考研定积分详解
例6. 设
解法1:
f (x )
3
1 f (e ) 3
解法2: 对已知等式两边求导, 得
f (e ) f ( u) d u f (1)
1
e
e 1
f ( u)d u f (e ) f (1)
1 0
x dx
12
p
例2. 用定积分表示极限:
n 1 i i 1 解: 原式 lim sin(π ) lim sin(π ) n n n n i 1 n n i 1
n 1
1 0
sinπ x d x
o
1 n
2 n
n 1 n
1
x
1 n 1 iπ π 1 1 n n i i π 1π 1 π ( sin ) f sin 另解 : 原式 lim f sin x d x lim ( x )d x f ( xlim ) C [0,1] 定理： n π n n n in n 0n π 0 n i 1 1 i 1 n 1 1 n i 1 f ( x )d x f( ) 或者 lim π ( n1) π π x n n o n 2π 0 i 1 n n n
0
7
b
4.定积分的性质 (性质中涉及到的定积分均存在) (1) 线性性： [k1 f ( x) k2g( x)]dx k1 f ( x)dx k2 g( x )dx
(2) 可加性： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (3) (4) 若 f ( x ) g( x ), 则 f ( x )dx g( x )dx . (a b)
曲边梯形的面积;
2) 当f ( x ) 0时， f ( x )dx A 曲边梯形面积的负值;
y
y f ( x)
A
o a
y a o b x
b
A y f ( x)
y
y f ( x)
x
a
A1
O
A3
A2
b
x
3)当f ( x )在[a, b]上有正有负时,
面积的代数和.
b
b
a
f ( x )dx 表示各部分
13
例3. 求
(1998考研)
解: 将数列适当放大和缩小,以简化成积分和形式
n n kπ 1 sin n 1 k 1 n n
n
sin knπ 1 k 1 n k
n
kπ 1 sin n n k 1
n lim 1 n n 1
n
已知
1 kπ 1 2 lim sin sinπ x d x , 0 n n n π k 1
n
b f ( x )d x lim f ( ) x i i f ( x )d x A2 A 即 a 0 A 1 3 i 1 a
6
b
a
f ( x )dx 的几何意义： 它是介于x轴,函数f ( x )的图形及两条
直线x a, x b 之间的各部分面积的代数和. 且x轴上方的
F ( 3)
3 0
f ( t )dt
0
3
1 3 f ( t )dt ( ) 8 2 8
F (3) F (3) ！
F (2) F ( 2)？
16
d x 2 2 A tf ( x t ) d t ____ . f ( x ) 连续，则 例5. 设 0 dx ( A) xf ( x 2 ); ( B) xf ( x 2 ); (C )2 xf ( x 2 ); ( D) 2 xf ( x 2 ).
b
a
f ( x )dx f ( t )dt f ( u)du
a
b
b
a
(4)当 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时,称f ( x)在[a, b]上可积.
否则称 f ( x)在区间[a, b]上不可积. (5) 曲边梯形面积 A lim f ( i )xi
0 i 1
f ( x )在区间[a, b]上可积.
定理3. 设函数f ( x )在[a, b]上只有有限个第一类间断点,
f ( x )在区间[a, b]上可积.
故改变积分区间内有限个点处的函数值,不影响积分值.
