6.3 双线性变换法
DSP6-2
s=K
1− z −1 1+ z −1
K +s z= K −s
其中K(或者 为常数 其中 或者C)为常数 ， 可根据设计要 或者 为常数， 求选取。 求选取。 由于从S→Z 和从 和从Z→S 的映射规则都是分 由于从 式线性变换，因此称其为双线性变换。 式线性变换，因此称其为双线性变换。 双线性变换完成S平面和 平面的单值映射 双线性变换完成 平面和Z平面的单值映射，这种映 平面和 平面的单值映射， 射是简单的代数关系， 射是简单的代数关系，因此用双线性变换法可以方便地 设计数字滤波器。注意， 设计数字滤波器。注意，它同冲激响应不变法和阶跃响 应不变法映射关系的区别。 应不变法映射关系的区别。
1−z−1 s=2 −1 1+z
0.0007378(1+ z−1)6 = (1−1.268z−1 + 0.7051z−2 )(1−1.010z−1 + 0.358z−2 ) 1 1− 0.9044z−1 + 0.2155z−2
例题二
用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
例题二
用冲激响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性
例题二
(2) 用双线性变换法设计数字低通 滤波器。 滤波器。 ① 数字低通技术指标仍为 ωp=0.2π,αp=1dB; dB; ωs=0.3π,αs=15dB ② 模拟低通的技术指标为 T=1s, p=0.2πrad/s,αp=1dB; s=0.3πrad/s,αs=15dB
例题一
(4)利用双线性变换公式，得到数字滤波器系统函数H(z) 利用双线性变换公式，得到数字滤波器系统函数H(z)
H(z) = Ha (s) s= 2 −1+z
T 1+z
双线性变换法
第一步，将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟
滤波器的频率指标{wk} wk 2tan(Wk )
T2 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s) 第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
2、双线性变换法的设计方法
w 2 tan(W)
T2
设计模拟
双线性变换
Wp,Ws
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满
足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与
脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
w p , w s Ap=0.3945dB As= 15.0000dB
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
[,]
[πT/,πT/]
w' p/T
w
p/T
Ww'T
W
模拟频率与数字 频率的关系为：
w 2 tan(W)
T2
W2arctan(wT)
2
1、双线性变换法的基本原理
s域到z域的映射关系
w
2
W
tan( )
T2
jw
j2 T
tanW( )
2
j2 T
sinW( )
2
计算双线性变换的简便算法
计算双线性变换的简便算法
双线性变换是一种简单而有效的图像缩放技术，它在许多领域中都得到了应用，已被广泛用于图像处理，模拟技术，多媒体等。
它的基本原理就是，在将一幅图像的尺寸缩放时，维持图像中每一个像素点的相对位置不变，以保持图像整体的结构稳定。
双线性变换是采用四点插值方法来进行双线性插值，原图像上的所有像素点都
会被拆分成四个小一点，称为方块点（标杆点），每个标杆点背后的灰度值就是要插值的结果。
在做双线性变换插值时，将被放大的图像上的每一点像素都向它背后的四个标杆点中选取四个像素值，然后用它们的灰度值的加权平均值（居中插值）来得到新像素的颜色值。
由于此算法比较简便，效率也比较高，它比双三次插值计算速度更快，为了满
足多媒体应用的要求，双线性变换算法主要应用在视频处理，它可以精确缩放图像，从而更好地节省计算资源，帮助提高多媒体应用的性能和用户体验。
双线性变换算法是一种高效而可靠的图像处理和数据建模技术，可实现图像的
精准缩放处理，节省空间和计算资源，优化用户体验。
这种技术作为一种图像处理算法，目前已经得到广泛的应用，能有效满足移动互联网的多媒体要求，进一步拓展活跃用户流量，增强用户留存和提升营销成效。
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
06 IIR(3) _ 双线性变换法(New)
(a)
Amplitude
Time
Frequency
回顾
2/68
脉冲响应不变法 优点： 时域逼近。使数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤 波器的单位冲激响应，即时域逼近良好。 线性频率关系： 模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。 缺点： 混叠失真效应。 因此，只适用于限带的模拟滤波器（例如衰减特性很好的 低通或带通滤波器），而且高频衰减越快，混叠效应越小； 而对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减， 因此会产生混叠现象。
21/68
具体实现的二种方法：
① 先将Ha(s)分解成并联或级联形式，再分别采用双线性变换。
H a ( s ) H a1 ( s ) H a2 ( s ) H am ( s )
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H m ( z )
3 数字化方法
双 线 性 变 换 法
H ( z ) H a ( s) |
ak z k bk z k
k 0 k 0 N N
2 1 z 1 s T 1 z 1
a0 a1 z 1 a2 z 2 a N z N 1 b1 z 1 b2 z 2 bN z N
17/68
即某一频率段的幅频响应近似于某一常数。
A. 分段常数型AF经变换后，仍为分段常数型DF。 B. 分段边缘的临界频率点从AF转换到DF时，对应关系产 生畸变。—— 预畸变。
2 存在的问题
双 线 性 变 换 法
预畸变
18/68
将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性
变换后正好映射到所需要的频率上。 利用关系式：
[B,A]=butter(N, Wc, 's');
双线性变换法
