(完整word版)双线性变换法

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数字信号处理第六章6 双线性变换法

数字信号处理第六章6 双线性变换法

1)线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2)要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型,不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器,但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
2012-10-11
1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2

e e
2 s1T 2
e e

s1T 2

s1T 2
e

s1 T 2
e

1 e 1 e
s1T s1T

1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
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为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ,则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器,经双线性 变换后,即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
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数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系,引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
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数字信号处理
2、变换常数c的选择
1)低频处有较确切的对应关系:
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T

双线性变换法

双线性变换法

H ( z) H (s)
双线性变换法
s
2 1 z 1 T 1 z 1
双线性变换法设计DF的步骤
w tan( ) 2 w ,w Wp,Ws T p s
2
W
设计模拟 滤波器
H(s)
双线性变换
H(z)
利用MATLAB [numd,dend] = bilinear(num,den,Fs)
T
W
H(e )
jW
Wp
双线性变换法
Ws
W
双线性变换法的基本原理
双线性变换法的优缺点 优点:无混叠 缺点:幅度响应不是常数时会产生幅度失真
双线性变换法
双线性变换法设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为 模拟滤波器的频率指标{wk} Wk 2 w k tan( ) T 2 2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。 3. 利用双线性变换法,将H(s)转换H(z)。
1
例: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指 标Wp=p/3,Ap=3dB,N=1的数字低通滤波器,并与 脉冲响应不变法设计的DF比较。
解:设双线性变换中的参数为T
(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 1 H (s) sT 1 2 tan( W p / 2 ) 2 1 z 1 s T 1 z 1 tan(W p / 2)(1 z 1 ) 0.366 0.366z 1 H ( z) 1 1 0.2697z 1 1 tan(W p / 2) (tan( W p / 2) 1) z 结论:参数T的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见,一般取T=2
3dB
Amplitude
脉冲响应不变法 脉冲响应不变法存在频 谱混叠,所设计的DF不满 足给定指标。而双线性变 换法不存在频谱混叠,所 设计的DF满足给定指标。

06 IIR(3) _ 双线性变换法

06  IIR(3) _ 双线性变换法

s 2π 12 103 sp 2 3 p 2π 6 10
lg17.794 N 4.15 lg 2
取:N=5
23/58
(2)求归一化系统函数G(p)
由阶数N=5,直接查表6.2.1,得到5阶巴特沃斯归一化低通
滤波器系统函数G(p)为:
1 G ( p) 5 p 3.236 p 4 5.2361 p3 5.2361 p 2 3.2361 p 1
数字滤波器
B( z ) B(1) B(2) z 1 ... B( N ) z ( N 1) B( N 1) z N H ( z) A( z ) A(1) A(2) z 1 ... A( N ) z ( N 1) A( N 1) z N
采 样
N
11/58
N
极点传递
k 1
h(n) ha (nT ) Ak e sk nT u (n) Ak (e skT ) n u (n)
Z 变 换
k 1 k 1
N
H ( z)
n N
h(n) z
n 0

n

n0 sk T

A (e
k 1 k N
N
请同学们自行设计相关代码。
回顾 阅读P156-158: 频率归一化设计思想
20/58
【例6.2.1】
练习 2
21/58
P193
第1题
22/58
【解】
(1)求阶数N:
N
lg ksp lg sp 100.1as p 1
102.5 1 ksp 17.794 0.1ap 0.3 10 1 10 s 1

06 IIR(3) _ 双线性变换法(New)

06  IIR(3) _ 双线性变换法(New)
数字信号处理
(a)
Amplitude
Time
Frequency
回顾
2/68
脉冲响应不变法 优点: 时域逼近。使数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤 波器的单位冲激响应,即时域逼近良好。 线性频率关系: 模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。 缺点: 混叠失真效应。 因此,只适用于限带的模拟滤波器(例如衰减特性很好的 低通或带通滤波器),而且高频衰减越快,混叠效应越小; 而对于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减, 因此会产生混叠现象。
21/68
具体实现的二种方法:
① 先将Ha(s)分解成并联或级联形式,再分别采用双线性变换。
H a ( s ) H a1 ( s ) H a2 ( s ) H am ( s )
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H m ( z )
3 数字化方法
双 线 性 变 换 法
H ( z ) H a ( s) |
ak z k bk z k
k 0 k 0 N N
2 1 z 1 s T 1 z 1
a0 a1 z 1 a2 z 2 a N z N 1 b1 z 1 b2 z 2 bN z N
17/68
即某一频率段的幅频响应近似于某一常数。
A. 分段常数型AF经变换后,仍为分段常数型DF。 B. 分段边缘的临界频率点从AF转换到DF时,对应关系产 生畸变。—— 预畸变。
2 存在的问题
双 线 性 变 换 法
预畸变
18/68
将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变,然后通过双线性
变换后正好映射到所需要的频率上。 利用关系式:
[B,A]=butter(N, Wc, 's');