5
3.定积分的几何意义
1) 当f ( x ) 0时， f ( x)dx A
a b a
b
d f ( x )dx f ( x ) dx
d x f ( x )dx f ( x ) dx a
b a
f ( x )dx f ( x )dx C
a
x
f ( x )dx f ( x )dx a a
x
a
b
f ( x )dx lim
一个确定的 常数
10
一个确定的 常数
无数个函 数
一个函数
b
a
f ( x )dx与 f ( x )dx； f ( x )dx , a f ( x )dx的联系：
a
b
x
a
f ( x )dx f ( x )dx a
b
d b f ( x )dx 0 dx a
2 利用夹逼准则可知 I . π
n n 1 1 1 1 k 1 n 1 k 1 n k k 1 n
14
n
例4. 如图连续函数 y f ( x )在区间[3, 2],[2, 3]上的图像 ,在区间 [2, 0],[0, 2]上的 分别是直径为1 的上、下半圆周 1 则下列结论正确的是（C ） 5 3 B. F (3) F (2) A. F (3) F ( 2) 4 4 5 3 D. F ( 3) F ( 2) C. F ( 3) F (2) 4 4 图形分别是直径为 2 的下、上半圆周,设F ( x ) f (t )dt
0 x
3 F (3) F ( 3) 8
F (2) F ( 2)
2
15
F ( x ) f ( t )dt
0
x
F (2) f ( t )dt 0 2
2
F (3)，F (2)，F ( 3)，F ( 2) ？ 3 1 3 F (3) f (t )dt 0 2 8 8
a
x
6.以下几个符号的区别与联系
b
f ( x )dx
b a
f ( x )dx
x
x a
f ( x )dx
a
f ( x )dx
1)以上几个符号存在的条件及概念.
2)在存在的情况下,它们的区别与联系.
a
f ( x )dx与
f ( x )dx;
a
f ( x )dx ,
a
f ( x )dx 的区别：
定理： f ( x ) C[0,1] 或者
1 n i 1 lim f ( ) n n n i 1
f ( x )dx
0
p p
1 n i lim f ( ) n n n i 1
1
p
1
0
f ( x )dx
1 2 n 例1. 用定积分表示极限: lim n n p 1 p p p n 1 1 2 n i p 解: lim lim p 1 n n n n n i 1
x
x
x a
f (t )dt
b
a
f ( x )dx lim f (t )dt
x b a
(b瑕点)
11
二、与概念有关的问题
☆定积分定义
O
i 1 n
b a
f ( x )dx lim f ( i )x i
0
i 1
n
ab
i n
1
x
1 i xi , 取 i . n n
解: 令x t u, tdt du,
2 2
1
2
x
0
tf ( x 2 t 2 )dt
0 x2
1 1 x f ( u) ( )du 0 f ( u)du, 2 2
2
x2 d x d 1 2 2 故 tf ( x t )dt f ( u)du dx 0 dx 2 0 1 f ( x 2 ) 2 x xf ( x 2 ). 2 d x 100 100 sin ( x t ) d t ________ sin x 练习： 求 0 dx
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
注意： (1)
b
a
定与不定的区别？ f ( x )dx与 f ( x )dx的区别：
b
a
f ( x )dx是一个确定的常数.
f ( x )dx是fΒιβλιοθήκη ( x )的所有原函数.3
与 i 的取法无关. (2)定积分与区间的分割方法无关， 而与积分变量 (3)积分值仅与被积函数及积分区间有关， 使用什么字母表示无关.即
面积取正号；在x轴下方的面积取负号.
y
y f ( x)
a
A1
A3 A2 O A4
2 3 4 5
考研定积分知识点总结
一、定积分的定义和性质1. 定积分的概念定积分是微积分学中的重要概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的操作。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则我们可以通过定积分的形式来求解函数f(x)在区间[a,b]上的积分值，即∫(a to b) f(x)dx。
这里，∫表示积分符号，a和b分别表示区间的起点和终点，f(x)表示要求解的函数，dx表示积分变量，并代表着在区间[a,b]上x的变化范围。
因此，定积分的求解可以看做是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。
2. 定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在定积分的求解中起着重要的作用。
主要的性质包括线性性、可加性、积性、保号性、保序性等。
具体来说，线性性指的是定积分的线性组合仍然可以进行积分求解；可加性指的是如果一个区间可以分解成若干个子区间，那么对应的积分值也可以进行求和；积性指的是如果一个函数是另一个函数的乘积，那么对应的积分值也可以进行相乘；保号性指的是如果函数在区间上恒大于等于零（小于等于零），那么对应的积分值也恒大于等于零（小于等于零）；保序性指的是如果函数在区间上恒大于等于另一个函数（小于等于另一个函数），那么对应的积分值也恒大于等于（小于等于）另一个函数在相同区间上的积分值。
这些性质在定积分的具体求解中是非常有用的，可以帮助我们简化求解的过程，提高计算的效率。
二、定积分的计算1. 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括定积分的定义法、不定积分法、分部积分法、换元积分法和定积分的几何意义。
其中，定积分的定义法是直接根据定积分的定义进行求解；不定积分法是将定积分转化成不定积分，通过求解不定积分再将得到的结果代入原来的定积分式中，从而得到最终的定积分值；分部积分法是将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式对各项进行积分求解；换元积分法是通过变量代换的方法将被积函数进行转化，然后再进行积分求解；定积分的几何意义则是利用定积分代表曲线下面积的特性来进行求解。