双线性变换法双线性变换法(bilinear transofrmation method)是一种通过变换以分析和解决非线性系统的复杂方法。
它最初由Collins，Mitroff和Zinnes提出，其主要特点是将非线性系统转化为线性系统来进行分析。
它把一个非线性系统映射到一个线性系统可以使一些复杂的非线性图像变成简单的线性图像，从而形成简单的表达式来解决复杂的问题。
一、双线性变换法定义双线性变换法是指通过线性常数和相关系数，将一维和多维数据变换为更简单的线性形式，以模拟复杂的非线性系统的运算的一种变换方法。
二、双线性变换法的应用（1）控制论领域。
双线性变换可以将复杂的非线性系统转变为简单的线性系统，使得这些复杂的系统容易控制。
（2）视觉领域。
双线性变换可以解决计算机视觉中的误差传播问题，将非线性的图像识别问题转变为简单的线性问题来处理；另外，在图像处理领域用双线性变换可以实现图像的变换，从而实现复杂的图像变换；（3）机器学习领域。
双线性变换可以将非线性的机器学习问题变换为线性的问题，让算法可以更加简单有效地解决复杂的机器学习问题。
三、双线性变换法的局限性（1）双线性变换法还有一些困难。
例如，当非线性系统出现很多两个变量或多个变量间有联系时，双线性变换也会受到很大影响。
（2）双线性变换法也会遇到数值不稳定的问题，在遇到非线性系统的情况下，很多变量的变化对结果的影响会变得很大，因此会产生数值不稳定的现象。
（3）双线性变换只是一种模拟，它并不能完全模拟出非线性系统的真实行为，因此很多时候双线性变换的结果可能不太准确。
双线性变换法是一种实用性很强的方法，它可以帮助我们更准确地分析和解决非线性系统问题，它也应用于控制论、视觉和机器学习等领域，但由于它有一些限制，如数值不稳定性和无法完全模拟非线性系统，因此我们需要更加谨慎地运用双线性变换法来真正发挥它的优势。
双线性变换法公式
双线性变换法（Bilinear Interpolation）是在图像处理中常用的一种插值方法。
公式如下：
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值，f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。
双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。
它通过对图像进行缩放或旋转时，对于输出图像中缺失的像素点进行插值，来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
双线性变换法是一种非常高效的插值方法，其计算量与像素点数量无关。
另外，它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。
它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。
双线性变换法是一种双线性插值法，它基于线性插值法，通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。
其优点是插值效果好，像素质量高，图像变形较小。
双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。
它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像，并且在视频处理中也有着广泛的应用。
双线性变换法原理的解释
s=
2 T
1 - z- 1 1 + z- 1
(5)
则可以直接从 H i (s) 得到对应的 H i (z )。
114 高阶连续时间系统的离散实现
由于一阶环节是高阶连续时间系统的最基本环
节, 若每个一阶环节都用式 (5) 进行了离散化, 则整
个系统都被离散化了。
至此 , 用双线性变换公式 (5) 设计数字滤波器
图 1 连续系统一阶环节
112 积分的数值计算与离散一阶系统
一次积分运算可以用梯形法作数值计算, 即
∫nT
y -∞
∫ ∫ (n- 1) T
nT
x (Σ) dΣ+
x (Σ) dΣ=
-∞
(n- 1) T
∫nT
y [ (n - 1) T ] +
x (Σ) dΣ
(n- 1) T
的原理就比较清晰了。
2 结束语
对于双线性变换法的原理还有其他一些重要的 概念需作介绍和讨论, 如连续时间角频率和离散时 间角频率之间的映射关系等, 一般在现有教材中均 有介绍, 此处不再叙述。
1 双线性变换原理的介绍
111 连续时间系统 H (s) 的最基本环节 连续时间系统 H (s) 的极点有两种情况: 单重节
点和多重节点。 但是一个多重极点环节可以看成由 多个单重极点环节级联构成, 例如对二重极点有
收稿日期: 2003- 11- 24; 修回日期: 2004- 01- 20 作者简介: 丁志中 (1961- ) , 男, 安徽省芜湖人, 硕士, 讲师, 主要从事信号分析与处理、通信等方面的教学与研究。
0 引言
随着M A TLAB 应用的普及, 本科生学习和掌 握数字滤波器设计的原理和方法已经逐渐成为广泛 的需求。 但是离散时间信号和系统的内容理论性较 强, 概念较抽象, 同时初学者对信号与系统中的许多 问题理解还不是很深入, 因此如何将数字滤波器设 计中一些问题的物理概念阐述得简单而清晰一些, 对于该部分内容的教学就显得更为重要。
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2、 反归一化。即以 带入上式，得到反归一化 后的高通滤波器的传输函数H(s)。
12
3、双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。
8
③ 查表得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数。
H a (s) 1 ( s 1)( s s 1)
2
④ 求 3 dB 截止频率 c 。
c 0.588148
反归一化得：
H ( s) H a ( s / c ) 0.203451 ( s 0.588148)( s 0.588148s 0.345918)
s
p
16
3、 N
lg k sp lg sp
1 . 99
∴ 取N＝2
17
③ 查表得N=2时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数
H aL ( p) 1 p 1.4142 p 1
2
④ 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)
H ( z ) H aL ( p) p
s
2 1 z T 1 z
1 1
s s
三、双线性变换的频率对应关系