双线性变换法

双线性变换法
§ 5.4 双线性变换法(频域逼近法)
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法,其缺点是会产生频率响应的混叠失 真,这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 (多对一)的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发,寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向,将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于,的这再混种将叠映压 失真,但值得注意的是,这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系,由(5.21)式,及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系:
Ω
ω

π
0
0
-∞

12
§ 5.4 双线性变换法(频域逼近法)
上述对应关系优点:有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法(频域逼近法)
2、选择c,使数字滤波器的某一特定频率
(如截止频率ωc=Ω1cT)与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应,即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于:在特定的模拟频率和特定 的数字频率处,有严格相等的频率响应,因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2

(完整word版)用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR带通滤波器(word文档良心出品)

(完整word版)用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR带通滤波器(word文档良心出品)

用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR带通滤波器Matlab 详细设计:% Design of a Cheb I Bandpass Digital Filter by using bilinear method clc;clear all;Rp = 1; % bandpass attenuation in dBRs = 40; % bandstop attenuation in dBOmegaS1_1=350;OmegaS1_2=550;OmegaP1_1=400;OmegaP1_2=500;Fp=2000; % samling frequencyWp1=2*pi*OmegaP1_1/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyWp2=2*pi*OmegaP1_2/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyWs1=2*pi*OmegaS1_1/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyWs2=2*pi*OmegaS1_2/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyOmegaP1=2*Fp*tan(Wp1/2); % nonlinearlizationOmegaP2=2*Fp*tan(Wp2/2); % nonlinearlizationOmegaS1=2*Fp*tan(Ws1/2); % nonlinearlizationOmegaS2=2*Fp*tan(Ws2/2); % nonlinearlizationOmegaP0=sqrt(OmegaP1*OmegaP2);% equivalent mid frequencyBw=OmegaP2-OmegaP1; % bandwithEta_P0=OmegaP0/Bw; % NormalizationEta_P1=OmegaP1/Bw; % NormalizationEta_P2=OmegaP2/Bw; % NormalizationEta_S1=OmegaS1/Bw; % NormalizationEta_S2=OmegaS2/Bw; % Normalization% change to the equivalent Lowpass patameterLemta_P_EquivalentLowPass=Eta_P2/(Eta_P2^2-Eta_P0^2);Lemta_S1_EquivalentLowPass=-Eta_S1/(Eta_S1^2-Eta_P0^2);Lemta_S2_EquivalentLowPass=Eta_S2/(Eta_S2^2-Eta_P0^2);Lemta_S_EquivalentLowPass=min(Lemta_S1_EquivalentLowPass,Lemta_S2 _EquivalentLowPass); % get the smallest% Estimate the Filter Order[N, Wn]=cheb1ord(Lemta_P_EquivalentLowPass,Lemta_S_EquivalentLowPass, Rp, Rs,'s');% Design the Filter[num1,den1]=cheby1(N,Rp,Wn,'s');[num2,den2]=lp2bp(num1,den1,OmegaP0,Bw);[num,den]=bilinear(num2,den2,Fp);% Compute the gain responsew = 0:pi/255:pi;h = freqz(num,den,w);g = 20*log10(abs(h));% Plot the gain responsefigure;plot(w/pi,g);gridaxis([0 1 -60 5]);xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Gain in dB');title('Gain Response of a Cheb I Bandpass Filter');f1=450;f2=600;t=0:0.0001:1x1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=x1+x2;figure;subplot(2,2,1)%»æÖÆx1µÄ²¨ÐÎplot(x1);grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('x1(t)');title('x1µÄ²¨ÐÎ');subplot(2,2,2)%»æÖÆx1µÄ²¨ÐÎplot(x2);grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('x2(t)');title('x2µÄ²¨ÐÎ');subplot(2,2,3)%»æÖÆÊäÈëxµÄ²¨ÐÎplot(x);grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('ÊäÈëÐźÅxµÄ²¨ÐÎ')%X=fft(x);y=filter(num,den,x);%Êý×ÖÂ˲¨Æ÷Êä³ösubplot(2,2,4);%»æÖÆÊä³öyµÄ²¨ÐÎplot(real(y));grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('y');title('Â˲¨Æ÷Êä³öyµÄ²¨ÐÎ');6 调试分析:编写程序有一定难度,调试是不断出错,由于先前对DSP的学习不够扎实,导致程序出现了很多的错误。

双线性变换法公式

双线性变换法公式

双线性变换法(Bilinear Interpolation)是在图像处理中常用的一种插值方法。

公式如下:
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值,f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。

双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。

它通过对图像进行缩放或旋转时,对于输出图像中缺失的像素点进行插值,来解决图像变形导致的像素点缺失问题。

双线性变换法是一种非常高效的插值方法,其计算量与像素点数量无关。

另外,它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。

它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。

双线性变换法是一种双线性插值法,它基于线性插值法,通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。

其优点是插值效果好,像素质量高,图像变形较小。

双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。

它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。

此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像,并且在视频处理中也有着广泛的应用。

双线性变换.