考研数学定积分的应用
考研数学定积分的应用一、引言数学定积分是高等数学中的重要概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从几个具体的应用案例入手，探讨考研数学定积分的应用。
二、面积计算数学定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，在工程测量中，我们经常需要计算某个区域的面积，如果该区域的边界曲线可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
通过将曲线分割成无穷多个微小的矩形，计算每个矩形的面积并进行累加，最终得到所需的面积。
三、物体体积计算除了计算面积，数学定积分还可以用于计算物体的体积。
在工程设计中，经常需要计算复杂形状物体的体积，例如水库的容量、建筑物的体积等。
如果物体的截面可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。
同样地，将截面分割成无穷多个微小的面元，计算每个面元的体积并进行累加，最终得到所需的体积。
四、质心计算质心是物体在空间中的重心，对于复杂形状的物体，质心的计算可以通过数学定积分来实现。
首先，将物体分割成无穷多个微小的体积元，计算每个体积元的质量并与其质心坐标乘积，然后进行累加，最后将总质量除以总体积，即可得到质心的坐标。
五、弯曲杆件的弯矩计算在工程力学中，常常需要计算弯曲杆件的弯矩分布，以确定结构的稳定性和安全性。
通过数学定积分，可以将杆件分割成无穷多个微小的弯曲段，计算每个弯曲段的弯矩，并进行累加，最终得到整个杆件的弯矩分布。
六、概率密度函数计算概率密度函数是概率论与数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的概率分布。
数学定积分可以用于计算概率密度函数的各种性质，例如求解期望值、方差以及其他统计指标。
通过对概率密度函数进行定积分，可以得到具体的数值，从而进行概率分析和决策。
七、总结本文简要介绍了考研数学定积分的几个应用，包括面积计算、物体体积计算、质心计算、弯曲杆件的弯矩计算以及概率密度函数的计算。
这些应用充分展示了数学定积分在实际生活和工程领域中的重要性和广泛应用。
通过学习和掌握数学定积分的应用技巧，可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决能力。
考研数学第六讲定积分的应用
第六讲 定积分的应用一、基础知识几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。
()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。
由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。
()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21= ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为 []dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为 []dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+= 弧长为 []⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有 ⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 曲率圆二、例题1．平面图形的面积与旋转体的体积例 1. 已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =例2.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何)(x f0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 例5.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:522161518755V π=⋅= 例6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 例7.（15-2） 设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π例8.(09-3-10 分)设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >，已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。
考研数学高数公式：定积分
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！考研数学高数公式：定积分第五章：定积分学习要求:1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理2.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。
3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
4.了解广义积分的概念，并会计算广义积分。
5.掌握反常积分运算。
定积分的基本公式和定理1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。
加油！。
考研数学定积分物理应用公式
考研数学定积分物理应用公式？
答：考研数学定积分物理应用公式包括：
1. 变力做功：∫(从a到b) F(x) dx，其中F(x)是变力，a和b分别是初位置和末位置。
2. 质心公式：∫(从a到b) xρ(x) dx / ∫(从a到
b) ρ(x) dx，其中ρ(x)是线密度，用于求细棒的质量中心。
3. 引力公式：∫(从a到b) km1m2/r^2 dr，用于求两质点间的引力，其中k是引力常数，m1和m2是两质点的质量，r是两质点间的距离。