双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了 模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即： 2
tg ( )
可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关 系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这
脉冲响应不变法的映射过程图示
2
2、双线性变换法的改进： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面 的映射。
① 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 T ， ； T ② 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。
双线性变换的映射过程图示
3
3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。
2 1 z
c
1
T 1 z 1
是低通还是 高通的？
p
s c
;
1 p
c s
;s
1 1
1 z 1 z
1 1
最终： p c
1 z 1 z
18
典型例题
带通滤波器的幅度响应与相位响应
19
T
2
是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为 均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随 频率增加越来越密。
双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然 是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。
6
四、频率预畸变
为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟 低通滤波器系统函数之前必须按式 进行
2
9
⑤ 用双线性变换式求得H(z) 。 H ( z ) H ( s) 1 z 1
s
0.0662272(1 z ) (1 0.259328 z )(1 0.6762858 z
1 1
1 z
1
1 3
0.3917468 z
2
)
滤 波 器 的 幅 度 响 应 与 相 位 响 应
，
二、“双线性变换法”设计方法
① 通过正切变换： 将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的 ② 通过Z变换： 内。
将Ω 1映射到Z平面的单位圆上。
③ 将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面 的映射关系：
4
④ 将S1平面按 z e
s1T
映射到Z平面得到：
2 或 z T 2 T
5
13
• 典型例题
例1：设计一个 3 阶巴特沃斯型数字高通滤波器 ，3dB数字截频为0.2π弧度，求该滤波器的系统 函数。
解：
① 3阶巴特沃斯型归一化模拟低通原型的系统函数为：
注意：这里是 模拟低通的， 应该是多少？
去归一化得到低通系统
函数： H aL ( s ) H aL ( p ) p
s c
解：
① 频率预畸变求模拟低通的截频 c和阻带下边频 s p
p tg 3.0779(rad/s)
s tg
s
2
2
12.7062(rad/s)
② 确定低通滤波器的阶次 N
16
1、 k sp
10 10
0 . 1
p
1 1
0 . 1 s
0 . 00397
2、 sp
§6.4 设计IIR滤波器的双线性变换法
设计思想 设计方法 频率预畸变 典型例题
1
一、设计思想
1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域 的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响 应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来 设计高通和带阻滤波器。
原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系
10
§6.5 设计IIR数字滤波器的频率变换法
又称为
•
“模拟域频率变换法 频率变换的两种基本方法 ” 法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率 变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换， 由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。
又称为
“数字域频率变换法 ” 法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成 数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类 型的数字滤波器。
14
由低通到高通的频率转 H aH ( s ) H aL ( ) s 用双线性变换法得到数 H ( z ) H aH ( s ) | s 1
换关系得到模拟高通：
字高通： 2 1 z
1 1
T 1 z
15
例2：设计一个巴特沃斯型数字高通滤波器，通带截止频 率 p 0.2π弧度，衰减3dB。阻带下边频 ＝0.05π弧 s 度，阻带衰减 As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。
频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原 型Ha(s) 确定 函数： ；最后求得数字系统
7
典型例题
例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通 滤波器
设计参数：通带数字截止频率 p 0.25 ，通带内最大 衰减 Ap 0.5dB，阻带数字截止率 s 0.55 ，阻带内 最小衰减 As 15dB。 解：① 进行频率预畸变，求 p、 s 。
p 2 T 2 tg (
p
用脉冲响应不 ) tg0.125 0.4142136 变法怎么设计？
s
tg (
s
2
2
) tg0.275 1.1708496
T
② 确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。
N lg( k sp ) lg( sp ) 2.66
∴ 取滤波器阶次 N = 3