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）.
0 km d x
（A） l (a x)2
l km d x
（B） 0 (a x)2
0 km d x
（C）
l 2
(a
x)2
（D） 2
l 2
km
d
x
0 (a x)2
【解】选（A）
【例 3】（2002 年 2）某闸门的形状与大小如图所示，闸门的上部为矩形 ABCD ，下部由二
.
【例 2】（2015 年 2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率
与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一初始温度为120 C 的物体在 20 C 恒温介质中
冷却， 30 min 后物体温度降至 30 C ，若要将物体的温度继续降至 21 C, 还需冷却多长时
间？
【解】设 t 时刻物体的温度为 T (t)( C), 由题设知
2
将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 ，所以 3
w3
10 3(2000 20t) d t 57000.
0
因此，共需作功
w 12000 22500 57000 91500(J).
【例 5】（2003 年 1）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克 服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系
考研数学一_定积分和等式与不等式问题
1°定积分的概念
(1) 定积分的定义:
b
a
f
x dx
n
lim f
0 i 0
i
xi
其中极限值与区间 a , b 的划分 , i xi1, xi 的
选取无关 .
(2) 定积分的几何意义:
曲边梯形的面积:
b
S f xdx
使得
b
b
f (x)gxdx f gxdx
a
a
(7)定积分值与变量的名称无关:
若 y= f (x)在 a, b 上连续 , 则
b
b
f xdx 若 f (x) 在 a, b上连续 , 则变
x
上限积分函数 F (x) f tdt 在a, b上可微, 且有
x4
lim
x0
ln(1
sin2
x) 2sin 4x3
x
cos
x
sin2 x 2sin x cos x
lim x0
4x3
1 x2 x 1
lim 2 x0
x3
2
x2 1 x
例3 设 f (x) 是 R 内的连续函数 , 且 f tdt x ,
求 f (2)
x2 = 1 是极大值点 极大值 I(1) 2
例7 若 f (x) 是a , b 上单调增加的连续函数 , g(x)
是正的连续函数 , 试证明函数
x
g(t) f (t)dt
F(x) a x
g(t)dt
a
在 a , b上单调增加
解 对于 x (a,b]
x
x
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第六章 定积分的应用一、应知应会1、 有向区间],[b a (b a <或b a >)。
2、 区间函数U 是一个区间函数(例如，位移是一个时间区间的函数，功是一个位移区间的函数等等)，我们记]),([b a U U =且满足以下条件：（1）U 具有可加性，即对],[b a c ∈∀有：]),([]),([]),([b c U c a U b a U +=；（2）当左端点确定时，]),([x a U 是一个右端点的函数，即]),([)(x a U x F =； （3）增量]),([]),([x a U x x a U U -∆+=∆]),([x x x U ∆+=。
3、元素法(1)若)()(]),([x x f x x x U i ∆+∆=∆+οξ，],[x x x i ∆+∈ξ。
当)(x f 连续时，有： ,)(dx x f dU =⎰==badx x f b a U U )(]),([。
读者分析一下即可看到，当],[)(b a c x f ∈时，]),([)(x a U x F =就是)(x f 的一个原函数，即)()('x f x F =。
(2)正确理解⎰ba dx x f )(在用元素法时，应首先建立适当的坐标系。
在微观世界中 ,)(dx x f dU =是一个以直代曲、以不变代变、以静代动的近似过程。
而宏观则是由 微观堆积而成的,⎰ba dx x f )(就是dxx f )(的叠加过程，其量纲是不变的。
另一方面我们也可以通过dx x f dU )(=建立微分方程。
4、几何应用 (1) 求面积①直角坐标系下，面积||||dx y A ba⎰=。
其中||y 是小条的高，||dx 是小条的宽，||||dx y dA =是小条的面积元，叠加起来就有：||||dx y A ba⎰=(b a <)。
②对于参数方程，dt t t A Tt |)()('|0⎰⋅=ψϕ。
这里⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，T t t ≤≤0，ψϕ,'连续，且b T a t ==)(,)(0ϕϕ(显然②是①转化为参数坐标系下的公式)。
③极坐标系下，⎰=βαθθd r A )(212。
小扇形面积元用圆中扇形面积近似代替即有：θθθd r r dA )()(21=。
④旋转体的侧面积为⎰⋅⋅=Lds y A π2。
我们知道，若水平线段c y =(b x a ≤≤)绕ox 轴旋转一周即得一圆柱面，其侧面积为)(2a b c -⋅⋅π。
若一曲线)(x y 绕ox 轴旋转一周而得到一圆柱面，其侧面积又如何呢？我们可以把曲线的弧微分ds 近似看成水平线段(以直代曲)，这样面积元为yds dA π2=，侧面积⎰⋅⋅=Lds y A π2，在把其化为定积分计算即可。
(2) 求体积①平行截面面积为)(x A (b x a ≤≤)的立 体体积为：⎰=badx x A V )(。
这里小片体积元为dx x A dA )(=，)(x A 是以不变代变。
②旋转体体积。
设连续曲线],[)(b a c x f ∈ 且0)(>x f ，所求立体为曲线)(x f 、直线a x =、b x =及x 轴所围的曲边梯形旋转一周所得，则：（a ）绕ox 轴旋转一周所的立体体积为：⎰=baox dx x f V )(2π。
圆片法：对点],[0b a x ∈ 线段)(0x f 绕ox 轴旋转一周成一圆片且其面积)()(020x f x A π=(以静代动)，所以dx x f dA )(2π=，由①知有(a)式。
（b ）绕oy 轴旋转一周所的立体体积为：⎰=baoy dx x xf V )(2π。