4. 压力公式：P = pA，其中p是压强，A是面积。
5. 液体静压力：∫(从h1到h2) ρgh dA，其中ρ是液体密度，g是重力加速度，h是液体深度，dA是水平面积微元。
6. 旋转体体积：∫(从a到b) π[f(x)]^2 dx，其中f(x)是旋转曲线的函数表达式。
7. 液体对侧壁的压力：∫(从a到b) 2πxlρg dx，其中l是液体高度，ρ是液体密度，g是重力加速度。
8. 物体在液体中所受的浮力：∫(从a到b) ρVg dx，其中ρ是液体密度，V是物体体积，g是重力加速度。
9. 物体绕定轴旋转的转动惯量：∫(从a到b) r^2 dm，其中r是物体上各点到转轴的距离，dm是物体上的质量微元。
10. 细棒对过端点且与棒垂直的轴的转动惯量：∫(从0到l) (1/3)ml^2 dx = (1/3)ml^2。
以上是考研数学定积分物理应用的一些常见公式。
希望这些信息对您有帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。
考研数学强化班讲义-微积分第4讲(学员版)定积分应用综合
（6） 旋转体的侧面积
直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 x 轴旋转生成的旋转体
∫ 的侧面积为
A = 2π
b
f (x)
1 + [ f ′(x)]2 dx 。
a
参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转生成的
∫ 旋转体的侧面积为
∫ 绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）Vx
=
bπ
a
f 2 (x)dx 。
∫ 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法）Vy
=
b 2xπ
a
f (x)dx 。
（5）平面光滑曲线的弧长
直 角 坐 标 系 中 的 光 滑 曲 线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 的 弧 长 为
∫ l = b 1+ [ f ′(x)]2 dx 。 a
设区域的边界由曲线 L :
⎧ x = x(t)
⎨ ⎩
y
=
y(t)
(α ≤ t ≤ β ) 确定, 其中
∫ x(t), y(t) 连续可导, y(t) ≥ 0 , 则区域的面积为 A = β y(t)x′(t)dt 。 α
（3） 极坐标系下区域的面积
设 区 域 D 为 D = {(x, y) x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, α ≤ ϕ ≤ β , 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)} ，
D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
∫ 的面积为 A = b [g(x) − f (x)]dx 。 a ∫b
注：若连续函数 f (x) 在区间[a, b] 上变号，则 A = f (x)dx 表示正负面 a 积的代数和，有时称为代数面积。 （2） 参数方程下区域的面积
定积分 考研真题
定积分考研真题定积分（Definite Integral）是微积分中的重要概念之一，其在数学研究和实际应用中都具有广泛的意义。
本文将围绕考研真题展开讨论，并重点介绍定积分的定义、性质及相关定理。
1. 定积分的定义考虑函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分问题。
我们将[a, b]等分为n个小区间，长度为Δx。
则每个小区间上的函数值分别为f(xi)，其中xi为该区间内的某一点。
将每个小区间上的函数值乘以小区间的长度Δx，得到面积的近似值。
当Δx趋近于0时，所得到的近似值逼近于曲线下的真实面积。
对于函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，可以用极限的方式表示为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，∫代表积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示x的微元素，分隔符号|用于表示积分区间的起点和终点。
2. 定积分的性质（1）线性性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，以及常数a、b，有以下性质成立：∫[a,b] (a·f(x) + b·g(x))dx = a · ∫[a,b] f(x)dx + b · ∫[a,b] g(x)dx（2）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, c]上的定积分，其中a ≤c ≤ b，有以下性质成立：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）保号性：若在闭区间[a, b]上，有f(x) ≤ g(x)成立，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx3. 定积分的计算方法（1）换元法：当被积函数中存在复杂的乘积或复合函数形式时，可以通过变量代换的方法简化计算。
例如，将∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx转化为∫[α,β] f(u)du，其中u=g(x)，du=g'(x)dx。
2021考研高等数学重点公式详解-定积分及其应用
f 此时也称反常积分J:J(x灿收敛，否则称反常积分 J(x讪发散
J: 3）设函数 f(x） 在［a，小 （c,b］ 上连续，出 f(x) =oo，如果反常积分 J(x'ylx 和
I: J: f(x灿都收敛，则称f:J＜抽＋ f（树为函数／（x）刮风b］ 上的反常积分，即
＝ (3）曲线方程为极坐标方程r =r（θ），α豆θ β，则
J:2 S倒 ＝ 矿（O)sin o.Jr2 （的＋r'2
4.平丽曲线的弧长 〈数学－，二〉
r: F+λ (1）曲线方程 y = f(x) , aSxSb ，则S=
ι°？ d
(2）曲线方程 x=x(y), c 豆 y!::d ，则s= L
dx.