双线性变换.

讨论其映射关系
当 z e j (单位圆时)
s
j 2 T
1 e j 1 e j
2 T
e j j / 2
j2
e j / 2
e j / 2
e1 j / 2
2
e j / 2
e j / 2
j 2 tan j
T2
即 s平面的虚轴与z平面的单位圆相互映射,有
j e j
p 2 tan1 pT / 2
2 tan 10.2 64.284o
64.284 o
180 o
0.375
rad
此时对应的AF实际截止频率
f p
p
/ 2T
0.375 2
2000
375Hz
400Hz
双线性变换法设计数字滤波器的一般步骤:
(1)确定数字滤波器的性能要求及各数字临界频率k 。 (2)由双线性变换法的变换关系将 k 变换为模拟域临
100.1 p 1 100.1s 1 p / s
一般系数 1
H z 0.421 1 z
z 0.1584
(2)预畸后 令 T 2 代入,得 H s p 0.7265
s p s 0.7265
p tan p / 2 0.7265
Hz
H a ss
2 T
1 1
z 1 z 1
1 1
0.7265
z 1 z 1
0.7265
p pT p / fs
2 400 0.4 rad 72o
2000

p
2 T
tan
p
/2
4000tan 36o 2906rad / s
925
f p 2906 / 2 462 .5Hz
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脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆,这是从S平面到Z平面的标准变换z =e sT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点,设想变换分为两步:
第一步:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里;
第二步:通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系,消除多值性,也就消除了混淆现象。

图双线性变换的映射关系
为了将s平面的jΩ轴压缩到s1平面jΩ轴上的-一段上,可通过以下的正切变换实现:
这里C是待定常数,下面会讲到用不同的方法确定C,可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。

经过这样的频率变换,当Ω
由时
1
Ω由
即映射了整个jΩ轴。

将这一关系解析延拓至整个s平面,则得到s平面平面的映射关系:
平面通过标准变换关系映射到z平面,即令通常取C=2/T
再将s
1
最后得S平面与Z平面的单值映射关系:
现在我们再来看一看常数C的取值方法:
双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应,S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周,S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处,对应即数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处,所以双线性变换不存在混迭效应。

上面讲到,用不同的方法确定待定常数C,可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。

也就是说,常数C可以调节频带间的对应关系。

确定C 的常用方法有两种:
①保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。

此时两者在低频处有确切的对应关系,即
因为Ω和ω都比较小,所以有
另外,根据归一化数字频率ω与模拟频率Ω的关系,,所以有Ω=cΩT/2,所以,c=2/T
②保证数字滤波器的某一特定频率,如截止频率,与模拟滤波器的某一待定频率Ω
严格对应,即
c
所以一般取。

当截止频率较低时,有

现在我们看看,这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时,从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求:
①当时,代入①
即S的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。

②代入z表达式,得
当时,∣z∣<1; 时,∣z∣>1 ,即s左半平面映射在单位圆内,s右半平面映射在单位圆外,因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后,所得到的数字滤波器也是稳定的。

看前面双线性变换的映射关系图。

小结:
•与脉冲响应不变法相比,双线性变换的主要优点:靠频率的严重非线性关系得到S平面与Z平面的单值一一对应关系,整个jΩ轴单值对应于单位圆一周,这个关系就是式所表示的,其中ω和Ω为非线性关系。

如图图中看到,在零频率附近,Ω~ω接近于线性关系,Ω进一步增加时,ω增长变得缓慢,(ω终止于折叠频率处),所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。

图双线性变换的频率非线性关系
•双线性变换法的缺点:Ω与ω的非线性关系,导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变,(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上
发生畸变)。

例如,一个模拟微分器,它的幅度与频率是线性关系,但通过双线性变换后,就不可能得到数字微分器。



•另外,一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后,滤波器就不再有线性相位特性。

虽然双线性变换有这样的缺点,但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。

这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性,如低通、高通、带通和带阻等,它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性,在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性,这种特性的滤波器通过双线性变换后,虽然频率发生了非线性变化,但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

•双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。

由于s与z之间的简单代数关系,所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。

置换过程
频响:
这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多,一般,当着眼于滤波器的时域瞬态响应时,采用脉冲响应不变法较好,而其他情况下,对于IIR的设计,大多采用双线性变换。

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