圆筒法：对],[0b a x ∈ 线段)(0x f 绕ox 轴旋转一周成一圆筒且其面积)(2)(000x f x x A π=(以静代动)，所 以dx x xf dV )(2π=，⎰=baoy dx x xf V )(2π。
(3) 求弧长弧微分为22)()(dy dx ds +=，设以下所碰到的函数均为可导且导函数连续，则有：（a ）直角坐标系下dx y ds 2'1+=，其中)(x f y =，0>dx ；（b ）对于参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，其弧微分为dt t t ds 22)(')('ψϕ+=，0>dt ； （c ）在极坐标系下：θd r r ds 22'+=，其中)(θr r =，0>θd 。
求弧长只需把弧微分堆积(做积分)起 来即可，⎰=BAds S 。
(5) 物理应用 ①变力做功设变力)(x f 的方向与位移dx 的方向平行，则dx x f dW )(=(以不变 代变)，⎰=badx x f W )(。
②液体压力设液体的密度为ρ，液体深为x ，则有帕斯卡定律有gx P ρ=，且ydx d =σ，压力元dx x gxy Pydx Pd dF )(ρσ===(两 次以不变代变)，压力⎰=Hdx x gxy F 0)(ρ。
③平均数公式：⎰-=b adx x f ab x f )(1)(。
(6)在极坐标下由βθα≤≤，)(0θr r ≤≤所围区域，绕极轴ρo 旋转所得立体的体 积为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω)(0220sin ϕβαπϕϕϕθr d r d d dV V⎰=βαϕϕϕπd r s i n )(323这里，实际上是将极轴ρo 视为oz 轴后，再用球坐标公式即得上式。
二、典型例题 Ⅰ、几何应用(ⅰ)、直角坐标系下求面积和体积。
例1）当a (40≤≤a )为何值时，两曲线)(32a x x y --=与)()4(a x x a y --=所围成的图形面积最大。
解：⎰----=adx a x x a a A 0)()]4(32[)(⎰-+=adx ax x a 02)()314(6976)314(433aa aa -=+= ⇒2703237)('32=⇒=-=a a a a A25327)27(,7964)4(,0)0(244≈⋅=≈==A A A ∴27=a 时面积最大。
例2）过抛物线2x y =上任意一点),(2a a 作切线，问a 为何值时，使切线与抛物线222++-=x x y 围成的面积最小。
解：切线方程：)(22a x a a y -=-⇒22a ax y -=，设与抛物线交点为21,x x 则：⎩⎨⎧++-=-=22222x x y a ax y ⇒ 02)22(22=---+a x a x ，⇒ a x x 2221-=+，2212a x x --=⋅；面积⎰+-++-=21)222(22x x dx a ax x x S21]23[2223xx x a ax x x x+-++-=))(1(3)(21223231x x a x x -----=))(2(122x x a -++∵122122124)()(x x x x x x -+=-⇒212)(x x -)2(4)22(22a a ----=)322(42+-=a a ⇒3222212+-=-a a x x))((12122122x x x x x x -+=-3222)22(2+--=a a a))((211222123231x x x x x x x x ++-=-]))[((1221212x x x x x x -+-= 22)22[(3222a a a -⋅+-= )]2(2a ---)685(322222+-⋅+-=a a a a∴ 232)322(34)(+-=a a a S设322)(2+-=a a a f ，则24)('-=a a f 所以21=a ，由于04)(''>=a f ，故有最小值25)21(=f 。
因此，当21=a 时，面积最小为23)25(34)(=a S 。
（或者由于)(a f 为向上开口的抛物线，故当212=-=ab x 时取得最小值。
）例3）已知曲线)(x f y =单增，试找出一点),(h a a +∈ξ使该两边阴影部分的面积相等。
如果设x e x f =)(使h a θξ+=，求θ 及θ0lim →h （10<<θ）。
解：由题意有：⎰⎰-=-badxx f b f dx a f x f ξξ)]()([)]()([⇒))(())(()(a a f b b f dx x f ba-+-=⎰ξξξ)]()([)()(b f a f a af b bf -+-=⇒)()()()()(b f a f a af b bf dx x f ba-+-=⎰ξ将h a h a b θξ+=+=,代入后有：=+h a θ)()()()()()(h a f a f a af h a f h a dx x f ha a+-+++-⎰+⇒ )]()([)()(h a f a f h h a hf dx x f ha a+-+-=⎰+θ将x e x f =)(代入有：)(ha aha aha e e h hee e+++---=θ∴)(limlim 0ha aha aha h h ee h hee e+++→→---=θ=212lim10=--+→hheeha h a例4）设)(),(x g x f 可微且)()('x g x f =，0)(,0)0(),()('≠==x g f x f x g 。
求：(1))()()(x g x f x F =；(2)做出)(x F y =的图形；(3)计算)(x F y =，1=y 及0=x ，b x =所围图形的面积。
解：(1))()(')()()(')('2x g x g x f x g x f x F -=)(1)()()(2222x F x g x f x g -=-=解微分方程1)(1)('2=-x F x F 可得：c x x F x F +=-+)(1)(1ln21，0)0(=F 得0=c ，∴xex F x F 2)(1)(1=-+⇒121)(2+-=xex F(2)由)(0)1(4)('222x F e ex F xx ⇒>+=单增故无极值。
由0)1()1(8)(''3222=+-=xxx e e e x F得：0=x ，且当0>x 时0)(''<x F ，故图形上凸；当0<x 时0)(''>x F ，故图形下凸；点)0,0(是拐点。
1)(=+∞F ，)(-∞F =1-，故1±=y 为两条水平渐近线。
综合上述对图形的描述，即做出)(x F y =的图 形(图形略)。