r 2）类似地，设函数f(x） 定义在（咽，b］上连续，取 t<b ，如果但 f(x讪存在，则
称此极限为函数f(x） 在（-oo,b］上的反常积分，即
f （！（抽 . ＝ 坐立 1c抽1
（ （ 此时也称反常积分 f(x灿收敛，否则称反常积分 f(x)dx发散
i- （ 叫函数／（机义在（-oo,+oo）上连续，如果反常积分 f（树和 f(x)dx都收敛，
豆豆？一一一 称为函数 f(x） 在区间 ［a,b］上的平均值． a
性服6如果 f(x） 为奇函数时，汇／（柏＝0;
如果f（均为奇函数时，巳 f（对此＝ 2J:f(x）耐
性质7如果f(x） 是以T为周期的周期函数，则有
J: T
r /(X）命＝ f(x)dx.
nT
r f(x）由＝nJ: /(x)
三、积分上限函数 (1）积分上限函数定义
I 则有 J:1＜抽 ＝
高数考研基础班第五章 定积分
b−a 解 [ 理 为f ( x)在 a, b]上 平 值. 的 均
= f (ξ )
因 故它是有限个数的平均值概念的推广. 故它是有限个数的平均值概念的推广
1 n = lim ∑ f (ξi ) n→∞ n i =1
9
5.积分上限函数 积分上限函数
Φ( x) = ∫ f (t)dt
a
x a
x
认识它吗？ 认识它吗？
x
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a a
x
+ lim
x →b
x →+∞
∫
x
x a
f ( t )dt
∫
b
a
f ( x )dx = lim− ∫ f ( t )dt
a
(b瑕点)
11
二、与概念有关的问题
定积分定义 ☆定积分定义
O
∫
b a
0 x
则下列结论正确的是（ 则下列结论正确的是（C ） 5 3 B. F (3) = F (2) A. F (3) = − F ( − 2) 4 4 5 3 D. F (−3) = − F (−2) C. F ( − 3) = F (2) 4 4
3 F (3) = F ( − 3) = π 8
F (2) = F ( −2) =
λ → 0 i =1
n
∫
b
a
f ( x)dx.
T2
1
4
变速直线运动的路程
s = lim
∑ v (τ i ) ∆ t i = ∫T λ→0
i =1
n
v(t )dt.
2.存在定理 存在定理
定理的证明省略,只要求记住结论 定理的证明省略 只要求记住结论. 只要求记住结论
考研高等数学重要知识点解析 定积分的应用
考研高等数学重要知识点解析:定积分的应用考研在即，已剩不到50天，考研复习将进入冲刺阶段。
考生基本已经对高数的总体有了了解，也许对很多考点还只是大致的复习，没有深入，这个不要紧，太奇考研辅导老师在此帮助考生分析一下定积分的应用命题规律，针对定积分的应用进行一下深度解析。
定积分的应用主要是以微元法为基础，而微元法又是以定积分的定义为基础。
所以，分割、近似、求和、取极限是计算一些几何量和物理量的指导思想。
定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，可以以客观题的形式出现，也可以在解答题中出现，并且经常与其它知识点综合起来考察，比如与极限、导数、微分中值定理、极值等知识点综合在一起出题。
在这部分需要重点掌握用微元法计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等。
而对于数三只要求会计算平面图形的面积和旋转体的体积就可以了。
其中求旋转体的体积以及微积分的几何应用与最值问题相结合构成的应用题是重点常考题型，广大考生应该予以充分的重视。
对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。
在历年考研[微博]真题中，有大量的题是利用微元法来获得方程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一;但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。
在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常见类型：2.薄饼型通过以上三个例子谈了一下了对微元法特点的一点认识。
这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。
凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、X鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、X释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。